第12章　2級 指数・対数関数

(1) $2$　(2) $\dfrac{27}{8}$

(1) すべて $2$ の累乗に直します。$\sqrt[4]{8}$${}= 2^{\frac{3}{4}}$，$\sqrt[8]{4}$${}= 2^{\frac{2}{8}}$${}= 2^{\frac{1}{4}}$，$\sqrt[6]{4}$${}= 2^{\frac{2}{6}}$${}= 2^{\frac{1}{3}}$，$\sqrt[3]{2}$${}= 2^{\frac{1}{3}}$ なので

(2) $0.75$${}= \dfrac{3}{4}$，$\dfrac{16}{81}$${}= \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$ です。

(1) $2$　(2) $3$

(1) $\log_3 \sqrt{12}$${}= \dfrac{1}{2}\log_3 12$ なので、$\dfrac{1}{2}$ でくくります。

(2) 底をそろえます。$\log_4 36$${}= \dfrac{\log_2 36}{\log_2 4}$${}= \dfrac{1}{2}\log_2 36$${}= \log_2 6$ なので

$3$

真数と底を素数の累乗に直すと、$\log_2 9$${}= 2\log_2 3$，$\log_{25} 8$${}= \dfrac{3}{2}\log_5 2$ です。

底の変換公式より $\log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 2$${}= \log_2 5 \cdot \log_5 2$${}= 1$ なので、値は $\underline{3}$ です。

$x$${}= 2,$$\ 3$

$t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおくと、$4^x$${}= t^2$，$2^{x+2}$${}= 4t$ です。

$t$${}= 4,$$\ 8$ はどちらも $t$${}> 0$ を満たします。$2^x$${}= 4$ より $x$${}= 2$，$2^x$${}= 8$ より $x$${}= 3$ なので $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 3}$ です。

$x$${}= 5$

真数条件は $x$${}- 2$${}> 0$ かつ $x$${}+ 4$${}> 0$ より $x$${}> 2$ です。

左辺の底を $2$ にそろえると、$\log_2 \sqrt{2}$${}= \dfrac{1}{2}$ なので

よって $(x - 2)^2$${}= x$${}+ 4$ より $x^2$${}- 5x$${}= 0$，$x$${}= 0,$$\ 5$。$x$${}> 2$ を満たすのは $\underline{x = 5}$ です。

$-4$${}< x$${}< 2$

底を $2$ にそろえます。左辺は $2^{-x^2}$，右辺は $2^{2x-8}$ です。底 $2$ は $1$ より大きいので、指数の大小は向きを変えずに比べます。

よって $\underline{-4 < x < 2}$ です。

$1$${}< x$${}< 4$

真数条件は $x$${}- 1$${}> 0$ かつ $x$${}+ 5$${}> 0$ より $x$${}> 1$ です。

左辺は $\log_{\frac{1}{3}} (x - 1)^2$ です。底 $\dfrac{1}{3}$ は $1$ より小さいので、真数の大小は逆になります。

$-1$${}< x$${}< 4$ と $x$${}> 1$ の共通部分をとって $\underline{1 < x < 4}$ です。

(1) $610$ 桁　(2) 小数第 $6$ 位

(1) $\log_{10} 2^{2026}$${}= 2026 \times 0.3010$${}= 609.826$ です。$609$${}\leqq 609.826$${}< 610$ なので、$\underline{610}$ 桁です。

(2) $\log_{10} 5$${}= \log_{10} \dfrac{10}{2}$${}= 1$${}- 0.3010$${}= 0.6990$ を使います。

$-6$${}\leqq -5.104$${}< -5$ なので、小数第 $\underline{6}$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。

$x$${}= 2$ で最大値 $5$，$x$${}= 1$ で最小値 $-3$

$t$${}= 2^x$ とおきます。$y$${}= 2^x$ は右上がりなので、$-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ より

$2^{2x+1}$${}= 2t^2$，$2^{x+3}$${}= 8t$ なので

軸 $t$${}= 2$ は区間 $\dfrac{1}{2}$${}\leqq t$${}\leqq 4$ の中にあります。軸から遠い端は $t$${}= 4$（軸との差 $2$）で、$t$${}= \dfrac{1}{2}$（差 $\dfrac{3}{2}$）より遠いので

• 最小：$t$${}= 2$ のとき $y$${}= -3$。$2^x$${}= 2$ より $x$${}= 1$
• 最大：$t$${}= 4$ のとき $y$${}= 2 \cdot 16$${}- 32$${}+ 5$${}= 5$。$2^x$${}= 4$ より $x$${}= 2$

よって $\underline{x = 2 \text{ で最大値 } 5}$，$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}x = 1 \text{ で最小値 }}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}{}-3}$ です。

$x$${}= \dfrac{1}{4},$$\ 8$ で最大値 $4$，$x$${}= \sqrt{2}$ で最小値 $-\dfrac{9}{4}$

$\log_{\frac{1}{2}} M$${}= -\log_2 M$ なので、$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2x}$${}= -\log_2 \dfrac{1}{2x}$${}= \log_2 2x$ です。$t$${}= \log_2 x$ とおくと

$y$${}= \log_2 x$ は右上がりなので、$\dfrac{1}{4}$${}\leqq x$${}\leqq 8$ より $-2$${}\leqq t$${}\leqq 3$ です。

軸 $t$${}= \dfrac{1}{2}$ は区間の中にあり、両端 $t$${}= -2$，$t$${}= 3$ は軸から同じ $\dfrac{5}{2}$ だけ離れています。

• 最小：$t$${}= \dfrac{1}{2}$ のとき $y$${}= -\dfrac{9}{4}$。$x$${}= 2^{\frac{1}{2}}$${}= \sqrt{2}$
• 最大：$t$${}= -2,$$\ 3$ のとき $y$${}= 4$。$x$${}= 2^{-2}$${}= \dfrac{1}{4}$，$x$${}= 2^3$${}= 8$

よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = \dfrac{1}{4},}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 8 \text{ で最大値 } 4}$，$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = \sqrt{2} \text{ で最小値 }}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}-\dfrac{9}{4}}$ です。

$x$${}= 4$ で最小値 $4$

底を $2$ にそろえると $\log_x 16$${}= \dfrac{\log_2 16}{\log_2 x}$${}= \dfrac{4}{\log_2 x}$ です。$t$${}= \log_2 x$ とおくと、$x$${}> 1$ より $t$${}> 0$ です。

$t$${}> 0$，$\dfrac{4}{t}$${}> 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より

等号は $t$${}= \dfrac{4}{t}$，すなわち $t^2$${}= 4$ で $t$${}> 0$ より $t$${}= 2$ のときに成り立ちます。このとき $x$${}= 2^2$${}= 4$ です。

よって $\underline{x = 4 \text{ で最小値 } 4}$ です。

（$t$${}> 0$ を確かめずに相加平均と相乗平均の関係を使うのは誤りです。$0$${}< x$${}< 1$ なら $t$${}< 0$ となり、式の値は負になります。）

$x$${}= 4,$$y$${}= 8$ または $x$${}= 8,$$y$${}= 4$

真数条件は $x$${}> 0$，$y$${}> 0$ です。$X$${}= \log_2 x$，$Y$${}= \log_2 y$ とおくと

$X$，$Y$ は2次方程式 $u^2$${}- 5u$${}+ 6$${}= 0$ の2つの解なので、$(u - 2)(u - 3)$${}= 0$ より $(X,\ Y)$${}= (2,\ 3),$$\ (3,\ 2)$ です。

• $X$${}= 2$，$Y$${}= 3$ のとき $x$${}= 2^2$${}= 4$，$y$${}= 2^3$${}= 8$
• $X$${}= 3$，$Y$${}= 2$ のとき $x$${}= 8$，$y$${}= 4$

どちらも真数条件を満たすので、$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 4,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 8 \text{ または } x = 8,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 4}$ です。

$\log_9 25$${}< \dfrac{3}{2}$${}< \log_4 9$

まず底と真数をそろえて簡単にします。

$\log_2 3$ と $\dfrac{3}{2}$　$\dfrac{3}{2}$${}= \log_2 2^{\frac{3}{2}}$ です。$\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^2$${}= 8$，$3^2$${}= 9$ で $8$${}< 9$ なので $2^{\frac{3}{2}}$${}< 3$。底 $2$${}> 1$ より $\dfrac{3}{2}$${}< \log_2 3$ です。

$\log_3 5$ と $\dfrac{3}{2}$　$\dfrac{3}{2}$${}= \log_3 3^{\frac{3}{2}}$ です。$\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^2$${}= 27$，$5^2$${}= 25$ で $25$${}< 27$ なので $5$${}< 3^{\frac{3}{2}}$。底 $3$${}> 1$ より $\log_3 5$${}< \dfrac{3}{2}$ です。

よって $\underline{\log_9 25 < \dfrac{3}{2} < \log_4 9}$ です。

$17$ 年後

$n$ 年後の量はもとの量の $0.96^n$ 倍なので、$0.96^n$${}< \dfrac{1}{2}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めます。両辺の常用対数をとると（底 $10$${}> 1$ なので向きはそのまま）

$0.96$${}= \dfrac{96}{100}$${}= \dfrac{2^5 \cdot 3}{10^2}$ なので

$-0.0179 n$${}< -0.3010$ の両辺を負の数 $-0.0179$ で割ると、不等号の向きが逆になります。

これを満たす最小の自然数は $17$ なので、$\underline{17}$ 年後です。

（確かめ：実際の値は $0.96^{16}$${}\fallingdotseq 0.520$，$0.96^{17}$${}\fallingdotseq 0.4996$ です。）

$n$${}= 38$，小数第 $7$ 位に初めて現れ、その数字は $2$

$\log_{10} 6$${}= 0.3010$${}+ 0.4771$${}= 0.7781$ です。$6^n$ が $30$ 桁になる条件は

$\dfrac{29}{0.7781}$${}= 37.2\cdots$，$\dfrac{30}{0.7781}$${}= 38.5\cdots$ なので、$37.2\cdots$${}\leqq n$${}< 38.5\cdots$ を満たす自然数は $\underline{n = 38}$ だけです。