第6章　対数方程式・不等式

対数方程式——指数に戻すか、真数どうしを比べる

第5章の最後に予告した方程式から始めます。

$\displaystyle \log_2 (x - 1)$$\displaystyle {}= 3$

対数の定義（第4章 公式1）に戻れば、「$2$ を $3$ 乗すると $x$${}- 1$ になる」ということです。$x$${}- 1$${}= 2^3$${}= 8$ から $x$${}= 9$。これで終わりです。

右辺の $3$ を $\log_2 8$ と書き直して、$\log_2 (x - 1)$${}= \log_2 8$ と見ることもできます。$y$${}= \log_2 x$ のグラフは右上がりの一本道（第5章 公式3）なので、同じ高さになる真数は 1 つしかありません。だから真数どうしが等しく、$x$${}- 1$${}= 8$ です。第3章で「底をそろえて指数を比べた」のと同じ形で、今度は底をそろえて真数を比べるわけです。

気をつけたいのは、真数がいつでも正でなければならないことです（第4章の真数条件）。$x$${}- 1$${}= 8$ のように右辺が正の数と決まっている形なら、真数条件は自動的に満たされます。一方、両辺に $x$ の式がある $\log_3 (x^2 - 3)$${}= \log_3 2x$ では、$x^2$${}- 3$${}= 2x$ を解くと $x$${}= 3,$${}\ -1$ が出てきますが、$x$${}= -1$ では真数 $2x$ が $-2$ になり、$\log_3 (-2)$ は意味を持ちません。

公式1：対数方程式の基本形

$a$${}> 0$，$a$${}\neq 1$ とする。

$\displaystyle \log_a f(x)$$\displaystyle {}= b$$\displaystyle {}\iff f(x)$$\displaystyle {}= a^b$$\displaystyle \log_a f(x)$$\displaystyle {}= \log_a g(x)$$\displaystyle {}\iff f(x)$$\displaystyle {}= g(x) \text{ かつ } f(x)$$\displaystyle {}> 0$

2 つ目では、$f(x)$${}= g(x)$ から出た解のうち、真数が正になるものだけを答えにする。

2 つ目の条件が「$f(x)$${}> 0$」の 1 つだけでよいのは、$f(x)$${}= g(x)$ なので $g(x)$ も同じ値、つまり自動的に正になるからです。

野球チームの背番号を思い浮かべてください。同じチームの中なら、背番号 18 の選手はただ 1 人です。「背番号が同じなら同じ選手」と言えます。底をそろえるのは同じチームに入れること、$\log$ の値が背番号、真数が選手です。ただし、背番号をもらえるのはチームに登録された選手だけです。$x^2$${}- 3$${}= 2x$ の解 $x$${}= -1$ は、計算の上では背番号の欄が埋まっても、そもそも登録されていない（真数が正でない）選手でした。

対数方程式は、対数の定義で指数の形に戻すか、底をそろえて真数どうしを等しいとおけば解け、両辺に $x$ の式があるときは、出てきた解の真数が正かどうかを確かめて選べばよいということです。

例題1：基本形の対数方程式

(1) $\log_3 (2x + 1)$${}= 2$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} (x - 3)$${}= -2$

(3) $\log_3 (x^2 - 3)$${}= \log_3 2x$

上の各方程式の解を求めなさい。

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【解答】

(1) 対数の定義から $2x$${}+ 1$${}= 3^2$${}= 9$ なので $\underline{x = 4}$

(2) $x$${}- 3$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$${}= 4$ なので $\underline{x = 7}$

(3) 真数どうしを等しいとおくと $x^2$${}- 3$${}= 2x$，$x^2$${}- 2x$${}- 3$${}= 0$，$(x - 3)(x + 1)$${}= 0$ より $x$${}= 3,$${}\ -1$。

$x$${}= 3$ のとき、真数は $x^2$${}- 3$${}= 6$，$2x$${}= 6$ でどちらも正。$x$${}= -1$ のとき、真数 $2x$${}= -2$ は負なので不適です。

$$\underline{x = 3}$$

(1)，(2) は右辺が数なので、真数は $9$ や $4$ と決まり、確かめる必要はありません。

真数条件を先に書く——まとめると余分な解が混じる

次の方程式はどうでしょう。

$\displaystyle \log_2 x$$\displaystyle {}+ \log_2 (x - 2)$$\displaystyle {}= 3$

積の対数（第4章 公式3）で左辺を 1 つにまとめると $\log_2 x(x - 2)$${}= 3$。対数の定義から $x(x - 2)$${}= 8$，$x^2$${}- 2x$${}- 8$${}= 0$，$(x - 4)(x + 2)$${}= 0$ で、$x$${}= 4,$${}\ -2$ が出てきます。

ところが $x$${}= -2$ をもとの式に入れると、$\log_2 (-2)$ と $\log_2 (-4)$ が現れて、式そのものが意味を持ちません。計算はどこも間違っていないのに、余分な解が混じったのです。

原因は「まとめる」変形にあります。もとの式が意味を持つのは $x$${}> 0$ かつ $x$${}- 2$${}> 0$、つまり $x$${}> 2$ のときだけです。ところが、まとめた $\log_2 x(x - 2)$ は、積 $x(x - 2)$ さえ正なら意味を持ちます。$x$${}= -2$ では $x$ も $x$${}- 2$ も負ですが、負と負を掛けた $(-2) \times (-4)$${}= 8$ は正です。まとめたことで、式が意味を持つ範囲が $x$${}< 0$ の側にまで広がってしまったのです。

第3章の厳密定義で、解を失うことも余分な解が混じることもない書きかえを「同値変形」と呼びました。底をそろえる指数の変形は、どれも同値変形でした。対数では、積・商・$r$ 倍の公式が「真数が正のときに限って」成り立つので、左から右へまとめる変形は同値変形になりません。そこで、まとめる前に真数条件を書き出しておき、最後にその条件で解を選ぶのが確実な手順になります。

公式2：真数条件を先に書く

$\log_a f(x)$${}+ \log_a g(x)$ や $\log_a f(x)$${}- \log_a g(x)$，$r\log_a f(x)$ を含む方程式・不等式は、次の順に解く。

1. もとの式のすべての真数について、真数条件（$f(x)$${}> 0$，$g(x)$${}> 0$ など）を書き出す
2. 積・商・累乗の対数で 1 つの対数にまとめ、真数どうしの式に直して解く
3. 1 の条件を満たすものだけを答えにする

$2\log_2 (x - 3)$ も要注意です。$\log_2 (x - 3)^2$ にまとめると、$x$${}- 3$ が負でも $(x - 3)^2$ は正なので、ここでも範囲が広がります。

町の出入り口に関所が 2 つあって、1 つ目で「$x$ の通行証」、2 つ目で「$x$${}- 2$ の通行証」が本物か（正か）を確かめている、と考えてみてください。手間を省いて 2 つを 1 つにまとめ、「2 枚を重ねて見た結果（積）が正ならよし」としたらどうなるでしょう。2 枚ともニセモノ（負）でも、重ねた結果は正になってしまい、素通りです。まとめる前に 1 枚ずつ確かめておくのが、真数条件を先に書くということです。

積・商・$r$ 倍の対数を 1 つにまとめる変形では、式が意味を持つ範囲が広がって余分な解が混じることがあるので、まとめる前にもとの式の真数条件を書き出し、最後にその条件で解を選べばよいということです。

例題2：真数条件で解を選ぶ

(1) $\log_3 (x - 2)$${}+ \log_3 (x + 4)$${}= 3$

(2) $2\log_2 (x - 3)$${}= \log_2 (x - 1)$

上の各方程式の解を求めなさい。

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【解答】

(1) 真数条件は $x$${}- 2$${}> 0$ かつ $x$${}+ 4$${}> 0$ より $x$${}> 2$。左辺をまとめると $\log_3 (x - 2)(x + 4)$${}= 3$ なので

$\displaystyle (x - 2)(x + 4)$$\displaystyle {}= 27,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 2x$$\displaystyle {}- 35$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (x + 7)(x - 5)$$\displaystyle {}= 0$

$x$${}= -7,$$\ 5$ のうち、$x$${}> 2$ を満たすのは $\underline{x = 5}$

(2) 真数条件は $x$${}- 3$${}> 0$ かつ $x$${}- 1$${}> 0$ より $x$${}> 3$。左辺を $\log_2 (x - 3)^2$ とまとめると

$\displaystyle (x - 3)^2$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}- 1,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- 7x$$\displaystyle {}+ 10$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (x - 2)(x - 5)$$\displaystyle {}= 0$

$x$${}= 2,$$\ 5$ のうち、$x$${}> 3$ を満たすのは $\underline{x = 5}$

(2) の $x$${}= 2$ は、$(x - 3)^2$${}= (-1)^2$${}= 1$${}= x$${}- 1$ で、まとめた式は満たしています。$x$${}- 3$${}= -1$ が負なのに、2 乗して正になったために入りこんだ解です。

底をそろえる・置きかえる

底がそろっていないときは、底の変換公式（第4章 公式4）で小さいほうの底にそろえます。$\log_4 M$${}= \dfrac{\log_2 M}{\log_2 4}$${}= \dfrac{1}{2}\log_2 M$ のように、底が累乗の関係なら係数が出てくるだけです。

$\log_3 x$ が 2 乗の形で何度も出てくる式は、$t$${}= \log_3 x$ とおいて $t$ の 2 次方程式にします。第3章の置きかえ $t$${}= 2^x$ では $t$${}> 0$ の解だけを残しましたが、第5章で見たとおり $\log_3 x$ の値域は実数全体なので、$t$ は負でもかまいません。$t$ の解はどれも、$x$${}= 3^t$ という正の数に戻ります。

公式3：底をそろえる・置きかえる

1. 底がそろわないときは、底の変換公式で 1 つの底にそろえる（例：$\log_4 M$${}= \dfrac{1}{2}\log_2 M$，$\log_M a$${}= \dfrac{1}{\log_a M}$）
2. $\log_a x$ の 2 次式になるときは、$t$${}= \log_a x$ とおく。$t$ はすべての実数をとるので、$t$ の解はすべて使え、$x$${}= a^t$ で $x$ に戻す

$\log_3 x$ という長い名前を何度も書くのは面倒で、式の形も見えにくくなります。クラスに同じ呼び方の長い名前の子がいたら、あだ名を付けて呼ぶでしょう。$t$ はそのあだ名です。あだ名で呼んでいるあいだに話（計算）を進め、最後に本名（$x$）に戻して答えます。

底がそろわない対数は底の変換公式でそろえ、同じ対数が 2 次式の形で出てくるなら $t$${}= \log_a x$ とおいて 2 次方程式にし、$t$ の解をすべて $x$${}= a^t$ で戻せばよいということです。

例題3：底をそろえる・置きかえる

(1) $\log_2 (x - 2)$${}= \log_4 (x + 10)$

(2) $(\log_3 x)^2$${}- \log_3 x^2$${}- 3$${}= 0$

上の各方程式の解を求めなさい。

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【解答】

(1) 真数条件は $x$${}- 2$${}> 0$ かつ $x$${}+ 10$${}> 0$ より $x$${}> 2$。右辺の底を $2$ にそろえると $\log_4 (x + 10)$${}= \dfrac{1}{2}\log_2 (x + 10)$。両辺を $2$ 倍して

$\displaystyle 2\log_2 (x - 2)$$\displaystyle {}= \log_2 (x + 10),$$\displaystyle (x - 2)^2$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}+ 10,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- 5x$$\displaystyle {}- 6$$\displaystyle {}= 0$

$(x - 6)(x + 1)$${}= 0$ より $x$${}= 6,$${}\ -1$。$x$${}> 2$ を満たすのは $\underline{x = 6}$

(2) 真数条件から $x$${}> 0$ なので、$\log_3 x^2$${}= 2\log_3 x$ です。$t$${}= \log_3 x$ とおくと

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 2t$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (t - 3)(t + 1)$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle t$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle {}\ -1$

$\log_3 x$${}= 3$ から $x$${}= 27$、$\log_3 x$${}= -1$ から $x$${}= \dfrac{1}{3}$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = 27,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \frac{1}{3}}$

$t$${}= -1$ のように負の $t$ も捨てずに使います。

対数不等式——真数条件と単調性の共通部分

今度は不等式 $\log_2 x$${}< 3$ です。右辺を $\log_2 8$ と書けば、底 $2$${}> 1$ のグラフは右上がりなので、真数どうしも同じ向きで $x$${}< 8$。

ここで $x$${}< 8$ と答えると間違いです。$x$${}= -1$ も $x$${}< 8$ を満たしますが、$\log_2 (-1)$ はありません。グラフで見ると、$y$${}= \log_2 x$ が直線 $y$${}= 3$ より下にあるのは、$0$${}< x$${}< 8$ の部分です。左端の $0$ は真数条件から、右端の $8$ は単調性から決まります。

方程式では「解を出してから真数条件で選ぶ」ことができましたが、不等式の答えは範囲なので、真数条件の範囲と、真数を比べて出した範囲の共通部分をとります。底が 1 より小さいときは、第3章・第5章と同じく不等号の向きが逆になります。

公式4：対数不等式

$\displaystyle a$$\displaystyle {}> 1 \text{ のとき}$$\displaystyle \log_a f(x)$$\displaystyle {}< \log_a g(x)$$\displaystyle {}\iff 0$$\displaystyle {}< f(x)$$\displaystyle {}< g(x)$$\displaystyle 0$$\displaystyle {}< a$$\displaystyle {}< 1 \text{ のとき}$$\displaystyle \log_a f(x)$$\displaystyle {}< \log_a g(x)$$\displaystyle {}\iff f(x)$$\displaystyle {}> g(x)$$\displaystyle {}> 0$

手順は、①真数条件を書き出す，②底をそろえて真数どうしの不等式に直す（底が 1 より小さければ向きを逆に），③①と②の共通部分を答えにする。

$a$${}> 1$ の式で条件が「$0$${}< f(x)$」の 1 つだけで済むのは、$f(x)$${}< g(x)$ なら $g(x)$ は $f(x)$ より大きく、自動的に正になるからです。ただ、慣れないうちは、すべての真数について条件を書き出してから共通部分をとるほうが安全です。

アルバイトの募集に「18 歳以上」と書いてあり、別の欄に「30 歳未満」とあったら、応募できるのは両方を満たす 18 歳以上 30 歳未満の人です。どちらか片方だけを見て「30 歳未満ならだれでも」と読むと、10 歳の子まで入ってしまいます。$\log_2 x$${}< 3$ で $x$${}< 8$ とだけ答えるのは、この読み違いと同じです。

対数不等式は、真数条件の範囲と、底をそろえて真数を比べた範囲（底が 1 より小さければ不等号の向きを逆に）の共通部分を答えればよいということです。

例題4：対数不等式

(1) $\log_3 (x - 1)$${}\leqq 2$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1)$${}> -3$

(3) $\log_2 (x - 1)$${}+ \log_2 (x - 3)$${}< 3$

上の各不等式を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

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【解答】

(1) 真数条件は $x$${}> 1$。$2$${}= \log_3 9$ で、底 $3$${}> 1$ なので $x$${}- 1$${}\leqq 9$，$x$${}\leqq 10$。共通部分は

$$\underline{1 < x \leqq 10}$$

(2) 真数条件は $x$${}> -1$。$-3$${}= \log_{\frac{1}{2}} 8$ で、底 $\dfrac{1}{2}$${}< 1$ なので向きが逆になり、$x$${}+ 1$${}< 8$，$x$${}< 7$。共通部分は

$$\underline{-1 < x < 7}$$

(3) 真数条件は $x$${}- 1$${}> 0$ かつ $x$${}- 3$${}> 0$ より $x$${}> 3$。左辺をまとめて $\log_2 (x - 1)(x - 3)$${}< \log_2 8$。底 $2$${}> 1$ なので

$\displaystyle (x - 1)(x - 3)$$\displaystyle {}< 8,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- 4x$$\displaystyle {}- 5$$\displaystyle {}< 0,$$\displaystyle (x + 1)(x - 5)$$\displaystyle {}< 0,$$\displaystyle {}\qquad -1$$\displaystyle {}< x$$\displaystyle {}< 5$

$x$${}> 3$ との共通部分をとって $\underline{3 < x < 5}$

(3) で $-1$${}< x$${}< 5$ のまま答えると、$x$${}= 0$ のような、もとの式が意味を持たない値まで入ってしまいます。

置きかえの不等式と、両辺の対数をとる方程式

$t$${}= \log_a x$ の置きかえは、不等式でも使えます。$t$ の 2 次不等式を解いて $t$ の範囲を出し、それを $x$ の範囲に戻すという 2 段です。$t$ から $x$ に戻すところで、ふたたび底と 1 の大小を確かめます。

$x^{\log_2 x}$${}= 8x^2$ のように、指数の位置に対数が乗っている式もあります。このままでは手が出ませんが、両辺の底 $2$ の対数をとると（第4章 公式5）、$\log_2 x^{\log_2 x}$${}= \log_2 x \cdot \log_2 x$${}= (\log_2 x)^2$ となり、$\log_2 x$ の 2 次式に変わります。両辺が正であることを確かめてから対数をとるのは、第4章と同じです。

公式5：置きかえの不等式・両辺の対数をとる

1. $\log_a x$ の 2 次不等式は、$t$${}= \log_a x$ とおいて $t$ の範囲を求め、$x$ の範囲に戻す（底が 1 より小さければ、戻すときに向きが逆になる）
2. $x^{\log_a x}$ のような式は、両辺が正であることを確かめて、両辺の底 $a$ の対数をとる。$\log_a x^{\log_a x}$${}= (\log_a x)^2$ となり、$t$${}= \log_a x$ の 2 次式になる

知らない町で友だちの家を探すとき、いきなり番地から探すより、まず「何区か」で範囲を絞り、そのあと区の中で番地をたどるほうが早いでしょう。置きかえの不等式も同じで、まず $t$ の範囲（区）を決め、それから $x$ の範囲（番地）に落とします。区の段階で絞り間違えると、そのあといくら丁寧に探しても見つかりません。

$\log_a x$ の 2 次不等式は $t$ の範囲を先に出してから $x$ に戻し、指数に対数が乗った式は両辺の対数をとって $\log_a x$ の 2 次式に直せばよいということです。

例題5：置きかえの不等式・両辺の対数

(1) 不等式 $(\log_2 x)^2$${}- \log_2 x^3$${}+ 2$${}< 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

(2) 方程式 $x^{\log_2 x}$${}= 8x^2$ の解を求めなさい。

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【解答】

(1) 真数条件から $x$${}> 0$ なので、$\log_2 x^3$${}= 3\log_2 x$ です。$t$${}= \log_2 x$ とおくと

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 3t$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}< 0,$$\displaystyle (t - 1)(t - 2)$$\displaystyle {}< 0,$$\displaystyle 1$$\displaystyle {}< t$$\displaystyle {}< 2$

$\log_2 2$${}< \log_2 x$${}< \log_2 4$ で、底 $2$${}> 1$ なので $\underline{2 < x < 4}$（$x$${}> 0$ を満たしています）

(2) $x^{\log_2 x}$ の底 $x$ は正でなければならないので $x$${}> 0$。このとき両辺はどちらも正なので、底 $2$ の対数をとれます。

$\displaystyle (\log_2 x)^2$$\displaystyle {}= \log_2 8$$\displaystyle {}+ \log_2 x^2$$\displaystyle {}= 3$$\displaystyle {}+ 2\log_2 x$

$t$${}= \log_2 x$ とおくと $t^2$${}- 2t$${}- 3$${}= 0$，$(t - 3)(t + 1)$${}= 0$ より $t$${}= 3,$${}\ -1$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = 8,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \frac{1}{2}}$

確かめると、$x$${}= 8$ では左辺 $8^3$${}= 512$，右辺 $8 \cdot 64$${}= 512$。$x$${}= \dfrac{1}{2}$ では左辺 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$${}= 2$，右辺 $8 \cdot \dfrac{1}{4}$${}= 2$ です。

$x$ と $y$ の連立方程式も、$\log_2 x$${}+ \log_2 y$${}= 3$ なら $xy$${}= 8$（$x$${}> 0$，$y$${}> 0$）のように、真数条件を書いたうえで真数の式に直せば、ふつうの連立方程式になります。

この章のまとめ——真数条件は「最初に書いて、最後に使う」

第3章の指数方程式では、底をそろえる変形がいつも同値変形だったので、条件を気にせず解けました。対数で条件が必要になるのは、真数が正の数しか受け付けないからです。次の第7章では、底が $10$ の対数（常用対数）を使って、$2^{50}$ が何桁の数かといった、大きな数の大きさを見積もります。