第7章　常用対数と応用

常用対数——10 を底にした対数

第6章の最後に予告した問いから始めます。

$$2^{50} \text{ は何桁の数か}$$

$2$ を $50$ 回掛ければ答えは出ますが、途中で 10 桁、15 桁と膨らんでいく数を手で掛け続けるのは現実的ではありません。$2^{10}$${}= 1024$ が $1000$${}= 10^3$ に近いことから、$2^{50}$${}= (2^{10})^5$ は $10^{15}$ くらい、と見当をつけることはできます。けれども「くらい」では、15 桁なのか 16 桁なのかが決まりません。

ここで役に立つのが、底を $10$ にした対数です。私たちがふだん使う数の書き方（10 進法）は、位が 1 つ上がるごとに $10$ 倍になるしくみなので、「$10$ の何乗か」を表す $\log_{10}$ と相性がよいのです。

底が $10$ の対数 $\log_{10} N$ を、常用対数といいます。$\log_{10} 10$${}= 1$，$\log_{10} 100$${}= 2$，$\log_{10} 1$${}= 0$，$\log_{10} 0.01$${}= -2$ のように、$10$ の累乗の常用対数は整数になります。

$10$ の累乗でない数の常用対数は、多くの場合、無理数です。昔から、$1.00$ から $9.99$ までの数の常用対数を小数第 4 位まで並べた常用対数表が作られてきました。この章では、そこから次の値を借りてきます。

$\displaystyle \log_{10} 2$$\displaystyle {}= 0.3010,$$\displaystyle \log_{10} 3$$\displaystyle {}= 0.4771$

どちらも小数第 5 位を四捨五入した近似値です（本当は $\log_{10} 2$${}= 0.30102999\cdots$）。この 2 つがあれば、第4章の積・商・累乗の公式で、ほかの数の常用対数も作れます。

$5$ は $\log_{10} 5$${}= \log_{10} 10$${}- \log_{10} 2$${}= 1$${}- 0.3010$ と、$10$ を $2$ で割って作るのがこつです。$7$ だけは $2$ と $3$ から作れないので、必要なときは $\log_{10} 7$${}= 0.8451$ を問題文で与えます。

さて、どんな正の数 $N$ も、$N$${}= 1.1 \times 10^{15}$ や $N$${}= 9.5 \times 10^{-7}$ のように、「$1$ 以上 $10$ 未満の数 $a$」と「$10$ の累乗」の積で書けます。両辺の常用対数をとると

$\displaystyle \log_{10} N$$\displaystyle {}= \log_{10} (a \times 10^n)$$\displaystyle {}= n$$\displaystyle {}+ \log_{10} a$

$1$${}\leqq a$${}< 10$ なので $0$${}\leqq \log_{10} a$${}< 1$ です。つまり、$\log_{10} N$ の整数部分（$n$${}\leqq \log_{10} N$${}< n$${}+ 1$ を満たす整数 $n$）が「$10$ の何乗か」を、小数部分（$\log_{10} N$${}- n$）が「$a$ がいくつか」を受けもっています。

公式1：常用対数と $a \times 10^n$ の形

底が $10$ の対数 $\log_{10} N$ を常用対数という。正の数 $N$ を

$\displaystyle N$$\displaystyle {}= a \times 10^n$$\displaystyle (1 \leqq a < 10,\ n \text{ は整数})$

と表すと

$\displaystyle \log_{10} N$$\displaystyle {}= n$$\displaystyle {}+ \log_{10} a$$\displaystyle (0 \leqq \log_{10} a < 1)$

整数部分 $n$ が $10$ の累乗の部分を、小数部分 $\log_{10} a$ が $a$ を表す。

$\log_{10} N$ が負のときは、整数部分に注意します。$-6.02$ の整数部分は $-6$ ではなく $-7$ で、$-6.02$${}= -7$${}+ 0.98$ と、小数部分が $0$ 以上になるように分けます（第4章 j14 の $-2.3$${}\to -3$ と同じです）。

ヨーロッパのエレベーターには、地上の階を「0」と表示するものがあります。常用対数の整数部分は、この表示に似ています。$1$ 以上 $10$ 未満の数は 0 階、$10$ 以上 $100$ 未満は 1 階、$10^{15}$ 以上 $10^{16}$ 未満は 15 階。$1$ より小さい数は地下で、$10^{-7}$ 以上 $10^{-6}$ 未満は $-7$ 階、つまり地下 7 階です。小数部分は、その階の床から天井までのどのあたりにいるかを表します。

常用対数は底が $10$ の対数で、正の数を $a \times 10^n$（$1$${}\leqq a$${}< 10$）と書いたとき、整数部分が $10$ の何乗かを、小数部分が $a$ の大きさを表すということです。

例題1：常用対数の値

$\log_{10} 2$${}= 0.3010$，$\log_{10} 3$${}= 0.4771$ とします。

(1) $\log_{10} 12$

(2) $\log_{10} 5$

(3) $\log_{10} 0.006$

上の各値を求めなさい。

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【解答】

(1) $12$${}= 2^2 \times 3$ なので

$\displaystyle \log_{10} 12$$\displaystyle {}= 2\log_{10} 2$$\displaystyle {}+ \log_{10} 3$$\displaystyle {}= 0.6020$$\displaystyle {}+ 0.4771$$\displaystyle {}= \underline{1.0791}$

(2) $5$${}= \dfrac{10}{2}$ なので $\log_{10} 5$${}= 1$${}- \log_{10} 2$${}= \underline{0.6990}$

(3) $0.006$${}= 6 \times 10^{-3}$ なので

$\displaystyle \log_{10} 0.006$$\displaystyle {}= \log_{10} 2$$\displaystyle {}+ \log_{10} 3$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= 0.7781$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= \underline{-2.2219}$

(3) は整数部分が $-3$，小数部分が $0.7781$ です。$6 \times 10^{-3}$ の「$6$」が小数部分に、「$10^{-3}$」が整数部分に対応しています。

桁数——整数部分を見る

$N$ が 3 桁の整数なら、$100$${}\leqq N$${}< 1000$、つまり $10^2$${}\leqq N$${}< 10^3$ です。一般に、$N$ が $n$ 桁の正の整数であることは

$\displaystyle 10^{n-1}$$\displaystyle {}\leqq N$$\displaystyle {}< 10^n$

と同じです。常用対数は右上がりの関数（第5章 公式3）なので、各辺の常用対数をとっても不等号の向きは変わらず、$n$${}- 1$${}\leqq \log_{10} N$${}< n$ となります。桁数は、常用対数の整数部分に $1$ を足した数です。

いよいよ $2^{50}$ です。

$\displaystyle \log_{10} 2^{50}$$\displaystyle {}= 50\log_{10} 2$$\displaystyle {}= 50 \times 0.3010$$\displaystyle {}= 15.05$

$15$${}\leqq 15.05$${}< 16$ なので $10^{15}$${}\leqq 2^{50}$${}< 10^{16}$ となり、$2^{50}$ は 16 桁の数です。実際、$2^{50}$${}= 1125899906842624$ で、数えると 16 桁あります。

公式2：桁数

正の整数 $N$ について

$\displaystyle N \text{ が } n \text{ 桁}$$\displaystyle {}\iff 10^{n-1}$$\displaystyle {}\leqq N$$\displaystyle {}< 10^n$$\displaystyle {}\iff n$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}\leqq \log_{10} N$$\displaystyle {}< n$

$\log_{10} N$ の整数部分に $1$ を足したものが、$N$ の桁数である。

整数部分が $15$ なのに答えが 16 桁になるのは、$10^0$${}= 1$ が 1 桁、$10^1$${}= 10$ が 2 桁……と、$10^{15}$ の時点ですでに 16 桁あるからです。

買い物で「1 万円台のイヤホン」と言えば、$10000$ 円以上 $20000$ 円未満のことです。桁数だけに注目するなら、もっと粗く「$10^4$ 円以上 $10^5$ 円未満＝5 桁の値段」と区切ることもできます。常用対数の整数部分は、この「何桁台か」の区切りを一発で教えてくれる値札のようなものです。

正の整数の桁数は、常用対数の整数部分に $1$ を足せば求まるということです。

例題2：桁数

$\log_{10} 2$${}= 0.3010$，$\log_{10} 3$${}= 0.4771$ とします。

(1) $3^{40}$

(2) $12^{10}$

上の各数は何桁の数かを求めなさい。

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【解答】

(1) $\log_{10} 3^{40}$${}= 40 \times 0.4771$${}= 19.084$

$19$${}\leqq 19.084$${}< 20$ より $10^{19}$${}\leqq 3^{40}$${}< 10^{20}$ なので $\underline{20 \text{ 桁}}$

(2) $\log_{10} 12^{10}$${}= 10\log_{10} 12$${}= 10 \times 1.0791$${}= 10.791$（$\log_{10} 12$ は例題1(1)）

$10$${}\leqq 10.791$${}< 11$ より $10^{10}$${}\leqq 12^{10}$${}< 10^{11}$ なので $\underline{11 \text{ 桁}}$

小数首位——負の整数部分を見る

今度は $1$ より小さい数です。$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$ を小数で書くと、小数点のあとに $0$ がいくつも続きます。小数第何位に、初めて $0$ でない数字が現れるでしょうか。この位を小数首位と呼ぶことがあります。

$0.00\underline{3}$ のように小数第 3 位に初めて $0$ でない数字が現れる数は、$0.001$${}\leqq N$${}< 0.01$、つまり $10^{-3}$${}\leqq N$${}< 10^{-2}$ を満たします。一般に、小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れることは

$\displaystyle 10^{-n}$$\displaystyle {}\leqq N$$\displaystyle {}< 10^{-(n-1)}$

と同じです。$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$ の常用対数は

$\displaystyle \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{20}$$\displaystyle {}= -20\log_{10} 2$$\displaystyle {}= -20 \times 0.3010$$\displaystyle {}= -6.02$

$-7$${}\leqq -6.02$${}< -6$ なので $10^{-7}$${}\leqq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$${}< 10^{-6}$。小数第 7 位に初めて $0$ でない数字が現れます。実際、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$${}= 0.00000095367\cdots$ です。

公式3：小数首位

$0$${}< N$${}< 1$ のとき、$N$ の小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れることは、次のどちらとも同じである。

$\displaystyle 10^{-n}$$\displaystyle {}\leqq N$$\displaystyle {}< 10^{-(n-1)}$$\displaystyle {}\iff -n$$\displaystyle {}\leqq \log_{10} N$$\displaystyle {}< -(n - 1)$

$\log_{10} N$ の整数部分が $-n$ なら、小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

よくある間違いは、$-6.02$ を見て「小数第 6 位」と答えることです。$-6.02$ は $-6$ より小さいので、$-6$ と $-5$ の間ではなく、$-7$ と $-6$ の間にあります。

公式1のエレベーターで言えば、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$ は $-7$ 階、つまり地下 7 階にいます。地下 1 階が小数第 1 位（$0.1$ 以上 $1$ 未満）、地下 2 階が小数第 2 位……と対応させると、地下 7 階は小数第 7 位です。表示が $-6.02$ でも、床の位置（整数部分）は $-7$ だということを忘れなければ間違えません。

$1$ より小さい正の数では、常用対数の整数部分が $-n$ のとき、小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるということです。

例題3：小数首位

$\log_{10} 2$${}= 0.3010$，$\log_{10} 3$${}= 0.4771$ とします。

(1) $0.3^{10}$

(2) $0.06^{5}$

上の各数を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるかを求めなさい。

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【解答】

(1) $\log_{10} 0.3$${}= \log_{10} 3$${}- 1$${}= -0.5229$ なので

$\displaystyle \log_{10} 0.3^{10}$$\displaystyle {}= 10 \times (-0.5229)$$\displaystyle {}= -5.229$

$-6$${}\leqq -5.229$${}< -5$ より $10^{-6}$${}\leqq 0.3^{10}$${}< 10^{-5}$ なので $\underline{\text{小数第 } 6 \text{ 位}}$

(2) $\log_{10} 0.06$${}= \log_{10} 6$${}- 2$${}= 0.7781$${}- 2$${}= -1.2219$ なので

$\displaystyle \log_{10} 0.06^{5}$$\displaystyle {}= 5 \times (-1.2219)$$\displaystyle {}= -6.1095$

$-7$${}\leqq -6.1095$${}< -6$ より $\underline{\text{小数第 } 7 \text{ 位}}$

最高位の数字——小数部分を見る

桁数が分かったら、次は「いちばん上の位の数字は何か」です。これには小数部分を使います。

$N$${}= a \times 10^n$（$1$${}\leqq a$${}< 10$）と書いたとき、$N$ の最高位の数字は $a$ の整数部分です。たとえば $a$${}= 1.12\cdots$ なら $1$，$a$${}= 3.65\cdots$ なら $3$。最高位の数字が $k$ であることは $k$${}\leqq a$${}< k$${}+ 1$ と同じで、各辺の常用対数をとると

$\displaystyle \log_{10} k$$\displaystyle {}\leqq \log_{10} a$$\displaystyle {}< \log_{10} (k + 1)$

となります。$\log_{10} a$ は $\log_{10} N$ の小数部分でした。つまり、小数部分が $\log_{10} 1$，$\log_{10} 2$，……，$\log_{10} 10$ の目盛りのどの区間に入るかで、最高位の数字が決まります。

$2^{50}$ なら、$\log_{10} 2^{50}$${}= 15.05$ の小数部分は $0.05$ です。

$\displaystyle \log_{10} 1$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\leqq 0.05$$\displaystyle {}< 0.3010$$\displaystyle {}= \log_{10} 2$

なので $1$${}\leqq a$${}< 2$、最高位の数字は $1$ です。$2^{50}$${}= 1125899906842624$ の先頭は、たしかに $1$ になっています。

公式4：最高位の数字

正の数 $N$ の常用対数の小数部分を $\alpha$（$0$${}\leqq \alpha$${}< 1$）とする。$k$${}= 1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ 9$ について

$\displaystyle N \text{ の最高位の数字が } k$$\displaystyle {}\iff \log_{10} k$$\displaystyle {}\leqq \alpha$$\displaystyle {}< \log_{10} (k + 1)$

$0$${}< N$${}< 1$ のときは、小数で初めて現れる $0$ でない数字が $k$ になる（$\alpha$ は $\log_{10} N$ から整数部分を引いた、$0$ 以上の値）。

目盛り $\log_{10} 1,$$\ \log_{10} 2,$$\ \ldots,$$\ \log_{10} 10$ は等間隔ではありません。図のように、$1$ の区間（幅 $0.3010$）がいちばん広く、$9$ の区間（幅 $1$${}- 0.9542$${}= 0.0458$）がいちばん狭くなっています。

本棚に、幅がばらばらの仕切りが 9 つあるところを想像してください。左端の「1」の仕切りは広く、右へ行くほど細くなっています。常用対数の小数部分は「棚の左端から何 cm のところに本を置くか」で、置いた位置がどの仕切りの中に入ったかを読めば、最高位の数字が分かります。仕切りの位置（$\log_{10} k$ の値）さえ覚えておけば、中身を開かなくても分類できるわけです。

最高位の数字は、常用対数の小数部分が $\log_{10} k$${}\leqq \alpha$${}< \log_{10} (k + 1)$ のどの区間に入るかで決まるということです。

例題4：最高位の数字

$\log_{10} 2$${}= 0.3010$，$\log_{10} 3$${}= 0.4771$ とします。

(1) $6^{20}$ は何桁の数か、また、その最高位の数字を求めなさい。

(2) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$ を小数で表したとき、初めて現れる $0$ でない数字を求めなさい。

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【解答】

(1) $\log_{10} 6^{20}$${}= 20 \times 0.7781$${}= 15.562$

整数部分が $15$ なので $\underline{16 \text{ 桁}}$。小数部分 $0.562$ は

$\displaystyle \log_{10} 3$$\displaystyle {}= 0.4771$$\displaystyle {}\leqq 0.562$$\displaystyle {}< 0.6020$$\displaystyle {}= \log_{10} 4$

なので、最高位の数字は $\underline{3}$ です（実際 $6^{20}$${}= 3656158440062976$）。

(2) $\log_{10} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$${}= -6.02$${}= -7$${}+ 0.98$

小数部分は $0.98$ で、$\log_{10} 9$${}= 0.9542$${}\leqq 0.98$${}< 1$ なので、初めて現れる $0$ でない数字は $\underline{9}$ です（$0.00000095367\cdots$）。

(2) で $-6.02$ の「$0.02$」を小数部分と読むと、$1$ の区間に入って間違えます。負の数は、必ず $0$ 以上の小数部分が残るように分けます。

常用対数を使う不等式——「初めて超える」と桁数の条件

「毎年 $1.2$ 倍に増えるものが、初めて $10$ 倍を超えるのは何年後か」という問いは、$1.2^n$${}> 10$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める問題です。両辺の常用対数をとると（両辺は正で、底 $10$${}> 1$ なので向きはそのまま）

$\displaystyle n\log_{10} 1.2$$\displaystyle {}> 1$

$\log_{10} 1.2$${}= \log_{10} \dfrac{12}{10}$${}= 1.0791$${}- 1$${}= 0.0791$ は正なので、両辺を割って $n$${}> \dfrac{1}{0.0791}$${}= 12.6\cdots$。最小の自然数は $n$${}= 13$ です。

割る数 $\log_{10} 0.9$${}= -0.0458$ のように負の数で割るときは、不等号の向きが逆になります。第6章 例題2 と同じく、式の見た目ではなく値の正負を確かめてから割りましょう。

桁数から逆に $n$ の範囲を決める問題もあります。「$3^n$ が 10 桁の数になる」なら、公式2から

$\displaystyle 9$$\displaystyle {}\leqq n\log_{10} 3$$\displaystyle {}< 10$

で、これを満たす自然数 $n$ を探します。

公式5：常用対数を使う不等式

1. $a^n$${}> M$ のような不等式は、両辺の常用対数をとって $n\log_{10} a$${}> \log_{10} M$ とし、$\log_{10} a$ で割る（$\log_{10} a$${}< 0$ なら不等号の向きが逆）。条件を満たす最小の自然数を答える
2. 「$a^n$ が $m$ 桁」は $m$${}- 1$${}\leqq n\log_{10} a$${}< m$、「小数第 $m$ 位に初めて $0$ でない数字」は $-m$${}\leqq n\log_{10} a$${}< -(m - 1)$ と書きかえて、$n$ の範囲を求める

マラソンのコースには 1 km ごとに距離の標識が立っています。「スタートから $12.6$ km の地点を初めて越えるのは、何本目の標識か」と聞かれたら、$12.6$ 本目という標識は無いので、$13$ 本目です。$n$${}> 12.6\cdots$ から最小の自然数 $13$ を選ぶのは、この数え方と同じです。

$a^n$ についての不等式は、両辺の常用対数をとって $\log_{10} a$ の正負に注意しながら割り、自然数 $n$ の範囲を読み取ればよいということです。

例題5：常用対数を使う不等式

$\log_{10} 2$${}= 0.3010$，$\log_{10} 3$${}= 0.4771$ とします。

(1) ある量が 1 年ごとに $1.2$ 倍に増えるとき、初めてもとの量の $10$ 倍を超えるのは何年後かを求めなさい。

(2) $3^n$ が 10 桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めなさい。

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【解答】

(1) $n$ 年後の量はもとの $1.2^n$ 倍なので、$1.2^n$${}> 10$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めます。両辺の常用対数をとって

$\displaystyle n\log_{10} 1.2$$\displaystyle {}> 1,$$\displaystyle \log_{10} 1.2$$\displaystyle {}= 2\log_{10} 2$$\displaystyle {}+ \log_{10} 3$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 0.0791$

$0.0791$${}> 0$ なので $n$${}> \dfrac{1}{0.0791}$${}= 12.64\cdots$。最小の自然数は $13$ なので $\underline{13 \text{ 年後}}$

（確かめ：$1.2^{12}$${}= 8.91\cdots$，$1.2^{13}$${}= 10.69\cdots$）

(2) $10^9$${}\leqq 3^n$${}< 10^{10}$ なので、常用対数をとって

$\displaystyle 9$$\displaystyle {}\leqq 0.4771n$$\displaystyle {}< 10,$$\displaystyle 18.86\cdots$$\displaystyle {}\leqq n$$\displaystyle {}< 20.96\cdots$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}n = 19,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 20}$

（確かめ：$3^{19}$${}= 1162261467$，$3^{20}$${}= 3486784401$ はどちらも 10 桁）

この章のまとめ——整数部分は「位」、小数部分は「数字」

これで指数関数・対数関数の分野は終わりです。第1章で「電卓の $\times a$ ボタンを押す回数」として指数を広げ、第4章でその回数を逆に問う対数を作り、第5章・第6章でグラフと方程式・不等式を扱い、最後に底を $10$ にして大きな数の姿を読み取りました。数学IIIの微分では、底を $10$ ではなく $e$${}= 2.718\cdots$ という特別な数にした対数（自然対数）が主役になり、ここで学んだ対数の性質がそのまま道具として使われます。