第1章　指数の拡張と累乗根

出発点——指数法則（正の整数）

$a$ を $n$ 個掛けたものを $a^n$ と書き、「$a$ の $n$ 乗」と読みます。$a$ を底（てい）、右上の小さな $n$ を指数といいます。$a^2,$$\ a^3,$$\ \ldots$ をまとめて $a$ の累乗と呼びます。中学からおなじみの記号ですが、この章ではこの「指数」を 0、マイナス、分数へと広げていくので、まず出発点をはっきりさせておきます。

$a^3 \times a^4$ は「$a$ を 3 個」と「$a$ を 4 個」を並べて掛けたものなので、$a$ は全部で $3$${}+ 4$${}= 7$ 個。$(a^3)^4$ は「$a$ を 3 個」のかたまりを 4 つ掛けるので $3 \times 4$${}= 12$ 個。掛け算の問題が、個数（指数）の足し算・掛け算に変わる——これが指数法則です。

公式1：指数法則（指数が正の整数のとき）

$m$，$n$ を正の整数とするとき

$\displaystyle a^m \times a^n$$\displaystyle {}= a^{m+n},$$\displaystyle (a^m)^n$$\displaystyle {}= a^{mn},$$\displaystyle (ab)^n$$\displaystyle {}= a^n b^n$

また $a$${}\neq 0$ で $m$${}> n$ のとき、$a^m \div a^n$${}= a^{m-n}$。

電卓の「$\times a$」ボタンを思い浮かべてください。$1$ から始めて「$\times a$」を 3 回押すと $a^3$、続けて 4 回押すと $a^7$ です。押した回数を足せば結果が分かる、というのが 1 つ目の式。「3 回押す」を 1 セットにして 4 セット繰り返すと 12 回、というのが 2 つ目の式です。この章では、指数を「$\times a$ ボタンを押した回数」と読むことにします。

指数法則とは、同じ底の累乗どうしの掛け算・累乗を、指数（掛けた回数）の足し算・掛け算に置きかえる規則だということです。

例題1：指数法則を使う

(1) $a^3 \times a^4$

(2) $(a^2)^3$

(3) $(2a^2b)^3$

上の各式を計算した結果を求めなさい。

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【解答】

(1) 指数を足して $a^{3+4}$${}= \underline{a^7}$

(2) 指数を掛けて $a^{2 \times 3}$${}= \underline{a^6}$

(3) 3 つ目の法則で、かっこの中の 1 つ 1 つを 3 乗します。

$\displaystyle (2a^2b)^3$$\displaystyle {}= 2^3 \times (a^2)^3 \times b^3$$\displaystyle {}= \underline{8a^6b^3}$

(3) で $2a^6b^3$ としてしまうのはよくある間違いです。係数の $2$ も 3 乗されることを忘れないようにしましょう。

0 と負の整数の指数——「$\div a$ ボタン」を押す

「$a$ を 0 個掛ける」「$a$ を $-2$ 個掛ける」は、そのままでは意味がありません。そこで方針を 1 つだけ決めます。指数法則 $a^m \times a^n$${}= a^{m+n}$ が、指数が 0 や負の数でも成り立つように決める。

まず $a^0$。$a^0 \times a^3$${}= a^{0+3}$${}= a^3$ でなければならないので、$a^0$ は「掛けても変わらない数」、つまり $1$ です。次に $a^{-3}$。$a^{-3} \times a^3$${}= a^{-3+3}$${}= a^0$${}= 1$ でなければならないので、$a^{-3}$ は「$a^3$ に掛けると $1$ になる数」、つまり $\dfrac{1}{a^3}$ です。$a$${}= 2$ で並べると、指数が 1 減るたびに値が半分になっていく様子が見えます。

表を右へ進むたびに $2$ で割っています。$2^0$${}= 1$，$2^{-1}$${}= \dfrac{1}{2}$ は、この「割り算の階段」をそのまま下りた先の値で、無理に決めた値ではありません。

公式2：0 と負の整数の指数

$a$${}\neq 0$，$n$ を正の整数とするとき

$\displaystyle a^0$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle a^{-n}$$\displaystyle {}= \frac{1}{a^n}$

こう決めると、公式1の指数法則は $m$，$n$ が任意の整数のときにそのまま成り立つ。割り算も $a^m \div a^n$${}= a^{m-n}$ と、大小の区別なく 1 本で書ける。

電卓の例えでいえば、$a^0$ は「$\times a$ ボタンを 1 回も押さない」ので、最初の $1$ のまま。$a^{-3}$ は「$\times a$ を $-3$ 回押す」、すなわち取り消しの「$\div a$」を 3 回押すことです。押す回数がマイナスなら、逆のボタンを押せばよいわけです。$a$${}\neq 0$ の条件は、$0$ では割れないことから来ています（$0^0$ や $0^{-1}$ は考えません）。

$a^0$${}= 1$，$a^{-n}$${}= \dfrac{1}{a^n}$ は、指数法則が 0 や負の指数でも成り立つように決めた値で、「指数が 1 減るごとに $a$ で割る」階段を下りた先の値だということです。

例題2：0 と負の指数の計算

(1) $5^0$

(2) $4^{-2}$

(3) $10^{-3}$

(4) $2^{-3} \times 2^5 \div 2^{-1}$

上の各式の値を求めなさい。

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【解答】

(1) $\underline{1}$

(2) $4^{-2}$${}= \dfrac{1}{4^2}$${}= \underline{\dfrac{1}{16}}$

(3) $10^{-3}$${}= \dfrac{1}{10^3}$${}= \underline{0.001}$

(4) 指数法則が整数全体で使えるので、指数だけを先に計算します。

$\displaystyle 2^{-3} \times 2^5 \div 2^{-1}$$\displaystyle {}= 2^{-3 + 5 - (-1)}$$\displaystyle {}= 2^3$$\displaystyle {}= \underline{8}$

(4) を $\dfrac{1}{8} \times 32 \div \dfrac{1}{2}$ と分数で計算しても $8$ になります。指数のまま計算したほうが、分数の割り算を避けられて楽です。

累乗根——$n$ 乗すると $a$ になる数

次は分数の指数ですが、その前に道具を 1 つ用意します。$2$ 乗して $a$ になる数が $a$ の平方根でした。これを $n$ 乗に広げます。

$n$ を 2 以上の整数とするとき、$n$ 乗すると $a$ になる数、つまり $x^n$${}= a$ を満たす $x$ を $a$ の $n$ 乗根といいます。2 乗根（平方根）、3 乗根（立方根）、4 乗根、……をまとめて累乗根と呼びます。この分野では、数はすべて実数の範囲で考えます。

$n$ 乗根がいくつあるかは、$y$${}= x^n$ のグラフと横線 $y$${}= a$ の交点の数で分かります。

$n$ が偶数のとき、$y$${}= x^n$ のグラフは $y$${}= x^2$ と同じく $y$ 軸について対称な谷形です。正の $a$ には正と負の 2 つの $n$ 乗根があり、負の $a$ には $n$ 乗根がありません。$n$ が奇数のとき、グラフは $y$${}= x^3$ と同じく左下から右上へ上がり続けるので、$a$ が正でも負でも $n$ 乗根はただ 1 つです。

公式3：累乗根の記号

$n$ を 2 以上の整数とする。

• $a$${}> 0$ のとき、$a$ の $n$ 乗根のうち正のものを $\sqrt[n]{a}$ と書き、「$n$ 乗根 $a$」と読む。$n$ が偶数なら、もう 1 つの $n$ 乗根は $-\sqrt[n]{a}$。
• $n$ が奇数のとき、$a$${}< 0$ でも $n$ 乗根はただ 1 つあり、それも $\sqrt[n]{a}$ と書く（負の数になる）。
• $\sqrt[n]{0}$${}= 0$。$\sqrt[2]{a}$ は、これまでどおり $\sqrt{a}$ と書く。

体積が $8\ \text{cm}^3$ の立方体の一辺は $2\ \text{cm}$ です。「一辺を 3 乗して体積を出す」計算を逆向きにたどって、体積から一辺を取り戻す——それが 3 乗根 $\sqrt[3]{8}$${}= 2$ です。$n$ 乗根は、$n$ 乗という操作の巻き戻しボタンだといえます。

偶数乗根で注意したいのは、$\sqrt[4]{a}$ が「正のほう」だけを指すことです。$16$ の 4 乗根は $2$ と $-2$ の 2 つですが、$\sqrt[4]{16}$ と書けば $2$ だけを表します。そのため、$\sqrt[4]{(-2)^4}$${}= \sqrt[4]{16}$${}= 2$ となり、$-2$ には戻りません。偶数乗根で巻き戻すと符号の情報は消えて、$|-2|$${}= 2$ が出てきます。

$\sqrt[n]{a}$ は「$n$ 乗すると $a$ になる数」で、$n$ が偶数なら正の $a$ に対して正のほうを、$n$ が奇数なら正負どちらの $a$ にもただ 1 つあるものを表すということです。

例題3：累乗根の値

(1) $\sqrt[3]{27}$ の値を求めなさい。

(2) $\sqrt[4]{16}$ の値を求めなさい。

(3) $\sqrt[3]{-8}$ の値を求めなさい。

(4) $16$ の 4 乗根をすべて求めなさい。

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【解答】

(1) $3^3$${}= 27$ なので $\underline{3}$

(2) $2^4$${}= 16$ で、$\sqrt[4]{16}$ は正のほうなので $\underline{2}$

(3) $(-2)^3$${}= -8$ なので $\underline{-2}$（3 は奇数なので負の数の 3 乗根もあります）

(4) $x^4$${}= 16$ を満たす実数は $2$ と $-2$ の 2 つなので $\underline{\pm 2}$

(2) と (4) の違いが大事です。「$16$ の 4 乗根」は 2 つ、「$\sqrt[4]{16}$」は 1 つ。平方根で「$4$ の平方根は $\pm 2$、$\sqrt{4}$${}= 2$」と区別したのと同じです。

累乗根の性質——$n$ 個ずつ組にして外へ出す

$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$${}= \sqrt{6}$ のような平方根の計算規則は、累乗根でもそのまま成り立ちます。どれも「両辺を $n$ 乗して比べる」と確かめられます。たとえば $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4}$ を 3 乗すると $(\sqrt[3]{2})^3 \times (\sqrt[3]{4})^3$${}= 2 \times 4$${}= 8$ なので、$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4}$ は「3 乗して 8 になる正の数」、つまり $\sqrt[3]{8}$${}= 2$ です。

公式4：累乗根の性質

$a$${}> 0$，$b$${}> 0$，$m$，$n$，$p$ を正の整数とするとき（根号の添え字 $n$，$mn$，$np$ は 2 以上）

$\displaystyle \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$\displaystyle {}= \sqrt[n]{ab},$$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$\displaystyle {}= \sqrt[n]{\frac{a}{b}},$$\displaystyle (\sqrt[n]{a})^m$$\displaystyle {}= \sqrt[n]{a^m}$$\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$$\displaystyle {}= \sqrt[mn]{a},$$\displaystyle \sqrt[np]{a^{mp}}$$\displaystyle {}= \sqrt[n]{a^m}$

根号の中を素因数分解して「$n$ 個そろった組」を外に出す、というのが実際の使い方です。$\sqrt[3]{54}$${}= \sqrt[3]{3^3 \times 2}$${}= 3\sqrt[3]{2}$ は、$3$ が 3 人 1 組のチームを作れたので外へ出られ、組になれなかった $2$ は根号の中に残った、と読めます。平方根では 2 人 1 組、3 乗根では 3 人 1 組、というだけの違いです。最後の式 $\sqrt[np]{a^{mp}}$${}= \sqrt[n]{a^m}$ は、分数の約分と同じ形をしています（$\sqrt[6]{a^4}$${}= \sqrt[3]{a^2}$）。

累乗根の性質は、両辺を $n$ 乗すれば確かめられる平方根の規則の延長で、根号の中の $n$ 個そろった因数を外へ出したり、添え字と指数を約分したりできるということです。

例題4：累乗根の計算

(1) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{54}$

(2) $\dfrac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$

(3) $(\sqrt[6]{16})^3$

(4) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$

上の各式の値を求めなさい。

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【解答】

(1) $\sqrt[3]{4 \times 54}$${}= \sqrt[3]{216}$${}= \sqrt[3]{6^3}$${}= \underline{6}$

(2) $\sqrt[4]{\dfrac{80}{5}}$${}= \sqrt[4]{16}$${}= \underline{2}$

(3) $(\sqrt[6]{16})^3$${}= \sqrt[6]{16^3}$${}= \sqrt[6]{2^{12}}$。$2^{12}$${}= (2^2)^6$ と見て、$\sqrt[6]{(2^2)^6}$${}= 2^2$${}= \underline{4}$

(4) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$${}= \sqrt[6]{729}$${}= \sqrt[6]{3^6}$${}= \underline{3}$

(4) は内側から $\sqrt{729}$${}= 27$，$\sqrt[3]{27}$${}= 3$ と計算しても同じです。

有理数の指数——「半分だけ押す」を累乗根で決める

いよいよ分数の指数です。方針は同じで、指数法則 $(a^m)^n$${}= a^{mn}$ が分数の指数でも成り立つように決めます。

$a^{\frac{1}{3}}$ を 3 乗すると、指数法則が成り立つなら $\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3$${}= a^{\frac{1}{3} \times 3}$${}= a^1$${}= a$。つまり $a^{\frac{1}{3}}$ は「3 乗すると $a$ になる数」でなければなりません。それはちょうど前の節の $\sqrt[3]{a}$ です。同じように $a^{\frac{2}{3}}$${}= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2$${}= (\sqrt[3]{a})^2$${}= \sqrt[3]{a^2}$ と決まります。

1 時間ごとに数が 2 倍に増える細菌を考えます。1 時間後は $2^1$ 倍、2 時間後は $2^2$ 倍、1 時間前は $2^{-1}$ 倍。では 30 分後は何倍でしょう。30 分で $r$ 倍になるなら、30 分を 2 回で 1 時間なので $r^2$${}= 2$、つまり $r$${}= \sqrt{2}$${}\approx 1.41$ 倍です。「1 時間 = 指数 1」とすると、30 分後は指数 $\dfrac{1}{2}$ で、$2^{\frac{1}{2}}$${}= \sqrt{2}$。電卓の「$\times 2$」ボタンを半分だけ押すとは、2 回押すと「$\times 2$」1 回分になるボタン「$\times\sqrt{2}$」を 1 回押すことだったのです。

公式5：有理数の指数

$a$${}> 0$，$m$ を整数，$n$ を正の整数とするとき

$\displaystyle a^{\frac{1}{n}}$$\displaystyle {}= \sqrt[n]{a},$$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$$\displaystyle {}= \sqrt[n]{a^m}$$\displaystyle {}= (\sqrt[n]{a})^m,$$\displaystyle a^{-\frac{m}{n}}$$\displaystyle {}= \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$

こう決めると、$a$${}> 0$，$b$${}> 0$，$r$，$s$ が任意の有理数のとき

$\displaystyle a^r a^s$$\displaystyle {}= a^{r+s},$$\displaystyle (a^r)^s$$\displaystyle {}= a^{rs},$$\displaystyle (ab)^r$$\displaystyle {}= a^r b^r,$$\displaystyle a^r \div a^s$$\displaystyle {}= a^{r-s}$

が成り立つ。

底を $a$${}> 0$ に限るのは、負の底では困ったことが起こるからです。$(-8)^{\frac{1}{3}}$${}= \sqrt[3]{-8}$${}= -2$ と決めたくなりますが、$\dfrac{1}{3}$${}= \dfrac{2}{6}$ なので $(-8)^{\frac{2}{6}}$${}= \sqrt[6]{(-8)^2}$${}= \sqrt[6]{64}$${}= 2$ とも計算できてしまい、同じはずの値が食い違います（厳密定義の補足）。そこで分数の指数は、底が正のときだけ考えます。

小数の指数は分数に直せば同じです。$16^{0.75}$${}= 16^{\frac{3}{4}}$${}= (\sqrt[4]{16})^3$${}= 2^3$${}= 8$。計算では、$\sqrt[n]{a^m}$ より $(\sqrt[n]{a})^m$ の順に「先に根号、あとで累乗」とすると数が小さく済みます。

$a^{\frac{m}{n}}$${}= \sqrt[n]{a^m}$ は、指数法則が分数の指数でも成り立つように決めた値で、底が正なら有理数の指数でも指数法則がそのまま使えるということです。

例題5：有理数の指数の計算

(1) $4^{\frac{3}{2}}$ の値を求めなさい。

(2) $27^{-\frac{2}{3}}$ の値を求めなさい。

(3) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0.25}$ の値を求めなさい。

(4) $a$${}> 0$ とします。$\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[6]{a}$ を簡単にした式を求めなさい。

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【解答】

(1) $4^{\frac{3}{2}}$${}= (\sqrt{4})^3$${}= 2^3$${}= \underline{8}$

(2) $27^{-\frac{2}{3}}$${}= \dfrac{1}{(\sqrt[3]{27})^2}$${}= \dfrac{1}{3^2}$${}= \underline{\dfrac{1}{9}}$

(3) $-0.25$${}= -\dfrac{1}{4}$ です。負の指数で分数がひっくり返るので

$\displaystyle \left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{1}{4}}$$\displaystyle {}= 16^{\frac{1}{4}}$$\displaystyle {}= \sqrt[4]{16}$$\displaystyle {}= \underline{2}$

(4) 累乗根をすべて指数に直して、指数の足し引きにします。

$\displaystyle \sqrt{a} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[6]{a}$$\displaystyle {}= a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{1}{6}}$$\displaystyle {}= a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$$\displaystyle {}= a^{\frac{3 + 4 - 1}{6}}$$\displaystyle {}= a^1$$\displaystyle {}= \underline{a}$

(4) のように、添え字の違う累乗根が混じった計算は、指数に直すと分数の足し算になるだけで済みます。これが有理数の指数を使う最大の利点です。

累乗根の大小——同じ回数だけ累乗してそろえる

$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[6]{6}$ はどれがいちばん大きいでしょう。電卓なしでは、どれも小数で書き出しにくい数です。ここで使うのは「正の数どうしなら、大きいほうを $n$ 乗しても大きいまま」という性質です。

公式6：累乗根の大小の比べ方

$A$${}> 0$，$B$${}> 0$，$n$ を正の整数とするとき

$\displaystyle A$$\displaystyle {}< B$$\displaystyle {}\iff A^n$$\displaystyle {}< B^n$

添え字の違う累乗根は、添え字の最小公倍数の回数だけ累乗して、根号を外してから比べる。

これは分数の大小を比べるときの通分と同じ発想です。$\dfrac{2}{3}$ と $\dfrac{3}{4}$ を比べるときは、分母を $12$ にそろえて $\dfrac{8}{12}$ と $\dfrac{9}{12}$ にしました。累乗根では添え字が分母の役をしていて、添え字の最小公倍数だけ累乗すると全員が整数になり、比べられるようになります。

累乗根の大小は、添え字の最小公倍数の回数だけ累乗して根号を外し、整数どうしで比べればよいということです。

例題6：累乗根の大小

$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[6]{6}$ を小さい順に並べた結果を求めなさい。

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【解答】

添え字 $2$，$3$，$6$ の最小公倍数は $6$ なので、それぞれを 6 乗します。

$\displaystyle (\sqrt{2})^6$$\displaystyle {}= 2^3$$\displaystyle {}= 8,$$\displaystyle (\sqrt[3]{3})^6$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}= 9,$$\displaystyle (\sqrt[6]{6})^6$$\displaystyle {}= 6$

$6$${}< 8$${}< 9$ で、どれも正の数なので、6 乗する前も同じ順です。

$$\underline{\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}}$$

指数で書くと $6^{\frac{1}{6}}$${}< 2^{\frac{1}{2}}$${}< 3^{\frac{1}{3}}$。底も指数もばらばらなので、そろえる操作が欠かせません。

実数の指数へ——そして $a^x$${}+ a^{-x}$ の計算

有理数の指数まで広げると、残るは $2^{\sqrt{2}}$ のような無理数の指数です。$\sqrt{2}$${}= 1.41421\cdots$ を小数で近づけていくと

$\displaystyle 2^{1.4},$$\displaystyle 2^{1.41},$$\displaystyle 2^{1.414},$$\displaystyle 2^{1.4142},$$\displaystyle \ldots$

はどれも有理数の指数なので値が決まり、$2.639\cdots$，$2.657\cdots$，$2.664\cdots$，$2.665\cdots$ と、ある 1 つの値に近づいていきます。その行き先を $2^{\sqrt{2}}$ と決めます。定規の目盛りを 1 mm、0.1 mm、0.01 mm と細かくしていくと、目盛りのあいだにある点の位置もどんどん正確に言えるようになる——それと同じで、有理数という細かい目盛りで無理数の指数を挟み込むのです。

公式7：実数の指数

$a$${}> 0$ のとき、任意の実数 $x$ に対して $a^x$ の値がただ 1 つ定まり、$a$${}> 0$，$b$${}> 0$，$x$，$y$ が実数のとき

$\displaystyle a^x a^y$$\displaystyle {}= a^{x+y},$$\displaystyle (a^x)^y$$\displaystyle {}= a^{xy},$$\displaystyle (ab)^x$$\displaystyle {}= a^x b^x$

が成り立つ。とくに $a^x$${}> 0$ で、$a^x \cdot a^{-x}$${}= 1$。

これで $x$ にどんな実数を入れても $a^x$ が決まることになり、第2章では $y$${}= a^x$ を「$x$ の関数」として、グラフを描いて調べます。この章の範囲では、指数に文字 $x$ が入っていても、指数法則でまとめて計算できれば十分です。

よく出る計算に、$a^x$${}+ a^{-x}$ の形があります。$a^x \cdot a^{-x}$${}= 1$ なので、$a^x$ と $a^{-x}$ は「掛けると 1 になるペア」。$t$${}+ \dfrac{1}{t}$ の計算と同じく、2 乗すると真ん中の項が定数になります。

$\displaystyle \left(a^x + a^{-x}\right)^2$$\displaystyle {}= a^{2x}$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ a^{-2x}$

底が正なら指数は実数全体に広がり、指数法則もそのまま使えるので、$a^x$${}+ a^{-x}$ のような式は「掛けると 1 のペア」として 2 乗・3 乗して計算できるということです。

例題7：実数の指数と $a^x$${}+ a^{-x}$

(1) $3^{\sqrt{2}} \times 3^{2 - \sqrt{2}}$ の値を求めなさい。

(2) $\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}$ の値を求めなさい。

(3) $a$${}> 0$，$a^{\frac{1}{2}}$${}+ a^{-\frac{1}{2}}$${}= 4$ のとき、$a$${}+ a^{-1}$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1) 指数を足すと $\sqrt{2}$${}+ (2 - \sqrt{2})$${}= 2$ なので $3^2$${}= \underline{9}$

(2) 指数を掛けると $\sqrt{3} \times \sqrt{3}$${}= 3$ なので $2^3$${}= \underline{8}$

(3) 両辺を 2 乗します。$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}$${}= a^0$${}= 1$ なので

$\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ a^{-1}$$\displaystyle {}= 16$

したがって $a$${}+ a^{-1}$${}= \underline{14}$

(3) で $a$ そのものを求めると $a^{\frac{1}{2}}$${}= t$ とおいて $t$${}+ \dfrac{1}{t}$${}= 4$、$t^2$${}- 4t$${}+ 1$${}= 0$ から $t$${}= 2$${}\pm \sqrt{3}$、$a$${}= t^2$${}= 7$${}\pm 4\sqrt{3}$ となります。$a$${}= 7$${}+ 4\sqrt{3}$ のとき $a^{-1}$${}= 7$${}- 4\sqrt{3}$ なので、たしかに和は $14$。$a$ を求めずに、ペアの性質だけで答えまで行けるのがこの計算のよいところです。

この章のまとめ——指数を広げた 4 段階

どの段階でも、決め方の理由は「指数法則が成り立ち続けるように」の 1 つだけでした。「掛けた回数」という最初の意味は途中で通用しなくなりましたが、指数法則という計算の規則のほうを守ることで、指数は実数全体へと広がりました。