目次／数検対策（準2級・2級・準1級）／数検2級

第11章　2級高次方程式

—— 数と式第11〜12章の「複素数・2次方程式の解と係数の関係・剰余の定理・因数定理・高次方程式」を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「複素数と方程式」の類題です。複素数の計算、虚数解をもつ2次方程式、解と係数の関係、剰余の定理と因数定理、3次・4次の方程式、1の3乗根 $\omega$ までを20問にまとめました。2次（数理技能）では、余りを「$px + q$」のように文字でおいて条件の数だけ式を立てること、虚数を代入したら「実部と虚部がともに $0$」で2つの式を得ること、解の個数を数えるときに重なる解を見落とさないことを練習します。2つの2次方程式の問題（問15）では、二次関数の分野で学ぶ2次不等式を使います。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（数と式第11〜12章）

複素数： $i^2$ ${}= -1$ 。 $a$ ${}+ bi$ ${}= c$ ${}+ di$ （ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ は実数）なら $a$ ${}= c$ かつ $b$ ${}= d$ 。割り算は分母の共役な複素数を分母・分子に掛けます。
2次方程式 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 。判別式 $D$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ が負なら異なる2つの虚数解です。
解と係数の関係： $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= -\dfrac{b}{a}$ ， $\alpha\beta$ ${}= \dfrac{c}{a}$ 。3次方程式 $ax^3$ ${}+ bx^2$ ${}+ cx$ ${}+ d$ ${}= 0$ では $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}+ \gamma$ ${}= -\dfrac{b}{a}$ ， $\alpha\beta$ ${}+ \beta\gamma$ ${}+ \gamma\alpha$ ${}= \dfrac{c}{a}$ ， $\alpha\beta\gamma$ ${}= -\dfrac{d}{a}$ 。
剰余の定理： $P(x)$ を $x$ ${}- a$ で割った余りは $P(a)$ ， $ax$ ${}+ b$ で割った余りは $P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ 。
因数定理： $P(a)$ ${}= 0$ なら $P(x)$ は $x$ ${}- a$ で割り切れます。整数の解の候補は「定数項の約数」、分数なら「定数項の約数 ÷ 最高次の係数の約数」です。
2次式で割った余りは $px$ ${}+ q$ とおきます。3次式 $(x - a)B(x)$ で割った余りは、 $B(x)$ で割った余りを使って $k\,B(x)$ ${}+ (\text{その余り})$ とおくと文字が1つで済みます。
1の3乗根： $x^3$ ${}= 1$ の虚数解の1つを $\omega$ とすると、 $\omega^3$ ${}= 1$ ， $\omega^2$ ${}+ \omega$ ${}+ 1$ ${}= 0$ 。
実数を係数とする方程式が虚数解 $p$ ${}+ qi$ をもてば、共役な $p$ ${}- qi$ も解です。

1次（計算技能）：複素数の答えは $a$ ${}+ bi$ の形にそろえ、 $i^2$ を $-1$ に直し忘れないようにします。3次方程式は、因数定理で1つ解を見つけ、組立除法で2次式を取り出してから解の公式を使います。
2次（数理技能）：余りの問題では「割る式・商・余り」の等式 $P(x)$ ${}= B(x)Q(x)$ ${}+ R(x)$ を最初に書き、代入する値を明記します。 $B(x)$ が虚数解をもつときは、その虚数を代入して実部と虚部に分けます。
解の個数を問われたら、2次方程式の判別式だけで終わらせず、「すでに見つけた解と同じ値にならないか（重解にならないか）」も確かめます。
「実数解をもつ」「ただ1つの共通解」のような条件は、求めた値を元の式に戻して確かめ、条件に合わないものを除きます。

この章の問題は、「複素数・余り・3次方程式を正確に計算する力」と、「文字でおいて条件の数だけ式を立て、求めた値が条件に合うかを確かめ切る力」の2本柱です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

$\dfrac{3 - i}{1 + 2i}$ ${}+ \dfrac{2 + i}{1 - i}$ を計算した結果を $a$ ${}+ bi$ の形で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{7}{10}$ ${}+ \dfrac{1}{10}i$

解説

それぞれ分母の共役な複素数を分母・分子に掛けます。

\displaystyle \frac{3 - i}{1 + 2i}

\displaystyle \frac{2 + i}{1 - i}

分母を $10$ にそろえて足します。

\displaystyle \frac{2 - 14i}{10}

自己採点：

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問2　★

$\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{15}$ を計算した結果を $a$ ${}+ bi$ の形で表しなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-i$

解説

まずかっこの中を簡単にします。

\displaystyle \frac{1 + i}{1 - i}

$i$ の累乗は $i,$ ${}\ -1,$ ${}\ -i,$ $\ 1$ の4つで一回りします。 $15$ ${}= 4 \times 3$ ${}+ 3$ なので

\displaystyle i^{15}

自己採点：

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問3　★

2次方程式 $3x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= \dfrac{1 \pm \sqrt{2}\,i}{3}$

解説

$x$ の係数が偶数なので、 $b'$ ${}= -1$ の形の解の公式を使います。

\displaystyle x

自己採点：

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問4　★

2次方程式 $2x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 5$ ${}= 0$ の2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とするとき、 $(\alpha - \beta)^2$ と $\alpha^4$ ${}+ \beta^4$ の値をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$(\alpha - \beta)^2$ ${}= -1$ ， $\alpha^4$ ${}+ \beta^4$ ${}= \dfrac{7}{2}$

解説

解と係数の関係より $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= 3$ ， $\alpha\beta$ ${}= \dfrac{5}{2}$ です。

\displaystyle (\alpha - \beta)^2

$\alpha^2$ ${}+ \beta^2$ ${}= (\alpha + \beta)^2$ ${}- 2\alpha\beta$ ${}= 9$ ${}- 5$ ${}= 4$ を使って

\displaystyle \alpha^4

$(\alpha - \beta)^2$ が負になるのは、2つの解が虚数だからです（判別式 $\frac{D}{4}$ ${}= 9$ ${}- 10$ ${}< 0$ ）。

自己採点：

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問5　★

$P(x)$ ${}= 4x^3$ ${}- 2x^2$ ${}+ 3x$ ${}+ 1$ を $x$ ${}+ 2$ で割った余りと、 $2x$ ${}- 3$ で割った余りをそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}+ 2$ で割った余り $-45$ ， $2x$ ${}- 3$ で割った余り $\dfrac{29}{2}$

解説

剰余の定理より、 $x$ ${}+ 2$ で割った余りは $P(-2)$ です。

\displaystyle P(-2)

$2x$ ${}- 3$ で割った余りは、 $2x$ ${}- 3$ ${}= 0$ となる $x$ ${}= \dfrac{3}{2}$ を代入した $P\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$ です。

\displaystyle P\!\left(\frac{3}{2}\right)

自己採点：

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問6　★

$3x^3$ ${}- 7x^2$ ${}- 7x$ ${}+ 3$ を因数分解した式を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$(x + 1)(x - 3)(3x - 1)$

解説

$P(x)$ ${}= 3x^3$ ${}- 7x^2$ ${}- 7x$ ${}+ 3$ とおきます。解の候補（ $\pm 1$ ， $\pm 3$ ， $\pm \frac{1}{3}$ ）を代入すると

\displaystyle P(-1)

なので、 $P(x)$ は $x$ ${}+ 1$ で割り切れます。組立除法で割ると

\begin{array}{r|rrrr} -1 & 3 & -7 & -7 & 3 \\ & & -3 & 10 & -3 \\ \hline & 3 & -10 & 3 & 0 \end{array}

商は $3x^2$ ${}- 10x$ ${}+ 3$ ${}= (x - 3)(3x - 1)$ です。

\displaystyle 3x^3

自己採点：

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問7　★

方程式 $x^3$ ${}- 2x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= 3,$ $\ \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$

解説

左辺を $P(x)$ とおくと、定数項 $-3$ の約数を試して $P(3)$ ${}= 27$ ${}- 18$ ${}- 6$ ${}- 3$ ${}= 0$ です。組立除法で $x$ ${}- 3$ で割ると

\begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -2 & -2 & -3 \\ & & 3 & 3 & 3 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}

なので $(x - 3)(x^2 + x + 1)$ ${}= 0$ です。 $x^2$ ${}+ x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ を解の公式で解いて

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}x = 3,}

自己採点：

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問8　★

3次方程式 $x^3$ ${}- 2x^2$ ${}+ 3x$ ${}- 1$ ${}= 0$ の3つの解を $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ とするとき、 $\dfrac{1}{\alpha}$ ${}+ \dfrac{1}{\beta}$ ${}+ \dfrac{1}{\gamma}$ と $(2 - \alpha)(2 - \beta)(2 - \gamma)$ の値をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{1}{\alpha}$ ${}+ \dfrac{1}{\beta}$ ${}+ \dfrac{1}{\gamma}$ ${}= 3$ ， $(2 - \alpha)(2 - \beta)(2 - \gamma)$ ${}= 5$

解説

解と係数の関係より

\displaystyle \alpha

通分すると

\displaystyle \frac{1}{\alpha}

展開すると

\displaystyle (2 - \alpha)(2 - \beta)(2 - \gamma)

別解： $x^3$ ${}- 2x^2$ ${}+ 3x$ ${}- 1$ ${}= (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ に $x$ ${}= 2$ を代入しても $8$ ${}- 8$ ${}+ 6$ ${}- 1$ ${}= 5$ が得られます。

自己採点：

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問9　★★

$z^2$ ${}= 3$ ${}- 4i$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$z$ ${}= 2$ ${}- i,$ ${}\ -2$ ${}+ i$

解説

$z$ ${}= a$ ${}+ bi$ （ $a$ ， $b$ は実数）とおくと

\displaystyle z^2

これが $3$ ${}- 4i$ に等しいので、実部と虚部を比べて

\displaystyle a^2

(2) より $a$ ${}\neq 0$ で $b$ ${}= -\dfrac{2}{a}$ 。(1) に代入して分母を払うと

\displaystyle a^4

$a$ は実数なので $a^2$ ${}+ 1$ ${}> 0$ で、 $a^2$ ${}= 4$ ， $a$ ${}= \pm 2$ です。(2) より $a$ ${}= 2$ のとき $b$ ${}= -1$ ， $a$ ${}= -2$ のとき $b$ ${}= 1$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8540em}z = 2}

確かめ： $(2 - i)^2$ ${}= 4$ ${}- 4i$ ${}+ i^2$ ${}= 3$ ${}- 4i$ 。

自己採点：

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問10　★★

$a$ ， $b$ を実数とする。4次方程式 $x^4$ ${}+ ax^2$ ${}+ b$ ${}= 0$ が $1$ ${}+ i$ を解にもつとき、 $a$ ， $b$ の値と他の解を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= 0$ ， $b$ ${}= 4$ ，他の解は $x$ ${}= 1$ ${}- i,$ ${}\ -1$ ${}+ i,$ ${}\ -1$ ${}- i$

解説

$(1 + i)^2$ ${}= 1$ ${}+ 2i$ ${}+ i^2$ ${}= 2i$ ， $(1 + i)^4$ ${}= (2i)^2$ ${}= -4$ です。 $x$ ${}= 1$ ${}+ i$ を代入すると

\displaystyle -4

$a$ ， $b$ は実数なので、 $b$ ${}- 4$ と $2a$ も実数です。実部と虚部がともに $0$ になるので

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 0,}

このとき方程式は $x^4$ ${}+ 4$ ${}= 0$ です。 $x^4$ ${}+ 4$ ${}= (x^2 + 2)^2$ ${}- (2x)^2$ と平方の差に変形して

\displaystyle (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)

$x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 2$ ${}= 0$ から $x$ ${}= 1$ ${}\pm i$ ， $x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 2$ ${}= 0$ から $x$ ${}= -1$ ${}\pm i$ です。よって他の解は

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8540em}x = 1}

自己採点：

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問11　★★

整式 $P(x)$ を $x^2$ ${}- x$ ${}- 2$ で割ると余りが $3x$ ${}+ 1$ 、 $x$ ${}+ 3$ で割ると余りが $12$ である。 $P(x)$ を $(x^2 - x - 2)(x + 3)$ で割った余りを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$2x^2$ ${}+ x$ ${}- 3$

解説

3次式で割った余りは2次以下です。 $P(x)$ を $(x^2 - x - 2)(x + 3)$ で割った商を $Q(x)$ とすると、余りを $x^2$ ${}- x$ ${}- 2$ で割った余りは $3x$ ${}+ 1$ なので、定数 $a$ を使って

\displaystyle P(x)

とおけます（右辺を $x^2$ ${}- x$ ${}- 2$ で割った余りが $3x$ ${}+ 1$ になる形です）。

剰余の定理より $P(-3)$ ${}= 12$ です。 $x$ ${}= -3$ を代入すると

\displaystyle P(-3)

$10a$ ${}- 8$ ${}= 12$ より $a$ ${}= 2$ です。求める余りは

\displaystyle 2(x^2 - x - 2)

自己採点：

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問12　★★

$x^{20}$ を $x^2$ ${}- 3x$ ${}+ 2$ で割った余りを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$(2^{20} - 1)x$ ${}- 2^{20}$ ${}+ 2$ （ $= 1048575x$ ${}- 1048574$ ）

解説

2次式で割った余りは1次以下なので、商を $Q(x)$ 、余りを $px$ ${}+ q$ とおきます。 $x^2$ ${}- 3x$ ${}+ 2$ ${}= (x - 1)(x - 2)$ なので

\displaystyle x^{20}

$x$ ${}= 1$ ， $x$ ${}= 2$ を代入すると

\displaystyle 1

(2) − (1) より $p$ ${}= 2^{20}$ ${}- 1$ ，(1) より $q$ ${}= 1$ ${}- p$ ${}= 2$ ${}- 2^{20}$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(2^{20} - 1)x}

$2^{20}$ ${}= 1048576$ なので、 $1048575x$ ${}- 1048574$ と書いてもかまいません。

自己採点：

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問13　★★

3次方程式 $x^3$ ${}- (a + 1)x$ ${}+ a$ ${}= 0$ が異なる3つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲と、異なる実数解をちょうど2つもつような $a$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

異なる3つの実数解： $-\dfrac{1}{4}$ ${}< a$ ${}< 2,$ $2$ ${}< a$ 　異なる実数解がちょうど2つ： $a$ ${}= -\dfrac{1}{4},$ $\ 2$

解説

左辺を $P(x)$ とおくと、 $P(1)$ ${}= 1$ ${}- (a + 1)$ ${}+ a$ ${}= 0$ なので $x$ ${}- 1$ で割り切れます。組立除法で割ると

\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -(a + 1) & a \\ & & 1 & 1 & -a \\ \hline & 1 & 1 & -a & 0 \end{array}

なので、方程式は $(x - 1)(x^2 + x - a)$ ${}= 0$ です。 $x$ ${}= 1$ はつねに解なので、2次方程式 $x^2$ ${}+ x$ ${}- a$ ${}= 0$ $\cdots$ (1) の解を調べます。(1) の判別式は $D$ ${}= 1$ ${}+ 4a$ です。

異なる3つの実数解　(1) が $1$ 以外の異なる2つの実数解をもつことが条件です。

$D$ ${}> 0$ より $a$ ${}> -\dfrac{1}{4}$
(1) が $x$ ${}= 1$ を解にもたない： $1$ ${}+ 1$ ${}- a$ ${}\neq 0$ より $a$ ${}\neq 2$

よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-\dfrac{1}{4} < a < 2,}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 2 < a}$ です。

異なる実数解がちょうど2つ　次の2つの場合があります。

(1) が $1$ 以外の重解をもつ： $D$ ${}= 0$ より $a$ ${}= -\dfrac{1}{4}$ 。重解は $x$ ${}= -\dfrac{1}{2}$ で $1$ と異なるので、実数解は $1$ ， $-\dfrac{1}{2}$ の2つです。
(1) が $x$ ${}= 1$ と $1$ 以外の実数解をもつ： $a$ ${}= 2$ 。このとき (1) は $(x - 1)(x + 2)$ ${}= 0$ で、実数解は $1$ ， $-2$ の2つです。

よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}a = -\dfrac{1}{4},}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 2}$ です。

なお $a$ ${}< -\dfrac{1}{4}$ のときは (1) が虚数解をもち、実数解は $x$ ${}= 1$ の1つだけです。

自己採点：

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問14　★★

2次方程式 $x^2$ ${}- kx$ ${}+ 2k$ ${}= 0$ が異なる2つの実数解をもち、その2つの解の2乗の和が $5$ であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}= -1$ ，解は $x$ ${}= 1,$ ${}\ -2$

解説

2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= k$ ， $\alpha\beta$ ${}= 2k$ です。

\displaystyle \alpha^2

$k^2$ ${}- 4k$ ${}= 5$ より $(k - 5)(k + 1)$ ${}= 0$ ， $k$ ${}= 5,$ ${}\ -1$ です。

ここで「異なる2つの実数解」の条件を確かめます。判別式は $D$ ${}= k^2$ ${}- 8k$ です。

$k$ ${}= 5$ ： $D$ ${}= 25$ ${}- 40$ ${}= -15$ ${}< 0$ なので虚数解になり、不適です。
$k$ ${}= -1$ ： $D$ ${}= 1$ ${}+ 8$ ${}= 9$ ${}> 0$ なので適します。

$k$ ${}= -1$ のとき方程式は $x^2$ ${}+ x$ ${}- 2$ ${}= 0$ ， $(x - 1)(x + 2)$ ${}= 0$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k = -1,}

$k$ ${}= 5$ のときも2つの虚数解の2乗の和は $5$ になります。解と係数の関係は虚数解でも成り立つので、実数という条件は判別式で別に確かめる必要があります。

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問15　★★

2つの2次方程式 $x^2$ ${}+ 2ax$ ${}+ 4$ ${}= 0$ $\cdots$ (A)， $x^2$ ${}- ax$ ${}+ a$ ${}+ 3$ ${}= 0$ $\cdots$ (B) について、少なくとも一方が虚数解をもつような定数 $a$ の値の範囲と、一方だけが虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

少なくとも一方： $-2$ ${}< a$ ${}< 6$ 　一方だけ： $2$ ${}\leqq a$ ${}< 6$

解説

(A) の判別式を $D_1$ ，(B) の判別式を $D_2$ とします。

\displaystyle \frac{D_1}{4}

(A) が虚数解をもつ条件は $a^2$ ${}- 4$ ${}< 0$ より $-2$ ${}< a$ ${}< 2$ $\cdots$ (1)。 (B) が虚数解をもつ条件は $(a + 2)(a - 6)$ ${}< 0$ より $-2$ ${}< a$ ${}< 6$ $\cdots$ (2)。

少なくとも一方　(1) または (2) なので、2つの範囲を合わせて

\underline{-2 < a < 6}

一方だけ　(1) と (2) のうち、片方だけに入る範囲です。(1) は (2) に含まれるので、(2) から (1) を除いて

\underline{2 \leqq a < 6}

$a$ ${}= 2$ のとき (A) は $D_1$ ${}= 0$ で重解（実数）をもち、(B) は $D_2$ ${}= -16$ ${}< 0$ で虚数解をもつので、 $a$ ${}= 2$ は含まれます。

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問16　★★

実数 $a$ ， $b$ ， $c$ が $a$ ${}+ b$ ${}+ c$ ${}= 3$ ， $ab$ ${}+ bc$ ${}+ ca$ ${}= -6$ ， $abc$ ${}= -8$ を満たし、 $a$ ${}< b$ ${}< c$ であるとき、 $a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= -2$ ， $b$ ${}= 1$ ， $c$ ${}= 4$

解説

3次方程式の解と係数の関係の逆を使います。 $a$ ， $b$ ， $c$ を3つの解とする3次方程式は

\displaystyle (t - a)(t - b)(t - c)

なので、条件を代入して

\displaystyle t^3

$t$ ${}= 1$ を代入すると $1$ ${}- 3$ ${}- 6$ ${}+ 8$ ${}= 0$ なので、 $t$ ${}- 1$ で割って

\displaystyle (t - 1)(t^2 - 2t - 8)

解は $t$ ${}= -2,$ $\ 1,$ $\ 4$ です。 $a$ ， $b$ ， $c$ はこの3つの値を1つずつとり、 $a$ ${}< b$ ${}< c$ なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -2,}

確かめ： $(-2) \cdot 1$ ${}+ 1 \cdot 4$ ${}+ 4 \cdot (-2)$ ${}= -6$ ， $(-2) \cdot 1 \cdot 4$ ${}= -8$ 。

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問17　★★★

$n$ を2以上の整数とする。 $x^n$ を $(x - 1)^2$ で割った余りを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$nx$ ${}- n$ ${}+ 1$

解説

$x$ ${}= (x - 1)$ ${}+ 1$ と見て、二項定理で展開します。

\displaystyle x^n

第3項以降はすべて $(x - 1)^2$ を因数にもつので、まとめて $(x - 1)^2 Q(x)$ と書けます。

\displaystyle x^n

$n(x - 1)$ ${}+ 1$ は1次式で、 $(x - 1)^2$ より次数が低いので、これが余りです。

\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7277em}nx}

確かめ： $n$ ${}= 2$ のとき $x^2$ ${}= (x - 1)^2$ ${}+ 2x$ ${}- 1$ で、 $2x$ ${}- 2$ ${}+ 1$ ${}= 2x$ ${}- 1$ と一致します。

別の考え方　余りを $px$ ${}+ q$ とおくと、 $x$ ${}= 1$ の代入からは $p$ ${}+ q$ ${}= 1$ の1つしか式が得られません。重なった因数で割るときは、このように $x$ ${}- 1$ のかたまりで展開するか、 $x^n$ ${}- 1$ が $x$ ${}- 1$ で割り切れること（商は $x^{n-1}$ ${}+ x^{n-2}$ ${}+ \cdots$ ${}+ 1$ ）を使って、もう一度 $x$ ${}- 1$ で割った余りを調べます。

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問18　★★★

2つの2次方程式 $x^2$ ${}+ ax$ ${}+ 2$ ${}= 0$ ， $x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ a$ ${}= 0$ がただ1つの共通解をもつような定数 $a$ の値と、そのときの共通解を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= -3$ ，共通解 $x$ ${}= 1$

解説

共通解を $x$ ${}= \alpha$ とすると

\displaystyle \alpha^2

(1) − (2) で $\alpha^2$ を消すと

\displaystyle (a - 2)\alpha

よって $a$ ${}= 2$ または $\alpha$ ${}= 1$ です。

$a$ ${}= 2$ のとき　2つの方程式はどちらも $x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 2$ ${}= 0$ になり、解 $x$ ${}= -1$ ${}\pm i$ の2つがともに共通解です。「ただ1つ」に合わないので不適です。

$\alpha$ ${}= 1$ のとき　(1) に代入して $1$ ${}+ a$ ${}+ 2$ ${}= 0$ ， $a$ ${}= -3$ です。このとき

\displaystyle x^2

共通解は $x$ ${}= 1$ だけなので、条件に合います。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}a = -3,}

「 $\alpha^2$ を消す」と $a$ と $\alpha$ の積の形が出てきます。割り算をする前に $a$ ${}- 2$ ${}= 0$ の場合を分けて調べるのが要点です。

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問19　★★★

$P(x)$ ${}= x^{2026}$ ${}+ x^{13}$ ${}+ 1$ を $(x - 1)(x^2 + 1)$ で割った余りを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x^2$ ${}+ x$ ${}+ 1$

解説

3次式で割った余りは2次以下なので、実数 $a$ ， $b$ ， $c$ を使って

\displaystyle P(x)

とおきます（余りを $x^2$ ${}+ 1$ で割った余りが $bx$ ${}+ c$ ）。

$x$ ${}= i$ を代入する　 $i^2$ ${}+ 1$ ${}= 0$ なので、右辺は $bi$ ${}+ c$ になります。左辺は、 $2026$ ${}= 4 \times 506$ ${}+ 2$ ， $13$ ${}= 4 \times 3$ ${}+ 1$ より

\displaystyle P(i)

$c$ ${}+ bi$ ${}= i$ で、 $b$ ， $c$ は実数なので、実部と虚部を比べて $b$ ${}= 1$ ， $c$ ${}= 0$ です。

$x$ ${}= 1$ を代入する　 $P(1)$ ${}= 1$ ${}+ 1$ ${}+ 1$ ${}= 3$ ，右辺は $2a$ ${}+ b$ ${}+ c$ ${}= 2a$ ${}+ 1$ なので、 $a$ ${}= 1$ です。

\displaystyle 1 \cdot (x^2 + 1)

$x^2$ ${}+ 1$ は実数の範囲では $0$ にならないので、代入する値として虚数 $i$ を使うのがポイントです。

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問20　★★★

$n$ を自然数とする。 $x^{2n}$ ${}+ x^n$ ${}+ 1$ が $x^2$ ${}+ x$ ${}+ 1$ で割り切れるような $n$ の条件を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$n$ が $3$ の倍数でないこと

解説

$P(x)$ ${}= x^{2n}$ ${}+ x^n$ ${}+ 1$ とします。 $P(x)$ を $x^2$ ${}+ x$ ${}+ 1$ で割った商を $Q(x)$ 、余りを $px$ ${}+ q$ （ $p$ ， $q$ は実数）とおくと

\displaystyle P(x)

$x^2$ ${}+ x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ の解の1つを $\omega$ とします。 $x^3$ ${}- 1$ ${}= (x - 1)(x^2 + x + 1)$ なので $\omega^3$ ${}= 1$ で、 $\omega$ は虚数です。 $x$ ${}= \omega$ を代入すると

\displaystyle P(\omega)

割り切れる ⇔ $P(\omega)$ ${}= 0$ であること　割り切れれば $p$ ${}= q$ ${}= 0$ なので $P(\omega)$ ${}= 0$ です。逆に $P(\omega)$ ${}= p\omega$ ${}+ q$ ${}= 0$ のとき、もし $p$ ${}\neq 0$ なら $\omega$ ${}= -\dfrac{q}{p}$ が実数になり、 $\omega$ が虚数であることに反します。よって $p$ ${}= 0$ ，さらに $q$ ${}= 0$ で、割り切れます。

$P(\omega)$ を $n$ で分類する　 $m$ を $0$ 以上の整数とします。

$n$ ${}= 3m$ のとき： $P(\omega)$ ${}= (\omega^3)^{2m}$ ${}+ (\omega^3)^m$ ${}+ 1$ ${}= 1$ ${}+ 1$ ${}+ 1$ ${}= 3$ ${}\neq 0$
$n$ ${}= 3m$ ${}+ 1$ のとき： $P(\omega)$ ${}= \omega^{6m+2}$ ${}+ \omega^{3m+1}$ ${}+ 1$ ${}= \omega^2$ ${}+ \omega$ ${}+ 1$ ${}= 0$
$n$ ${}= 3m$ ${}+ 2$ のとき： $P(\omega)$ ${}= \omega^{6m+4}$ ${}+ \omega^{3m+2}$ ${}+ 1$ ${}= \omega$ ${}+ \omega^2$ ${}+ 1$ ${}= 0$

（ $\omega^{6m+4}$ ${}= (\omega^3)^{2m+1} \cdot \omega$ ${}= \omega$ です。）

よって、割り切れる条件は

\underline{n\ \text{が}\ 3\ \text{の倍数でないこと}}

$n$ ${}= 3m$ のときは $P(\omega)$ ${}= 3$ より $p$ ${}= 0$ ， $q$ ${}= 3$ で、余りは $3$ になります。

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第11章 2級 高次方程式

出題のポイント

類題（全20問）

第11章　2級高次方程式