第12章　剰余の定理と高次方程式

$P(x)$${}= x^3$${}- 4x^2$${}+ 2x$${}+ 5$ を次の式で割った余りを求めなさい。

(1) $x$${}- 2$　(2) $x$${}+ 1$　(3) $2x$${}- 1$

【解答】

(1) $x$${}- 2$ で割った余りは $P(2)$ です。

(2) $x$${}+ 1$${}= x$${}- (-1)$ なので、余りは $P(-1)$ です。

(3) $2x$${}- 1$${}= 0$ となるのは $x$${}= \dfrac{1}{2}$ なので、余りは $P\left(\dfrac{1}{2}\right)$ です。

(2) のように $x$${}+ 1$ は「$x$${}- (-1)$」と読みかえます。符号を取り違えやすいところです。

整式 $P(x)$ を $x$${}- 1$ で割ると余りが $3$、$x$${}+ 2$ で割ると余りが $-3$ である。$P(x)$ を $(x - 1)(x + 2)$ で割った余りを求めなさい。

【解答】

剰余の定理より $P(1)$${}= 3$，$P(-2)$${}= -3$ です。$P(x)$ を $(x - 1)(x + 2)$ で割った商を $Q(x)$、余りを $px$${}+ q$ とおくと

$x$${}= 1$，$x$${}= -2$ を代入して

辺々引くと $3p$${}= 6$ より $p$${}= 2$、$q$${}= 1$ です。よって余りは $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2x}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}+ 1}$ です。

$P(x)$ がどんな式かは最後まで分かりませんが、余りは決まります。

(1) $x^3$${}- 2x^2$${}- 5x$${}+ 6$ を因数分解した式を求めなさい。

(2) $x^3$${}+ ax^2$${}- x$${}+ 2$ が $x$${}+ 2$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を定めなさい。

【解答】

(1) $P(x)$${}= x^3$${}- 2x^2$${}- 5x$${}+ 6$ とおきます。候補は $6$ の約数 $\pm 1$，$\pm 2$，$\pm 3$，$\pm 6$ です。$x$${}= 1$ を代入すると

なので、$P(x)$ は $x$${}- 1$ で割り切れます。割り算をすると商は $x^2$${}- x$${}- 6$ です（割り算は次の公式4の組立除法でも計算できます）。

(2) $P(x)$${}= x^3$${}+ ax^2$${}- x$${}+ 2$ が $x$${}+ 2$ で割り切れる条件は、因数定理より $P(-2)$${}= 0$ です。

よって $\underline{a = 1}$ です。

$2x^3$${}- 5x^2$${}+ 4x$${}- 7$ を $x$${}- 2$ で割った商と余りを求めなさい。

【解答】

係数 $2$，$-5$，$4$，$-7$ を並べ、左端に $2$ を書きます。

$2$ を下ろし、$2 \times 2$${}= 4$ を $-5$ に足して $-1$、$-1 \times 2$${}= -2$ を $4$ に足して $2$、$2 \times 2$${}= 4$ を $-7$ に足して $-3$ です。

よって $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}\text{商} \ 2x^2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- x}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 2，\ \text{余り}}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}\ -3}$ です。

（確かめ）剰余の定理より、余りは $P(2)$${}= 16$${}- 20$${}+ 8$${}- 7$${}= -3$ で一致します。

次の方程式の解を求めなさい。

(1) $x^3$${}= 8$

(2) $x^4$${}- x^2$${}- 12$${}= 0$

(3) $x^3$${}+ x^2$${}+ x$${}- 3$${}= 0$

【解答】

(1) $x^3$${}- 8$${}= 0$ の左辺を、第2章の公式 $a^3$${}- b^3$${}= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ で因数分解します。

$x$${}- 2$${}= 0$ または $x^2$${}+ 2x$${}+ 4$${}= 0$ です。後者は $x$${}= -1$${}\pm \sqrt{1 - 4}$${}= -1$${}\pm \sqrt{3}\,i$ なので

(2) $x^2$${}= t$ とおくと $t^2$${}- t$${}- 12$${}= (t - 4)(t + 3)$${}= 0$ です。

$x^2$${}= 4$ より $x$${}= \pm 2$、$x^2$${}= -3$ より $x$${}= \pm\sqrt{3}\,i$ です。よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}x = \pm 2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}\ \pm\sqrt{3}\,i}$ です。

(3) $P(x)$${}= x^3$${}+ x^2$${}+ x$${}- 3$ とおくと、$P(1)$${}= 1$${}+ 1$${}+ 1$${}- 3$${}= 0$ なので $x$${}- 1$ が因数です。組立除法で割ると

より $P(x)$${}= (x - 1)(x^2 + 2x + 3)$ です。$x^2$${}+ 2x$${}+ 3$${}= 0$ は $x$${}= -1$${}\pm \sqrt{1 - 3}$${}= -1$${}\pm \sqrt{2}\,i$ なので

$x^3$${}= 1$ の虚数解の1つを $\omega$ とする。

(1) もう1つの虚数解が $\omega^2$ であることを示しなさい。

(2) $(\omega + 2)(\omega^2 + 2)$ の値を求めなさい。

(3) $\dfrac{1}{\omega}$${}+ \dfrac{1}{\omega^2}$ の値を求めなさい。

【解答】

(1) $(\omega^2)^3$${}= (\omega^3)^2$${}= 1$ なので、$\omega^2$ も $x^3$${}= 1$ の解です。$\omega^2$${}= 1$ とすると $\omega^3$${}= \omega \cdot \omega^2$${}= \omega$ となり、$\omega^3$${}= 1$ から $\omega$${}= 1$ となって、$\omega$ が虚数であることに反します。また $\omega^2$${}= \omega$ とすると、$\omega$${}\neq 0$ で割って $\omega$${}= 1$ となり、これも反します。よって $\omega^2$ は $1$ とも $\omega$ とも異なる解で、もう1つの虚数解です。（証明終）

(2) 展開して $\omega^3$${}= 1$，$\omega^2$${}+ \omega$${}= -1$ を使います。

(3) $\omega^3$${}= 1$ より $\dfrac{1}{\omega}$${}= \dfrac{\omega^3}{\omega}$${}= \omega^2$，$\dfrac{1}{\omega^2}$${}= \dfrac{\omega^3}{\omega^2}$${}= \omega$ です。

(1) から、$\omega$ の共役な複素数 $\overline{\omega}$ は $\omega^2$ に等しいことも分かります。$x^3$${}= 1$ は実数係数なので、虚数解は互いに共役だからです（第11章 厳密定義 定理4）。

(1) 3次方程式 $x^3$${}+ ax^2$${}+ bx$${}+ 10$${}= 0$ が $1$${}+ 2i$ を解にもつとき、実数 $a$，$b$ の値と他の解を求めなさい。

(2) 3次方程式 $x^3$${}- 2x^2$${}+ 3x$${}- 4$${}= 0$ の3つの解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とするとき、$\alpha^2$${}+ \beta^2$${}+ \gamma^2$ の値を求めなさい。

【解答】

(1) 係数が実数なので、$1$${}+ 2i$ と共役な $1$${}- 2i$ も解です。残りの解を $\gamma$ とします。$1$${}\pm 2i$ を解とする2次式は、和 $2$、積 $1$${}+ 4$${}= 5$ から $x^2$${}- 2x$${}+ 5$ なので

右辺を展開すると $x^3$${}- (\gamma + 2)x^2$${}+ (2\gamma + 5)x$${}- 5\gamma$ です。定数項を比べて $-5\gamma$${}= 10$ より $\gamma$${}= -2$ です。すると

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 0,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 1，\ \text{他の解は} \ 1}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}{}- 2i,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}{}\ -2}$ です。

（確かめ）$(1 + 2i)^2$${}= -3$${}+ 4i$，$(1 + 2i)^3$${}= (-3 + 4i)(1 + 2i)$${}= -11$${}- 2i$ なので、$x^3$${}+ x$${}+ 10$ に代入すると $(-11 - 2i)$${}+ (1 + 2i)$${}+ 10$${}= 0$ です。