第11章　複素数と二次方程式

2乗すると −1 になる数

2次方程式 $x^2$${}= -1$ は、これまで「実数の範囲で解なし」としてきました。第10章で見たように、実数 $x$ はどれも $x^2$${}\geqq 0$ なので、2乗して $-1$ になる実数はありません。そこで、数の範囲そのものを広げます。

公式1：虚数単位と複素数

2乗すると $-1$ になる新しい数を1つ考え、$i$ で表す。$i$ を虚数単位という。

$\displaystyle i^2$$\displaystyle {}= -1$

実数 $a$，$b$ を使って $a$${}+ bi$ の形に表される数を複素数という。$a$ を実部、$b$ を虚部という。

• $b$${}= 0$ のとき、$a$${}+ 0i$${}= a$ は実数である。
• $b$${}\neq 0$ のとき、$a$${}+ bi$ を虚数という。特に $a$${}= 0$，$b$${}\neq 0$ の $bi$ を純虚数という。

複素数の相等　$a$，$b$，$c$，$d$ が実数のとき

$\displaystyle a$$\displaystyle {}+ bi$$\displaystyle {}= c$$\displaystyle {}+ di$$\displaystyle {}\iff a$$\displaystyle {}= c \ \text{かつ} \ b$$\displaystyle {}= d$

特に $a$${}+ bi$${}= 0$${}\iff a$${}= 0 \ \text{かつ} \ b$${}= 0$ である。

実数も「虚部が $0$ の複素数」として複素数の仲間に入ります。つまり、数の範囲は「実数 $\subset$ 複素数」と広がりました。相等の性質は、第3章で学んだ「$a$，$b$ が有理数のとき $a$${}+ b\sqrt{2}$${}= 0$${}\iff a$${}= b$${}= 0$」と同じ形をしています。$\sqrt{2}$ が有理数でないように、$i$ も実数ではないので、実部どうし・虚部どうしを別々に比べられるのです。

温度計を思い出してください。$0$ ℃までの目盛りしかない温度計では、冬の朝の冷え込みを記録できません。$0$ ℃より下に目盛りを書き足したことで、「$-3$ ℃」が読めるようになりました。小学校では「$3$${}- 5$ は計算できない」と言っていたのに、負の数を習ってからは計算できるようになったのと同じです。$i$ は、2乗して負になる数のための新しい目盛りだと考えてください。

住所の「3丁目5番地」と「3丁目7番地」は、丁目が同じでも別の家です。丁目と番地が両方そろって、初めて同じ家だといえます。複素数も、実部と虚部の両方が等しいときにだけ等しくなります。

$i^2$${}= -1$ となる $i$ を加えて、$a$${}+ bi$ の形の数（複素数）まで数の範囲を広げ、2つの複素数は実部どうし・虚部どうしが等しいときに等しいということです。

例題1：複素数の相等

次の等式を満たす実数 $x$，$y$ の値を求めなさい。

(1) $(x - 2)$${}+ (y + 3)i$${}= 0$

(2) $(2x + y)$${}+ (x - 3y)i$${}= 5$${}+ 6i$

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【解答】

(1) $x$${}- 2$，$y$${}+ 3$ は実数なので、実部と虚部がどちらも $0$ です。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= 0$

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = -3}$ です。

(2) $2x$${}+ y$，$x$${}- 3y$ は実数なので、実部と虚部をそれぞれ比べます。

$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}+ y$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}- 3y$$\displaystyle {}= 6$

1つ目から $y$${}= 5$${}- 2x$ を2つ目に代入すると $x$${}- 15$${}+ 6x$${}= 6$ より $x$${}= 3$、$y$${}= -1$ です。よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 3,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = -1}$ です。

「$x$，$y$ が実数」という条件があるから、実部と虚部を分けて比べられます。この条件は必ず確かめましょう。

複素数の計算

複素数の足し算・引き算・かけ算は、$i$ を文字のように扱って計算し、$i^2$ が出てきたら $-1$ に置きかえます。

公式2：複素数の加法・減法・乗法

$a$，$b$，$c$，$d$ が実数のとき

$\displaystyle (a + bi)$$\displaystyle {}+ (c + di)$$\displaystyle {}= (a + c)$$\displaystyle {}+ (b + d)i$$\displaystyle (a + bi)$$\displaystyle {}- (c + di)$$\displaystyle {}= (a - c)$$\displaystyle {}+ (b - d)i$$\displaystyle (a + bi)(c + di)$$\displaystyle {}= (ac - bd)$$\displaystyle {}+ (ad + bc)i$

かけ算は、展開してから $i^2$${}= -1$ を使って整理する。計算の結果は $a$${}+ bi$ の形で答える。

かけ算の式を覚える必要はありません。$(a + bi)(c + di)$${}= ac$${}+ adi$${}+ bci$${}+ bd\,i^2$ と展開し、$bd\,i^2$${}= -bd$ として実部と虚部を集めれば、公式の形になります。第1章の乗法公式も、そのまま使えます。$i$ の累乗は

$\displaystyle i^1$$\displaystyle {}= i,$$\displaystyle i^2$$\displaystyle {}= -1,$$\displaystyle i^3$$\displaystyle {}= i^2 \cdot i$$\displaystyle {}= -i,$$\displaystyle i^4$$\displaystyle {}= (i^2)^2$$\displaystyle {}= 1$

で、$i^4$${}= 1$ なので $i^5$${}= i$ からは同じ4つの値がくり返し現れます。

時計の計算では、分が $60$ になったら「1時間」に直します。$2$ 時間 $50$ 分に $20$ 分を足すと $2$ 時間 $70$ 分ですが、そのままにせず $3$ 時間 $10$ 分と書き直します。複素数の計算も同じで、ふつうに展開して、$i^2$ が現れたらそのつど $-1$ に直してから答えます。

複素数の加減乗は $i$ を文字と見て計算し、$i^2$ を $-1$ に直して実部と虚部にまとめればよいということです。

例題2：複素数の計算

次の計算をした結果を $a$${}+ bi$ の形で表しなさい。

(1) $(3 + 2i)$${}- (1 - 4i)$

(2) $(2 + 3i)(4 - i)$

(3) $(1 + i)^4$

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【解答】

(1) 実部どうし、虚部どうしを計算します。

$\displaystyle (3 + 2i)$$\displaystyle {}- (1 - 4i)$$\displaystyle {}= (3 - 1)$$\displaystyle {}+ (2 + 4)i$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 6i}$

(2) 展開して $i^2$${}= -1$ を使います。

$\displaystyle (2 + 3i)(4 - i)$$\displaystyle {}= 8$$\displaystyle {}- 2i$$\displaystyle {}+ 12i$$\displaystyle {}- 3i^2$$\displaystyle {}= 8$$\displaystyle {}+ 10i$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}11}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 10i}$

(3) まず $(1 + i)^2$ を計算します。

$\displaystyle (1 + i)^2$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 2i$$\displaystyle {}+ i^2$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 2i$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 2i$

よって $(1 + i)^4$${}= \{(1 + i)^2\}^2$${}= (2i)^2$${}= 4i^2$${}= -4$ です。$a$${}+ bi$ の形では $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}-4}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 0i}$、つまり $-4$ です。

共役な複素数と割り算

割り算には、次の「相棒」になる複素数を使います。

公式3：共役な複素数と除法

複素数 $\alpha$${}= a$${}+ bi$ に対して、虚部の符号を変えた $a$${}- bi$ を $\alpha$ と共役な複素数といい、$\overline{\alpha}$ で表す。

$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {}+ \overline{\alpha}$$\displaystyle {}= 2a,$$\displaystyle \alpha\,\overline{\alpha}$$\displaystyle {}= (a + bi)(a - bi)$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}+ b^2$

どちらも実数になる。

割り算 $\dfrac{c + di}{a + bi}$ は、分母と共役な複素数 $a$${}- bi$ を分母・分子にかけて、分母を実数にしてから計算する。

$\displaystyle \frac{c + di}{a + bi}$$\displaystyle {}= \frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)}$$\displaystyle {}= \frac{(c + di)(a - bi)}{a^2 + b^2}$

これは第3章の分母の有理化とそっくりです。$\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ で分母・分子に $\sqrt{3}$${}- \sqrt{2}$ をかけたように、$\dfrac{1}{a + bi}$ では $a$${}- bi$ をかけます。$(a + bi)(a - bi)$${}= a^2$${}- b^2 i^2$${}= a^2$${}+ b^2$ となって、$i$ が消えるのがポイントです。

鏡に映った自分は、左右だけが入れかわった姿です。$a$${}+ bi$ と $a$${}- bi$ も、実部はそのままで虚部の向きだけが反対になった「鏡映し」の関係です。本人と鏡の像を足しても、かけても、虚部がきれいに打ち消されて実数だけが残ります。

$a$${}+ bi$ と $a$${}- bi$ は互いに共役で、かけると実数 $a^2$${}+ b^2$ になるので、割り算は分母の共役をかけて分母を実数にすればよいということです。

例題3：複素数の割り算

次の計算をした結果を $a$${}+ bi$ の形で表しなさい。

(1) $\dfrac{3 + i}{1 - 2i}$

(2) $\dfrac{2 - i}{2 + i}$${}+ \dfrac{2 + i}{2 - i}$

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【解答】

(1) 分母と共役な $1$${}+ 2i$ を分母・分子にかけます。

$\displaystyle \frac{3 + i}{1 - 2i}$$\displaystyle {}= \frac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}$$\displaystyle {}= \frac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4}$$\displaystyle {}= \frac{1 + 7i}{5}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{1}{5}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{7}{5}i}$

(2) 通分すると、分母は $(2 + i)(2 - i)$${}= 4$${}+ 1$${}= 5$ です。

$\displaystyle \frac{(2 - i)^2 + (2 + i)^2}{5}$$\displaystyle {}= \frac{(3 - 4i) + (3 + 4i)}{5}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{6}{5}}$

(2) の2つの分数は互いに共役で、その和は実数になりました。公式3の $\alpha$${}+ \overline{\alpha}$${}= 2a$ の例です。

負の数の平方根

$i$ を使うと、負の数の平方根も表せます。

公式4：負の数の平方根

$a$${}> 0$ のとき、$-a$ の平方根は $\pm\sqrt{a}\,i$ である。そこで

$\displaystyle \sqrt{-a}$$\displaystyle {}= \sqrt{a}\,i$

と定める。特に $\sqrt{-1}$${}= i$ である。

注意　$a$${}> 0$，$b$${}> 0$ でも、$\sqrt{-a}\sqrt{-b}$${}= \sqrt{ab}$ は成り立たない。根号の中が負の数のときは、まず $i$ を使った形に直してから計算する。

$(\sqrt{a}\,i)^2$${}= a \cdot i^2$${}= -a$，$(-\sqrt{a}\,i)^2$${}= -a$ なので、$\pm\sqrt{a}\,i$ はたしかに $-a$ の平方根です。そのうち $+$ のほうを $\sqrt{-a}$ と書くことにしました。

注意の例として $\sqrt{-2}\sqrt{-3}$ を計算すると、$\sqrt{2}\,i \cdot \sqrt{3}\,i$${}= \sqrt{6}\,i^2$${}= -\sqrt{6}$ です。うっかり $\sqrt{(-2)(-3)}$${}= \sqrt{6}$ とすると、符号を間違えます。第3章の $\sqrt{a}\sqrt{b}$${}= \sqrt{ab}$ は、$a$${}\geqq 0$，$b$${}\geqq 0$ のときにだけ使える約束でした。

学割は、学生証を見せられる人だけが使える割引です。どんなに便利でも、条件を満たさない人が使えば「ルール違反」になります。$\sqrt{a}\sqrt{b}$${}= \sqrt{ab}$ も、根号の中が $0$ 以上という「学生証」があるときだけ使える計算ルールです。

$a$${}> 0$ のとき $\sqrt{-a}$${}= \sqrt{a}\,i$ で、根号の中が負の数なら先に $i$ を出してから計算すればよいということです。

例題4：負の数の平方根

(1) $\sqrt{-9} \times \sqrt{-4}$ を計算した結果を求めなさい。

(2) $\dfrac{\sqrt{-12}}{\sqrt{3}}$ を計算した結果を求めなさい。

(3) 2次方程式 $x^2$${}= -5$ の解を求めなさい。

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【解答】

(1) 先に $i$ を使った形に直します。

$\displaystyle \sqrt{-9} \times \sqrt{-4}$$\displaystyle {}= 3i \times 2i$$\displaystyle {}= 6i^2$$\displaystyle {}= \underline{-6}$

$\sqrt{(-9)(-4)}$${}= \sqrt{36}$${}= 6$ とするのは誤りです。

(2) $\sqrt{-12}$${}= \sqrt{12}\,i$${}= 2\sqrt{3}\,i$ なので

$\displaystyle \frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{3}}$$\displaystyle {}= \frac{2\sqrt{3}\,i}{\sqrt{3}}$$\displaystyle {}= \underline{2i}$

(3) $x$ は $-5$ の平方根なので、$\underline{x = \pm\sqrt{5}\,i}$ です。

2次方程式の解の公式

2次方程式の解は、平方完成（第10章でも使いました）によって、係数だけで表すことができます。

公式5：2次方程式の解の公式

$a$，$b$，$c$ が実数で $a$${}\neq 0$ のとき、2次方程式 $ax^2$${}+ bx$${}+ c$${}= 0$ の解は

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

である。$b^2$${}- 4ac$${}< 0$ のときも、公式4によって $\sqrt{b^2 - 4ac}$ は虚数として表せる。

$x$ の係数が偶数で $b$${}= 2b'$ のときは、次の形が便利である。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$

導き方を見ておきましょう。両辺を $a$ で割って平方完成すると

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ \frac{b}{a}x$$\displaystyle {}+ \frac{c}{a}$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$$\displaystyle {}= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

となります。右辺の平方根をとって $x$${}+ \dfrac{b}{2a}$${}= \pm\dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ から、公式が得られます。これまでは右辺が負のとき「実数の範囲で解なし」でしたが、複素数の範囲では $\pm$ の2つの虚数が解になります。このように、複素数の範囲では2次方程式はいつでも解をもちます。以降、特に断らなければ、方程式の解は複素数の範囲で考えます。実数である解を実数解、虚数である解を虚数解といいます。

虚数解が出るとき、2つの解は $p$${}+ qi$ と $p$${}- qi$ の形で、互いに共役になっています（$\pm$ の部分だけが違うからです）。

ホテルのマスターキーは、どの部屋のドアでも開けられます。部屋ごとに鍵を探す必要はありません。因数分解は「その式に合う鍵」を探す作業ですが、解の公式はどんな2次方程式にも使えるマスターキーです。しかも複素数の範囲なら、開かないドア（解なし）はもうありません。

2次方程式は解の公式でいつでも解け、$b^2$${}- 4ac$${}< 0$ のときは互いに共役な2つの虚数が解になるということです。

例題5：虚数解をもつ2次方程式

次の2次方程式の解を求めなさい。

(1) $x^2$${}- 4x$${}+ 13$${}= 0$

(2) $3x^2$${}+ 2x$${}+ 1$${}= 0$

(3) $2x^2$${}- 3x$${}+ 5$${}= 0$

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【解答】

(1) $b$${}= -4$${}= 2 \cdot (-2)$ なので $b'$${}= -2$ の公式を使います。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 1 \cdot 13}}{1}$$\displaystyle {}= 2$$\displaystyle {}\pm \sqrt{-9}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}\pm 3i}$

(2) $b'$${}= 1$ として

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 3 \cdot 1}}{3}$$\displaystyle {}= \frac{-1 \pm \sqrt{-2}}{3}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{-1 \pm \sqrt{2}\,i}{3}}$

(3) $b$${}= -3$ は奇数なので、もとの公式を使います。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$$\displaystyle {}= \frac{3 \pm \sqrt{-31}}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{3 \pm \sqrt{31}\,i}{4}}$

どれも、2つの解は互いに共役になっています。

判別式

解の公式の根号の中身を見れば、解を求めなくても解の種類が分かります。

公式6：判別式

実数を係数とする2次方程式 $ax^2$${}+ bx$${}+ c$${}= 0$ について、$D$${}= b^2$${}- 4ac$ を判別式という。

• $D$${}> 0$${}\iff$ 異なる2つの実数解をもつ
• $D$${}= 0$${}\iff$ 実数の重解をもつ
• $D$${}< 0$${}\iff$ 異なる2つの虚数解をもつ

$b$${}= 2b'$ のときは、$\dfrac{D}{4}$${}= b'^2$${}- ac$ の符号を調べてもよい。

$D$${}= 0$ のとき、解の公式の $\pm\sqrt{D}$ が $0$ になり、2つの解が $x$${}= -\dfrac{b}{2a}$ の1つに重なります。これを重解といいます。「実数解をもつ」条件は $D$${}\geqq 0$ です。

宅配便の箱を受け取ったとき、開ける前に伝票の「品名」欄を見れば、中身が本なのか食べ物なのかが分かります。判別式も同じで、解そのもの（箱の中身）を計算する前に、$D$ という伝票を1つ見るだけで、実数解か重解か虚数解かが分かります。

判別式 $D$${}= b^2$${}- 4ac$ の符号（正・$0$・負）を見れば、解を求めなくても解の種類が分かるということです。

例題6：判別式の利用

(1) 次の2次方程式の解の種類を求めなさい。

　① $2x^2$${}- 3x$${}+ 4$${}= 0$　② $x^2$${}- 6x$${}+ 9$${}= 0$　③ $x^2$${}+ x$${}- 3$${}= 0$

(2) 2次方程式 $x^2$${}- 4x$${}+ m$${}= 0$ が虚数解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めなさい。

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【解答】

(1)

① $D$${}= (-3)^2$${}- 4 \cdot 2 \cdot 4$${}= 9$${}- 32$${}= -23$${}< 0$ なので、$\underline{\text{異なる2つの虚数解}}$ です。

② $\dfrac{D}{4}$${}= (-3)^2$${}- 1 \cdot 9$${}= 0$ なので、$\underline{\text{重解}}$ です（重解は $x$${}= 3$）。

③ $D$${}= 1^2$${}- 4 \cdot 1 \cdot (-3)$${}= 13$${}> 0$ なので、$\underline{\text{異なる2つの実数解}}$ です。

(2) 虚数解をもつ条件は $D$${}< 0$ です。

$\displaystyle \frac{D}{4}$$\displaystyle {}= (-2)^2$$\displaystyle {}- 1 \cdot m$$\displaystyle {}= 4$$\displaystyle {}- m$$\displaystyle {}< 0$

よって $\underline{m > 4}$ です。

解と係数の関係

2つの解を足したり、かけたりすると、根号も $i$ も消えて、係数だけで表せます。

公式7：解と係数の関係

2次方程式 $ax^2$${}+ bx$${}+ c$${}= 0$ の2つの解を $\alpha$，$\beta$ とすると

$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {}+ \beta$$\displaystyle {}= -\frac{b}{a},$$\displaystyle \alpha\beta$$\displaystyle {}= \frac{c}{a}$

が成り立つ（重解のときは $\alpha$${}= \beta$ として成り立つ）。

解の公式から確かめられます。$D$${}= b^2$${}- 4ac$ として $\alpha$${}= \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}$，$\beta$${}= \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ とすると

$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {}+ \beta$$\displaystyle {}= \frac{-2b}{2a}$$\displaystyle {}= -\frac{b}{a},$$\displaystyle \alpha\beta$$\displaystyle {}= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{D})^2}{4a^2}$$\displaystyle {}= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2}$$\displaystyle {}= \frac{c}{a}$

です。$D$${}< 0$ で $\sqrt{D}$ が虚数のときも、$(\sqrt{D})^2$${}= D$ は成り立つので同じ計算になります。

$\alpha^2$${}+ \beta^2$ のような「$\alpha$ と $\beta$ を入れかえても変わらない式（対称式）」は、第3章の公式7で学んだように $\alpha$${}+ \beta$ と $\alpha\beta$ で表せます。そのため、解を求めずに値が計算できます。

サッカーの試合結果は、チームの合計得点を見れば分かります。誰が何点入れたかを1人ずつ調べなくても、勝ち負けを決めるには合計だけで十分です。2つの解も、1つずつ求めなくても、和と積という「チームの成績」が係数から読みとれます。対称式の値なら、それだけで計算できるのです。

2つの解の和は $-\dfrac{b}{a}$、積は $\dfrac{c}{a}$ なので、対称式の値は解を求めずに係数から計算できるということです。

例題7：対称式の値

2次方程式 $x^2$${}- 3x$${}+ 5$${}= 0$ の2つの解を $\alpha$，$\beta$ とするとき、次の式の値を求めなさい。

(1) $\alpha^2$${}+ \beta^2$　(2) $\alpha^3$${}+ \beta^3$　(3) $\dfrac{\beta}{\alpha}$${}+ \dfrac{\alpha}{\beta}$

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【解答】

解と係数の関係より $\alpha$${}+ \beta$${}= 3$，$\alpha\beta$${}= 5$ です。

(1)

$\displaystyle \alpha^2$$\displaystyle {}+ \beta^2$$\displaystyle {}= (\alpha + \beta)^2$$\displaystyle {}- 2\alpha\beta$$\displaystyle {}= 9$$\displaystyle {}- 10$$\displaystyle {}= \underline{-1}$

(2)

$\displaystyle \alpha^3$$\displaystyle {}+ \beta^3$$\displaystyle {}= (\alpha + \beta)^3$$\displaystyle {}- 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$$\displaystyle {}= 27$$\displaystyle {}- 45$$\displaystyle {}= \underline{-18}$

(3) 通分して (1) を使います。

$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$$\displaystyle {}+ \frac{\alpha}{\beta}$$\displaystyle {}= \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$$\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{5}}$

この方程式の解は虚数（$D$${}= 9$${}- 20$${}< 0$）なので、2乗の和 $\alpha^2$${}+ \beta^2$ が負になっても不思議ではありません。

2数を解とする2次方程式

解と係数の関係を逆向きに使うと、解から方程式をつくることができます。

公式8：2数を解とする2次方程式と因数分解

2数 $\alpha$，$\beta$ を解とする2次方程式の1つは

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- (\alpha + \beta)x$$\displaystyle {}+ \alpha\beta$$\displaystyle {}= 0$

である。また、2次方程式 $ax^2$${}+ bx$${}+ c$${}= 0$ の2つの解を $\alpha$，$\beta$ とすると、2次式は

$\displaystyle ax^2$$\displaystyle {}+ bx$$\displaystyle {}+ c$$\displaystyle {}= a(x - \alpha)(x - \beta)$

と因数分解できる。複素数の範囲では、2次式はいつでも1次式の積に因数分解できる。

$(x - \alpha)(x - \beta)$${}= x^2$${}- (\alpha + \beta)x$${}+ \alpha\beta$ なので、左辺が $0$ になるのはちょうど $x$${}= \alpha$，$\beta$ のときです。また、$ax^2$${}+ bx$${}+ c$${}= a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right)$${}= a\{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}$ から、因数分解の式も分かります。第2章では「係数は有理数の範囲」で因数分解しましたが、複素数の範囲まで広げると、どんな2次式も分解できるようになります。

クイズ番組の問題作成者は、先に答えを決めてから、その答えになる問題を考えます。「答えは $3$ と $5$」と決めたら、「足して $8$、かけて $15$」になる $x^2$${}- 8x$${}+ 15$${}= 0$ を出題すればよいのです。

和 $\alpha$${}+ \beta$ と積 $\alpha\beta$ が分かれば、$x^2$${}- (\alpha + \beta)x$${}+ \alpha\beta$${}= 0$ として2数を解とする方程式がつくれ、2次式は解を使って因数分解できるということです。

例題8：2数を解とする方程式・複素数の範囲の因数分解

(1) 2数 $3$${}+ 2i$，$3$${}- 2i$ を解とする2次方程式を1つ求めなさい。

(2) 2次式 $x^2$${}+ 4x$${}+ 7$ を、複素数の範囲で因数分解した式を求めなさい。

(3) 2次方程式 $x^2$${}+ ax$${}+ b$${}= 0$ が $2$${}- 3i$ を解にもつとき、実数 $a$，$b$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1) 和は $(3 + 2i)$${}+ (3 - 2i)$${}= 6$、積は $(3 + 2i)(3 - 2i)$${}= 9$${}+ 4$${}= 13$ です。よって $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 6x}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 13 = 0}$ です。

(2) $x^2$${}+ 4x$${}+ 7$${}= 0$ の解は、$b'$${}= 2$ として $x$${}= -2$${}\pm \sqrt{4 - 7}$${}= -2$${}\pm \sqrt{3}\,i$ です。よって

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 4x$$\displaystyle {}+ 7$$\displaystyle {}= \underline{\left(x + 2 - \sqrt{3}\,i\right)\left(x + 2 + \sqrt{3}\,i\right)}$

(3) 係数が実数なので、虚数解は互いに共役です（公式5のあとで確かめました）。もう1つの解は $2$${}+ 3i$ です。解と係数の関係より

$\displaystyle -a$$\displaystyle {}= (2 - 3i)$$\displaystyle {}+ (2 + 3i)$$\displaystyle {}= 4,$$\displaystyle b$$\displaystyle {}= (2 - 3i)(2 + 3i)$$\displaystyle {}= 4$$\displaystyle {}+ 9$$\displaystyle {}= 13$

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -4,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 13}$ です。

(3) は、$x$${}= 2$${}- 3i$ を代入して「実部 $= 0$ かつ 虚部 $= 0$」から求めることもできます。$(2 - 3i)^2$${}= -5$${}- 12i$ なので、$(-5 + 2a + b)$${}+ (-12 - 3a)i$${}= 0$ から同じ答えになります。