最強の「反射」を、木原数多はなぜ破れたのか —— 内積と判別式で考える

「向きを変える」だけで最強になれる

『とある魔術の禁書目録』の舞台・学園都市には、超能力を持つ学生が大勢います。その頂点、レベル 5 の第一位が一方通行（アクセラレータ）です。能力の名前はベクトル操作。皮膚の表面に触れたものの「力の向き」を、自由に書き換えられます。

ふだんはこれを反射に設定しています。銃弾も拳も、皮膚に触れた瞬間に向きをひっくり返され、来た方向へ同じ勢いで戻っていきます。殴った側の拳が壊れるので、攻撃がまったく通じません。

「向きを変える」だけの能力が、なぜ最強なのか。そして、その反射をなぜ破れた人がいたのか。どちらも、高校で習うベクトルと二次関数で説明できます。

反射は「逆ベクトル」

飛んでくる銃弾の速度は、向きと大きさを持つ矢印、つまりベクトル $\vec{d}$ で表せます。一方通行の反射は「来た方向へ、同じ勢いで返す」のでした。向きだけが正反対で大きさは同じ矢印ですから、反射のあとの速度は逆ベクトル $-\vec{d}$ です。

$\displaystyle \vec{d}$$\displaystyle {}\longmapsto\ -\vec{d}$

たとえば、皮膚の面を横向きの直線とし、銃弾が $\vec{d}$${}= (-3,\ -4)$ の速度で斜め上から飛んできたとします。反射されると $(3,\ 4)$ になり、飛んできた道をそのまま逆にたどって戻っていきます。

比べるために、鏡やビリヤードの球のような「ふつうの反射」も式にしておきましょう。皮膚から外向きに立てた長さ $1$ のベクトルを $\vec{n}$ とします。ふつうの反射では、面に平行な成分はそのまま残り、面に垂直な成分だけが逆向きになります。垂直な成分は内積を使って $(\vec{d}\cdot\vec{n})\,\vec{n}$ と書けるので（内積の章で学ぶ正射影です）、これを 2 回引けば向きが逆になります。

鏡のような反射の式

$\displaystyle \vec{r}$$\displaystyle {}= \vec{d}$$\displaystyle {}- 2(\vec{d}\cdot\vec{n})\,\vec{n}$

先ほどの例で $\vec{n}$${}= (0,\ 1)$ とすると、$\vec{d}\cdot\vec{n}$${}= -4$ なので $\vec{r}$${}= (-3,\ -4)$${}- 2 \times (-4) \times (0,\ 1)$${}= (-3,\ 4)$。横の成分 $-3$ は変わらず、縦の成分だけが $-4$ から $4$ に変わりました。

木原数多の拳を数学で考える

この反射を、素手で破った人物がいます。原作 第13巻（アニメ『とある魔術の禁書目録II』第19〜22話）に登場する木原数多です。やり方は、殴った拳が一方通行の皮膚に触れる寸前で、拳を引き戻すこと。すると反射が「引く動き」を逆向きにしてしまい、拳が一方通行のほうへ引き込まれて当たります。

一見すると屁理屈のようですが、数学で追いかけると、これが筋の通った攻略法だと分かります。

近づくか離れるかは、内積の符号で決まる

拳の速度を $\vec{v}$ とします。拳が一方通行に近づいているのか、離れているのかは、外向きの $\vec{n}$ との内積の符号で分かります。

• $\vec{v}\cdot\vec{n}$${}< 0$：$\vec{n}$ と反対向きの成分がある。つまり近づいている
• $\vec{v}\cdot\vec{n}$${}> 0$：$\vec{n}$ と同じ向きの成分がある。つまり離れている

ふつうのパンチは、当たる瞬間に近づいています。反射はそれを逆向きにして、$(-\vec{v})\cdot\vec{n}$${}= -(\vec{v}\cdot\vec{n})$${}> 0$、つまり「離れる」向きに変えます。これで拳は跳ね返されます。

反射は、内積の符号をひっくり返す

では、触れた瞬間に拳が離れる向きに動いていたらどうなるでしょう。反射はここでも律儀に向きをひっくり返します。$\vec{v}\cdot\vec{n}$${}> 0$ だったものが $(-\vec{v})\cdot\vec{n}$${}< 0$ になり、拳は近づく向きに変わります。

これは鏡のような反射でも同じです。先ほどの式の両辺と $\vec{n}$ の内積をとると、$\vec{n}\cdot\vec{n}$${}= |\vec{n}|^2$${}= 1$ なので

$\displaystyle \vec{r}\cdot\vec{n}$$\displaystyle {}= \vec{d}\cdot\vec{n}$$\displaystyle {}- 2(\vec{d}\cdot\vec{n})(\vec{n}\cdot\vec{n})$$\displaystyle {}= -\,\vec{d}\cdot\vec{n}$

となり、やはり符号が逆になります。反射のしかたがどちらであっても、「離れていくものが触れると、近づく向きに変えてしまう」という性質は変わりません。反射は「当たる瞬間には、相手は近づいてくるものだ」という前提で組まれた守りでした。木原はその前提の外側を突いたわけです。

反射は $\vec{v}\cdot\vec{n}$ の符号をひっくり返す。近づくものは離れ、離れるものは近づく。

タイミングは「判別式 $D$${}= 0$」

とはいえ、「当たる寸前に引く」のは簡単ではありません。ここからは、作中の説明ではなく、数学の模型を使った考察です。

話を一直線にしぼり、拳と皮膚の距離を $s$（m）とします。拳は $4$ m/s で近づきながら、腕を引く力を受けて、近づく速さが 1 秒あたり $20$ m/s の割合で落ちていくとします（離れる向きの加速度が $20\ \text{m/s}^2$）。物理で習う等加速度運動の式から、時刻 $t$（秒）での距離は、引き始めの距離を $c$ として

$\displaystyle s(t)$$\displaystyle {}= 10t^2$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}+ c$

という二次関数になります。皮膚に触れるのは $s(t)$${}= 0$ のとき。これは $t$ の二次方程式で、判別式は

$\displaystyle D$$\displaystyle {}= (-4)^2$$\displaystyle {}- 4 \times 10 \times c$$\displaystyle {}= 16$$\displaystyle {}- 40c$

です。$D$ の符号によって、何が起きるかが 3 通りに分かれます。

• $c$${}= 0.5$（$D$${}= -4$${}< 0$）：グラフは $t$ 軸に届きません。いちばん近づくのは $t$${}= 0.2$ のときで、そのときの距離は $0.1$ m。引くのが早すぎて、10 cm 手前で空振りします。
• $c$${}= 0.3$（$D$${}= 4$${}> 0$）：$10t^2$${}- 4t$${}+ 0.3$${}= 0$ を解くと $t$${}= 0.1,$$\ 0.3$。先に $t$${}= 0.1$ で皮膚に触れ、そのときの速さは $s'(0.1)$${}= 20 \times 0.1$${}- 4$${}= -2$、つまり $2$ m/s で近づいたまま触れて、ふつうに弾かれます。
• $c$${}= 0.4$（$D$${}= 0$）：$s(t)$${}= 10(t - 0.2)^2$ となり、グラフは $t$${}= 0.2$ で $t$ 軸に接します。重解の瞬間です。

$D$${}= 0$ のとき、触れた瞬間の拳の速さは $s'(0.2)$${}= 20 \times 0.2$${}- 4$${}= 0$ です。止まった拳には、逆向きにする速度がありません。残っているのは、離れる向きに引く力（加速度 $+20$）だけです。ここで思い出したいのは、一方通行が書き換えるのは速度に限らず、触れたものの「力の向き」そのものだ、という設定です。反射がこの引く力を逆向きにすると、加速度は $-20$ になり、触れたあとの距離は

$\displaystyle s(t)$$\displaystyle {}= -10(t - 0.2)^2$

に変わります。グラフは「下に凸」から「上に凸」に折れ曲がり、$s$ が負の側、つまり皮膚の内側へ向かいます。拳が当たったということです。

引き始めの距離がちょうど $0.4$ m のときだけ、$D$${}= 0$ になります。$1$ cm ずれて $0.41$ m なら $D$${}< 0$ で届かず、$0.39$ m なら $D$${}> 0$ で弾かれます。本当は反射がかかる膜には厚みがあるので、ここまで厳しくはないでしょう。それでも、木原の技が「$D$ をぴったり $0$ に合わせる技」だということは見えてきます。作中でも、一方通行の演算のくせまで知り尽くした木原だからできた、とされています。

強く引くほど、強く当たる

もう 1 つ、反射は大きさを変えません。逆ベクトルなら $|-\vec{v}|$${}= |\vec{v}|$ で当然です。鏡のような反射でも、内積で計算すると

$\displaystyle |\vec{r}|^2$$\displaystyle {}= \bigl(\vec{d} - 2(\vec{d}\cdot\vec{n})\,\vec{n}\bigr)\cdot\bigl(\vec{d} - 2(\vec{d}\cdot\vec{n})\,\vec{n}\bigr)$$\displaystyle {}= |\vec{d}|^2$$\displaystyle {}- 4(\vec{d}\cdot\vec{n})^2$$\displaystyle {}+ 4(\vec{d}\cdot\vec{n})^2|\vec{n}|^2$$\displaystyle {}= |\vec{d}|^2$

となり、大きさは変わりません。上の模型でも、加速度は $+20$ から $-20$ に、大きさを保ったまま向きだけが変わりました。木原の拳の威力は、引く力の強さそのものです。引けば引くほど、強く殴ったことになります。

行列で書くと

一方通行の反射 $(x,\ y)$${}\longmapsto (-x,\ -y)$ と、皮膚が横向きのときの鏡の反射 $(x,\ y)$${}\longmapsto (x,\ -y)$ は、どちらも行列 1 つで書けます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

左は原点に関する対称移動（$180^\circ$ の回転と同じ）、右は $x$ 軸に関する対称移動です。一方通行の反射は、平面の上では「$180^\circ$ 回す」操作だったわけです。行列と一次変換の第7章では、こうした移動を行列で表す方法を学びます。

その先：ベクトル場

作中の一方通行は、反射のほかに、風の流れや血の流れの向きまで操ります。空気の流れを考えるには、空間のすべての点に 1 本ずつ矢印（その場所での風の速度）がある、と見るのが便利です。これをベクトル場といいます。天気予報の風の地図が、まさにその絵です。

ベクトル場で「湧き出し」や「渦」を計算する道具は、大学のベクトル解析で学びます。一方通行が風を操るのは、ベクトル場を書き換えているようなものです。そう思って読み返すと、能力の描写が少し違って見えてきます。