目次／二次関数／数学I

第6章　グラフと x 軸の位置関係

—— 判別式 D で、解かずに共有点の個数を見抜く ——

第5章では、二次方程式を解いてグラフと $x$ 軸の交点を求めました。この章では、方程式を**解かずに**「交点がいくつあるか」を見抜く道具、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を導入します。$D$ の符号は頂点が $x$ 軸の上にあるか下にあるかを表していて、$D > 0$ なら 2 点で交わり、$D = 0$ なら接し、$D < 0$ なら共有点がありません。共有点の個数から定数の範囲を決める問題、放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さ、方程式 $f(x) = k$ の解の個数、放物線と直線が接する条件まで進みます。判別式は数と式第11章でも学びましたが、ここではグラフの見方と結びつけて扱い直します。

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未回答 25× 0○ 01か月定着 0

解かずに個数を知りたい

第5章では、グラフと $x$ 軸の交点を求めるために二次方程式を解きました。ところが問題によっては、交点の座標までは要らず、「交わるのか」「いくつ交わるのか」だけを知りたい場面がよくあります。係数に文字が入っていると、毎回解くのは大変です。

第5章の「第6章へ」で見たように、解の個数は解の公式の $\sqrt{\phantom{b}}$ の中身 $b^2$ ${}- 4ac$ の符号で決まっていました。この章では、この式に名前を付けて、グラフの言葉に読みかえます。

判別式と共有点の個数

公式1：判別式と共有点の個数

二次関数 $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ に対し、 $D$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ を判別式という。グラフと $x$ 軸の位置関係は、 $D$ の符号で次のように決まる。

$D$ の符号	$ax^2 + bx + c = 0$ の実数解	グラフと $x$ 軸	共有点の個数
$D > 0$	異なる 2 つの実数解	異なる 2 点で交わる	2 個
$D = 0$	重解	1 点で接する	1 個
$D < 0$	実数解はない	共有点をもたない	0 個

とくに、共有点をもつ条件は $D$ ${}\geqq 0$ である。 $b$ ${}= 2b'$ のときは、 $\dfrac{D}{4}$ ${}= b'^2$ ${}- ac$ の符号を調べてもよい。

判別式（はんべつしき）は、英語の discriminant（見分けるもの）の頭文字をとって $D$ と書きます。数と式第11章では「虚数解か実数解か」を見分ける道具として登場しましたが、この分野では実数解だけを扱うので、「交わる・接する・離れている」を見分ける道具になります。 $x$ 軸と共有点が 1 つだけで、そこでグラフが $x$ 軸をまたがないとき、グラフは $x$ 軸に接するといい、その点を接点といいます。

$D$ の符号がグラフの形と結びつく理由は、頂点の $y$ 座標にあります。第2章で平方完成したとおり

\displaystyle y

なので、頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{D}{4a}$ です。 $a$ ${}> 0$ （下に凸）のとき、 $D$ ${}> 0$ なら頂点は $x$ 軸より下にあり、グラフは上に向かって開いているので、 $x$ 軸を 2 回横切ります。 $D$ ${}= 0$ なら頂点がちょうど $x$ 軸の上、 $D$ ${}< 0$ なら頂点が $x$ 軸より上にあって、グラフ全体が $x$ 軸から浮いています。 $a$ ${}< 0$ のときは、上下を逆にして同じことが言えます。

地下区間と高架区間をもつ鉄道の線路を思い浮かべてください。線路のいちばん低いところが地面より深ければ、線路は地下にもぐって、また地上に出てきます。地下への出入口は 2 か所です。いちばん低いところがちょうど地面の高さなら、線路は地面に 1 か所で触れるだけ。地面より高ければ、全部が高架で出入口はありません。出入口の数を知るのに、出入口の位置まで調べる必要はありません。「いちばん低いところの高さ」の符号さえ分かれば足ります。判別式は、その高さを表す信号です。

判別式 $D$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ の符号は頂点が $x$ 軸のどちら側にあるかを表していて、正なら 2 点で交わり、 $0$ なら接し、負なら共有点がないということです。

例題1：共有点の個数

次の二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めなさい。

(1) $y$ ${}= x^2$ ${}- 3x$ ${}+ 1$

(2) $y$ ${}= -x^2$ ${}+ 4x$ ${}- 4$

(3) $y$ ${}= 2x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 3$

【解答】

(1) $D$ ${}= (-3)^2$ ${}- 4 \times 1 \times 1$ ${}= 5$ ${}> 0$ なので、 $\underline{2\ \text{個}}$

(2) $x$ の係数が偶数なので $b'$ ${}= 2$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

グラフは $x$ 軸に接していて、共有点は $\underline{1\ \text{個}}$ です。実際、 $y$ ${}= -(x - 2)^2$ なので、接点は頂点 $(2,\ 0)$ です。

(3) $b'$ ${}= -2$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

なので、 $\underline{0\ \text{個}}$ 。平方完成すると $y$ ${}= 2(x - 1)^2$ ${}+ 1$ で、頂点 $(1,\ 1)$ が $x$ 軸より上にあり、下に凸なので $x$ 軸に届きません。

(2) のように $a$ ${}< 0$ のときは、 $ac$ の符号に気をつけます。 $(-1) \times (-4)$ ${}= 4$ を引くので、 $4$ ${}- 4$ ${}= 0$ です。

共有点の座標と切り取る線分

公式2：共有点の座標・接点・切り取る線分

二次関数 $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ のグラフと $x$ 軸について

共有点の $x$ 座標は、二次方程式 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= 0$ の実数解である。
$D$ ${}= 0$ のとき、接点は頂点 $\left(-\dfrac{b}{2a},\ 0\right)$ である。
$D$ ${}> 0$ のとき、グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さは

\frac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}

$b$ ${}= 2b'$ なら、 $\dfrac{2\sqrt{D/4}}{\lvert a \rvert}$ と書ける。

長さの式は、第5章の「第6章へ」で導いたものです。解の公式の 2 つの解 $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ の差をとると、 $-b$ が消えて $\dfrac{2\sqrt{D}}{2a}$ ${}= \dfrac{\sqrt{D}}{a}$ が残ります。長さは正なので、 $a$ に絶対値を付けます。第4章の実践問題 j19 では、同じ長さを平方完成から求めました。

$D$ ${}= 0$ のとき接点が頂点になるのは、公式1 で見たとおり、頂点の $y$ 座標 $-\dfrac{D}{4a}$ が $0$ になるからです。重解 $x$ ${}= -\dfrac{b}{2a}$ は、軸の位置そのものです。

山型食パンの、ふくらんだ山の部分を思い浮かべてください。山のてっぺんから同じ深さのところで水平に切っても、とがった山なら切り口は狭く、なだらかな山なら広くなります。そして、切る位置をてっぺんに近づけるほど切り口は狭くなり、ちょうどてっぺんでは幅が $0$ になります。 $\dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}$ の分子の $D$ が「てっぺんからの深さ」、分母の $\lvert a \rvert$ が「山のとがり具合」にあたります。 $D$ ${}= 0$ で長さが $0$ になるのが、接する場合です。

共有点の座標は方程式を解いて求め、接点は頂点、 $x$ 軸から切り取る線分の長さは $\dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}$ で、解かなくても分かるということです。

例題2：共有点の座標と線分の長さ

(1) 二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}- 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めなさい。また、グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。

(2) 二次関数 $y$ ${}= -2x^2$ ${}+ 8x$ ${}- 8$ のグラフは $x$ 軸に接することを示し、接点の座標を求めなさい。

(3) 二次関数 $y$ ${}= 3x^2$ ${}- 2x$ ${}- 2$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。

【解答】

(1) $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 2$ ${}= 0$ を解くと、 $b'$ ${}= -1$ として $x$ ${}= 1$ ${}\pm \sqrt{1 + 2}$ ${}= 1$ ${}\pm \sqrt{3}$ 。共有点の座標は

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.2061em}(1 - \sqrt{3},\ 0),}

線分の長さは 2 つの $x$ 座標の差で、 $(1 + \sqrt{3})$ ${}- (1 - \sqrt{3})$ ${}= \underline{2\sqrt{3}}$ です。公式で確かめると、 $D$ ${}= 4$ ${}+ 8$ ${}= 12$ なので $\dfrac{\sqrt{12}}{1}$ ${}= 2\sqrt{3}$ となり、一致します。

(2) $b'$ ${}= 4$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

なので、グラフは $x$ 軸に接します。接点の $x$ 座標は $-\dfrac{b}{2a}$ ${}= -\dfrac{8}{2 \times (-2)}$ ${}= 2$ です。 $\underline{\text{接点}\ (2,\ 0)}$

実際、 $y$ ${}= -2(x^2 - 4x + 4)$ ${}= -2(x - 2)^2$ です。

(3) $D$ ${}= (-2)^2$ ${}- 4 \times 3 \times (-2)$ ${}= 4$ ${}+ 24$ ${}= 28$ ${}> 0$ なので、グラフは $x$ 軸と 2 点で交わります。線分の長さは

\displaystyle \frac{\sqrt{28}}{\lvert 3 \rvert}

(3) は、解 $x$ ${}= \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$ を求めてから差をとっても同じ結果になります。長さだけが聞かれているなら、公式を使うほうが速く済みます。

共有点の個数から定数を決める

係数に文字が入っていても、 $D$ を計算すればその文字の式になります。共有点の条件を $D$ の条件に言いかえれば、文字の値や範囲が決まります。

公式3：共有点の条件と判別式

二次関数 $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ のグラフについて

条件	判別式などで書くと
$x$ 軸と異なる 2 点で交わる	$D > 0$
$x$ 軸に接する	$D = 0$
$x$ 軸と共有点をもつ	$D \geqq 0$
$x$ 軸と共有点をもたない	$D < 0$
グラフ全体が $x$ 軸より上（すべての $x$ で $y > 0$ ）	$a > 0$ かつ $D < 0$
グラフ全体が $x$ 軸より下（すべての $x$ で $y < 0$ ）	$a < 0$ かつ $D < 0$

「二次関数」と断っていない $y$ ${}= kx^2$ ${}+ \cdots$ では、 $k$ ${}= 0$ のとき直線（一次関数か定数関数）になるので、その場合を別に調べる。

表の下の 2 行は、 $D$ ${}< 0$ だけでは足りません。 $D$ ${}< 0$ はグラフが $x$ 軸から浮いていることしか言っていないので、上に浮いているのか下に浮いているのかは、 $a$ の符号（凸の向き）で決まります。

$D$ を文字の式として見ると、文字の値を動かすにつれて、2 つの交点が近づいたり離れたりします。両開きの自動ドアが閉まるとき、左右の扉の端はだんだん近づいて、最後に真ん中の 1 か所でぴたりと合わさります。 $D$ ${}> 0$ から $D$ が小さくなっていくと、2 つの交点がちょうどこのように近づき、 $D$ ${}= 0$ で 1 点に重なります。これが「接する」です。さらに $D$ ${}< 0$ に進むと、交点は消えます。つまり $D$ ${}= 0$ は、「交わる」と「離れる」の境目です。

なお、この章では $D$ が文字の一次式になる問題（または $D$ ${}= 0$ を解けばよい問題）だけを扱います。 $D$ が文字の二次式で、 $D$ ${}> 0$ のような不等式を解く必要がある問題は、第7章で二次不等式を学んでから扱います。

共有点の条件を判別式の等式・不等式に言いかえれば文字の値が決まり、「グラフ全体が $x$ 軸より上」は $a$ ${}> 0$ と $D$ ${}< 0$ の両方が要るということです。

例題3：共有点の条件から定数を決める

(1) $k$ を定数とします。二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 2k$ ${}- 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を、 $k$ の値によって分類しなさい。

(2) 二次関数 $y$ ${}= kx^2$ ${}- 2x$ ${}+ k$ のグラフが $x$ 軸に接するように、定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求めなさい。

(3) 二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 2k$ ${}- 3$ のグラフが $x$ 軸より常に上にあるような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

【解答】

(1) $b'$ ${}= -3$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

$D$ ${}> 0$ ${}\iff 10$ ${}- 2k$ ${}> 0$ ${}\iff k$ ${}< 5$ なので、次のように分類できます。

\underline{\begin{aligned}&k < 5 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = 5 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &k > 5 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

(2) 二次関数なので $k$ ${}\neq 0$ です。 $b'$ ${}= -1$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

接する条件は $\dfrac{D}{4}$ ${}= 0$ なので、 $k^2$ ${}= 1$ より $k$ ${}= \pm 1$ 。どちらも $k$ ${}\neq 0$ を満たします。

$k$ ${}= 1$ のとき　 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= (x - 1)^2$ なので、接点は $(1,\ 0)$
$k$ ${}= -1$ のとき　 $y$ ${}= -x^2$ ${}- 2x$ ${}- 1$ ${}= -(x + 1)^2$ なので、接点は $(-1,\ 0)$

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}k = 1 \ \text{のとき接点}\ (1,\ 0),}

(3) $x^2$ の係数は $1$ ${}> 0$ なので、グラフは下に凸です。あとは $x$ 軸と共有点をもたなければよいので、 $b'$ ${}= 1$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

より $\underline{k > 2}$ です。

(2) で $\dfrac{D}{4}$ ${}= 1$ ${}- k^2$ は $k$ の二次式ですが、「 $= 0$ 」なら第5章の方法で解けます。「 $> 0$ 」となる $k$ の範囲は、第7章で求められるようになります。

方程式 $f(x)$ ${}= k$ の解の個数

第1章の公式5で、「方程式 $f(x)$ ${}= k$ の実数解は、グラフ $y$ ${}= f(x)$ と直線 $y$ ${}= k$ の共有点の $x$ 座標」だと学びました。判別式と組み合わせると、解の個数をグラフで数えられます。

公式4：方程式

f(x)

{}= k

の解の個数

方程式 $f(x)$ ${}= k$ の実数解の個数は、グラフ $y$ ${}= f(x)$ と直線 $y$ ${}= k$ の共有点の個数に等しい。

$f(x)$ ${}= a(x - p)^2$ ${}+ q$ ， $a$ ${}> 0$ のとき、 $k$ を下から動かすと

$k$ の値	$k < q$	$k = q$	$k > q$
実数解の個数	0 個	1 個（ $x = p$ ）	2 個

（ $a$ ${}< 0$ のときは、 $k$ ${}> q$ で 0 個、 $k$ ${}< q$ で 2 個。）

定義域があるときは、定義域の部分だけのグラフをかいて、直線 $y$ ${}= k$ を上下に動かして数える。端点を含むかどうか（●と○）に注意する。

$f(x)$ ${}- k$ ${}= 0$ の判別式を調べても同じ結果になりますが、グラフを使うほうが、定義域があるときや、あとで学ぶもっと複雑な関数のときにも通用します。定数 $k$ を右辺に分離しておくのがこつです。すると $y$ ${}= f(x)$ のグラフは $k$ と関係なく固定され、動くのは水平な直線 $y$ ${}= k$ だけになります。

走り高跳びを思い浮かべてください。選手の体の通り道は上に凸の放物線です。バーが通り道のいちばん高いところより低ければ、体はバーの高さを 2 回通ります（上がるときと下りるとき）。バーがちょうど最高点の高さなら、1 回かすめるだけ。最高点より高ければ、一度もその高さに届きません。上に凸なので、「バーが低いほど 2 回」になるのが、表の $a$ ${}< 0$ の場合です。

$f(x)$ ${}= k$ の解の個数は、固定したグラフ $y$ ${}= f(x)$ に水平な直線 $y$ ${}= k$ を当てて、共有点を数えればよいということです。

例題4：解の個数とグラフ

$k$ を定数とします。

(1) 方程式 $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 3$ ${}= k$ の実数解の個数を、 $k$ の値によって分類しなさい。

(2) 方程式 $x^2$ ${}- 2x$ ${}- k$ ${}= 0$ の $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$ の範囲にある解の個数を、 $k$ の値によって分類しなさい。

【解答】

(1) $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 3$ ${}= (x - 2)^2$ ${}- 1$ のグラフは、頂点 $(2,\ -1)$ の下に凸の放物線です。直線 $y$ ${}= k$ との共有点の個数を数えて

\underline{\begin{aligned}&k > -1 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = -1 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &k < -1 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

判別式でも確かめられます。 $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 3$ ${}- k$ ${}= 0$ で $\dfrac{D}{4}$ ${}= 4$ ${}- (3 - k)$ ${}= k$ ${}+ 1$ なので、 $k$ ${}> -1$ で $D$ ${}> 0$ です。

(2) $k$ を分離して $x^2$ ${}- 2x$ ${}= k$ とし、 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x \ (0 \leqq x \leqq 3)$ のグラフと直線 $y$ ${}= k$ の共有点を数えます。

\displaystyle y

頂点は $(1,\ -1)$ 、左端は $(0,\ 0)$ 、右端は $(3,\ 3)$ で、両端とも含みます。

直線 $y$ ${}= k$ を下から上へ動かすと

$k$ ${}< -1$ のときは、グラフに届かないので 0 個
$k$ ${}= -1$ のときは、頂点だけで 1 個
$-1$ ${}< k$ ${}\leqq 0$ のときは、頂点の左右に 1 つずつで 2 個（ $k$ ${}= 0$ では $x$ ${}= 0,$ $\ 2$ で、左端の $x$ ${}= 0$ も含む）
$0$ ${}< k$ ${}\leqq 3$ のときは、頂点の右側だけで 1 個（左側の部分は高さ $0$ までしかない）
$k$ ${}> 3$ のときは 0 個

\underline{\begin{aligned}&k < -1,\ k > 3 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個} \\ &k = -1,\ 0 < k \leqq 3 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &-1 < k \leqq 0 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個}\end{aligned}}

境目の $k$ ${}= 0$ と $k$ ${}= 3$ は、実際に解いて確かめます。 $k$ ${}= 0$ なら $x(x - 2)$ ${}= 0$ で $x$ ${}= 0,$ $\ 2$ がどちらも範囲内、 $k$ ${}= 3$ なら $(x - 3)(x + 1)$ ${}= 0$ で範囲内は $x$ ${}= 3$ だけです。

放物線と直線

$x$ 軸は、直線 $y$ ${}= 0$ のことでした。相手が一般の直線 $y$ ${}= mx$ ${}+ n$ になっても、考え方は変わりません。

公式5：放物線と直線の位置関係

放物線 $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ と直線 $y$ ${}= mx$ ${}+ n$ の共有点の $x$ 座標は、 $y$ を消去した二次方程式

\displaystyle ax^2

の実数解である。この方程式の判別式を $D$ とすると

$D$ ${}> 0$ ${}\iff$ 異なる 2 点で交わる
$D$ ${}= 0$ ${}\iff$ 1 点で接する（直線は放物線の接線、重解が接点の $x$ 座標）
$D$ ${}< 0$ ${}\iff$ 共有点をもたない

ただし、 $y$ 軸に平行な直線 $x$ ${}= t$ は、放物線とつねに 1 点で交わるが、接線ではない。

$y$ を消去した式は「放物線の $y$ − 直線の $y$ $= 0$ 」と同じです。つまり、2 つのグラフの高さの差が $0$ になる $x$ を探していることになります。

リレーで 2 チームの走者が並んで走っている場面を考えます。「どこで並んだか」を知りたいとき、2 人の位置をそれぞれ追うより、「A チームが何 m リードしているか」という差だけを見て、差が $0$ になる瞬間を探すほうが簡単です。差が一度 $0$ になって符号が変わるなら抜いた、 $0$ になった瞬間にまた広がっていくなら、並びかけて抜ききれなかった——これが「接する」です。放物線と直線でも、差の二次関数 $ax^2$ ${}+ (b - m)x$ ${}+ (c - n)$ と $x$ 軸の関係を調べれば、公式1 がそのまま使えます。

最後の注意の直線 $x$ ${}= t$ は、 $y$ を消去できない（式に $y$ しか残らない）ので、判別式の話に乗りません。放物線を縦に貫いて通り過ぎるだけなので、共有点が 1 つでも「接する」とは言いません（厳密定義のページで扱います）。

放物線と直線は、 $y$ を消去した二次方程式（高さの差が $0$ になる式）の判別式で、交わる・接する・離れるが分かり、接するときは重解が接点の $x$ 座標になるということです。

例題5：放物線と直線

(1) $k$ を定数とします。放物線 $y$ ${}= x^2$ と直線 $y$ ${}= 2x$ ${}+ k$ の共有点の個数を $k$ の値によって分類しなさい。また、接するときの接点の座標を求めなさい。

(2) 点 $(1,\ -3)$ を通り、放物線 $y$ ${}= x^2$ に接する直線の方程式と、そのときの接点の座標を求めなさい。

【解答】

(1) $y$ を消去して $x^2$ ${}= 2x$ ${}+ k$ 、すなわち $x^2$ ${}- 2x$ ${}- k$ ${}= 0$ 。 $b'$ ${}= -1$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

\underline{\begin{aligned}&k > -1 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = -1 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個（接する）} \\ &k < -1 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

$k$ ${}= -1$ のとき、方程式は $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= (x - 1)^2$ ${}= 0$ で、重解 $x$ ${}= 1$ 。 $y$ ${}= 1^2$ ${}= 1$ なので $\underline{\text{接点}\ (1,\ 1)}$ です。

(2) 点 $(1,\ -3)$ を通る直線のうち、 $x$ ${}= 1$ は $y$ 軸に平行で接線になりません。そこで傾きを $m$ として、直線を $y$ ${}= m(x - 1)$ ${}- 3$ とおきます。 $y$ を消去して

\displaystyle x^2

接する条件は $D$ ${}= 0$ です。

\displaystyle D

より $m$ ${}= 6,$ ${}\ -2$ 。接点の $x$ 座標は重解 $x$ ${}= \dfrac{m}{2}$ です。

$m$ ${}= 6$ のとき　直線 $y$ ${}= 6x$ ${}- 9$ 、接点の $x$ 座標は $3$ で、接点 $(3,\ 9)$
$m$ ${}= -2$ のとき　直線 $y$ ${}= -2x$ ${}- 1$ 、接点の $x$ 座標は $-1$ で、接点 $(-1,\ 1)$

\underline{\begin{aligned}&y = 6x - 9 \ \text{（接点}\ (3,\ 9)\text{）} \\ &y = -2x - 1 \ \text{（接点}\ (-1,\ 1)\text{）}\end{aligned}}

確かめると、 $x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 9$ ${}= (x - 3)^2$ 、 $x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 1$ ${}= (x + 1)^2$ で、どちらも重解になっています。放物線の外の点からは、接線が 2 本引けます。

第7章へ——「上にある」を不等式で

この章では、グラフが $x$ 軸と交わるか、どこで交わるかを調べました。 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= (x + 1)(x - 3)$ のグラフは、 $x$ 軸と $x$ ${}= -1,$ $\ 3$ で交わり、その間 $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ では $x$ 軸より下にあります。これを式で書くと

\displaystyle x^2

という二次不等式の答えになります。第7章では、このように「グラフが $x$ 軸より上か下か」を読むことで二次不等式を解きます。例題3 で後回しにした「 $D$ ${}= 1$ ${}- k^2$ ${}> 0$ となる $k$ の範囲」も、そこで求められるようになります。公式3 の「グラフ全体が $x$ 軸より上」は、「すべての $x$ で $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}> 0$ が成り立つ」という不等式の条件として、第7章でもう一度登場します。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- 5x$ ${}+ 3$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めなさい。

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答え

$\underline{2\ \text{個}}$ （ $D$ ${}= 25$ ${}- 12$ ${}= 13$ ${}> 0$ ）

自己採点：

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問2

二次関数 $y$ ${}= 4x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{1\ \text{個}}$ （ $\dfrac{D}{4}$ ${}= 4$ ${}- 4$ ${}= 0$ で接する。接点は $\left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問3

二次関数 $y$ ${}= -x^2$ ${}+ 2x$ ${}- 3$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{0\ \text{個}}$ （ $\dfrac{D}{4}$ ${}= 1$ ${}- 3$ ${}= -2$ ${}< 0$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問4

二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 6x$ ${}+ k$ のグラフが $x$ 軸に接するように、定数 $k$ の値を定めなさい。

答えを見る

答え

$\underline{k = 9}$ （ $\dfrac{D}{4}$ ${}= 9$ ${}- k$ ${}= 0$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問5

放物線 $y$ ${}= x^2$ と直線 $y$ ${}= 2x$ ${}- 1$ の共有点の個数を求めなさい。

答えを見る

答え

$\underline{1\ \text{個}}$ （ $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ で $\dfrac{D}{4}$ ${}= 1$ ${}- 1$ ${}= 0$ 。点 $(1,\ 1)$ で接する）

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) $y$ ${}= 2x^2$ ${}- 3x$ ${}- 4$

(2) $y$ ${}= -3x^2$ ${}+ 6x$ ${}- 3$

(3) $y$ ${}= x^2$ ${}- x$ ${}+ 1$

上の (1)〜(3) の二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $2$ 個　(2) $1$ 個　(3) $0$ 個

解説

判別式の符号を調べます（公式1）。

(1) $D$ ${}= (-3)^2$ ${}- 4 \times 2 \times (-4)$ ${}= 9$ ${}+ 32$ ${}= 41$ ${}> 0$ なので $\underline{2\ \text{個}}$ 。

(2) $b'$ ${}= 3$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

なので $\underline{1\ \text{個}}$ （接する）。 $y$ ${}= -3(x - 1)^2$ で、接点は $(1,\ 0)$ です。

(3) $D$ ${}= (-1)^2$ ${}- 4 \times 1 \times 1$ ${}= -3$ ${}< 0$ なので $\underline{0\ \text{個}}$ 。

(2) は $a$ ${}< 0$ なので、 $ac$ ${}= (-3) \times (-3)$ ${}= 9$ の符号に注意します。

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問2　★

(1) $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}- 4$

(2) $y$ ${}= -4x^2$ ${}+ 12x$ ${}- 9$

上の (1)，(2) の二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $(1 - \sqrt{5},\ 0)$ ， $(1 + \sqrt{5},\ 0)$ 　(2) $\left(\dfrac{3}{2},\ 0\right)$ （接点）

解説

共有点の $x$ 座標は、 $y$ ${}= 0$ とおいた二次方程式の実数解です（公式2）。

(1) $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 4$ ${}= 0$ を $b'$ ${}= -1$ として解くと

\displaystyle x

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.2061em}(1 - \sqrt{5},\ 0),}

(2) $b'$ ${}= 6$ として $\dfrac{D}{4}$ ${}= 6^2$ ${}- (-4) \times (-9)$ ${}= 36$ ${}- 36$ ${}= 0$ なので、グラフは $x$ 軸に接します。接点の $x$ 座標は

\displaystyle -\frac{b}{2a}

\underline{\left(\frac{3}{2},\ 0\right)}

実際、 $y$ ${}= -(4x^2 - 12x + 9)$ ${}= -(2x - 3)^2$ です。

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問3　★

(1) $y$ ${}= x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 4$

(2) $y$ ${}= -2x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 1$

(3) $y$ ${}= x^2$ ${}+ x$ ${}- 1$

上の (1)〜(3) の二次関数のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $2\sqrt{5}$ 　(2) $\sqrt{6}$ 　(3) $\sqrt{5}$

解説

長さは $\dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}$ 、 $b$ ${}= 2b'$ なら $\dfrac{2\sqrt{D/4}}{\lvert a \rvert}$ です（公式2）。

(1) $\dfrac{D}{4}$ ${}= 9$ ${}- 4$ ${}= 5$ なので、長さは $\dfrac{2\sqrt{5}}{1}$ ${}= \underline{2\sqrt{5}}$ 。解は $x$ ${}= 3$ ${}\pm \sqrt{5}$ で、差は確かに $2\sqrt{5}$ です。

(2) $\dfrac{D}{4}$ ${}= 2^2$ ${}- (-2) \times 1$ ${}= 6$ なので、長さは

\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{\lvert -2 \rvert}

解は $2x^2$ ${}- 4x$ ${}- 1$ ${}= 0$ より $x$ ${}= \dfrac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ で、差は $\sqrt{6}$ です。

(3) $D$ ${}= 1$ ${}+ 4$ ${}= 5$ なので、長さは $\dfrac{\sqrt{5}}{1}$ ${}= \underline{\sqrt{5}}$ 。

(2) のように $a$ ${}< 0$ のときも、分母は絶対値 $\lvert a \rvert$ にします。

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問4　★

$k$ を定数とします。二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ k$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を、 $k$ の値によって場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}< 4$ のとき $2$ 個， $k$ ${}= 4$ のとき $1$ 個， $k$ ${}> 4$ のとき $0$ 個

解説

$b'$ ${}= -2$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

$D$ ${}> 0$ ${}\iff k$ ${}< 4$ ， $D$ ${}= 0$ ${}\iff k$ ${}= 4$ ， $D$ ${}< 0$ ${}\iff k$ ${}> 4$ なので

\underline{\begin{aligned}&k < 4 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = 4 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &k > 4 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

グラフで見ると、 $y$ ${}= (x - 2)^2$ ${}+ k$ ${}- 4$ の頂点 $(2,\ k - 4)$ が、 $k$ ${}< 4$ なら $x$ 軸より下、 $k$ ${}> 4$ なら上にあります。

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問5　★

二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2kx$ ${}+ 3k$ ${}- 2$ のグラフが $x$ 軸に接するように、定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}= 1$ のとき接点 $(1,\ 0)$ ， $k$ ${}= 2$ のとき接点 $(2,\ 0)$

解説

$b'$ ${}= -k$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

接する条件は $\dfrac{D}{4}$ ${}= 0$ なので、 $k$ ${}= 1,$ $\ 2$ です。接点の $x$ 座標は $-\dfrac{b}{2a}$ ${}= \dfrac{2k}{2}$ ${}= k$ です。

$k$ ${}= 1$ のとき　 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= (x - 1)^2$ で、接点は $(1,\ 0)$
$k$ ${}= 2$ のとき　 $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 4$ ${}= (x - 2)^2$ で、接点は $(2,\ 0)$

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}k = 1 \ \text{のとき接点}\ (1,\ 0),}

$\dfrac{D}{4}$ は $k$ の二次式ですが、「 $= 0$ 」なので第5章の方法で解けます。

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問6　★

放物線 $y$ ${}= x^2$ ${}- x$ ${}+ 2$ と直線 $y$ ${}= 3x$ ${}- 2$ の共有点の個数と、共有点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$1$ 個（接する），共有点 $(2,\ 4)$

解説

$y$ を消去します（公式5）。

\displaystyle x^2

$\dfrac{D}{4}$ ${}= (-2)^2$ ${}- 4$ ${}= 0$ なので、放物線と直線は接していて、共有点は $1$ 個です。

$(x - 2)^2$ ${}= 0$ より $x$ ${}= 2$ （重解）。 $y$ ${}= 3 \times 2$ ${}- 2$ ${}= 4$ なので

\underline{1\ \text{個，共有点}\ (2,\ 4)}

放物線の式に入れても $4$ ${}- 2$ ${}+ 2$ ${}= 4$ で一致します。直線 $y$ ${}= 3x$ ${}- 2$ は、点 $(2,\ 4)$ における放物線の接線です。

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問7　★

$k$ を定数とし、二次関数 $y$ ${}= -x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ k$ を考えます。

(1) グラフが $x$ 軸と共有点をもつ

(2) グラフ全体が $x$ 軸より下にある

上の (1)，(2) の条件を満たす $k$ の値の範囲を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $k$ ${}\geqq -4$ 　(2) $k$ ${}< -4$

解説

$b'$ ${}= 2$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

(1) 共有点をもつ条件は $D$ ${}\geqq 0$ なので、 $4$ ${}+ k$ ${}\geqq 0$ より $\underline{k \geqq -4}$ 。

(2) $x^2$ の係数が $-1$ ${}< 0$ なので、グラフは上に凸です。全体が $x$ 軸より下にある条件は、共有点をもたないこと、すなわち $D$ ${}< 0$ です（公式3）。 $4$ ${}+ k$ ${}< 0$ より $\underline{k < -4}$ 。

上に凸のグラフは、 $x$ 軸から浮くとすれば必ず下側に浮くので、(2) はちょうど (1) の否定になっています。平方完成すると $y$ ${}= -(x - 2)^2$ ${}+ k$ ${}+ 4$ で、頂点の $y$ 座標 $k$ ${}+ 4$ が負になる条件と同じです。

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問8　★

二次関数 $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ のグラフについて、次の (1)〜(4) の場合を考えます。

(1) $a$ ${}> 0$ で、頂点が $(1,\ 2)$

(2) $a$ ${}< 0$ で、頂点が $(-1,\ 3)$

(3) $a$ ${}> 0$ で、頂点が $(3,\ 0)$

(4) $a$ ${}< 0$ で、頂点が $(2,\ -1)$

上の (1)〜(4) のそれぞれについて、判別式 $D$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ の符号を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $D$ ${}< 0$ 　(2) $D$ ${}> 0$ 　(3) $D$ ${}= 0$ 　(4) $D$ ${}< 0$

解説

$x$ 軸との共有点の個数を、グラフの形から読みとります。

(1) 下に凸で頂点が $x$ 軸より上 → 共有点なし → $\underline{D < 0}$

(2) 上に凸で頂点が $x$ 軸より上 → $x$ 軸と 2 点で交わる → $\underline{D > 0}$

(3) 頂点が $x$ 軸上 → 接する → $\underline{D = 0}$

(4) 上に凸で頂点が $x$ 軸より下 → 共有点なし → $\underline{D < 0}$

式で確かめることもできます。頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{D}{4a}$ なので、 $D$ ${}= -4a \times (\text{頂点の}\ y\ \text{座標})$ です。たとえば (2) は $D$ ${}= -4a \times 3$ で、 $a$ ${}< 0$ なので $D$ ${}> 0$ です。(4) は $D$ ${}= -4a \times (-1)$ ${}= 4a$ ${}< 0$ です。「頂点が $x$ 軸より上だから $D$ ${}< 0$ 」と覚えると、(2) で間違えます。凸の向きと組み合わせて判断します。

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問9　★★

$k$ を定数とします。関数 $y$ ${}= kx^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を、 $k$ の値によって場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}< 0$ ， $0$ ${}< k$ ${}< 2$ のとき $2$ 個； $k$ ${}= 0$ ， $k$ ${}= 2$ のとき $1$ 個； $k$ ${}> 2$ のとき $0$ 個

解説

「二次関数」と書かれていないので、 $x^2$ の係数が $0$ になる場合を先に調べます（公式3）。

$k$ ${}= 0$ のとき　 $y$ ${}= 4x$ ${}+ 2$ は傾き $4$ の直線で、 $x$ 軸と点 $\left(-\dfrac{1}{2},\ 0\right)$ の 1 点で交わります。共有点は $1$ 個です。

$k$ ${}\neq 0$ のとき　二次関数なので判別式を使います。 $b'$ ${}= 2$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

$k$ ${}< 2$ （ただし $k$ ${}\neq 0$ ）で $2$ 個、 $k$ ${}= 2$ で $1$ 個、 $k$ ${}> 2$ で $0$ 個です。

まとめると

\underline{\begin{aligned}&k < 0,\ 0 < k < 2 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = 0,\ k = 2 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &k > 2 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

$k$ ${}= 0$ の直線は $x$ 軸と交わっている（接してはいない）ので、共有点の数は $1$ 個でも $k$ ${}= 2$ の場合とは様子が違います。

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問10　★★

条件を満たす $k$ がないときは「ない」と答えることにします。 $k$ を定数とし、関数 $y$ ${}= kx^2$ ${}+ 6x$ ${}+ 3$ を考えます。

(1) すべての実数 $x$ で $y$ ${}> 0$ となる

(2) すべての実数 $x$ で $y$ ${}< 0$ となる

上の (1)，(2) の条件を満たす $k$ の値の範囲を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $k$ ${}> 3$ 　(2) ない

解説

$k$ ${}= 0$ のとき　 $y$ ${}= 6x$ ${}+ 3$ は直線で、 $x$ が大きければ正、小さければ負になります。(1)，(2) のどちらも満たしません。

$k$ ${}\neq 0$ のとき　 $b'$ ${}= 3$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

(1) グラフ全体が $x$ 軸より上にある条件は、 $k$ ${}> 0$ かつ $D$ ${}< 0$ です（公式3）。 $9$ ${}- 3k$ ${}< 0$ より $k$ ${}> 3$ で、これは $k$ ${}> 0$ も満たします。 $\underline{k > 3}$

(2) グラフ全体が $x$ 軸より下にある条件は、 $k$ ${}< 0$ かつ $D$ ${}< 0$ 、すなわち $k$ ${}< 0$ かつ $k$ ${}> 3$ です。これを満たす $k$ はありません。 $\underline{\text{ない}}$

$k$ ${}< 0$ のとき $\dfrac{D}{4}$ ${}= 9$ ${}- 3k$ ${}> 0$ となり、上に凸のグラフが必ず $x$ 軸をまたいでしまいます。定数項 $3$ が正なので、グラフは点 $(0,\ 3)$ を通り、 $x$ 軸より下に収まりようがないのです。

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問11　★★

二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- kx$ ${}+ 2k$ ${}- 4$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが $6$ となるように、定数 $k$ の値を定めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}= -2,$ $\ 10$

解説

判別式は

\displaystyle D

線分ができるには $D$ ${}> 0$ 、すなわち $k$ ${}\neq 4$ が必要です。このとき線分の長さは

\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{1}

（ $\sqrt{A^2}$ ${}= \lvert A \rvert$ に注意します。） $\lvert k - 4 \rvert$ ${}= 6$ より $k$ ${}- 4$ ${}= \pm 6$ なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k = -2,}

どちらも $k$ ${}\neq 4$ を満たします。

確かめ： $k$ ${}= 10$ なら $y$ ${}= x^2$ ${}- 10x$ ${}+ 16$ ${}= (x - 2)(x - 8)$ で長さ $6$ 、 $k$ ${}= -2$ なら $y$ ${}= x^2$ ${}+ 2x$ ${}- 8$ ${}= (x + 4)(x - 2)$ で長さ $6$ です。

実は $x^2$ ${}- kx$ ${}+ 2k$ ${}- 4$ ${}= (x - 2)(x - k + 2)$ と因数分解でき、 $x$ 軸との交点は $x$ ${}= 2$ と $x$ ${}= k$ ${}- 2$ です。長さは $\lvert (k - 2) - 2 \rvert$ ${}= \lvert k - 4 \rvert$ となり、同じ結果になります。

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問12　★★

$k$ を定数とします。二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- (k + 2)x$ ${}+ 2k$ のグラフは、 $k$ の値にかかわらず $x$ 軸と共有点をもつことを示しなさい。また、グラフが $x$ 軸に接するときの $k$ の値と、接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$D$ ${}= (k - 2)^2$ ${}\geqq 0$ より示される。接するのは $k$ ${}= 2$ のときで、接点 $(2,\ 0)$

解説

判別式を計算します。

\displaystyle D

実数の 2 乗は $0$ 以上なので、どんな $k$ でも $D$ ${}\geqq 0$ です。よって、グラフは $k$ の値にかかわらず $x$ 軸と共有点をもちます。（証明終）

接する条件は $D$ ${}= 0$ 、すなわち $(k - 2)^2$ ${}= 0$ より $k$ ${}= 2$ 。このとき $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 4$ ${}= (x - 2)^2$ なので、接点は $(2,\ 0)$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}k = 2,}

別の見方： $x^2$ ${}- (k + 2)x$ ${}+ 2k$ ${}= (x - 2)(x - k)$ と因数分解できるので、グラフは $k$ によらず点 $(2,\ 0)$ を通ります。もう 1 つの交点 $(k,\ 0)$ が $(2,\ 0)$ に重なるときが接する場合です。 $D$ が「文字の式の 2 乗」になったら、このような因数分解が隠れていることが多いです。

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問13　★★

$k$ を定数とします。放物線 $y$ ${}= x^2$ ${}- 3x$ ${}+ 5$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ の共有点の個数を、 $k$ の値によって場合分けして求めなさい。また、接するときの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}> 1$ のとき $2$ 個， $k$ ${}= 1$ のとき $1$ 個， $k$ ${}< 1$ のとき $0$ 個；接点 $(2,\ 3)$

解説

$y$ を消去すると

\displaystyle x^2

$b'$ ${}= -2$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

\underline{\begin{aligned}&k > 1 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = 1 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &k < 1 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

$k$ ${}= 1$ のとき、方程式は $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 4$ ${}= (x - 2)^2$ ${}= 0$ で、重解 $x$ ${}= 2$ 。 $y$ ${}= 2$ ${}+ 1$ ${}= 3$ なので

\underline{\text{接点}\ (2,\ 3)}

放物線の式でも $4$ ${}- 6$ ${}+ 5$ ${}= 3$ です。直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ は傾き $1$ のまま上下に動くので、 $k$ が大きいほど放物線の内側に入りこみ、2 点で交わります。

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問14　★★

点 $(0,\ -1)$ を通り、放物線 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 2x$ に接する直線の方程式と、そのときの接点の座標をすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$y$ ${}= -1$ （接点 $(-1,\ -1)$ ）， $y$ ${}= 4x$ ${}- 1$ （接点 $(1,\ 3)$ ）

解説

点 $(0,\ -1)$ を通る直線のうち、 $x$ ${}= 0$ （ $y$ 軸）は放物線と 1 点で交わるだけで接線ではありません。そこで傾きを $m$ として $y$ ${}= mx$ ${}- 1$ とおきます。 $y$ を消去して

\displaystyle x^2

接する条件は $D$ ${}= 0$ です。

\displaystyle D

接点の $x$ 座標は重解 $x$ ${}= -\dfrac{2 - m}{2}$ ${}= \dfrac{m - 2}{2}$ です。

$m$ ${}= 0$ のとき　直線 $y$ ${}= -1$ 。 $x$ ${}= -1$ で、 $y$ ${}= -1$ 。接点 $(-1,\ -1)$
$m$ ${}= 4$ のとき　直線 $y$ ${}= 4x$ ${}- 1$ 。 $x$ ${}= 1$ で、 $y$ ${}= 3$ 。接点 $(1,\ 3)$

\underline{\begin{aligned}&y = -1 \ \text{（接点}\ (-1,\ -1)\text{）} \\ &y = 4x - 1 \ \text{（接点}\ (1,\ 3)\text{）}\end{aligned}}

$y$ ${}= -1$ は、放物線 $y$ ${}= (x + 1)^2$ ${}- 1$ の頂点を通る水平な直線です。放物線の頂点での接線は、いつも $x$ 軸に平行になります。

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問15　★★

$k$ を定数とします。方程式 $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1$ ${}- k$ ${}= 0$ の $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 5$ の範囲にある解の個数を、 $k$ の値によって場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}< -3$ ， $k$ ${}> 6$ のとき $0$ 個； $k$ ${}= -3$ ， $1$ ${}< k$ ${}\leqq 6$ のとき $1$ 個； $-3$ ${}< k$ ${}\leqq 1$ のとき $2$ 個

解説

$k$ を分離して $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1$ ${}= k$ とし、 $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1 \ (0 \leqq x \leqq 5)$ のグラフと直線 $y$ ${}= k$ の共有点を数えます（公式4）。

\displaystyle y

頂点は $(2,\ -3)$ 、左端は $(0,\ 1)$ 、右端は $(5,\ 6)$ で、両端とも含みます。軸 $x$ ${}= 2$ から見て左側の部分は高さ $1$ まで、右側の部分は高さ $6$ まであります。

直線 $y$ ${}= k$ を下から動かすと

$k$ ${}< -3$ ： $0$ 個
$k$ ${}= -3$ ：頂点の $1$ 個
$-3$ ${}< k$ ${}\leqq 1$ ：軸の左右に $1$ 個ずつで $2$ 個
$1$ ${}< k$ ${}\leqq 6$ ：右側だけで $1$ 個
$k$ ${}> 6$ ： $0$ 個

\underline{\begin{aligned}&k < -3,\ k > 6 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個} \\ &k = -3,\ 1 < k \leqq 6 \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &-3 < k \leqq 1 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個}\end{aligned}}

境目の確かめ： $k$ ${}= 1$ なら $x^2$ ${}- 4x$ ${}= 0$ で $x$ ${}= 0,$ $\ 4$ （どちらも範囲内で 2 個）、 $k$ ${}= 6$ なら $x^2$ ${}- 4x$ ${}- 5$ ${}= 0$ で $x$ ${}= -1,$ $\ 5$ （範囲内は $5$ だけで 1 個）です。

自己採点：

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問16　★★

$k$ を定数とし、放物線 $y$ ${}= x^2$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ を考えます。

(1) 放物線と直線が異なる 2 点で交わるような $k$ の値の範囲を求めなさい。

(2) 2 つの共有点を結ぶ線分の長さが $3\sqrt{2}$ となるように、 $k$ の値を定めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $k$ ${}> -\dfrac{1}{4}$ 　(2) $k$ ${}= 2$

解説

$y$ を消去して $x^2$ ${}- x$ ${}- k$ ${}= 0$ 。判別式は

\displaystyle D

(1) $D$ ${}> 0$ より $1$ ${}+ 4k$ ${}> 0$ なので $\underline{k > -\dfrac{1}{4}}$ 。

(2) 2 つの共有点の $x$ 座標を $\alpha$ ${}< \beta$ とすると、その差は公式2 と同じ計算で $\beta$ ${}- \alpha$ ${}= \dfrac{\sqrt{D}}{1}$ ${}= \sqrt{1 + 4k}$ です。 2 点はどちらも直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ 上にあり、傾きが $1$ なので、 $y$ 座標の差も $\beta$ ${}- \alpha$ です。三平方の定理より、線分の長さは

\displaystyle \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\beta - \alpha)^2}

これが $3\sqrt{2}$ なので、 $\sqrt{1 + 4k}$ ${}= 3$ より $1$ ${}+ 4k$ ${}= 9$ 、 $\underline{k = 2}$ 。(1) の範囲に入っています。

確かめ： $k$ ${}= 2$ なら $x^2$ ${}- x$ ${}- 2$ ${}= (x + 1)(x - 2)$ ${}= 0$ で、共有点は $(-1,\ 1)$ ， $(2,\ 4)$ 。距離は $\sqrt{3^2 + 3^2}$ ${}= 3\sqrt{2}$ です。

$x$ 軸から切り取る線分と違い、斜めの直線では「 $x$ 座標の差」がそのまま長さにはなりません。傾き $m$ の直線なら、長さは $x$ 座標の差の $\sqrt{1 + m^2}$ 倍です。

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問17　★★★

$k$ を定数とします。方程式 $\lvert x^2 - 2x - 3 \rvert$ ${}= k$ の実数解の個数を、 $k$ の値によって場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}< 0$ のとき $0$ 個， $k$ ${}= 0$ のとき $2$ 個， $0$ ${}< k$ ${}< 4$ のとき $4$ 個， $k$ ${}= 4$ のとき $3$ 個， $k$ ${}> 4$ のとき $2$ 個

解説

$y$ ${}= \lvert x^2 - 2x - 3 \rvert$ のグラフと直線 $y$ ${}= k$ の共有点を数えます（公式4）。

$x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= (x + 1)(x - 3)$ ${}= (x - 1)^2$ ${}- 4$ なので、 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ のグラフは頂点 $(1,\ -4)$ で、 $x$ 軸と $x$ ${}= -1,$ $\ 3$ で交わります。絶対値をとると、 $x$ 軸より下にある $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ の部分が $x$ 軸に関して折り返され、そこは頂点 $(1,\ 4)$ の上に凸の山になります（第1章公式5 と同じ考え方）。

グラフは、両側の「下に凸の腕」（ $x$ ${}\leqq -1$ ， $x$ ${}\geqq 3$ 、高さ $0$ から上へどこまでも）と、真ん中の「山」（高さ $0$ から $4$ まで）でできています。直線 $y$ ${}= k$ を動かすと

$k$ ${}< 0$ ：グラフは $y$ ${}\geqq 0$ にあるので $0$ 個
$k$ ${}= 0$ ： $x$ ${}= -1,$ $\ 3$ の $2$ 個
$0$ ${}< k$ ${}< 4$ ：両側の腕に $1$ 個ずつ、山に $2$ 個で $4$ 個
$k$ ${}= 4$ ：両側の腕に $1$ 個ずつ、山の頂上 $x$ ${}= 1$ で $3$ 個
$k$ ${}> 4$ ：両側の腕に $1$ 個ずつで $2$ 個

\underline{\begin{aligned}&k < 0 \ \text{のとき}\ 0\ \text{個} \\ &k = 0,\ k > 4 \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &0 < k < 4 \ \text{のとき}\ 4\ \text{個} \\ &k = 4 \ \text{のとき}\ 3\ \text{個}\end{aligned}}

$k$ ${}= 4$ を計算で確かめます。 $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= 4$ から $x$ ${}= 1$ ${}\pm 2\sqrt{2}$ （ $1$ ${}+ 2\sqrt{2}$ ${}> 3$ ， $1$ ${}- 2\sqrt{2}$ ${}< -1$ で腕の上）、 $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= -4$ から $(x - 1)^2$ ${}= 0$ で $x$ ${}= 1$ 。合わせて $3$ 個です。

自己採点：

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問18　★★★

2 つの放物線 $y$ ${}= x^2$ ， $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 8$ の両方に接する直線の方程式を求めなさい。また、それぞれの放物線との接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

直線 $y$ ${}= 2x$ ${}- 1$ ；接点は $y$ ${}= x^2$ と $(1,\ 1)$ ， $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 8$ と $(3,\ 5)$

解説

$y$ 軸に平行な直線はどちらの放物線にも接しないので、求める直線を $y$ ${}= mx$ ${}+ n$ とおきます。

$y$ ${}= x^2$ に接する条件　 $x^2$ ${}- mx$ ${}- n$ ${}= 0$ が重解をもつので

\displaystyle D_1

$y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 8$ に接する条件　 $x^2$ ${}- (m + 4)x$ ${}+ (8 - n)$ ${}= 0$ が重解をもつので

\displaystyle D_2

$D_2$ ${}- D_1$ をつくって $m^2$ と $4n$ を消すと

\displaystyle 8m

$D_1$ ${}= 0$ に入れて $4$ ${}+ 4n$ ${}= 0$ より $n$ ${}= -1$ 。直線は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 1}$ です。

接点は重解から求めます。

$y$ ${}= x^2$ とは： $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= (x - 1)^2$ ${}= 0$ で $x$ ${}= 1$ 。接点 $\underline{(1,\ 1)}$
$y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 8$ とは： $x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 9$ ${}= (x - 3)^2$ ${}= 0$ で $x$ ${}= 3$ 。 $y$ ${}= 2 \times 3$ ${}- 1$ ${}= 5$ なので接点 $\underline{(3,\ 5)}$

2 つ目の放物線は $y$ ${}= (x - 2)^2$ ${}+ 4$ で、 $y$ ${}= x^2$ を $x$ 軸方向に $2$ ， $y$ 軸方向に $4$ 平行移動したものです。同じ形の放物線どうしなので、2 つの判別式の $m^2$ がそろって消え、共通接線が 1 本に決まりました。

自己採点：

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問19　★★★

$k$ を定数とし、2 つの放物線 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 1$ ， $y$ ${}= -x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ k$ を考えます。

(1) 2 つの放物線の共有点の個数を、 $k$ の値によって場合分けして求めなさい。

(2) 共有点がちょうど 1 個になるときの、その共有点の座標を求めなさい。また、その点を通り、2 つの放物線の両方に接する直線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $k$ ${}> \dfrac{1}{2}$ のとき $2$ 個， $k$ ${}= \dfrac{1}{2}$ のとき $1$ 個， $k$ ${}< \dfrac{1}{2}$ のとき $0$ 個　(2) 共有点 $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{4}\right)$ ，直線 $y$ ${}= x$ ${}+ \dfrac{3}{4}$

解説

(1) $y$ を消去すると

\displaystyle x^2

共有点の $x$ 座標はこの二次方程式の実数解で、 $x$ が決まれば $y$ も 1 つに決まるので、共有点の個数は実数解の個数と同じです。 $b'$ ${}= -1$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

\underline{\begin{aligned}&k > \frac{1}{2} \ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &k = \frac{1}{2} \ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &k < \frac{1}{2} \ \text{のとき}\ 0\ \text{個}\end{aligned}}

(2) $k$ ${}= \dfrac{1}{2}$ のとき、方程式は $2x^2$ ${}- 2x$ ${}+ \dfrac{1}{2}$ ${}= 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$ ${}= 0$ で、 $x$ ${}= \dfrac{1}{2}$ 。 $y$ ${}= \dfrac{1}{4}$ ${}+ 1$ ${}= \dfrac{5}{4}$ なので、共有点は $\underline{\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{4}\right)}$ です。

この点を通る直線（ $y$ 軸に平行なものは接線にならない）を $y$ ${}= m\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$ ${}+ \dfrac{5}{4}$ とおき、 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 1$ に接する条件を調べます。

\displaystyle x^2

\displaystyle D

より $m$ ${}= 1$ 。直線は $y$ ${}= x$ ${}- \dfrac{1}{2}$ ${}+ \dfrac{5}{4}$ 、すなわち $y$ ${}= x$ ${}+ \dfrac{3}{4}$ です。

もう一方の放物線にも接しているかを確かめます。 $k$ ${}= \dfrac{1}{2}$ として

\displaystyle -x^2

で重解になるので、同じ点で接しています。

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = x}

2 つの放物線は、この直線をはさんで上と下から同じ点で触れ合っています。 $y$ を消去した方程式が重解をもつことが、「放物線どうしが接する」ことの目印になっています。

自己採点：

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問20　★★★

$a$ を定数とし、二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2ax$ ${}+ 2a^2$ ${}- 4$ を考えます。

(1) グラフが $x$ 軸に接するように $a$ の値を定め、そのときの接点の座標を求めなさい。

(2) グラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わるとき、グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さの最大値と、そのときの $a$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $a$ ${}= 2$ のとき接点 $(2,\ 0)$ ， $a$ ${}= -2$ のとき接点 $(-2,\ 0)$ 　(2) $a$ ${}= 0$ のとき最大値 $4$

解説

$b'$ ${}= -a$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

(1) $\dfrac{D}{4}$ ${}= 0$ より $a^2$ ${}= 4$ 、 $a$ ${}= \pm 2$ 。平方完成すると $y$ ${}= (x - a)^2$ ${}+ a^2$ ${}- 4$ なので、接点（頂点）の $x$ 座標は $a$ です。

$a$ ${}= 2$ のとき　 $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 4$ ${}= (x - 2)^2$ で、接点 $(2,\ 0)$
$a$ ${}= -2$ のとき　 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 4$ ${}= (x + 2)^2$ で、接点 $(-2,\ 0)$

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}a = 2 \ \text{のとき接点}\ (2,\ 0),}

(2) 異なる 2 点で交わるのは $4$ ${}- a^2$ ${}> 0$ のときで、このとき切り取る線分の長さ $L$ は

\displaystyle L

$a^2$ ${}\geqq 0$ なので $4$ ${}- a^2$ ${}\leqq 4$ で、 $L$ ${}\leqq 2\sqrt{4}$ ${}= 4$ 。等号は $a$ ${}= 0$ のときで、このとき $\dfrac{D}{4}$ ${}= 4$ ${}> 0$ なので、確かに 2 点で交わる場合に入っています。

\underline{a = 0 \ \text{のとき最大値}\ 4}

$a$ ${}= 0$ なら $y$ ${}= x^2$ ${}- 4$ ${}= (x + 2)(x - 2)$ で、線分は $-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ の長さ $4$ です。

頂点 $(a,\ a^2 - 4)$ の $y$ 座標は $-\dfrac{D}{4}$ そのものです。形（ $x^2$ の係数 $1$ ）が変わらないので、頂点が $x$ 軸から深いほど切り取る線分は長く、いちばん深くなる $a$ ${}= 0$ で最長になります。

自己採点：

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数学小話コーナー

重解で接線を引いた人——デカルトの「円を当てる」方法

「 $x$ 軸に接する」とは、方程式が重解をもつこと——この章の中心になる考え方を、接線を引く方法として初めて大きく使ったのが、フランスの哲学者・数学者ルネ・デカルト（1596〜1650）です。1637 年の『方法序説』に付けた論文『幾何学』の中で、デカルトは曲線の法線（接点を通り、接線に垂直な直線）を求める方法を示しました。

アイデアはこうです。曲線上の点 P を通る円を、中心を決まった直線（たとえば軸）の上に置いて描きます。ふつうの円は、P の近くで曲線ともう 1 回交わります。中心を少しずつずらしていくと、その 2 つの交点が近づき、ある位置で重なります。そのとき円は曲線に接していて、円の中心と P を結ぶ線が法線になる、というわけです。「2 つの交点が重なる」は、式の上では「重解をもつ」です。

放物線 $y$ ${}= x^2$ の点 $(1,\ 1)$ でやってみます（※デカルト自身の記号や手順とは違い、現代風に書き直しています）。中心を $y$ 軸上の $(0,\ c)$ にとると、点 $(1,\ 1)$ を通る円は

\displaystyle x^2

です。放物線の $x^2$ ${}= y$ を代入して整理すると

\displaystyle y^2

となり、解は $y$ ${}= 1$ と $y$ ${}= 2c$ ${}- 2$ です。この 2 つが重なる、つまり $2c$ ${}- 2$ ${}= 1$ となるのは $c$ ${}= \dfrac{3}{2}$ のとき。法線は $(1,\ 1)$ と $\left(0,\ \dfrac{3}{2}\right)$ を結ぶ傾き $-\dfrac{1}{2}$ の直線なので、それに垂直な接線の傾きは $2$ 、接線は $y$ ${}= 2x$ ${}- 1$ です。基礎確認 k05 で「放物線 $y$ ${}= x^2$ と直線 $y$ ${}= 2x$ ${}- 1$ は接する」と確かめた、あの直線です。

デカルトはこの方法について、「幾何学で自分が知っているうちで最も有用で一般的な問題であり、ずっと知りたいと願ってきた問題でもある」という意味のことを書いています（※訳によって言い回しは違います）。

豆知識

同じころ、フランスのピエール・ド・フェルマーは別の方法で接線や極値を求めていて、どちらの方法が優れているかをめぐり、2 人は知人を通じた手紙で激しく言い争いました（1637〜1638 年ごろ ※経緯には諸説あり）。デカルトの方法は、曲線が複雑になると計算がとても重くなります。数十年後に微分が生まれると、接線の傾きは 1 行の計算で求められるようになりました。微分積分の分野で、 $y$ ${}= x^2$ の $x$ ${}= 1$ での傾きが $2$ になることを、もう一度確かめられます。

CG の光は判別式で当たり判定をする——レイトレーシング

映画やゲームの 3DCG には、レイトレーシング（光線追跡）という描き方があります。カメラから画面の 1 画素ごとに光線（レイ）を飛ばし、その光線がどの物体に最初に当たるかを調べて、その点の色を決める方法です。フルハイビジョンの画面なら、1 枚につき約 207 万本の光線を飛ばします。

このとき、「光線が球に当たるか」を決めているのが、判別式です。平面で様子を見てみましょう。カメラを原点に置き、中心 $(5,\ 0)$ ，半径 $3$ の円（ボールの断面）に向けて、直線 $y$ ${}= mx \ (x \geqq 0)$ の光線を飛ばします。円の式 $(x - 5)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ に $y$ ${}= mx$ を代入すると

\displaystyle (1 + m^2)x^2

$m$ ${}= 0$ （まっすぐ）： $\dfrac{D}{4}$ ${}= 9$ ${}> 0$ で、 $x$ ${}= 2,$ $\ 8$ 。光線は $x$ ${}= 2$ でボールに入り、 $x$ ${}= 8$ で抜けます。カメラに見えるのは手前の $x$ ${}= 2$ の点です。
$m$ ${}= \dfrac{3}{4}$ ： $\dfrac{D}{4}$ ${}= 0$ で、光線はボールの縁 $\left(\dfrac{16}{5},\ \dfrac{12}{5}\right)$ をかすめます。
$m$ ${}= 1$ ： $\dfrac{D}{4}$ ${}= -7$ ${}< 0$ で、光線はボールに当たりません。

空間の球でも、光線上の点を「出発点＋ $t$ × 向き」と表して球の式に入れると、 $t$ の二次方程式になり、まったく同じ判定ができます。実際のプログラムでは、まず判別式だけを計算して、負なら平方根の計算を省いて次の物体へ進みます。平方根は、足し算やかけ算に比べて時間のかかる計算だからです。 $b'$ の形の公式を使って、無駄な 2 倍や 4 倍を省く書き方もよく見かけます（※実装によって違います）。

豆知識

鏡や窓ガラスで反射・屈折した光線をさらに追いかける方法は、1980 年にターナー・ウィッテッドが発表した論文で広まりました（※先行研究あり）。長いあいだ、映画用の CG で 1 コマに何時間もかけて使う技術でしたが、2018 年ごろから、ゲーム機やパソコンのグラフィックス用の部品で、1 秒間に何十枚もの画面を計算できるようになりました（※製品による）。画面の 1 点 1 点で、判別式が「当たる・かすめる・外れる」を見分けています。

判別式の名付け親と、

D

の正体

「判別式」の英語 discriminant は、イギリスの数学者ジェームズ・ジョセフ・シルベスター（1814〜1897）が 1851 年の論文で使い始めた言葉だとされています（※）。シルベスターは新しい言葉を作るのが好きな人で、今では当たり前の「行列」を意味する matrix（1850 年 ※）も彼の命名です。自分のことを、動物に名前を付けたアダムになぞらえて「数学のアダム」と呼んだという話も伝わっています（※出典の解釈には諸説あり）。整数の性質の分野の厳密定義にも、彼の名前の付いた定理が出てきます。

では、 $D$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ は、そもそも何を測っている量なのでしょうか。二次方程式 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= 0$ の 2 つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とすると、数と式第11章の解と係数の関係から

\displaystyle (\beta - \alpha)^2

つまり

\displaystyle D

です。判別式の正体は、2 つの解の距離の 2 乗（に $a^2$ を掛けたもの）だったのです。こう見ると、この章の結果がすべて一度に説明できます。

$D$ ${}= 0$ は、2 つの解の距離が $0$ 、つまり解が重なっていること。
$D$ ${}> 0$ なら、距離 $\lvert \beta - \alpha \rvert$ ${}= \dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}$ が、 $x$ 軸から切り取る線分の長さそのもの。
$D$ ${}< 0$ は、「距離の 2 乗が負」という、実数ではありえない状態。だから実数解がありません（数と式第11章では、ここで虚数解が現れました）。

豆知識

3 次方程式にも判別式があり、3 つの解 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を使うと、 $a^4(\alpha - \beta)^2(\beta - \gamma)^2(\gamma - \alpha)^2$ と、やはり「解どうしの差の 2 乗」の積で表されます（ $a$ は $x^3$ の係数）。どれか 2 つの解が重なれば $0$ になる、という性質は二次のときと同じです。微分積分の分野の小話にも、3 次方程式の解の個数を決める式として登場しています。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、公式1〜5の手順が使えれば十分です。「接する」とは正確には何か、 $y$ 軸に平行な直線を接線と呼ばないのはなぜか、接線が放物線を横切らないのはなぜか、値域を判別式で求めてよいのはなぜか——が気になる人のために、根拠を示します。

以下、 $f(x)$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c \ (a \neq 0)$ とし、放物線 $y$ ${}= f(x)$ を $C$ と書きます。

定義1：共有点・交わる・接する

$y$ 軸に平行でない直線 $\ell : y$ ${}= mx$ ${}+ n$ について、 $C$ と $\ell$ の両方に属する点を共有点という。

\displaystyle g(x)

とおく。方程式 $g(x)$ ${}= 0$ が異なる 2 つの実数解をもつとき、 $C$ と $\ell$ は 2 点で交わるという。 $g(x)$ ${}= 0$ が重解 $\alpha$ をもつとき、 $\ell$ は $C$ に点 $(\alpha,\ f(\alpha))$ で接するといい、 $\ell$ を接線、この点を接点という。

$x$ 軸は、 $m$ ${}= n$ ${}= 0$ の場合である。

「接する」を「共有点がただ 1 つ」と定義しなかったのには理由があります。 $y$ 軸に平行な直線 $x$ ${}= t$ は、 $C$ とつねに点 $(t,\ f(t))$ のただ 1 点で交わります。けれども、この直線は放物線を縦に突き抜けていて、「触れる」という感じとはほど遠いものです。そこで、 $y$ 軸に平行な直線はあらかじめ除き、残りの直線について「重解」で接することを定めました。後の定理1で見るとおり、 $y$ 軸に平行でない直線に限れば、「共有点がただ 1 つ」と「接する」は同じことになります。

定理1：共有点の個数と判別式

定義1の $\ell$ について、 $g(x)$ ${}= 0$ の判別式を $D$ ${}= (b - m)^2$ ${}- 4a(c - n)$ とする。 $C$ と $\ell$ の共有点の個数は

\displaystyle D

である。とくに、 $C$ と $\ell$ の共有点がただ 1 つであることと、 $\ell$ が $C$ に接することは同値である。

証明　点 $(x,\ y)$ が共有点であるための条件は

\displaystyle y

である。したがって、 $g(x)$ ${}= 0$ の実数解 $x$ と共有点 $(x,\ mx + n)$ は、1 つずつ過不足なく対応する（ $x$ が違えば点も違う）。共有点の個数は $g(x)$ ${}= 0$ の実数解の個数に等しい。

$g(x)$ の $x^2$ の係数は $a$ ${}\neq 0$ なので、 $g(x)$ ${}= 0$ は二次方程式であり、第5章 teigi 定理3より、実数解の個数は $D$ の符号に応じて 2，1，0 個である。

後半：共有点がただ 1 つ $\iff$ $D$ ${}= 0$ $\iff$ $g(x)$ ${}= 0$ が重解をもつ $\iff$ 接する。（証明終）

証明のかぎは、「 $x$ を決めれば、直線上の点がただ 1 つに決まる」ことでした。 $y$ 軸に平行な直線ではこれが崩れる（ $x$ が 1 つの値しかとらない）ので、この議論に乗りません。

定理2：頂点の高さと判別式

$D_0$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ とすると

\displaystyle f(x)

であり、 $C$ の頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{D_0}{4a}$ である。さらに $a$ ${}> 0$ のとき

(i) すべての実数 $x$ で $f(x)$ ${}> 0$ $\iff$ $D_0$ ${}< 0$

(ii) すべての実数 $x$ で $f(x)$ ${}\geqq 0$ $\iff$ $D_0$ ${}\leqq 0$

証明　前半は第2章公式2 の平方完成である。

$a$ ${}> 0$ のとき、 $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$ ${}\geqq 0$ より、すべての $x$ で $f(x)$ ${}\geqq -\dfrac{D_0}{4a}$ であり、等号は $x$ ${}= -\dfrac{b}{2a}$ で成り立つ。よって $f(x)$ の最小値は $-\dfrac{D_0}{4a}$ である。

(i) すべての $x$ で $f(x)$ ${}> 0$ $\iff$ 最小値 $-\dfrac{D_0}{4a}$ ${}> 0$ $\iff$ $D_0$ ${}< 0$ （ $4a$ ${}> 0$ を使った）。

(ii) 同様に、最小値 $\geqq 0$ $\iff$ $D_0$ ${}\leqq 0$ 。（証明終）

「すべての $x$ で成り立つ」という条件は、「最小値について成り立つ」ことに言いかえられます。いちばん低いところが $0$ より上なら、ほかの場所も当然 $0$ より上だからです。 $a$ ${}< 0$ のときは、 $-f(x)$ にこの定理を使えば、公式3 の表の最後の行が得られます。第7章では、(i)，(ii) を不等式の言葉で使います。

定理3：接線の性質

定義1の $\ell$ が $C$ に点 $(\alpha,\ f(\alpha))$ で接するとき、次が成り立つ。

(i) すべての実数 $x$ で $f(x)$ ${}- (mx + n)$ ${}= a(x - \alpha)^2$

(ii) $a$ ${}> 0$ なら、 $C$ は接点を除いて $\ell$ より上にある（ $a$ ${}< 0$ なら下にある）。

(iii) 点 $(\alpha,\ f(\alpha))$ で $C$ に接する直線はただ 1 本であり、その傾きは $2a\alpha$ ${}+ b$ である。

証明　(i) $g(x)$ ${}= f(x)$ ${}- (mx + n)$ は $x^2$ の係数が $a$ で、判別式が $0$ である。平方完成すると

\displaystyle g(x)

であり、重解は $\alpha$ ${}= -\dfrac{b - m}{2a}$ なので、 $g(x)$ ${}= a(x - \alpha)^2$ である。

(ii) $x$ ${}\neq \alpha$ なら $(x - \alpha)^2$ ${}> 0$ なので、 $a$ ${}> 0$ のとき $g(x)$ ${}> 0$ 、すなわち $f(x)$ ${}> mx$ ${}+ n$ である。

(iii) (i) より

\displaystyle mx

が、すべての $x$ で成り立つ。第4章 teigi 定理1（係数比較）より $m$ ${}= 2a\alpha$ ${}+ b$ ， $n$ ${}= c$ ${}- a\alpha^2$ であり、 $m$ ， $n$ は $\alpha$ だけで決まる。（証明終）

(ii) は、接線が放物線を横切らないことを言っています。一方、 $y$ 軸に平行な直線 $x$ ${}= t$ の左右には、どちらにも放物線の点があります。定義1で縦の直線を除いたことは、この性質から見ても自然です。

(iii) の傾き $2a\alpha$ ${}+ b$ を例で確かめましょう。 $y$ ${}= x^2$ （ $a$ ${}= 1$ ， $b$ ${}= 0$ ）の $x$ ${}= 3$ では $6$ 、 $x$ ${}= -1$ では $-2$ で、例題5(2) の 2 本の接線の傾きと一致します。実践問題 j06 の $y$ ${}= x^2$ ${}- x$ ${}+ 2$ の $x$ ${}= 2$ では $2 \times 2$ ${}- 1$ ${}= 3$ で、直線 $y$ ${}= 3x$ ${}- 2$ の傾きと一致します。微分積分の分野では、この値を「 $f(x)$ の $x$ ${}= \alpha$ における微分係数」として、もっと一般の曲線で求めます。

定理4：共有点どうしの距離

定義1で $D$ ${}> 0$ とし、2 つの共有点の $x$ 座標を $\alpha$ ${}< \beta$ とすると

\displaystyle \beta

であり、2 つの共有点を結ぶ線分の長さは $\sqrt{1 + m^2}\,\dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}$ である。とくに $\ell$ が $x$ 軸のとき、 $C$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さは $\dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\lvert a \rvert}$ である。

証明　 $g(x)$ ${}= 0$ の解は $\dfrac{-(b - m) \pm \sqrt{D}}{2a}$ で、その差の絶対値は $\left\lvert \dfrac{2\sqrt{D}}{2a} \right\rvert$ ${}= \dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a \rvert}$ である。

2 つの共有点は $(\alpha,\ m\alpha + n)$ ， $(\beta,\ m\beta + n)$ なので、三平方の定理より距離は

\displaystyle \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + m^2(\beta - \alpha)^2}

である。（証明終）

実践問題 j16 は $m$ ${}= 1$ の場合で、 $\sqrt{2}$ 倍が現れました。

定理5：値域と、方程式が解をもつ条件

関数 $y$ ${}= h(x)$ の定義域を $X$ とする。実数 $k$ について

\displaystyle k \ \text{が}\ h\ \text{の値域に属する}

さらに、 $h(x)$ ${}= k$ の $X$ の中の解の個数は、グラフ $y$ ${}= h(x) \ (x \in X)$ と直線 $y$ ${}= k$ の共有点の個数に等しい。

証明　値域は $\{\,h(x) \mid x \in X\,\}$ なので、 $k$ が値域に属することは、 $h(x)$ ${}= k$ となる $x$ ${}\in X$ が存在することと同じである。

後半：点 $(x,\ y)$ がグラフと直線 $y$ ${}= k$ の共有点であることは、 $x$ ${}\in X$ ， $y$ ${}= h(x)$ ， $y$ ${}= k$ が同時に成り立つこと、すなわち $x$ が $h(x)$ ${}= k$ の $X$ の中の解で、 $y$ ${}= k$ であることと同値である。解 $x$ と共有点 $(x,\ k)$ は 1 つずつ対応する。（証明終）

この定理を使うと、値域を「答えの側」から求められます。たとえば $h(x)$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 7$ （定義域は実数全体）では

\displaystyle x^2

なので、値域は $y$ ${}\geqq 3$ 、最小値は $3$ です。平方完成 $h(x)$ ${}= (x - 2)^2$ ${}+ 3$ から求めた結果と一致します。第3章の小話3で、 $y$ ${}= \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ の値域を判別式で求めたのは、まさにこの定理の使い方でした。ただしあの計算では、 $y$ の値によって $x^2$ の係数が $0$ になる場合があり、公式3 の注意（係数が $0$ なら別に調べる）が必要になります。

後半は、第1章公式5 と、この章の公式4 の根拠です。 $k$ を分離してグラフを固定する方法は、定義域 $X$ が実数全体でなくてもそのまま使えます。

この章の学習が終わったら

学習完了テストを受ける

第6章 グラフと x 軸の位置関係

解かずに個数を知りたい

判別式と共有点の個数

共有点の座標と切り取る線分

共有点の個数から定数を決める

方程式 f(x)f(x)f(x)=k{}= k=k の解の個数

放物線と直線

第7章へ——「上にある」を不等式で

基礎確認問題（全5問）

実践問題（全20問）

数学小話コーナー

厳密定義（発展）

第6章　グラフと x 軸の位置関係

方程式 $f(x)$ ${}= k$ の解の個数