第3章　準2級 二次不等式

$x$${}= \dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$

$x$ の係数が偶数なので、$b'$${}= -2$ の形の解の公式を使います。根号の中は $(-2)^2$${}- 3 \cdot (-2)$${}= 10$ なので

よって $\underline{x = \dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{3}}$ です。

$k$${}= 3$ のとき接点 $(3,\ 0)$，$k$${}= -2$ のとき接点 $(-2,\ 0)$

$x$ 軸に接する条件は $\dfrac{D}{4}$${}= 0$ です。

より $k$${}= 3,$${}\ -2$ です。接点の $x$ 座標は頂点の $x$ 座標 $x$${}= k$ です。

• $k$${}= 3$：$y$${}= x^2$${}- 6x$${}+ 9$${}= (x - 3)^2$ で、接点は $(3,\ 0)$。
• $k$${}= -2$：$y$${}= x^2$${}+ 4x$${}+ 4$${}= (x + 2)^2$ で、接点は $(-2,\ 0)$。

よって $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}k = 3 \ \text{のとき接点}\ (3,\ 0),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\quad k = -2 \ \text{のとき接点}\ (-2,\ 0)}$ です。

$-\dfrac{3}{2}$${}\leqq x$${}\leqq 2$

たすき掛けで因数分解します。

$x$ 軸との交点は $x$${}= -\dfrac{3}{2},$$\ 2$ で、$\leqq 0$ なので内側（端を含む）です。よって $\underline{-\dfrac{3}{2} \leqq x \leqq 2}$ です。

確かめ：$x$${}= 0$ を代入すると $-6$${}\leqq 0$ で成り立ちます。

$x$${}< 1$${}- \sqrt{3},$$1$${}+ \sqrt{3}$${}< x$

両辺に $-1$ を掛けると、不等号の向きが変わります。

$x^2$${}- 2x$${}- 2$${}= 0$ の解は $x$${}= 1$${}\pm \sqrt{3}$ です。$> 0$ なので外側をとり、$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}x < 1}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}- \sqrt{3},}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\ 1}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}+ \sqrt{3} < x}$ です。

確かめ：$x$${}= 0$（内側）では $-x^2$${}+ 2x$${}+ 2$${}= 2$${}> 0$ となり成り立たないので、内側が解でないことと合っています。

$x$${}= \dfrac{2}{3}$

左辺は平方の形になります。

$(3x - 2)^2$${}\geqq 0$ はつねに成り立つので、$\leqq 0$ となるのは $(3x - 2)^2$${}= 0$ のときだけです。よって $\underline{x = \dfrac{2}{3}}$ です。

グラフで見ると、$y$${}= (3x - 2)^2$ は $x$ 軸に点 $\left(\dfrac{2}{3},\ 0\right)$ で接し、$x$ 軸以下になるのはその 1 点だけです。

$-2$${}< x$${}\leqq \dfrac{1}{2},$$3$${}\leqq x$${}< 5$

それぞれを解きます。

• $x^2$${}- 3x$${}- 10$${}= (x + 2)(x - 5)$${}< 0$ より $-2$${}< x$${}< 5$。
• $2x^2$${}- 7x$${}+ 3$${}= (2x - 1)(x - 3)$${}\geqq 0$ より $x$${}\leqq \dfrac{1}{2},$$3$${}\leqq x$。

数直線で共通部分をとると $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-2 < x \leqq \dfrac{1}{2},}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 3 \leqq x < 5}$ です。端の $-2$，$5$ は含まず、$\dfrac{1}{2}$，$3$ は含みます。

$-2$${}< k$${}< 4$

$x^2$ の係数 $2$ は正なので、グラフは下に凸です。つねに $x$ 軸より上にある条件は $D$${}< 0$ です。

よって $\underline{-2 < k < 4}$ です。

$a$${}= -1,$$b$${}= 1$

解が内側の形なので、グラフは上に凸で $a$${}< 0$ です。解が $-2$${}< x$${}< 3$ になる二次不等式は、$a$${}< 0$ を使って

と書けます。係数を比べると $-6a$${}= 6$，$b$${}= -a$ なので $a$${}= -1$，$b$${}= 1$ です。$a$${}= -1$${}< 0$ も満たします。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 1}$ です。

確かめ：$-x^2$${}+ x$${}+ 6$${}> 0$ は $x^2$${}- x$${}- 6$${}= (x + 2)(x - 3)$${}< 0$ となり、解は $-2$${}< x$${}< 3$ です。

$k$${}< -6,$$2$${}< k$ のとき $2$ 個，$k$${}= -6,$$\ 2$ のとき $1$ 個，$-6$${}< k$${}< 2$ のとき $0$ 個

$y$ を消去すると

共有点の個数は、この二次方程式の異なる実数解の個数に等しくなります。判別式は

• $D$${}> 0$，つまり $k$${}< -6,$$2$${}< k$ のとき $2$ 個。
• $D$${}= 0$，つまり $k$${}= -6,$$\ 2$ のとき $1$ 個（接する）。
• $D$${}< 0$，つまり $-6$${}< k$${}< 2$ のとき $0$ 個。

補足：直線は $y$${}+ 1$${}= k(x + 1)$ と変形でき、$k$ によらず点 $(-1,\ -1)$ を通ります。$k$${}= 2$ では $x^2$${}- 2x$${}+ 1$${}= 0$ で接点 $(1,\ 3)$，$k$${}= -6$ では $x^2$${}+ 6x$${}+ 9$${}= 0$ で接点 $(-3,\ 11)$ です。

$0$${}< x$${}\leqq 2$

道の幅は正で、縦の長さより短いので $0$${}< x$${}< 20$ です。

道を土地の端に寄せて考えても残りの面積は変わらないので、残りは縦 $20$${}- x$ m，横 $30$${}- x$ m の長方形の面積に等しくなります。条件は

展開して整理します。

これを解くと $x$${}\leqq 2,$$48$${}\leqq x$ です。$0$${}< x$${}< 20$ との共通部分をとり、$\underline{0 < x \leqq 2}$ です。

確かめ：$x$${}= 2$ のとき $18 \times 28$${}= 504$ で、ちょうど条件の境目です。

$5$${}\leqq a$${}< 8$

$f(x)$${}= x^2$${}- 6x$${}+ a$${}= (x - 3)^2$${}+ a$${}- 9$ とおきます。グラフは直線 $x$${}= 3$ に関して対称なので、解の範囲も $x$${}= 3$ を中央にもちます。解があるとき、整数解は $3$ を中心に左右同じ個数ずつ増えるので、ちょうど $3$ 個になるのは整数解が $2,$$\ 3,$$\ 4$ のときです。

その条件は、$x$${}= 2,$$\ 4$ では成り立ち、$x$${}= 1,$$\ 5$ では成り立たないことです。対称性から $x$${}= 2$ と $x$${}= 1$ だけ調べれば十分です。

• $f(2)$${}< 0$：$4$${}- 12$${}+ a$${}< 0$ より $a$${}< 8$。
• $f(1)$${}\geqq 0$：$1$${}- 6$${}+ a$${}\geqq 0$ より $a$${}\geqq 5$。

$f(2)$${}< 0$ から $f(3)$${}< 0$ も成り立つので、整数解は $2,$$\ 3,$$\ 4$ のちょうど $3$ 個です。よって $\underline{5 \leqq a < 8}$ です。

確かめ：$a$${}= 5$ では $(x - 1)(x - 5)$${}< 0$ で $1$${}< x$${}< 5$，整数は $2,$$\ 3,$$\ 4$。$a$${}= 8$ では $(x - 2)(x - 4)$${}< 0$ で整数は $3$ だけになります。

$1$${}\leqq a$${}\leqq 4$

$x^2$${}- 2x$${}- 8$${}= (x + 2)(x - 4)$${}\leqq 0$ の解は $-2$${}\leqq x$${}\leqq 4$ です。十分条件になるとは、「$-2$${}\leqq x$${}\leqq 4$ を満たすすべての $x$ で $g(x)$${}= x^2$${}- ax$${}- 12$${}\leqq 0$ が成り立つ」ことです。

$y$${}= g(x)$ は下に凸なので、区間 $-2$${}\leqq x$${}\leqq 4$ での最大値は両端のどちらかでとります。したがって条件は、両端で $0$ 以下になることです。

• $g(-2)$${}= 4$${}+ 2a$${}- 12$${}= 2a$${}- 8$${}\leqq 0$ より $a$${}\leqq 4$。
• $g(4)$${}= 16$${}- 4a$${}- 12$${}= 4$${}- 4a$${}\leqq 0$ より $a$${}\geqq 1$。

よって $\underline{1 \leqq a \leqq 4}$ です。

確かめ：$a$${}= 1$ のとき $g(x)$${}= x^2$${}- x$${}- 12$${}= (x + 3)(x - 4)$${}\leqq 0$ の解は $-3$${}\leqq x$${}\leqq 4$ で、$-2$${}\leqq x$${}\leqq 4$ を含みます。

$a$${}> 5$

$f(x)$${}= x^2$${}- (a + 1)x$${}+ a$${}+ 4$ とおきます。グラフは下に凸で、軸は直線 $x$${}= \dfrac{a + 1}{2}$ です。求める条件は次の 3 つです。

(i) 判別式：$D$${}= (a + 1)^2$${}- 4(a + 4)$${}= a^2$${}- 2a$${}- 15$${}= (a - 5)(a + 3)$${}> 0$ より $a$${}< -3,$$5$${}< a$。

(ii) 軸：$\dfrac{a + 1}{2}$${}> 1$ より $a$${}> 1$。

(iii) 端の値：$f(1)$${}= 1$${}- (a + 1)$${}+ a$${}+ 4$${}= 4$${}> 0$ で、これは $a$ によらずつねに成り立ちます。

(i)，(ii) の共通部分をとり、$\underline{a > 5}$ です。

確かめ：$a$${}= 6$ のとき $x^2$${}- 7x$${}+ 10$${}= (x - 2)(x - 5)$${}= 0$ で、解 $2,$$\ 5$ はともに $1$ より大きくなります。

$\dfrac{1}{2}$${}< a$${}< 2$

$f(x)$${}= x^2$${}- ax$${}+ a$${}- 2$ とおきます。グラフは下に凸なので、条件は $x$${}= -1,$$\ 0,$$\ 1,$$\ 2$ での値の符号が「正・負・負・正」となることです。

• $f(-1)$${}= 1$${}+ a$${}+ a$${}- 2$${}= 2a$${}- 1$${}> 0$ より $a$${}> \dfrac{1}{2}$。
• $f(0)$${}= a$${}- 2$${}< 0$ より $a$${}< 2$。
• $f(1)$${}= 1$${}- a$${}+ a$${}- 2$${}= -1$${}< 0$ で、$a$ によらずつねに成り立ちます。
• $f(2)$${}= 4$${}- 2a$${}+ a$${}- 2$${}= 2$${}- a$${}> 0$ より $a$${}< 2$。

共通部分をとり、$\underline{\dfrac{1}{2} < a < 2}$ です。$f(-1)$${}> 0$ と $f(0)$${}< 0$ から $-1$${}< x$${}< 0$ に解が 1 つ、$f(1)$${}< 0$ と $f(2)$${}> 0$ から $1$${}< x$${}< 2$ に解が 1 つあり、二次方程式の解は 2 つまでなので、これで条件どおりになります。

確かめ：$a$${}= 1$ のとき $x^2$${}- x$${}- 1$${}= 0$ の解は $x$${}= \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，つまり約 $-0.62$ と約 $1.62$ です。