第8章　解の配置と二次関数の応用

(1) 二次方程式 $x^2$${}- 2ax$${}+ a$${}+ 6$${}= 0$ が異なる 2 つの正の解をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

(2) (1) と同じ方程式が異なる 2 つの負の解をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

(3) 二次方程式 $x^2$${}- 2ax$${}+ a$${}+ 2$${}= 0$ の異なる 2 つの解がともに $1$ より大きくなるような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

【解答】

(1) $f(x)$${}= x^2$${}- 2ax$${}+ a$${}+ 6$ とおきます。グラフは下に凸で、軸は直線 $x$${}= a$ です。$y$${}= f(x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と異なる 2 点で交わる条件は、次の 3 つです。

• $\dfrac{D}{4}$${}= a^2$${}- (a + 6)$${}= (a + 2)(a - 3)$${}> 0$ より $a$${}< -2,$$3$${}< a$
• 軸について $a$${}> 0$
• $f(0)$${}= a$${}+ 6$${}> 0$ より $a$${}> -6$

3 つの共通部分をとって

第7章の終わりで予告した答えと同じです。

(2) 今度は $x$ 軸の負の部分と 2 点で交わる条件です。判別式と $f(0)$ の条件は (1) と同じで、軸の条件だけが $a$${}< 0$ に変わります。$a$${}< -2,$$3$${}< a$ と $a$${}< 0$ と $a$${}> -6$ の共通部分をとって

(3) $g(x)$${}= x^2$${}- 2ax$${}+ a$${}+ 2$ とおくと、軸は直線 $x$${}= a$ です。

• $\dfrac{D}{4}$${}= a^2$${}- a$${}- 2$${}= (a + 1)(a - 2)$${}> 0$ より $a$${}< -1,$$2$${}< a$
• 軸について $a$${}> 1$
• $g(1)$${}= 1$${}- 2a$${}+ a$${}+ 2$${}= 3$${}- a$${}> 0$ より $a$${}< 3$

共通部分をとって

たとえば $a$${}= \dfrac{5}{2}$ なら、方程式は $2x^2$${}- 10x$${}+ 9$${}= 0$ で、解は $x$${}= \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{2}$。$\sqrt{7}$${}\fallingdotseq 2.65$ なので、小さいほうも $\dfrac{5 - 2.65}{2}$${}\fallingdotseq 1.18$ で、確かに $1$ より大きくなっています。

(1) 二次方程式 $x^2$${}+ ax$${}+ a^2$${}- 4$${}= 0$ が正の解と負の解を 1 つずつもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

(2) 二次方程式 $x^2$${}- (a + 2)x$${}+ 3a$${}= 0$ の 1 つの解が $1$ より小さく、他の解が $1$ より大きくなるような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

(3) 二次方程式 $x^2$${}- ax$${}+ a$${}- 5$${}= 0$ の 1 つの解が $-1$ より小さく、他の解が $2$ より大きくなるような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

【解答】

(1) $f(x)$${}= x^2$${}+ ax$${}+ a^2$${}- 4$ とおくと、条件は $f(0)$${}< 0$ です。

(2) $f(x)$${}= x^2$${}- (a + 2)x$${}+ 3a$ とおくと、条件は $f(1)$${}< 0$ です。

(3) $f(x)$${}= x^2$${}- ax$${}+ a$${}- 5$ とおくと、$-1$ と $2$ がともに 2 つの解の間にあればよいので、条件は $f(-1)$${}< 0$ かつ $f(2)$${}< 0$ です。

• $f(-1)$${}= 1$${}+ a$${}+ a$${}- 5$${}= 2a$${}- 4$${}< 0$ より $a$${}< 2$
• $f(2)$${}= 4$${}- 2a$${}+ a$${}- 5$${}= -a$${}- 1$${}< 0$ より $a$${}> -1$

(3) で $f(-1)$${}< 0$ だけにすると、「$-1$ は 2 つの解の間にある」ことしか分からず、大きいほうの解が $2$ を超えるとは限りません。2 つの点それぞれについて「間にある」を課します。

(1) 二次方程式 $x^2$${}- 2ax$${}+ a$${}+ 2$${}= 0$ の異なる 2 つの解がともに $0$${}< x$${}< 3$ の範囲にあるような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

(2) 二次方程式 $x^2$${}- ax$${}+ 2a$${}- 3$${}= 0$ が $0$${}< x$${}< 1$ の範囲にただ 1 つの解をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

【解答】

(1) $f(x)$${}= x^2$${}- 2ax$${}+ a$${}+ 2$ とおくと、軸は直線 $x$${}= a$ です。

• $\dfrac{D}{4}$${}= (a + 1)(a - 2)$${}> 0$ より $a$${}< -1,$$2$${}< a$（例題1(3) と同じ）
• 軸について $0$${}< a$${}< 3$
• $f(0)$${}= a$${}+ 2$${}> 0$ より $a$${}> -2$
• $f(3)$${}= 9$${}- 6a$${}+ a$${}+ 2$${}= 11$${}- 5a$${}> 0$ より $a$${}< \dfrac{11}{5}$

4 つの共通部分をとって

(2) $f(x)$${}= x^2$${}- ax$${}+ 2a$${}- 3$ とおくと、$f(0)$${}= 2a$${}- 3$，$f(1)$${}= 1$${}- a$${}+ 2a$${}- 3$${}= a$${}- 2$ です。

$f(0)f(1)$${}< 0$ のとき

このとき $0$${}< x$${}< 1$ にただ 1 つの解があります。

端の点が解になるとき

• $f(0)$${}= 0$，つまり $a$${}= \dfrac{3}{2}$ のとき、方程式は $x^2$${}- \dfrac{3}{2}x$${}= 0$ で、解は $x$${}= 0,$$\ \dfrac{3}{2}$。どちらも $0$${}< x$${}< 1$ に入らないので不適です。
• $f(1)$${}= 0$，つまり $a$${}= 2$ のとき、方程式は $x^2$${}- 2x$${}+ 1$${}= 0$ で、解は $x$${}= 1$（重解）。$0$${}< x$${}< 1$ に入らないので不適です。

重解が範囲に入るとき　$D$${}= a^2$${}- 4(2a - 3)$${}= (a - 2)(a - 6)$${}= 0$ より $a$${}= 2,$$\ 6$。重解はそれぞれ $x$${}= 1,$$\ 3$ で、どちらも範囲に入りません。

以上から

$x$ の方程式 $x^2$${}- 2x$${}- a$${}= 0$ について、次の問いに答えなさい。

(1) $-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ の範囲に少なくとも 1 つの解をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

(2) $-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ の範囲にある解の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めなさい。

【解答】

方程式は $x^2$${}- 2x$${}= a$ と変形できます。$g(x)$${}= x^2$${}- 2x$${}= (x - 1)^2$${}- 1 \ (-1 \leqq x \leqq 2)$ とおくと、解は $y$${}= g(x)$ のグラフと直線 $y$${}= a$ の共有点の $x$ 座標です。

$g(1)$${}= -1$（頂点），$g(-1)$${}= 3$，$g(2)$${}= 0$ です。

(1) $-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ での $g(x)$ の値域は、最小値 $-1$（$x$${}= 1$）、最大値 $3$（$x$${}= -1$ の端）なので $-1$${}\leqq g(x)$${}\leqq 3$。$a$ がこの範囲にあればよいので

(2) 直線 $y$${}= a$ を下から上へ動かして、共有点を数えます。

• $a$${}< -1$ のとき　共有点なし
• $a$${}= -1$ のとき　頂点で接して 1 個
• $-1$${}< a$${}\leqq 0$ のとき　軸の左右に 1 個ずつで 2 個（$a$${}= 0$ のときは $x$${}= 0,$$\ 2$ で、右の端 $x$${}= 2$ を含む）
• $0$${}< a$${}\leqq 3$ のとき　軸の左側の 1 個だけ（右側の交点は $x$${}> 2$ に出る）
• $a$${}> 3$ のとき　共有点なし

境目の $a$${}= 0$ と $a$${}= 3$ は、実際に解いて確かめます。$a$${}= 0$ なら $x(x - 2)$${}= 0$ で $x$${}= 0,$$\ 2$（2 個とも範囲内）、$a$${}= 3$ なら $(x + 1)(x - 3)$${}= 0$ で範囲内は $x$${}= -1$ の 1 個です。

$x$ の方程式 $x^4$${}- 4x^2$${}+ a$${}= 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって場合分けして求めなさい。

【解答】

$t$${}= x^2$ とおくと $t^2$${}- 4t$${}+ a$${}= 0$，つまり $-t^2$${}+ 4t$${}= a$ です。$h(t)$${}= -t^2$${}+ 4t$${}= -(t - 2)^2$${}+ 4$ とおき、$y$${}= h(t)$ のグラフと直線 $y$${}= a$ の共有点の $t$ 座標を、$t$${}> 0$ と $t$${}= 0$ と $t$${}< 0$ に分けて調べます。$h(0)$${}= 0$ です。

• $a$${}> 4$ のとき　$t$ の解はないので、$x$ の解は $0$ 個。
• $a$${}= 4$ のとき　$t$${}= 2$（重解）で、$t$${}> 0$ が 1 つ。$x$${}= \pm\sqrt{2}$ の 2 個。
• $0$${}< a$${}< 4$ のとき　$t$${}= 2$${}\pm \sqrt{4 - a}$ で、$\sqrt{4 - a}$${}< 2$ だから 2 つとも正。$x$ の解は $2$${}+ 2$${}= 4$ 個。
• $a$${}= 0$ のとき　$t$${}= 0,$$\ 4$。$t$${}= 0$ から $x$${}= 0$、$t$${}= 4$ から $x$${}= \pm 2$ で、$3$ 個。
• $a$${}< 0$ のとき　$t$ の解は正と負が 1 つずつ（$t^2$${}- 4t$${}+ a$ の $t$${}= 0$ での値 $a$ が負、公式2）。正の解だけが使えて、$x$ の解は $2$ 個。

$a$${}= 0$ のとき、方程式は $x^2(x^2 - 4)$${}= 0$ で、解は $x$${}= 0,$${}\ \pm 2$ の 3 個です。$t$${}= 0$ が「1 人用のチケット」になる、ちょうど境目の場合です。