(1) $2x^2$ ${}+ 3x$ ${}+ a$ ${}- 1$ ${}= 0$

(2) $kx^2$ ${}- 3x$ ${}+ k$ ${}- 2$ ${}= 0$ （ $k$ ${}\neq 0$ ）

上の (1)，(2) の二次方程式が正の解と負の解を 1 つずつもつような、定数 $a$ ， $k$ の値の範囲を、それぞれ求めなさい。

19:Tbdb,

(1) $a$ ${}< 1$ 　(2) $0$ ${}< k$ ${}< 2$

1a:T76d6,

(1) $x^2$ の係数は正なので、 $f(x)$ ${}= 2x^2$ ${}+ 3x$ ${}+ a$ ${}- 1$ として $f(0)$ ${}< 0$ が条件です（公式2）。

\displaystyle a

(2) $x^2$ の係数 $k$ の符号が分からないので、両辺を $k$ で割って $x^2$ の係数を $1$ にします。

\displaystyle x^2

左辺を $g(x)$ とおくと、条件は $g(0)$ ${}= \dfrac{k - 2}{k}$ ${}< 0$ です。分母と分子の符号が反対なので、両辺に $k^2 \ (> 0)$ を掛けて

\displaystyle k(k - 2)

公式2の「 $ac$ ${}< 0$ 」をそのまま使っても、 $k(k - 2)$ ${}< 0$ になります。

1b:T1326,

二次方程式 $x^2$ ${}+ ax$ ${}+ a$ ${}+ 3$ ${}= 0$ の 1 つの解が $2$ より小さく、他の解が $2$ より大きくなるような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

1c:T824,

$a$ ${}< -\dfrac{7}{3}$

1d:T5d4f,

$f(x)$ ${}= x^2$ ${}+ ax$ ${}+ a$ ${}+ 3$ とおくと、条件は $f(2)$ ${}< 0$ だけです（公式2）。

\displaystyle f(2)

判別式を別に調べる必要はありません。 $f(2)$ ${}< 0$ なら、下に凸のグラフは $x$ ${}= 2$ の左右で 1 回ずつ $x$ 軸を横切るので、 $D$ ${}> 0$ は自動的に成り立ちます。たとえば $a$ ${}= -3$ なら $x^2$ ${}- 3x$ ${}= 0$ で、解 $x$ ${}= 0,$ $\ 3$ は確かに $2$ をはさんでいます。

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