目次／二次関数／数学I

第7章　二次不等式

—— グラフが x 軸より上か下かを読んで、不等式を解く ——

第6章では、グラフと $x$ 軸が「どこで」「いくつ」交わるかを調べました。この章では一歩進めて、グラフが $x$ 軸より**上にある範囲・下にある範囲**を読み取り、$x^2 - 2x - 3 < 0$ のような**二次不等式**を解きます。答えは「2 つの解にはさまれた内側」か「その外側」になり、判別式 $D$ が $0$ 以下のときは「すべての実数」や「解なし」になります。連立不等式や文章題、すべての $x$ で成り立つ条件、文字を含む不等式、絶対値を含む不等式まで進みます。第6章で後回しにした「判別式が文字の二次式になる条件」も、ここで解けるようになります。

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基1 基2 基3 基4 基5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 25× 0○ 01か月定着 0

「上にある」「下にある」を式で言う

第6章の終わりで、 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= (x + 1)(x - 3)$ のグラフが $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ の範囲で $x$ 軸より下にあることを見ました。「グラフが $x$ 軸より下にある」とは「 $y$ の値が負」ということなので、式で書くと $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}< 0$ です。

このように、移項して整理すると $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}> 0$ ， $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}\leqq 0$ などの形になる不等式を二次不等式といいます（ $a$ ${}\neq 0$ ）。不等式を満たす $x$ の値の範囲を求めることを、不等式を解くといい、その範囲を不等式の解といいます。

一次不等式（数と式第4章）は、両辺に同じ数を足したり掛けたりして $x$ だけを残せば解けました。二次不等式はそうはいきません。そこで、グラフ $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ を思い浮かべ、「 $x$ 軸より上にあるのはどこか、下にあるのはどこか」を読み取ります。境目になるのは、第5章・第6章で求めてきた $x$ 軸との共有点です。

判別式が正のとき——内側と外側

公式1：二次不等式の解（

D

{}> 0

のとき）

$a$ ${}> 0$ とし、二次方程式 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= 0$ が異なる 2 つの実数解 $\alpha$ ， $\beta$ （ $\alpha$ ${}< \beta$ ）をもつとき

不等式	解
$ax^2 + bx + c > 0$	$x < \alpha,\ \beta < x$ （外側）
$ax^2 + bx + c \geqq 0$	$x \leqq \alpha,\ \beta \leqq x$
$ax^2 + bx + c < 0$	$\alpha < x < \beta$ （内側）
$ax^2 + bx + c \leqq 0$	$\alpha \leqq x \leqq \beta$

$x^2$ の係数が負のときは、両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを変え、 $x^2$ の係数を正にしてから解く。

$a$ ${}> 0$ なら、グラフは下に凸です。 $x$ 軸との 2 つの交点 $\alpha$ ， $\beta$ の間では谷の部分が $x$ 軸より下にもぐり、その外側では $x$ 軸より上に出ています。だから「 $< 0$ は内側」「 $> 0$ は外側」になります。 $\leqq$ ， $\geqq$ のときは、境目の $x$ ${}= \alpha,$ $\ \beta$ （ $y$ ${}= 0$ になる点）も答えに含めます。

$\alpha$ ， $\beta$ は、因数分解できれば因数分解で、できなければ解の公式で求めます（第5章）。 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解した形で考えると、 $x$ が 2 つの解にはさまれているときだけ $(x - \alpha)$ と $(x - \beta)$ の符号が逆になり、積が負になる、という説明もできます（厳密定義のページで確かめます）。

覚え方としては、サンドイッチを思い浮かべてください。2 つの解 $\alpha$ ， $\beta$ が 2 枚のパンで、パンにはさまれた具の部分が「 $< 0$ 」、パンの外側が「 $> 0$ 」です。どちらが内側かで迷ったら、グラフの谷が $x$ 軸より下にもぐっている絵を思い出せば、「谷の部分＝負＝内側」とすぐに分かります。

$x^2$ の係数を正にそろえてから $x$ 軸との交点 $\alpha$ ${}< \beta$ を求めれば、「 $< 0$ 」は 2 つの解の内側、「 $> 0$ 」は外側になるということです。

例題1：二次不等式を解く

次の二次不等式を解きなさい。

(1) $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}< 0$

(2) $x^2$ ${}- x$ ${}- 6$ ${}\geqq 0$

(3) $-2x^2$ ${}+ x$ ${}+ 3$ ${}> 0$

(4) $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1$ ${}\leqq 0$

【解答】

(1) $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= (x + 1)(x - 3)$ なので、 $x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= -1,$ $\ 3$ 。 $< 0$ は内側なので

\underline{-1 < x < 3}

(2) $x^2$ ${}- x$ ${}- 6$ ${}= (x + 2)(x - 3)$ なので、解は $x$ ${}= -2,$ $\ 3$ 。 $\geqq 0$ は外側で、境目も含むので

\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}x \leqq -2,}

(3) 両辺に $-1$ を掛けて、不等号の向きを変えます。

\displaystyle 2x^2

$2x^2$ ${}- x$ ${}- 3$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= -1,$ $\ \dfrac{3}{2}$ なので

\underline{-1 < x < \frac{3}{2}}

(4) $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ は因数分解できないので、 $b'$ ${}= -2$ として解の公式を使うと $x$ ${}= 2$ ${}\pm \sqrt{4 - 1}$ ${}= 2$ ${}\pm \sqrt{3}$ 。 $\leqq 0$ は内側で、境目も含むので

\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.2119em}2}

(3) で $-1$ を掛けずに「 $> 0$ だから外側」としてしまうのが、よくある間違いです。 $x^2$ の係数が負だとグラフは上に凸で、 $x$ 軸より上にあるのは内側のほうです。係数を正にそろえてから表を使えば、この取り違えを防げます。

判別式が 0 以下のとき——「すべて」か「なし」

グラフが $x$ 軸と 2 点で交わらないときは、「内側」「外側」という分け方ができません。第6章で見たとおり、 $D$ ${}= 0$ ならグラフは $x$ 軸に接し、 $D$ ${}< 0$ なら $x$ 軸から浮いています。

公式2：二次不等式の解（

D

{}\leqq 0

のとき）

$a$ ${}> 0$ のとき、 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= 0$ の判別式を $D$ とする。

不等式	$D = 0$ （重解 $p$ ）	$D < 0$
$ax^2 + bx + c > 0$	$p$ 以外のすべての実数	すべての実数
$ax^2 + bx + c \geqq 0$	すべての実数	すべての実数
$ax^2 + bx + c < 0$	解なし	解なし
$ax^2 + bx + c \leqq 0$	$x = p$	解なし

$D$ ${}= 0$ のとき、 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= a(x - p)^2$ である。

$D$ ${}= 0$ のとき、 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ ${}= a(x - p)^2$ は、 $x$ ${}= p$ でだけ $0$ になり、それ以外では正です。だから「 $> 0$ 」の解は「 $p$ 以外のすべての実数」、「 $\leqq 0$ 」の解は「 $x$ ${}= p$ だけ」になります。 $D$ ${}< 0$ のときはグラフ全体が $x$ 軸より上にあるので、どの $x$ でも値は正です。

この表を丸暗記する必要はありません。平方完成して $(x - p)^2$ ${}\geqq 0$ を使えば、その場で判断できます。

お店の営業日にたとえると、 $D$ ${}< 0$ のグラフは年中無休のお店です。「開いている日は？」と聞かれたら「毎日」、「休みの日は？」と聞かれたら「なし」と答えます。 $D$ ${}= 0$ のグラフは、元日だけ休むお店にあたります。「開いている日」は「元日以外のすべての日」で、「休みの日」は「元日だけ」です。答えが範囲の形にならないので戸惑いますが、聞かれている内容はふつうの不等式と同じです。

$D$ ${}< 0$ なら値はいつも正なので「すべての実数」か「解なし」、 $D$ ${}= 0$ なら $x$ ${}= p$ の 1 点だけが $0$ になるので「 $p$ 以外のすべて」や「 $x$ ${}= p$ 」が答えになるということです。

例題2：D ≦ 0 の二次不等式

次の二次不等式を解きなさい。

(1) $x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 9$ ${}> 0$

(2) $4x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 1$ ${}\leqq 0$

(3) $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 3$ ${}> 0$

(4) $-x^2$ ${}+ 4x$ ${}- 5$ ${}\geqq 0$

【解答】

(1) $x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 9$ ${}= (x - 3)^2$ です。 $(x - 3)^2$ ${}> 0$ は $x$ ${}= 3$ のときだけ成り立たないので

\underline{x = 3 \ \text{以外のすべての実数}}

(2) $4x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 1$ ${}= (2x + 1)^2$ です。 $(2x + 1)^2$ ${}\geqq 0$ なので、 $\leqq 0$ となるのは $(2x + 1)^2$ ${}= 0$ のときだけで

\underline{x = -\frac{1}{2}}

(3) $b'$ ${}= -1$ として $\dfrac{D}{4}$ ${}= 1$ ${}- 3$ ${}= -2$ ${}< 0$ で、 $x^2$ の係数は正です。グラフは全体が $x$ 軸より上にあるので

\underline{\text{すべての実数}}

平方完成すると $(x - 1)^2$ ${}+ 2$ ${}> 0$ で、 $(x - 1)^2$ ${}\geqq 0$ から確かにいつも成り立ちます。

(4) 両辺に $-1$ を掛けて $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 5$ ${}\leqq 0$ 。 $\dfrac{D}{4}$ ${}= 4$ ${}- 5$ ${}= -1$ ${}< 0$ なので、 $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 5$ はいつも正で、 $0$ 以下になることはありません。

\underline{\text{解なし}}

(1) の答えは「 $x$ ${}\neq 3$ 」と書くこともできます。また、「 $x$ ${}< 3,$ $3$ ${}< x$ 」と書いても同じ範囲を表します。

連立不等式と、不等式の応用

公式3：連立不等式・文章題・整数解

連立不等式は、それぞれの不等式を解き、数直線の上で共通する範囲を求める。 $A$ ${}< B$ ${}< C$ の形は「 $A$ ${}< B$ かつ $B$ ${}< C$ 」の連立不等式として解く。
文章題では、文字の表す量から決まる範囲（長さは正、など）を先に書き出し、不等式の解のうちその範囲に入る部分だけを答える。
整数解を求めるときは、解の端の値（ $\sqrt{\phantom{b}}$ を含むことが多い）がどの整数の間にあるかを見積もる。

連立不等式は、数と式第4章で一次不等式について学んだものと同じです。二次不等式が混ざると、それぞれの解が「内側」や「外側」の形になるので、数直線に描いて重なりを探すのが確実です。

2 人で旅行の日程を決める場面を思い浮かべてください。1 人目の空いている日と、2 人目の空いている日をそれぞれカレンダーに塗り、両方が塗られた日を探します。片方の空き日が「月の前半と後半」のように 2 つに分かれていても、やることは変わりません。カレンダーを 1 枚に重ねてみれば、候補の日が見えてきます。

文章題では、文字の範囲を忘れがちです。不等式を解いたあとで「その値は問題の場面で意味があるか」を確かめるのは、第5章の「解の吟味」と同じ考え方です。

連立不等式は解を数直線に重ねて共通部分を読み、文章題では文字の範囲との共通部分をとり、整数解では端の値を見積もって数えるということです。

例題3：連立不等式と応用

(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 3x - 4 < 0 \\ x^2 - x - 2 \geqq 0 \end{cases}$ を解きなさい。

(2) 縦 $20$ m，横 $30$ m の長方形の土地に、縦と横に同じ幅 $x$ m の道を 1 本ずつ、土地の辺と平行に通します。道を除いた部分の面積を $504$ m² 以上にするとき、 $x$ の値の範囲を求めなさい。

(3) 不等式 $x^2$ ${}- 5x$ ${}+ 3$ ${}< 0$ を満たす整数 $x$ をすべて求めなさい。

【解答】

(1) 1 つ目は $(x + 1)(x - 4)$ ${}< 0$ より $-1$ ${}< x$ ${}< 4$ 。2 つ目は $(x + 1)(x - 2)$ ${}\geqq 0$ より $x$ ${}\leqq -1,$ $2$ ${}\leqq x$ 。

数直線に重ねると、 $-1$ ${}< x$ ${}< 4$ のうち、 $x$ ${}\leqq -1$ と重なる部分はなく（ $x$ ${}= -1$ は 1 つ目に含まれません）、 $2$ ${}\leqq x$ と重なるのは $2$ ${}\leqq x$ ${}< 4$ です。

\underline{2 \leqq x < 4}

(2) 道の幅は正で、縦の長さ $20$ m より小さいので $0$ ${}< x$ ${}< 20$ です。道を端に寄せて考えると、残りの部分は縦 $(20 - x)$ m，横 $(30 - x)$ m の長方形になります。

\displaystyle (20 - x)(30 - x)

より $x$ ${}\leqq 2,$ $48$ ${}\leqq x$ 。このうち $0$ ${}< x$ ${}< 20$ に入るのは

\underline{0 < x \leqq 2}

$x$ ${}\geqq 48$ も不等式は満たしますが、土地より広い道になってしまうので捨てます。

(3) $x^2$ ${}- 5x$ ${}+ 3$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= \dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$ なので、不等式の解は

\displaystyle \frac{5 - \sqrt{13}}{2}

$3$ ${}< \sqrt{13}$ ${}< 4$ なので、 $\dfrac{1}{2}$ ${}< \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2}$ ${}< 1$ ， $4$ ${}< \dfrac{5 + \sqrt{13}}{2}$ ${}< \dfrac{9}{2}$ です。この間にある整数は

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 1,}

端の整数も代入して確かめます。 $x$ ${}= 1$ で $-1$ ${}< 0$ ， $x$ ${}= 4$ で $-1$ ${}< 0$ と成り立ち、 $x$ ${}= 0$ ， $x$ ${}= 5$ ではどちらも $3$ で成り立ちません。

すべての $x$ で成り立つ条件

第6章の公式3で、「グラフ全体が $x$ 軸より上」になる条件は「 $a$ ${}> 0$ かつ $D$ ${}< 0$ 」だと学びました。これを不等式の言葉で言いかえると、次のようになります。

公式4：すべての

x

で成り立つ条件

$a$ ${}\neq 0$ のとき、すべての実数 $x$ について

成り立たせたい不等式	条件
$ax^2 + bx + c > 0$	$a > 0$ かつ $D < 0$
$ax^2 + bx + c \geqq 0$	$a > 0$ かつ $D \leqq 0$
$ax^2 + bx + c < 0$	$a < 0$ かつ $D < 0$
$ax^2 + bx + c \leqq 0$	$a < 0$ かつ $D \leqq 0$

$x^2$ の係数に文字があって $0$ になりうるときは、その場合を別に調べる。
定義域があるときは、「定義域での最小値が $0$ より大きい」（ $> 0$ の場合）と言いかえて、第3章の方法で最小値を求める。

「すべての $x$ で $f(x)$ ${}> 0$ 」を確かめるのに、無数にある $x$ を 1 つずつ調べることはできません。そこで、いちばん小さくなるところだけを見ます。いちばん小さい値でさえ正なら、ほかの値はすべて正です。定義域がなければ、いちばん小さくなるのは頂点で、その $y$ 座標 $-\dfrac{D}{4a}$ が正になる条件が「 $a$ ${}> 0$ かつ $D$ ${}< 0$ 」です。

鎖は、いちばん弱い輪のところで切れます。「この鎖は 100 kg に耐えるか」を知りたければ、輪を全部試す必要はなく、いちばん弱い輪が 100 kg に耐えるかどうかだけを調べれば足ります。「すべての $x$ で」という条件は、「最小値で」という 1 か所の条件に置きかえられるのです。

第6章例題3(2) で後回しにした問題も、ここで解けます。二次関数 $y$ ${}= kx^2$ ${}- 2x$ ${}+ k$ のグラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わるのは、 $k$ ${}\neq 0$ かつ $\dfrac{D}{4}$ ${}= 1$ ${}- k^2$ ${}> 0$ のときです。 $1$ ${}- k^2$ ${}> 0$ ${}\iff k^2$ ${}- 1$ ${}< 0$ ${}\iff -1$ ${}< k$ ${}< 1$ なので、 $k$ ${}\neq 0$ と合わせて $-1$ ${}< k$ ${}< 0,$ $0$ ${}< k$ ${}< 1$ となります（例題4(3)）。判別式が文字の二次式になっても、二次不等式が解ければ条件を求められます。

「すべての $x$ で成り立つ」は「最小値（最大値）で成り立つ」と同じで、定義域がなければ $a$ の符号と $D$ の符号の組で表せるということです。

例題4：すべての x で成り立つ条件

(1) すべての実数 $x$ について $x^2$ ${}- 2kx$ ${}+ k$ ${}+ 6$ ${}> 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

(2) すべての実数 $x$ について $kx^2$ ${}+ 2kx$ ${}+ 3$ ${}> 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

(3) 二次関数 $y$ ${}= kx^2$ ${}- 2x$ ${}+ k$ のグラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わるような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

(4) $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$ を満たすすべての $x$ について $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ k$ ${}\geqq 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

【解答】

(1) $x^2$ の係数は $1$ ${}> 0$ なので、条件は $D$ ${}< 0$ です。 $b'$ ${}= -k$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

\underline{-2 < k < 3}

(2) $x^2$ の係数 $k$ が $0$ になりうるので、場合を分けます。

$k$ ${}= 0$ のとき　不等式は $3$ ${}> 0$ となり、すべての $x$ で成り立ちます。
$k$ ${}\neq 0$ のとき　条件は $k$ ${}> 0$ かつ $D$ ${}< 0$ です。 $\dfrac{D}{4}$ ${}= k^2$ ${}- 3k$ ${}= k(k - 3)$ ${}< 0$ より $0$ ${}< k$ ${}< 3$ 。これは $k$ ${}> 0$ を満たします。

2 つの場合を合わせて

\underline{0 \leqq k < 3}

(3) 二次関数なので $k$ ${}\neq 0$ 。異なる 2 点で交わる条件は $D$ ${}> 0$ です。 $b'$ ${}= -1$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

$k$ ${}\neq 0$ と合わせて

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}-1 < k < 0,}

(4) $f(x)$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}+ k$ ${}= (x - 1)^2$ ${}+ k$ ${}- 1$ とおきます。軸 $x$ ${}= 1$ は $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$ に入っているので、最小値は $f(1)$ ${}= k$ ${}- 1$ です。すべての $x$ で $f(x)$ ${}\geqq 0$ となる条件は、最小値が $0$ 以上であることなので

\displaystyle k

(2) で $k$ ${}= 0$ の場合を忘れると、答えが $0$ ${}< k$ ${}< 3$ になってしまいます。問題文に「二次関数」「二次不等式」と書かれていなければ、 $x^2$ の係数が $0$ の場合も調べます。

文字を含む不等式と、解から係数を決める問題

公式5：文字を含む二次不等式

$(x - \alpha)(x - a)$ ${}< 0$ のように、解の一方が文字 $a$ のときは、 $a$ と $\alpha$ の大小で場合を分ける。 $a$ ${}= \alpha$ のときは $D$ ${}= 0$ の場合（公式2）になる。
二次不等式の解が $\alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ （内側）になるなら、 $x^2$ の係数を $k$ ${}> 0$ として、不等式は $k(x - \alpha)(x - \beta)$ ${}< 0$ と同じである。解が外側 $x$ ${}< \alpha,$ $\beta$ ${}< x$ なら $k(x - \alpha)(x - \beta)$ ${}> 0$ と同じである。係数を比べて文字の値を決める。

$(x - 2)(x - a)$ ${}\leqq 0$ の解は「 $2$ と $a$ の内側」ですが、 $2$ と $a$ のどちらが小さいかが分からないと、「 $\square$ ${}\leqq x$ ${}\leqq \square$ 」の左右に何を書けばよいか決まりません。

時刻表で、10 時発の電車と、まだ時刻の決まっていない $a$ 時発の電車があるとします。「2 本の電車の発車の間の時間帯」を書こうとしても、 $a$ が 10 より前か後かで「 $a$ 時から 10 時まで」なのか「10 時から $a$ 時まで」なのかが変わります。同時刻ならその時間帯は一瞬だけです。だから $a$ の値で場合を分けて書きます。

解から係数を決める問題は、第4章の「分解形で二次関数を決める」の不等式版です。「 $< 0$ の解が内側」になるのは $x^2$ の係数が正のときなので、問題の不等式の向きと解の形から、係数の符号も一緒に決まります。

解の一方が文字なら 2 つの解の大小で場合を分け、解が分かっている不等式は $k(x - \alpha)(x - \beta)$ の形と係数を比べるということです。

例題5：文字を含む不等式と、解から係数

(1) $a$ を定数とします。二次不等式 $x^2$ ${}- (a + 2)x$ ${}+ 2a$ ${}\leqq 0$ を解きなさい。

(2) 二次不等式 $ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ 6$ ${}> 0$ の解が $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ となるように、定数 $a$ ， $b$ の値を定めなさい。

【解答】

(1) $x^2$ ${}- (a + 2)x$ ${}+ 2a$ ${}= (x - 2)(x - a)$ なので、不等式は $(x - 2)(x - a)$ ${}\leqq 0$ です。 $2$ と $a$ の大小で分けます。

$a$ ${}< 2$ のとき　内側は $a$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$
$a$ ${}= 2$ のとき　 $(x - 2)^2$ ${}\leqq 0$ なので $x$ ${}= 2$
$a$ ${}> 2$ のとき　内側は $2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq a$

\underline{\begin{aligned}&a < 2 \ \text{のとき}\ a \leqq x \leqq 2 \\ &a = 2 \ \text{のとき}\ x = 2 \\ &a > 2 \ \text{のとき}\ 2 \leqq x \leqq a\end{aligned}}

(2) 「 $> 0$ 」の解が内側 $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ になるので、グラフは上に凸で $a$ ${}< 0$ です。このとき、両辺を $a$ （負の数）で割ると不等号の向きが変わり

\displaystyle ax^2

この解が $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ なので、左辺は $(x + 1)(x - 3)$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ と一致します。係数を比べて

\displaystyle \frac{b}{a}

より $a$ ${}= -2$ ， $b$ ${}= 4$ 。これは $a$ ${}< 0$ を満たします。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -2,}

確かめると、 $-2x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 6$ ${}> 0$ ${}\iff x^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}< 0$ ${}\iff -1$ ${}< x$ ${}< 3$ で、確かに一致します。

絶対値を含む不等式

公式6：絶対値を含む不等式

実数 $A$ ， $B$ について

\displaystyle \lvert A \rvert

（ $\leqq$ ， $\geqq$ でも同じ。） $\lvert x \rvert$ を含む式は、 $x^2$ ${}= \lvert x \rvert^2$ を使って $\lvert x \rvert$ の二次不等式とみることもできる。うまくいかないときは、絶対値の中の符号で場合を分ける。

数と式第4章では、 $r$ ${}> 0$ のとき $\lvert x \rvert$ ${}< r$ ${}\iff -r$ ${}< x$ ${}< r$ を学びました。公式6は、 $x$ と $r$ を式 $A$ ， $B$ に置きかえたものです。 $B$ が負になるときも、この形のままで正しく働きます。たとえば $B$ ${}< 0$ なら $-B$ ${}< A$ ${}< B$ を満たす $A$ はなく、「 $\lvert A \rvert$ ${}< B$ は成り立たない」ことと一致します。第5章で、方程式 $\lvert A \rvert$ ${}= B$ では先に $B$ ${}\geqq 0$ を確かめたのと比べると、不等式のほうが扱いが楽です。

場合分けで解くときは、これまでと同じく境目を右側の範囲に含めて「 $x$ ${}\geqq a$ ／ $x$ ${}< a$ 」と分け、それぞれの範囲の中にある解だけを残します。

絶対値の不等式は $-B$ ${}< A$ ${}< B$ などの連立不等式に直し、 $\lvert x \rvert$ を含むなら $\lvert x \rvert$ をひとかたまりの文字とみるか、符号で場合を分けるということです。

例題6：絶対値を含む不等式

次の不等式を解きなさい。

(1) $x^2$ ${}- \lvert x \rvert$ ${}- 6$ ${}< 0$

(2) $\lvert x^2 - 4 \rvert$ ${}< 3x$

【解答】

(1) $x^2$ ${}= \lvert x \rvert^2$ なので、不等式は

\displaystyle \lvert x \rvert^2

$\lvert x \rvert$ ${}+ 2$ ${}> 0$ なので、両辺をこれで割って $\lvert x \rvert$ ${}- 3$ ${}< 0$ 、つまり $\lvert x \rvert$ ${}< 3$ です。

\underline{-3 < x < 3}

場合分けでも確かめられます。 $x$ ${}\geqq 0$ なら $x^2$ ${}- x$ ${}- 6$ ${}= (x + 2)(x - 3)$ ${}< 0$ より $-2$ ${}< x$ ${}< 3$ で、 $x$ ${}\geqq 0$ と合わせて $0$ ${}\leqq x$ ${}< 3$ 。 $x$ ${}< 0$ なら $x^2$ ${}+ x$ ${}- 6$ ${}= (x + 3)(x - 2)$ ${}< 0$ より $-3$ ${}< x$ ${}< 2$ で、 $x$ ${}< 0$ と合わせて $-3$ ${}< x$ ${}< 0$ 。まとめると $-3$ ${}< x$ ${}< 3$ です。

(2) 公式6より、 $-3x$ ${}< x^2$ ${}- 4$ ${}< 3x$ と同じです。

$x^2$ ${}- 4$ ${}< 3x$ より $x^2$ ${}- 3x$ ${}- 4$ ${}= (x + 1)(x - 4)$ ${}< 0$ 、よって $-1$ ${}< x$ ${}< 4$
$-3x$ ${}< x^2$ ${}- 4$ より $x^2$ ${}+ 3x$ ${}- 4$ ${}= (x + 4)(x - 1)$ ${}> 0$ 、よって $x$ ${}< -4,$ $1$ ${}< x$

共通する範囲は

\underline{1 < x < 4}

$x$ ${}= 2$ を代入すると $\lvert 0 \rvert$ ${}= 0$ ${}< 6$ で成り立ち、端の $x$ ${}= 4$ では $12$ ${}< 12$ となって成り立ちません。右辺 $3x$ が負になる $x$ ${}< 0$ では、公式6の連立不等式が自動的に解なしになっています（1 つ目の $-1$ ${}< x$ ${}< 4$ と 2 つ目の $x$ ${}< -4$ が重ならず、 $-1$ ${}< x$ ${}< 0$ の部分も 2 つ目を満たしません）。

第8章へ——解の「位置」を条件にする

この章で、判別式が文字の式になっても、不等式として解けるようになりました。第8章では、「方程式の解がどこにあるか」を条件にした問題を扱います。

たとえば、「 $x^2$ ${}- 2ax$ ${}+ a$ ${}+ 6$ ${}= 0$ が異なる 2 つの正の解をもつ」ような $a$ の範囲を考えます。グラフ $y$ ${}= x^2$ ${}- 2ax$ ${}+ a$ ${}+ 6$ が $x$ 軸の正の部分と 2 点で交わるには

$x$ 軸と 2 点で交わる： $\dfrac{D}{4}$ ${}= a^2$ ${}- a$ ${}- 6$ ${}> 0$
軸が正の側にある： $a$ ${}> 0$
$y$ 軸との交点が $x$ 軸より上にある： $a$ ${}+ 6$ ${}> 0$

の 3 つがそろえばよく、1 つ目はこの章の二次不等式 $(a + 2)(a - 3)$ ${}> 0$ で $a$ ${}< -2,$ $3$ ${}< a$ です。3 つを合わせて $a$ ${}> 3$ となります。条件をグラフの言葉に翻訳し、それぞれを不等式で解いて共通部分をとる——この章の道具が、そのまま次の章の土台になります。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

二次不等式 $x^2$ ${}- 5x$ ${}+ 4$ ${}< 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{1 < x < 4}$ （ $(x - 1)(x - 4)$ ${}< 0$ で、解の内側）

自己採点：

記録を読み込み中…

問2

二次不等式 $x^2$ ${}+ 2x$ ${}- 8$ ${}\geqq 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}x \leqq -4,}$ $\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\ 2 \leqq x}$ （ $(x + 4)(x - 2)$ ${}\geqq 0$ で、解の外側）

自己採点：

記録を読み込み中…

問3

二次不等式 $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 4$ ${}> 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{x = 2 \ \text{以外のすべての実数}}$ （ $(x - 2)^2$ ${}> 0$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問4

二次不等式 $x^2$ ${}+ x$ ${}+ 1$ ${}< 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{\text{解なし}}$ （ $D$ ${}= 1$ ${}- 4$ ${}= -3$ ${}< 0$ で、 $x^2$ の係数が正なので値はいつも正）

自己採点：

記録を読み込み中…

問5

二次不等式 $-x^2$ ${}+ 3x$ ${}> 0$ の解を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{0 < x < 3}$ （ $-1$ を掛けて $x(x - 3)$ ${}< 0$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) $x^2$ ${}- 7x$ ${}+ 10$ ${}\leqq 0$

(2) $x^2$ ${}- 9$ ${}> 0$

(3) $2x^2$ ${}+ 5x$ ${}- 3$ ${}< 0$

上の (1)〜(3) の二次不等式の解を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 5$ 　(2) $x$ ${}< -3,$ $3$ ${}< x$ 　(3) $-3$ ${}< x$ ${}< \dfrac{1}{2}$

解説

因数分解して $x$ 軸との交点を求め、「 $< 0$ は内側」「 $> 0$ は外側」を使います（公式1）。

(1) $(x - 2)(x - 5)$ ${}\leqq 0$ で、境目を含む内側なので $\underline{2 \leqq x \leqq 5}$ 。

(2) $(x + 3)(x - 3)$ ${}> 0$ で、外側なので $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x < -3,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 3 < x}$ 。

(3) $(2x - 1)(x + 3)$ ${}< 0$ で、 $2x^2$ ${}+ 5x$ ${}- 3$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= -3,$ $\ \dfrac{1}{2}$ 。内側なので

\underline{-3 < x < \frac{1}{2}}

(2) は $x^2$ ${}> 9$ と同じです。「 $x$ ${}> 3$ 」だけにしないよう、負の側の $x$ ${}< -3$ も忘れずに書きます。

自己採点：

記録を読み込み中…

問2　★

(1) $-x^2$ ${}+ x$ ${}+ 12$ ${}\geqq 0$

(2) $-3x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 1$ ${}< 0$

上の (1)，(2) の二次不等式の解を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $-3$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 4$ 　(2) $x$ ${}< -\dfrac{1}{3},$ $1$ ${}< x$

解説

両辺に $-1$ を掛けて $x^2$ の係数を正にし、不等号の向きを変えます。

(1) $x^2$ ${}- x$ ${}- 12$ ${}\leqq 0$ ${}\iff (x + 3)(x - 4)$ ${}\leqq 0$ なので

\underline{-3 \leqq x \leqq 4}

(2) $3x^2$ ${}- 2x$ ${}- 1$ ${}> 0$ ${}\iff (3x + 1)(x - 1)$ ${}> 0$ で、 $3x^2$ ${}- 2x$ ${}- 1$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= -\dfrac{1}{3},$ $\ 1$ 。外側なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x < -\frac{1}{3},}

(1) で $x$ ${}= 0$ を代入すると $12$ ${}\geqq 0$ で成り立ち、 $0$ が答えの範囲に入っていることと合います。1 つ代入して確かめると、内側と外側の取り違えに気づけます。

自己採点：

記録を読み込み中…

問3　★

(1) $x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 4$ ${}> 0$

(2) $2x^2$ ${}- 2x$ ${}- 1$ ${}\leqq 0$

上の (1)，(2) の二次不等式の解を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $x$ ${}< 3$ ${}- \sqrt{5},$ $3$ ${}+ \sqrt{5}$ ${}< x$ 　(2) $\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$ ${}\leqq x$ ${}\leqq \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}$

解説

因数分解できないので、解の公式で $x$ 軸との交点を求めます。

(1) $x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 4$ ${}= 0$ を $b'$ ${}= -3$ として解くと

\displaystyle x

$> 0$ は外側なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}x < 3}

(2) $2x^2$ ${}- 2x$ ${}- 1$ ${}= 0$ を $b'$ ${}= -1$ として解くと

\displaystyle x

$\leqq 0$ は境目を含む内側なので

\underline{\frac{1 - \sqrt{3}}{2} \leqq x \leqq \frac{1 + \sqrt{3}}{2}}

自己採点：

記録を読み込み中…

問4　★

(1) $x^2$ ${}+ 10x$ ${}+ 25$ ${}\leqq 0$

(2) $9x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 1$ ${}> 0$

(3) $2x^2$ ${}- 3x$ ${}+ 2$ ${}\geqq 0$

(4) $-x^2$ ${}+ 2x$ ${}- 2$ ${}> 0$

上の (1)〜(4) の二次不等式の解を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $x$ ${}= -5$ 　(2) $x$ ${}= \dfrac{1}{3}$ 以外のすべての実数　(3) すべての実数　(4) 解なし

解説

$D$ ${}\leqq 0$ の場合です（公式2）。平方の形にすると判断しやすくなります。

(1) $(x + 5)^2$ ${}\leqq 0$ 。2 乗は $0$ 以上なので、成り立つのは $(x + 5)^2$ ${}= 0$ のときだけで $\underline{x = -5}$ 。

(2) $(3x - 1)^2$ ${}> 0$ 。 $3x$ ${}- 1$ ${}= 0$ のときだけ成り立たないので

\underline{x = \frac{1}{3} \ \text{以外のすべての実数}}

(3) $D$ ${}= 9$ ${}- 16$ ${}= -7$ ${}< 0$ で、 $x^2$ の係数は正なので、左辺はいつも正です。 $\underline{\text{すべての実数}}$ 。

(4) $-1$ を掛けて $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 2$ ${}< 0$ 。 $(x - 1)^2$ ${}+ 1$ ${}< 0$ ですが、左辺はいつも $1$ 以上なので $\underline{\text{解なし}}$ 。

自己採点：

記録を読み込み中…

問5　★

連立不等式 $\begin{cases} x^2 - x - 12 < 0 \\ x^2 - 4x \geqq 0 \end{cases}$ を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$-3$ ${}< x$ ${}\leqq 0$

解説

それぞれを解いて、共通部分をとります（公式3）。

1 つ目： $(x + 3)(x - 4)$ ${}< 0$ より $-3$ ${}< x$ ${}< 4$ 。

2 つ目： $x(x - 4)$ ${}\geqq 0$ より $x$ ${}\leqq 0,$ $4$ ${}\leqq x$ 。

数直線に重ねると、 $-3$ ${}< x$ ${}< 4$ と $x$ ${}\leqq 0$ の重なりは $-3$ ${}< x$ ${}\leqq 0$ 。 $4$ ${}\leqq x$ とは重なりません（ $x$ ${}= 4$ は 1 つ目に含まれない）。

\underline{-3 < x \leqq 0}

自己採点：

記録を読み込み中…

問6　★

不等式 $3$ ${}< x^2$ ${}+ 2x$ ${}\leqq 8$ を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$-4$ ${}\leqq x$ ${}< -3,$ $1$ ${}< x$ ${}\leqq 2$

解説

「 $3$ ${}< x^2$ ${}+ 2x$ かつ $x^2$ ${}+ 2x$ ${}\leqq 8$ 」の連立不等式として解きます。

1 つ目： $x^2$ ${}+ 2x$ ${}- 3$ ${}> 0$ ${}\iff (x + 3)(x - 1)$ ${}> 0$ より $x$ ${}< -3,$ $1$ ${}< x$ 。

2 つ目： $x^2$ ${}+ 2x$ ${}- 8$ ${}\leqq 0$ ${}\iff (x + 4)(x - 2)$ ${}\leqq 0$ より $-4$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ 。

$-4$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ のうち、 $x$ ${}< -3$ と重なるのは $-4$ ${}\leqq x$ ${}< -3$ 、 $1$ ${}< x$ と重なるのは $1$ ${}< x$ ${}\leqq 2$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}-4 \leqq x < -3,}

端を確かめると、 $x$ ${}= -4$ で $x^2$ ${}+ 2x$ ${}= 8$ （含む）、 $x$ ${}= -3$ で $3$ （含まない）、 $x$ ${}= 1$ で $3$ （含まない）、 $x$ ${}= 2$ で $8$ （含む）です。答えが 2 つの範囲に分かれるのは、 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 2x$ のグラフの左右の斜面が、それぞれ高さ $3$ から $8$ の帯を通るからです。

自己採点：

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問7　★

不等式 $x^2$ ${}- 3x$ ${}- 2$ ${}< 0$ を満たす整数 $x$ をすべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= 0,$ $\ 1,$ $\ 2,$ $\ 3$

解説

$x^2$ ${}- 3x$ ${}- 2$ ${}= 0$ の解は $x$ ${}= \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ なので、不等式の解は

\displaystyle \frac{3 - \sqrt{17}}{2}

$4$ ${}< \sqrt{17}$ ${}< 5$ なので

\displaystyle -1

この範囲にある整数は

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 0,}

境目の外の整数を代入すると、 $x$ ${}= -1$ で $1$ ${}+ 3$ ${}- 2$ ${}= 2$ ， $x$ ${}= 4$ で $16$ ${}- 12$ ${}- 2$ ${}= 2$ となり、どちらも $0$ より大きいので含まれません。

自己採点：

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問8　★

すべての実数 $x$ について $x^2$ ${}+ kx$ ${}+ k$ ${}> 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$0$ ${}< k$ ${}< 4$

解説

$x^2$ の係数は $1$ ${}> 0$ なので、条件は $D$ ${}< 0$ です（公式4）。

\displaystyle D

\underline{0 < k < 4}

たとえば $k$ ${}= 4$ では $x^2$ ${}+ 4x$ ${}+ 4$ ${}= (x + 2)^2$ となり、 $x$ ${}= -2$ で $0$ になって「 $> 0$ 」が崩れます。境目の $k$ を含めないことが、この確かめで分かります。

自己採点：

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問9　★★

$k$ を定数とします。

(1) 二次関数 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 2kx$ ${}+ 3k$ のグラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わるような $k$ の値の範囲を求めなさい。

(2) $x$ の二次方程式 $x^2$ ${}+ (k + 1)x$ ${}+ k^2$ ${}= 0$ が実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $k$ ${}< 0,$ $3$ ${}< k$ 　(2) $-\dfrac{1}{3}$ ${}\leqq k$ ${}\leqq 1$

解説

判別式が $k$ の二次式になるので、二次不等式を解きます。

(1) 条件は $D$ ${}> 0$ 。 $b'$ ${}= k$ として

\displaystyle \frac{D}{4}

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k < 0,}

(2) 実数解をもつ条件は $D$ ${}\geqq 0$ です。

\displaystyle D

$-1$ を掛けて $3k^2$ ${}- 2k$ ${}- 1$ ${}\leqq 0$ ${}\iff (3k + 1)(k - 1)$ ${}\leqq 0$ なので

\underline{-\frac{1}{3} \leqq k \leqq 1}

(2) で $D$ の $k^2$ の係数が負になっています。 $-1$ を掛けるときに不等号の向きを変えるのを忘れないようにします。

自己採点：

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問10　★★

すべての実数 $x$ について $kx^2$ ${}+ (k - 1)x$ ${}+ k$ ${}- 1$ ${}< 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}< -\dfrac{1}{3}$

解説

$x^2$ の係数 $k$ が $0$ になる場合を先に調べます（公式4）。

$k$ ${}= 0$ のとき　不等式は $-x$ ${}- 1$ ${}< 0$ で、たとえば $x$ ${}= -2$ では $1$ ${}< 0$ となり成り立ちません。よって不適です。
$k$ ${}\neq 0$ のとき　すべての $x$ で「 $< 0$ 」となる条件は、 $k$ ${}< 0$ かつ $D$ ${}< 0$ です。

\displaystyle D

$D$ ${}< 0$ ${}\iff (k - 1)(3k + 1)$ ${}> 0$ ${}\iff k$ ${}< -\dfrac{1}{3},$ $1$ ${}< k$ 。 $k$ ${}< 0$ と合わせて

\underline{k < -\frac{1}{3}}

$k$ ${}= -1$ で確かめると、 $-x^2$ ${}- 2x$ ${}- 2$ ${}= -(x + 1)^2$ ${}- 1$ ${}< 0$ で、確かにすべての $x$ で成り立ちます。境目の $k$ ${}= -\dfrac{1}{3}$ では $-\dfrac{1}{3}(x + 2)^2$ となり、 $x$ ${}= -2$ で $0$ になるので含みません。

自己採点：

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問11　★★

$a$ を定数とします。二次不等式 $x^2$ ${}- (a + 3)x$ ${}+ 3a$ ${}> 0$ の解を、 $a$ の値によって場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}< 3$ のとき $x$ ${}< a,$ $3$ ${}< x$ ； $a$ ${}= 3$ のとき $x$ ${}= 3$ 以外のすべての実数； $a$ ${}> 3$ のとき $x$ ${}< 3,$ $a$ ${}< x$

解説

左辺は $(x - 3)(x - a)$ と因数分解できます。 $> 0$ は外側なので、 $3$ と $a$ の大小で分けます（公式5）。

$a$ ${}< 3$ のとき　小さいほうが $a$ なので $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x < a,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 3 < x}$
$a$ ${}= 3$ のとき　 $(x - 3)^2$ ${}> 0$ なので、 $\underline{x = 3\ \text{以外のすべての実数}}$
$a$ ${}> 3$ のとき　小さいほうが $3$ なので $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x < 3,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ a < x}$

$a$ ${}= 3$ の答えは、 $a$ ${}< 3$ の答え「 $x$ ${}< a,$ $3$ ${}< x$ 」に $a$ ${}= 3$ を入れた「 $x$ ${}< 3,$ $3$ ${}< x$ 」と同じ範囲です。境目で答えがつながっていることを確かめておくと安心です。

自己採点：

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問12　★★

(1) 二次不等式 $x^2$ ${}+ ax$ ${}+ b$ ${}\leqq 0$ の解が $-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 5$ である。

(2) 二次不等式 $ax^2$ ${}+ 5x$ ${}+ b$ ${}> 0$ の解が $\dfrac{1}{2}$ ${}< x$ ${}< 2$ である。

上の (1)，(2) の条件を満たすように、定数 $a$ ， $b$ の値をそれぞれ定めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $a$ ${}= -3,$ $b$ ${}= -10$ 　(2) $a$ ${}= -2,$ $b$ ${}= -2$

解説

解から、もとの不等式の形を組み立てます（公式5）。

(1) $x^2$ の係数が $1$ で、「 $\leqq 0$ 」の解が $-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 5$ なので、左辺は $(x + 2)(x - 5)$ ${}= x^2$ ${}- 3x$ ${}- 10$ と一致します。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -3,}

(2) 「 $> 0$ 」の解が内側なので、グラフは上に凸で $a$ ${}< 0$ です。解が $\dfrac{1}{2}$ ${}< x$ ${}< 2$ になる不等式は、 $a$ ${}< 0$ を係数として

\displaystyle a\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 2)

と書けます（両辺を負の数 $a$ で割ると $\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 2)$ ${}< 0$ になり、解が内側になることが確かめられます）。 $ax^2$ ${}+ 5x$ ${}+ b$ と係数を比べて

\displaystyle -\frac{5}{2}a

より $a$ ${}= -2$ ， $b$ ${}= -2$ 。 $a$ ${}< 0$ を満たします。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -2,}

確かめ： $-2x^2$ ${}+ 5x$ ${}- 2$ ${}> 0$ ${}\iff 2x^2$ ${}- 5x$ ${}+ 2$ ${}< 0$ ${}\iff (2x - 1)(x - 2)$ ${}< 0$ ${}\iff \dfrac{1}{2}$ ${}< x$ ${}< 2$ 。

自己採点：

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問13　★★

(1) $x^2$ ${}- 4\lvert x \rvert$ ${}+ 3$ ${}< 0$

(2) $\lvert x^2 - 2x \rvert$ ${}\leqq 3$

上の (1)，(2) の不等式の解を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $-3$ ${}< x$ ${}< -1,$ $1$ ${}< x$ ${}< 3$ 　(2) $-1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$

解説

(1) $x^2$ ${}= \lvert x \rvert^2$ を使うと

\displaystyle \lvert x \rvert^2

$\lvert x \rvert$ が $1$ より大きく $3$ より小さいのは、 $x$ が正の側で $1$ ${}< x$ ${}< 3$ 、負の側で $-3$ ${}< x$ ${}< -1$ のときです。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}-3 < x < -1,}

(2) 公式6より $-3$ ${}\leqq x^2$ ${}- 2x$ ${}\leqq 3$ と同じです。

$x^2$ ${}- 2x$ ${}\geqq -3$ は $x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 3$ ${}= (x - 1)^2$ ${}+ 2$ ${}\geqq 0$ と同じで、すべての実数で成り立ちます。
$x^2$ ${}- 2x$ ${}\leqq 3$ は $(x + 1)(x - 3)$ ${}\leqq 0$ で、 $-1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$ 。

共通部分は

\underline{-1 \leqq x \leqq 3}

$y$ ${}= x^2$ ${}- 2x$ のいちばん低いところは $-1$ なので、「 $-3$ 以上」は初めから満たされています。連立の片方が「すべての実数」になることもあります。

自己採点：

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問14　★★

不等式 $x^2$ ${}- 3\lvert x - 1 \rvert$ ${}- 1$ ${}> 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}< -4,$ $2$ ${}< x$

解説

絶対値の中の符号で場合を分けます。境目の $x$ ${}= 1$ は右側に含めます。

$x$ ${}\geqq 1$ のとき　 $\lvert x - 1 \rvert$ ${}= x$ ${}- 1$ なので

\displaystyle x^2

より $x$ ${}< 1,$ $2$ ${}< x$ 。 $x$ ${}\geqq 1$ と合わせて $x$ ${}> 2$ 。

$x$ ${}< 1$ のとき　 $\lvert x - 1 \rvert$ ${}= -(x - 1)$ なので

\displaystyle x^2

より $x$ ${}< -4,$ $1$ ${}< x$ 。 $x$ ${}< 1$ と合わせて $x$ ${}< -4$ 。

2 つの場合を合わせて

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x < -4,}

確かめ： $x$ ${}= 0$ では $0$ ${}- 3$ ${}- 1$ ${}= -4$ で不成立、 $x$ ${}= 3$ では $9$ ${}- 6$ ${}- 1$ ${}= 2$ ${}> 0$ 、 $x$ ${}= -5$ では $25$ ${}- 18$ ${}- 1$ ${}= 6$ ${}> 0$ で成立します。各場合で出てきた「 $1$ ${}< x$ 」や「 $x$ ${}< 1$ 」の部分を、場合の範囲と照らし合わせて捨てるのがポイントです。

自己採点：

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問15　★★

ある店では、1 個 $100$ 円の商品が 1 日に $600$ 個売れます。 $1$ 円値上げするごとに、1 日に売れる個数が $3$ 個ずつ減るものとします。値上げ額を $x$ 円（ $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 200$ ）とするとき、1 日の売上金額を $67200$ 円以上にするような $x$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$40$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 60$

解説

値上げ後の価格は $(100 + x)$ 円、売れる個数は $(600 - 3x)$ 個です（ $x$ ${}\leqq 200$ なので個数は $0$ 以上）。売上金額の条件は

\displaystyle (100 + x)(600 - 3x)

左辺を展開すると $60000$ ${}+ 300x$ ${}- 3x^2$ なので

\displaystyle -3x^2

より $40$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 60$ 。これは $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 200$ に入っています。

\underline{40 \leqq x \leqq 60}

価格でいえば $140$ 円以上 $160$ 円以下です。売上は $-3(x - 50)^2$ ${}+ 67500$ と平方完成でき、値上げ額 $50$ 円（価格 $150$ 円）で最大の $67500$ 円になります。 $67200$ 円以上になる範囲は、その頂点をはさむ内側です。

自己採点：

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問16　★★

$-1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 1$ を満たすすべての $x$ について $x^2$ ${}+ kx$ ${}- 3$ ${}< 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$-2$ ${}< k$ ${}< 2$

解説

$f(x)$ ${}= x^2$ ${}+ kx$ ${}- 3$ とおきます。すべての $x$ で $f(x)$ ${}< 0$ となる条件は、 $-1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 1$ での最大値が負であることです。

$f(x)$ は下に凸なので、両端を含む範囲での最大値は、軸から遠いほうの端でとります（第3章）。軸の位置がどこであっても、最大値は $f(-1)$ と $f(1)$ の大きいほうです。したがって条件は

\displaystyle f(-1)

$f(-1)$ ${}= 1$ ${}- k$ ${}- 3$ ${}= -k$ ${}- 2$ ${}< 0$ より $k$ ${}> -2$ 。 $f(1)$ ${}= 1$ ${}+ k$ ${}- 3$ ${}= k$ ${}- 2$ ${}< 0$ より $k$ ${}< 2$ 。

\underline{-2 < k < 2}

下に凸のグラフでは、両端が $x$ 軸より下にあれば、その間の部分も下にあります。両端を結ぶ線分より、グラフのほうが下を通るからです。このため、「最小値が正」の条件では軸の位置で場合分けが要るのに対し、「最大値が負」の条件は両端だけで済みます。

自己採点：

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問17　★★★

$0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ を満たすすべての $x$ について $x^2$ ${}- 2ax$ ${}+ a$ ${}+ 2$ ${}> 0$ が成り立つような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$-2$ ${}< a$ ${}< 2$

解説

$f(x)$ ${}= x^2$ ${}- 2ax$ ${}+ a$ ${}+ 2$ ${}= (x - a)^2$ ${}- a^2$ ${}+ a$ ${}+ 2$ とおきます。条件は「 $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ での最小値が正」です。軸 $x$ ${}= a$ と範囲の位置で分けます（第3章公式4）。

$a$ ${}< 0$ のとき　最小値は $f(0)$ ${}= a$ ${}+ 2$ 。 $a$ ${}+ 2$ ${}> 0$ より $a$ ${}> -2$ 。 $a$ ${}< 0$ と合わせて $-2$ ${}< a$ ${}< 0$ 。

$0$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 2$ のとき　最小値は $f(a)$ ${}= -a^2$ ${}+ a$ ${}+ 2$ 。

\displaystyle -a^2

$0$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 2$ と合わせて $0$ ${}\leqq a$ ${}< 2$ 。

$a$ ${}> 2$ のとき　最小値は $f(2)$ ${}= 4$ ${}- 4a$ ${}+ a$ ${}+ 2$ ${}= 6$ ${}- 3a$ 。 $6$ ${}- 3a$ ${}> 0$ より $a$ ${}< 2$ で、 $a$ ${}> 2$ と合わないので、この場合は条件を満たす $a$ はありません。

3 つの場合を合わせて

\underline{-2 < a < 2}

境目を確かめると、 $a$ ${}= 2$ では $f(x)$ ${}= (x - 2)^2$ で $f(2)$ ${}= 0$ 、 $a$ ${}= -2$ では $f(0)$ ${}= 0$ となり、どちらも「 $> 0$ 」を満たしません。2 つ目の場合で出た $-1$ ${}< a$ の条件は、 $0$ ${}\leqq a$ の中では効いていないことにも注意します。

自己採点：

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問18　★★★

$a$ を定数とします。不等式 $x^2$ ${}- (a + 1)x$ ${}+ a$ ${}< 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような、 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-3$ ${}\leqq a$ ${}< -2,$ $4$ ${}< a$ ${}\leqq 5$

解説

左辺は $(x - 1)(x - a)$ なので、不等式は $(x - 1)(x - a)$ ${}< 0$ です。

$a$ ${}> 1$ のとき　解は $1$ ${}< x$ ${}< a$ 。この範囲の整数は $2,$ $\ 3,$ $\ 4,$ $\ \ldots$ と小さいほうから並ぶので、ちょうど 3 個（ $2,$ $\ 3,$ $\ 4$ ）になるのは、 $4$ を含み $5$ を含まないときです。 $x$ ${}< a$ の端は含まないので

\displaystyle 4

$a$ ${}= 1$ のとき　 $(x - 1)^2$ ${}< 0$ で解なし。整数は 0 個で不適。

$a$ ${}< 1$ のとき　解は $a$ ${}< x$ ${}< 1$ 。整数は $0,$ ${}\ -1,$ ${}\ -2,$ $\ \ldots$ と大きいほうから並ぶので、ちょうど 3 個（ $0,$ ${}\ -1,$ ${}\ -2$ ）になるのは、 $-2$ を含み $-3$ を含まないときで

\displaystyle -3

\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}-3 \leqq a < -2,}

端の確かめ： $a$ ${}= 5$ なら $1$ ${}< x$ ${}< 5$ で $2,$ $\ 3,$ $\ 4$ の 3 個（ $5$ は含まない）。 $a$ ${}= 4$ なら $2,$ $\ 3$ の 2 個。 $a$ ${}= -3$ なら $-3$ ${}< x$ ${}< 1$ で $-2,$ ${}\ -1,$ $\ 0$ の 3 個。 $a$ ${}= -2$ なら $-1,$ $\ 0$ の 2 個。数直線に整数の目盛りを打って、 $a$ の位置を動かしながら数えると間違えにくくなります。

自己採点：

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問19　★★★

$a$ を定数とします。連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 \leqq 0 \\ x^2 - 4ax + 3a^2 < 0 \end{cases}$ を満たす $x$ が存在するような、 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-2$ ${}< a$ ${}< 0,$ $0$ ${}< a$ ${}< 4$

解説

1 つ目： $(x + 2)(x - 4)$ ${}\leqq 0$ より $-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 4$ 。これを範囲 $P$ とします。

2 つ目： $(x - a)(x - 3a)$ ${}< 0$ 。 $a$ と $3a$ の大小で分けます。

$a$ ${}> 0$ のとき　 $a$ ${}< 3a$ なので、解は $a$ ${}< x$ ${}< 3a$ 。これが $P$ と重なる条件を考えます。 $3a$ ${}> 0$ ${}> -2$ なので左側ではつねに重なる余地があり、あとは左端 $a$ が $P$ の右端 $4$ より左にあればよいので $a$ ${}< 4$ （ $a$ ${}= 4$ だと $4$ ${}< x$ ${}< 12$ で、 $x$ ${}= 4$ を含まないので重ならない）。よって $0$ ${}< a$ ${}< 4$ 。

$a$ ${}= 0$ のとき　 $x^2$ ${}< 0$ で解なし。不適。

$a$ ${}< 0$ のとき　 $3a$ ${}< a$ なので、解は $3a$ ${}< x$ ${}< a$ 。右端 $a$ が $P$ の左端 $-2$ より右にあれば重なります。 $3a$ ${}< 0$ ${}< 4$ なので右側は問題ありません。条件は $a$ ${}> -2$ （ $a$ ${}= -2$ だと $-6$ ${}< x$ ${}< -2$ で、 $x$ ${}= -2$ を含まないので重ならない）。よって $-2$ ${}< a$ ${}< 0$ 。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}-2 < a < 0,}

「共通部分が存在する」は、2 つの範囲の端どうしの位置関係だけで決まります。端を含むか含まないかが、答えの等号の有無に直結するので、境目の値を代入して確かめます。

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問20　★★★

すべての実数 $x$ ， $y$ について $x^2$ ${}- 2xy$ ${}+ 2y^2$ ${}+ 2x$ ${}- 6y$ ${}+ k$ ${}\geqq 0$ が成り立つような、定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}\geqq 5$

解説

まず $y$ を定数とみて、左辺を $x$ の二次式として整理します。

\displaystyle x^2

$x^2$ の係数は $1$ ${}> 0$ なので、すべての $x$ で $\geqq 0$ となる条件は $D$ ${}\leqq 0$ です（公式4）。

\displaystyle \frac{D}{4}

これがすべての実数 $y$ で成り立てばよいので、 $-1$ を掛けて

\displaystyle y^2

$y^2$ の係数は正なので、条件は判別式が $0$ 以下であることです。

\displaystyle \frac{D'}{4}

\underline{k \geqq 5}

別の見方：左辺は $(x - y + 1)^2$ ${}+ (y - 2)^2$ ${}+ k$ ${}- 5$ と変形できます（展開して確かめられます）。2 つの 2 乗は同時に $0$ になれる（ $y$ ${}= 2,$ $x$ ${}= 1$ ）ので、左辺の最小値は $k$ ${}- 5$ で、これが $0$ 以上になる条件が $k$ ${}\geqq 5$ です。「1 文字ずつ固定して判別式」を 2 回使う方法は、平方の形が見えないときにも使えます。

自己採点：

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数学小話コーナー

ダンクシュートはなぜ「浮いて」見えるのか

バスケットボールのダンクシュートやバレーボールのスパイクを見ていると、選手が空中でふわりと止まっているように感じることがあります。実際には、人の体は投げ上げたボールと同じく、重力に引かれて放物線を描いているだけです。それでも「浮いて」見える理由を、二次不等式で測ってみましょう。

真上に秒速 $3.92$ m で跳び上がった選手の、体の重心の高さ（踏み切ったときからの上昇分）を考えます。 $t$ 秒後の高さ $h$ m は、空気の抵抗を無視すると

\displaystyle h

です。 $t$ ${}= 0$ で踏み切り、 $t$ ${}= 0.8$ で着地するので、滞空時間は $0.8$ 秒。いちばん高いのは真ん中の $t$ ${}= 0.4$ で、 $h$ ${}= 4.9 \times 0.4 \times 0.4$ ${}= 0.784$ m、つまり約 $78$ cm 跳び上がっています。

では、最高点から上の 4 分の 1、つまり高さ $0.784 \times \dfrac{3}{4}$ ${}= 0.588$ m 以上にいるのは、何秒間でしょうか。

\displaystyle 4.9t(0.8 - t)

より $0.2$ ${}\leqq t$ ${}\leqq 0.6$ 。なんと $0.4$ 秒、滞空時間のちょうど半分です。高さでいえばたった $20$ cm ほどの範囲に、時間の半分がつぎ込まれています。

これは跳び方によらず成り立ちます。最高点からの高さの割合を $r$ とすると、その範囲にいる時間は滞空時間の $\sqrt{r}$ 倍になります。上の $\dfrac{1}{4}$ なら $\dfrac{1}{2}$ 、上の $\dfrac{1}{100}$ （この例では $8$ mm ほど）でも、時間は $\dfrac{1}{10}$ にあたる $0.08$ 秒もあります。頂点の近くではほとんど高さが変わらないまま時間が過ぎるので、見ている人の目には「空中で止まった」ように映る、と説明されています（※見え方の感じ方には、腕や脚の動きなども関わるとされます）。

第3章の小話で、打ち上げ花火が頂点で開くことと「頂点の近くは平ら」という話をしました。そのとき「平ら」と言ったことを、この章の不等式で「時間の長さ」として数えたのが、今回の計算です。

豆知識

滞空時間 $T$ 秒と跳び上がる高さ $H$ m の間には、 $H$ ${}= \dfrac{4.9}{4}T^2$ という関係があります（上の例なら $T$ ${}= 0.8$ で $H$ ${}= 0.784$ ）。滞空時間を $1$ 秒にするには $H$ ${}= 1.225$ m、つまり重心を $1$ m 以上も持ち上げる必要があります。世界のトップ選手でも垂直跳びは $1$ m 前後と言われるので（※測り方によって違います）、「1 秒間浮いていた」と感じる場面でも、実際の滞空時間は長くて $0.9$ 秒ほど（ $H$ ${}= 1$ のとき $T$ ${}\fallingdotseq 0.90$ ）と考えられます。

コンピューターに「範囲」で計算させる——区間演算

コンピューターの小数計算には、わずかな誤差がつきものです。ふつうは気にしなくてよい大きさですが、橋の設計や数学の証明のように「絶対に間違えられない」場面では困ります。そこで考えられたのが区間演算です。数を 1 つの値ではなく「この範囲のどこかにある」という下限と上限の組で持ち、計算のたびに、答えが確実に入る範囲を求めていきます。

足し算や引き算は、不等式の性質そのものです。 $1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ ， $3$ ${}\leqq y$ ${}\leqq 5$ なら

\displaystyle 4

となります（引き算は「小さい $x$ から大きい $y$ を引いたとき」が下限です）。

ところが、同じ式でも書き方によって、得られる範囲の広さが変わります。 $1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ のとき、 $x^2$ ${}- 2x$ の範囲を 3 通りに計算してみます。

$x^2$ ${}- 2x$ のまま： $1$ ${}\leqq x^2$ ${}\leqq 4$ ， $2$ ${}\leqq 2x$ ${}\leqq 4$ から、 $1$ ${}- 4$ ${}\leqq x^2$ ${}- 2x$ ${}\leqq 4$ ${}- 2$ 、つまり $-3$ ${}\leqq x^2$ ${}- 2x$ ${}\leqq 2$
$x(x - 2)$ と因数分解： $1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 2$ と $-1$ ${}\leqq x$ ${}- 2$ ${}\leqq 0$ の積なので、 $-2$ ${}\leqq x(x - 2)$ ${}\leqq 0$
$(x - 1)^2$ ${}- 1$ と平方完成： $0$ ${}\leqq x$ ${}- 1$ ${}\leqq 1$ から $0$ ${}\leqq (x - 1)^2$ ${}\leqq 1$ なので、 $-1$ ${}\leqq (x - 1)^2$ ${}- 1$ ${}\leqq 0$

本当の値域は、第3章の方法で求めると $-1$ ${}\leqq x^2$ ${}- 2x$ ${}\leqq 0$ です。平方完成した式だけが、ぴったり正しい範囲を出しました。

ずれの原因は、 $x$ が式に 2 回出てくることです。区間演算は、 $x^2$ の $x$ と $2x$ の $x$ を「別々に動ける数」として扱ってしまいます。実際には同じ $x$ なので、 $x^2$ ${}= 4$ （ $x$ ${}= 2$ ）と $2x$ ${}= 2$ （ $x$ ${}= 1$ ）が同時に起こることはありません。平方完成で $x$ を 1 か所にまとめると、このすれ違いが消えるのです。

この方法は「精度保証付き数値計算」と呼ばれ、数学の証明にも使われています。2002 年ごろ、ウォーリック・タッカーは、気象のモデルから生まれた「ローレンツ・アトラクタ」と呼ばれる図形の性質を、区間演算を使ったコンピューター計算で証明しました（※数学者スメールが 1998 年に挙げた未解決問題の 1 つとされます）。

豆知識

区間演算の考え方を早い時期に論文にまとめた一人は、日本の須永照雄（1958 年）で、アメリカのラモン・ムーアが 1966 年の本で広めたとされます（※先行する研究には諸説あります）。2015 年には、区間演算の国際的な規格（IEEE 1788）も定められました。

「すべての」と「ある」——∀ と ∃ の記号

この章では、「すべての実数 $x$ について〜が成り立つ」という条件をたくさん扱いました。数学では、この「すべての」と、その相棒の「〜となるものがある」を、専用の記号で書くことがあります。

\displaystyle \forall x \ (x^2 + 1 > 0)

左は「すべての $x$ について $x^2$ ${}+ 1$ ${}> 0$ 」、右は「 $x^2$ ${}< 1$ となる $x$ がある」と読みます。 $\forall$ は英語の All（ドイツ語の Alle）の A を逆さにしたもの、 $\exists$ は Exists の E を裏返したものです。 $\exists$ はイタリアのジュゼッペ・ペアノが 1897 年ごろに、 $\forall$ はドイツのゲルハルト・ゲンツェンが 1935 年の論文で、 $\exists$ にならって使い始めたとされます（※それ以前にも別の書き方があり、最初の使用者には諸説あります）。

この 2 つの記号は、否定するとお互いに入れかわります。「すべての $x$ で $P$ 」を否定すると、「 $P$ でない $x$ がある」になります。数と式第6章の「命題の否定」と同じ考え方です。

例題4(1) で、「すべての実数 $x$ について $x^2$ ${}- 2kx$ ${}+ k$ ${}+ 6$ ${}> 0$ 」となる $k$ の範囲は $-2$ ${}< k$ ${}< 3$ でした。すると、その否定

\displaystyle \text{「}x^2

となる $k$ の範囲は、残りの部分 $k$ ${}\leqq -2,$ $3$ ${}\leqq k$ だと、計算しなくても分かります。グラフで言えば、「全体が $x$ 軸より上」の否定は「どこか 1 か所でも $x$ 軸に届く」で、それは判別式 $D$ ${}\geqq 0$ のことです。実際、 $\dfrac{D}{4}$ ${}= (k + 2)(k - 3)$ ${}\geqq 0$ を解くと同じ答えになります。

「すべて」の条件は 1 つでも反例があれば崩れ、「ある」の条件は 1 つでも例があれば成り立ちます。記号にしてみると、この裏返しの関係がはっきり見えてきます。

豆知識

$\forall x$ は、日本語の数学書ではよく「任意の $x$ に対して」と読まれます。この「任意」は「どれを選んでもよい（どれを選んでも成り立つ）」という意味で、「参加は任意です」の「やってもやらなくてもよい」とは少し違います。数学の文章で「任意の」が出てきたら、「すべての」と読みかえると意味がつかみやすくなります。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、公式1〜6の手順が使えれば十分です。「内側・外側」の表はなぜ正しいのか、「すべての $x$ で成り立つ」条件は本当に「 $a$ ${}> 0$ かつ $D$ ${}< 0$ 」で過不足ないのか、下に凸なら両端だけ調べればよいのはなぜか、解から係数がただ 1 通りに決まるのはなぜか——が気になる人のために、根拠を示します。

以下、 $f(x)$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c \ (a \neq 0)$ ， $D$ ${}= b^2$ ${}- 4ac$ ， $p$ ${}= -\dfrac{b}{2a}$ とします。

定義1：不等式の解の集合

実数 $x$ についての条件 $P(x)$ （不等式など）に対し、 $P(x)$ を満たす実数 $x$ 全体の集合を $P(x)$ の解の集合という。2 つの条件の解の集合が等しいとき、2 つの条件は同値であるといい、 $\iff$ で結ぶ。

「すべての実数 $x$ について $P(x)$ が成り立つ」とは、解の集合が実数全体に等しいことをいう。
「 $P(x)$ を満たす実数 $x$ が存在する」とは、解の集合が空集合でないことをいう。

不等式を「解く」とは、解の集合を、 $-1$ ${}< x$ ${}< 3$ のような分かりやすい形の条件で書き表すことです。途中の変形がすべて同値変形（解の集合を変えない変形）であれば、最後に得た範囲が正しい答えになります。「両辺に正の数を掛ける」「両辺に負の数を掛けて向きを変える」「両辺に同じ式を足す」は、どれも同値変形です（数と式第4章の不等式の性質から、逆向きの変形もできるため）。

定理1：積の符号

実数 $A$ ， $B$ について

\displaystyle AB

\displaystyle AB

とくに、 $\alpha$ ${}< \beta$ のとき

\displaystyle (x - \alpha)(x - \beta)

証明　 $A$ ， $B$ はそれぞれ「正・ $0$ ・負」のどれか 1 つにあたるので、組み合わせは 9 通りである。不等式の性質から、正と正の積、負と負の積は正、正と負の積は負、どちらかが $0$ なら積は $0$ となる。9 通りのうち積が正になるのは「ともに正」「ともに負」の 2 通り、負になるのは「異符号」の 2 通りだけなので、前半が成り立つ。

後半では $A$ ${}= x$ ${}- \alpha$ ， $B$ ${}= x$ ${}- \beta$ とおく。 $A$ ${}- B$ ${}= \beta$ ${}- \alpha$ ${}> 0$ なので、つねに $A$ ${}> B$ である。

「 $A$ ${}> 0$ かつ $B$ ${}> 0$ 」は、 $B$ ${}> 0$ （このとき $A$ ${}> B$ ${}> 0$ ）と同じで、 $x$ ${}> \beta$ である。
「 $A$ ${}< 0$ かつ $B$ ${}< 0$ 」は、 $A$ ${}< 0$ と同じで、 $x$ ${}< \alpha$ である。
「 $A$ ${}< 0$ かつ $B$ ${}> 0$ 」は $A$ ${}< 0$ ${}< B$ となって $A$ ${}> B$ に反するので起こらない。「 $A$ ${}> 0$ かつ $B$ ${}< 0$ 」は $\alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ である。

前半と合わせて、後半の 2 つの同値が得られる。（証明終）

$A$ ${}> B$ という一言が効いています。2 つの因数は、どの $x$ でも「 $x$ ${}- \alpha$ のほうが大きい」という順番を崩さないので、符号の組み合わせは「 $+,$ ${}+$ 」「 $+,$ ${}-$ 」「 $-,$ ${}-$ 」の 3 通りしか現れません。数直線を左から見ていくと、 $\alpha$ を過ぎたところで 1 つ目の因数が、 $\beta$ を過ぎたところで 2 つ目の因数が、それぞれ負から正に変わる——これが「内側で負、外側で正」の正体です。

定理2：二次不等式の解の表

$a$ ${}> 0$ とする。

(i) $D$ ${}> 0$ のとき、 $f(x)$ ${}= 0$ の 2 つの実数解を $\alpha$ ${}< \beta$ とすると、 $f(x)$ ${}< 0$ ${}\iff \alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ ， $f(x)$ ${}> 0$ ${}\iff x$ ${}< \alpha \ \text{または}\ \beta$ ${}< x$ である。

(ii) $D$ ${}= 0$ のとき、 $f(x)$ ${}= a(x - p)^2$ であり、 $f(x)$ ${}\geqq 0$ はすべての実数で成り立ち、等号は $x$ ${}= p$ のときに限る。

(iii) $D$ ${}< 0$ のとき、すべての実数 $x$ について $f(x)$ ${}> 0$ である。

$a$ ${}< 0$ のときは、 $-f(x)$ に (i)〜(iii) を当てはめる。

証明　平方完成により

\displaystyle f(x)

(i) $D$ ${}> 0$ なら、第5章の解の公式より $f(x)$ ${}= a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できる。 $a$ ${}> 0$ なので、 $f(x)$ と $(x - \alpha)(x - \beta)$ の符号は同じである（正の数を掛けても符号は変わらない）。あとは定理1による。

(ii) $D$ ${}= 0$ なら $f(x)$ ${}= a(x - p)^2$ 。 $(x - p)^2$ ${}\geqq 0$ と $a$ ${}> 0$ から $f(x)$ ${}\geqq 0$ 。 $f(x)$ ${}= 0$ ${}\iff (x - p)^2$ ${}= 0$ ${}\iff x$ ${}= p$ である。

(iii) $D$ ${}< 0$ なら $-\dfrac{D}{4a}$ ${}> 0$ なので、 $f(x)$ ${}\geqq -\dfrac{D}{4a}$ ${}> 0$ 。

$a$ ${}< 0$ のとき、 $f(x)$ ${}< 0$ ${}\iff -f(x)$ ${}> 0$ などは、両辺に $-1$ を掛ける同値変形である。 $-f(x)$ の $x^2$ の係数 $-a$ は正で、判別式は $(-b)^2$ ${}- 4(-a)(-c)$ ${}= D$ と変わらないので、(i)〜(iii) が使える。（証明終）

公式1・公式2の表は、この定理を 4 種類の不等号について書き並べたものです。(ii) から、たとえば $f(x)$ ${}> 0$ の解の集合は「実数全体から $p$ を 1 つ除いたもの」、 $f(x)$ ${}\leqq 0$ の解の集合は「 $p$ だけからなる集合」になります。

定理3：すべての x で成り立つ条件と、その否定

次の同値が成り立つ（ $a$ ${}\neq 0$ とする）。

\displaystyle \text{すべての実数}\ x \ \text{について}\ f(x)

\displaystyle \text{すべての実数}\ x \ \text{について}\ f(x)

したがって、否定をとると

\displaystyle f(x)

証明　1 つ目を示す。 $q$ ${}= -\dfrac{D}{4a}$ とおくと、 $f(x)$ ${}= a(x - p)^2$ ${}+ q$ ， $f(p)$ ${}= q$ である。

（ $\Leftarrow$ ）定理2 (iii) による。

（ $\Rightarrow$ ）すべての $x$ で $f(x)$ ${}> 0$ とする。まず $x$ ${}= p$ として $q$ ${}= f(p)$ ${}> 0$ 。次に、 $a$ ${}< 0$ と仮定して矛盾を導く。 $s$ ${}= \sqrt{\dfrac{2q}{-a}}$ とおくと $s^2$ ${}= -\dfrac{2q}{a}$ なので

\displaystyle f(p + s)

となり、仮定に反する。よって $a$ ${}> 0$ 。このとき $q$ ${}= -\dfrac{D}{4a}$ ${}> 0$ と $a$ ${}> 0$ から $D$ ${}< 0$ である。

2 つ目も同様に示せる（ $\Rightarrow$ では $q$ ${}\geqq 0$ を得る。 $a$ ${}< 0$ なら $f(p + s)$ ${}= as^2$ ${}+ q$ は $s$ を大きくとると負になる。たとえば $s$ ${}= \sqrt{\dfrac{q + 1}{-a}}$ で $f(p + s)$ ${}= -1$ ）。

3 つ目の左辺は「すべての $x$ で $f(x)$ ${}> 0$ 」の否定である。右辺「 $a$ ${}> 0$ かつ $D$ ${}< 0$ 」の否定は、ド・モルガンの法則により「 $a$ ${}\leqq 0$ または $D$ ${}\geqq 0$ 」で、 $a$ ${}\neq 0$ だから「 $a$ ${}< 0$ または $D$ ${}\geqq 0$ 」となる。（証明終）

第6章の定理2では、 $a$ ${}> 0$ を前提にして「すべての $x$ で $f(x)$ ${}> 0$ ${}\iff D$ ${}< 0$ 」を示しました。定理3では、その前提も条件の中に取り込みました。「 $a$ ${}< 0$ ならいつかは負になる」という部分は、上に凸の放物線は頂点から離れるほどいくらでも下がる、ということを式で確かめたものです。

小話3で見たように、「すべて」の否定は「ある」になります。 $a$ ${}< 0$ なら頂点から遠くで、 $D$ ${}\geqq 0$ なら頂点で、 $f(x)$ ${}\leqq 0$ となる $x$ が実際に見つかります。

定理4：範囲を限ったときの条件

$s$ ${}< t$ とし、 $I$ を $s$ ${}\leqq x$ ${}\leqq t$ を満たす $x$ の範囲とする。

(i) $I$ のすべての $x$ について $f(x)$ ${}> 0$ ${}\iff$ （ $I$ での $f(x)$ の最小値） $> 0$

(ii) $a$ ${}> 0$ のとき、 $I$ のすべての $x$ について $f(x)$ ${}< 0$ ${}\iff f(s)$ ${}< 0$ かつ $f(t)$ ${}< 0$

証明　(i) 第3章の定理3より、 $I$ での最小値 $m$ が存在し、 $I$ のある点 $x_0$ で $m$ ${}= f(x_0)$ となる。（ $\Rightarrow$ ） $x_0$ は $I$ に属するので $m$ ${}= f(x_0)$ ${}> 0$ 。（ $\Leftarrow$ ） $I$ のすべての $x$ で $f(x)$ ${}\geqq m$ ${}> 0$ 。

(ii)（ $\Rightarrow$ ） $s$ ， $t$ は $I$ に属するので明らか。（ $\Leftarrow$ ） $I$ の点 $x$ は、 $0$ ${}\leqq \lambda$ ${}\leqq 1$ を満たす $\lambda$ を使って $x$ ${}= (1 - \lambda)s$ ${}+ \lambda t$ と表せる。このとき

\displaystyle (1 - \lambda)f(s)

が成り立つ（ $bx$ ${}+ c$ の部分は左辺で打ち消し合い、 $ax^2$ の部分は $(1 - \lambda)s^2$ ${}+ \lambda t^2$ ${}- \{(1 - \lambda)s + \lambda t\}^2$ ${}= \lambda(1 - \lambda)(t - s)^2$ となる）。右辺は $0$ 以上なので

\displaystyle f(x)

（ $f(s)$ ${}< 0$ ， $f(t)$ ${}< 0$ で、 $1$ ${}- \lambda$ ， $\lambda$ は $0$ 以上かつ同時に $0$ にならないため。）（証明終）

(ii) の不等式 $f(x)$ ${}\leqq (1 - \lambda)f(s)$ ${}+ \lambda f(t)$ は、「下に凸のグラフは、両端を結ぶ線分より下（または線分上）にある」という意味です。右辺は、点 $(s,\ f(s))$ と点 $(t,\ f(t))$ を結ぶ線分の、 $x$ における高さだからです。両端が $x$ 軸より下なら線分全体も下にあり、グラフはさらにその下を通ります。実践問題 j16 はこの定理の応用で、j17 は (i) を使って最小値で場合を分けた問題です。「下に凸」という性質は、微分積分の分野で「凸関数」として一般の関数に広げられます。

定理5：解から不等式が決まる

$\alpha$ ${}< \beta$ とする。不等式 $f(x)$ ${}< 0$ の解の集合が $\alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ となるための必要十分条件は

\displaystyle a

である。

証明　（ $\Leftarrow$ ）定理2 (i) による。

（ $\Rightarrow$ ） $a$ ${}< 0$ とすると、定理2 を $-f(x)$ に当てはめて、 $f(x)$ ${}< 0$ ${}\iff -f(x)$ ${}> 0$ の解の集合は「 $x$ ${}< \gamma$ または $\delta$ ${}< x$ の形（ $D$ ${}> 0$ ）」「実数全体から 1 点を除いたもの（ $D$ ${}= 0$ ）」「実数全体（ $D$ ${}< 0$ ）」のどれかである。どれも、いくらでも大きい $x$ を含むので、 $\alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ にはならない。よって $a$ ${}> 0$ 。

$a$ ${}> 0$ で $D$ ${}\leqq 0$ なら、定理2 (ii)(iii) より $f(x)$ ${}< 0$ は解をもたないが、 $\alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ は空でないので不適。よって $D$ ${}> 0$ で、 $f(x)$ ${}= 0$ の解を $\alpha'$ ${}< \beta'$ とすると、解の集合は $\alpha'$ ${}< x$ ${}< \beta'$ である。

2 つの範囲 $\alpha$ ${}< x$ ${}< \beta$ と $\alpha'$ ${}< x$ ${}< \beta'$ が一致するとき、 $\alpha$ ${}= \alpha'$ である。実際、 $\alpha$ ${}< \alpha'$ なら、 $\alpha$ と $\min(\alpha',\ \beta)$ の中点は前者に属し後者に属さない。 $\alpha'$ ${}< \alpha$ でも同様。同じように $\beta$ ${}= \beta'$ である。したがって $f(x)$ ${}= a(x - \alpha')(x - \beta')$ ${}= a(x - \alpha)(x - \beta)$ 。（証明終）

例題5(2) や実践問題 j12 (2) の「 $> 0$ の解が内側」の場合は、 $-f(x)$ ${}< 0$ に定理5を当てはめれば、「 $-a$ ${}> 0$ かつ $-f(x)$ ${}= -a(x - \alpha)(x - \beta)$ 」、つまり $a$ ${}< 0$ で $f(x)$ ${}= a(x - \alpha)(x - \beta)$ となります。解の形を見ただけで $x^2$ の係数の符号まで決まり、残りは係数比較（第4章定理1）でただ 1 通りに決まる——解から係数を「定める」問題の答えがただ 1 つになる根拠が、この定理です。

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第7章 二次不等式

「上にある」「下にある」を式で言う

判別式が正のとき——内側と外側

判別式が 0 以下のとき——「すべて」か「なし」

連立不等式と、不等式の応用

すべての xxx で成り立つ条件

文字を含む不等式と、解から係数を決める問題

絶対値を含む不等式

第8章へ——解の「位置」を条件にする

基礎確認問題（全5問）

実践問題（全20問）

数学小話コーナー

厳密定義（発展）

第7章　二次不等式

すべての $x$ で成り立つ条件