$\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{15}$ を計算した結果を $a$ ${}+ bi$ の形で表しなさい。

19:T500d,

まずかっこの中を簡単にします。

\displaystyle \frac{1 + i}{1 - i}

$i$ の累乗は $i,$ ${}\ -1,$ ${}\ -i,$ $\ 1$ の4つで一回りします。 $15$ ${}= 4 \times 3$ ${}+ 3$ なので

\displaystyle i^{15}

1a:Tbc2,

2次方程式 $3x^2$ ${}- 2x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ の解を求めなさい。

1b:Te0a,

$x$ ${}= \dfrac{1 \pm \sqrt{2}\,i}{3}$

1c:T3569,

$x$ の係数が偶数なので、 $b'$ ${}= -1$ の形の解の公式を使います。

\displaystyle x

4f:I[27201,["/_next/static/chunks/3ooc3n15h9e-l.js","/_next/static/chunks/2afcxd40dtjms.js"],"IconMark"] 1d:T1c56,

2次方程式 $2x^2$ ${}- 6x$ ${}+ 5$ ${}= 0$ の2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とするとき、 $(\alpha - \beta)^2$ と $\alpha^4$ ${}+ \beta^4$ の値をそれぞれ求めなさい。

1e:T1655,

$(\alpha - \beta)^2$ ${}= -1$ ， $\alpha^4$ ${}+ \beta^4$ ${}= \dfrac{7}{2}$

1f:T82b1,

解と係数の関係より $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= 3$ ， $\alpha\beta$ ${}= \dfrac{5}{2}$ です。

\displaystyle (\alpha - \beta)^2

$\alpha^2$ ${}+ \beta^2$ ${}= (\alpha + \beta)^2$ ${}- 2\alpha\beta$ ${}= 9$ ${}- 5$ ${}= 4$ を使って

\displaystyle \alpha^4

$(\alpha - \beta)^2$ が負になるのは、2つの解が虚数だからです（判別式 $\frac{D}{4}$ ${}= 9$ ${}- 10$ ${}< 0$ ）。

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