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第10章　2級 式と証明

—— 数と式 第7〜10章の「二項定理・整式の除法・分数式・恒等式・等式と不等式の証明」を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「式と証明」の類題です。二項定理による係数、整式の割り算、分数式の計算と部分分数分解、恒等式、条件つきの等式、不等式の証明と相加平均・相乗平均までを20問にまとめました。2次（数理技能）では、証明を「差をとる → 因数分解や平方の和にする → 0 以上と言い切る」の順で書くこと、相加平均と相乗平均を使ったら等号が本当に成り立つかを確かめることを練習します。剰余の定理・高次方程式は第11章で扱います。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（数と式 第7〜10章）
  • 二項定理：(a+b)n(a + b)^n の一般項は nCr an−rbr{}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r。特定の項の係数は、一般項の xx の指数を求めたい次数に合わせて rr を決めます。
  • 整式の除法：AA を BB で割った商を QQ、余りを RR とすると AA=BQ{}= BQ+R{}+ R（RR の次数 << BB の次数）。
  • 分数式：通分・約分の前に分母を因数分解します。部分分数分解は恒等式として係数を決めます。
  • 恒等式：両辺の同じ次数の係数が等しい（係数比較法）。数値代入法で求めたときは、恒等式になることを確かめます。
  • 比例式：ab\dfrac{a}{b}=cd{}= \dfrac{c}{d}=k{}= k とおいて aa=bk{}= bk，cc=dk{}= dk と表します。
  • 不等式の証明：AA−B{}- B を因数分解するか、平方の和 ()2(\quad)^2+()2{}+ (\quad)^2 にします。両辺が 00 以上なら A2A^2−B2{}- B^2 で比べてもかまいません。
  • 相加平均と相乗平均：aa>0{}> 0，bb>0{}> 0 のとき aa+b{}+ b≧2ab{}\geqq 2\sqrt{ab}（等号は aa=b{}= b）。コーシー・シュワルツの不等式 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)≧(ax+by+cz)2{}\geqq (ax + by + cz)^2。

この章の問題は、「二項定理・割り算・分数式を正確に処理する計算力」と、「差をとって 0 以上を示し、等号の条件まで書き切る証明力」の2本柱です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(3x−2)5(3x - 2)^5 の展開式における x3x^3 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

10801080

解説

一般項は 5Cr (3x)5−r(−2)r{}_5\mathrm{C}_r\,(3x)^{5-r}(-2)^r です。x3x^3 の項は 55−r{}- r=3{}= 3，つまり rr=2{}= 2 のときです。

5C2⋅33⋅(−2)2\displaystyle {}_5\mathrm{C}_2 \cdot 3^3 \cdot (-2)^2=10⋅27⋅4\displaystyle {}= 10 \cdot 27 \cdot 4=1080‾\displaystyle {}= \underline{1080}

3x3x の 33 も 33 乗されることと、(−2)2(-2)^2 の符号に注意します。

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問2　★

(2x2+1x)6\left(2x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^6 の展開式における x3x^3 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

160160

解説

一般項は

6Cr (2x2)6−r(1x)r\displaystyle {}_6\mathrm{C}_r\,(2x^2)^{6-r}\left(\frac{1}{x}\right)^r=6Cr 26−r x12−3r\displaystyle {}= {}_6\mathrm{C}_r\,2^{6-r}\,x^{12-3r}

1212−3r{}- 3r=3{}= 3 より rr=3{}= 3 です。

6C3⋅23\displaystyle {}_6\mathrm{C}_3 \cdot 2^3=20⋅8\displaystyle {}= 20 \cdot 8=160‾\displaystyle {}= \underline{160}
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問3　★

2x32x^3−3x2{}- 3x^2+4x{}+ 4x−5{}- 5 を x2x^2−x{}- x+2{}+ 2 で割ったときの商と余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

商 2x2x−1{}- 1，余り −x-x−3{}- 3

解説

最高次の項どうしを割って商を1項ずつ立てます。

  • 2x3÷x22x^3 \div x^2=2x{}= 2x：2x(x2−x+2)2x(x^2 - x + 2)=2x3{}= 2x^3−2x2{}- 2x^2+4x{}+ 4x を引くと −x2-x^2−5{}- 5
  • −x2÷x2-x^2 \div x^2=−1{}= -1：−(x2−x+2)-(x^2 - x + 2)=−x2{}= -x^2+x{}+ x−2{}- 2 を引くと −x-x−3{}- 3

余りの次数が 11 になり、割る式の次数 22 より低いので終わりです。

商 2x−1‾,\displaystyle \text{商}\ \underline{2x - 1},余り −x−3‾\displaystyle \text{余り}\ \underline{-x - 3}

確かめ：(x2−x+2)(2x−1)(x^2 - x + 2)(2x - 1)+(−x−3){}+ (-x - 3)=2x3{}= 2x^3−3x2{}- 3x^2+4x{}+ 4x−5{}- 5。

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問4　★

整式 AA を 2x2x−1{}- 1 で割ると、商が x2x^2+3{}+ 3，余りが −2-2 である。AA を xx+1{}+ 1 で割ったときの商と余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

商 2x22x^2−3x{}- 3x+9{}+ 9，余り −14-14

解説

まず AA=BQ{}= BQ+R{}+ R から AA を求めます。

A\displaystyle A=(2x−1)(x2+3)\displaystyle {}= (2x - 1)(x^2 + 3)−2\displaystyle {}- 2=2x3\displaystyle {}= 2x^3−x2\displaystyle {}- x^2+6x\displaystyle {}+ 6x−5\displaystyle {}- 5

これを xx+1{}+ 1 で割ります。

  • 2x3÷x2x^3 \div x=2x2{}= 2x^2：2x32x^3+2x2{}+ 2x^2 を引くと −3x2-3x^2+6x{}+ 6x−5{}- 5
  • −3x2÷x-3x^2 \div x=−3x{}= -3x：−3x2-3x^2−3x{}- 3x を引くと 9x9x−5{}- 5
  • 9x÷x9x \div x=9{}= 9：9x9x+9{}+ 9 を引くと −14-14
商 2x2−3x+9‾,\displaystyle \text{商}\ \underline{2x^2 - 3x + 9},余り −14‾\displaystyle \text{余り}\ \underline{-14}
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問5　★

x+4x2+x−2\dfrac{x + 4}{x^2 + x - 2}−x+3x2−1{}- \dfrac{x + 3}{x^2 - 1} を計算した結果を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−2(x−1)(x+1)(x+2)-\dfrac{2}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}

解説

分母を因数分解すると x2x^2+x{}+ x−2{}- 2=(x−1)(x+2){}= (x - 1)(x + 2)，x2x^2−1{}- 1=(x−1)(x+1){}= (x - 1)(x + 1) です。共通の分母 (x−1)(x+1)(x+2)(x - 1)(x + 1)(x + 2) で通分すると、分子は

(x+4)(x+1)\displaystyle (x + 4)(x + 1)−(x+3)(x+2)\displaystyle {}- (x + 3)(x + 2)=(x2+5x+4)\displaystyle {}= (x^2 + 5x + 4)−(x2+5x+6)\displaystyle {}- (x^2 + 5x + 6)=−2\displaystyle {}= -2

になります。

−2(x−1)(x+1)(x+2)‾\underline{-\frac{2}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}}
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問6　★

等式 5x+1(x−1)(x+2)\dfrac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)}=ax−1{}= \dfrac{a}{x - 1}+bx+2{}+ \dfrac{b}{x + 2} が xx についての恒等式となるように、定数 aa，bb の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=2{}= 2，bb=3{}= 3

解説

両辺に (x−1)(x+2)(x - 1)(x + 2) を掛けると

5x\displaystyle 5x+1\displaystyle {}+ 1=a(x+2)\displaystyle {}= a(x + 2)+b(x−1)\displaystyle {}+ b(x - 1)

これも恒等式です。xx=1{}= 1 を代入すると 66=3a{}= 3a より aa=2{}= 2，xx=−2{}= -2 を代入すると −9-9=−3b{}= -3b より bb=3{}= 3。

逆に aa=2{}= 2，bb=3{}= 3 のとき右辺は 2(x+2)2(x + 2)+3(x−1){}+ 3(x - 1)=5x{}= 5x+1{}+ 1 となり、恒等式です。

a=2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 2,} b=3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 3}
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問7　★

xx>0{}> 0，yy>0{}> 0，xyxy=12{}= 12 のとき、3x3x+y{}+ y の最小値と、そのときの xx，yy の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=2{}= 2，yy=6{}= 6 のとき最小値 1212

解説

3x3x>0{}> 0，yy>0{}> 0 なので、相加平均と相乗平均の大小関係より

3x\displaystyle 3x+y\displaystyle {}+ y≧23xy\displaystyle {}\geqq 2\sqrt{3xy}=236\displaystyle {}= 2\sqrt{36}=12\displaystyle {}= 12

等号は 3x3x=y{}= y のときで、xyxy=12{}= 12 と合わせると 3x23x^2=12{}= 12，xx=2{}= 2，yy=6{}= 6 です。

x=2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 2,} y=6 のとき最小値 12‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 6\ \text{のとき最小値}\ 12}
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問8　★

nn を2以上の整数とする。(1+2x)n(1 + 2x)^n の展開式における x2x^2 の係数が 6060 であるとき、nn の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

nn=6{}= 6

解説

x2x^2 の項は nC2 (2x)2{}_n\mathrm{C}_2\,(2x)^2=4 nC2 x2{}= 4\,{}_n\mathrm{C}_2\,x^2 です。

4⋅n(n−1)2\displaystyle 4 \cdot \frac{n(n - 1)}{2}=60\displaystyle {}= 60  ⟺  n(n−1)\displaystyle {}\iff n(n - 1)=30\displaystyle {}= 30  ⟺  (n−6)(n+5)\displaystyle {}\iff (n - 6)(n + 5)=0\displaystyle {}= 0

nn≧2{}\geqq 2 より n=6‾\underline{n = 6}。

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問9　★★

aa+b{}+ b+c{}+ c=0{}= 0 のとき、等式 a2a^2−bc{}- bc=b2{}= b^2−ca{}- ca=c2{}= c^2−ab{}- ab が成り立つことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

(a2−bc)(a^2 - bc)−(b2−ca){}- (b^2 - ca)=(a−b)(a+b+c){}= (a - b)(a + b + c)=0{}= 0 など（証明は解説）

解説

2つずつ差をとり、aa+b{}+ b+c{}+ c が因数として出てくる形にします。

(a2−bc)\displaystyle (a^2 - bc)−(b2−ca)\displaystyle {}- (b^2 - ca)=(a2−b2)\displaystyle {}= (a^2 - b^2)+c(a−b)\displaystyle {}+ c(a - b)=(a−b)(a+b)\displaystyle {}= (a - b)(a + b)+c(a−b)\displaystyle {}+ c(a - b)=(a−b)(a+b+c)\displaystyle {}= (a - b)(a + b + c)

aa+b{}+ b+c{}+ c=0{}= 0 より、これは 00 です。よって a2a^2−bc{}- bc=b2{}= b^2−ca{}- ca。

同じように

(b2−ca)\displaystyle (b^2 - ca)−(c2−ab)\displaystyle {}- (c^2 - ab)=(b2−c2)\displaystyle {}= (b^2 - c^2)+a(b−c)\displaystyle {}+ a(b - c)=(b−c)(a+b+c)\displaystyle {}= (b - c)(a + b + c)=0\displaystyle {}= 0

よって b2b^2−ca{}- ca=c2{}= c^2−ab{}- ab。以上から a2a^2−bc{}- bc=b2{}= b^2−ca{}- ca=c2{}= c^2−ab{}- ab が成り立ちます。（証明終）

別解として cc=−a{}= -a−b{}- b を代入し、3つの式がすべて a2a^2+ab{}+ ab+b2{}+ b^2 になることを示してもかまいません。

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問10　★★

x+y5\dfrac{x + y}{5}=y+z6{}= \dfrac{y + z}{6}=z+x7{}= \dfrac{z + x}{7}≠0{}\neq 0 のとき、x:y:zx : y : z を求めなさい。また、x2+y2−z2xy\dfrac{x^2 + y^2 - z^2}{xy} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

x:y:zx : y : z=3:2:4{}= 3 : 2 : 4，x2+y2−z2xy\dfrac{x^2 + y^2 - z^2}{xy}=−12{}= -\dfrac{1}{2}

解説

比例式の値を kk（kk≠0{}\neq 0）とおくと

x\displaystyle x+y\displaystyle {}+ y=5k,\displaystyle {}= 5k,y\displaystyle y+z\displaystyle {}+ z=6k,\displaystyle {}= 6k,z\displaystyle z+x\displaystyle {}+ x=7k\displaystyle {}= 7k

3式を足すと 2(x+y+z)2(x + y + z)=18k{}= 18k，つまり xx+y{}+ y+z{}+ z=9k{}= 9k です。ここから各式を引くと

z\displaystyle z=9k\displaystyle {}= 9k−5k\displaystyle {}- 5k=4k,\displaystyle {}= 4k,x\displaystyle x=9k\displaystyle {}= 9k−6k\displaystyle {}- 6k=3k,\displaystyle {}= 3k,y\displaystyle y=9k\displaystyle {}= 9k−7k\displaystyle {}- 7k=2k\displaystyle {}= 2k

よって x:y:z=3:2:4‾\underline{x : y : z = 3 : 2 : 4}。

これを代入します（kk≠0{}\neq 0 なので xyxy=6k2{}= 6k^2≠0{}\neq 0）。

x2+y2−z2xy\displaystyle \frac{x^2 + y^2 - z^2}{xy}=9k2+4k2−16k26k2\displaystyle {}= \frac{9k^2 + 4k^2 - 16k^2}{6k^2}=−3k26k2\displaystyle {}= \frac{-3k^2}{6k^2}=−12‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}}
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問11　★★

整式 x4x^4+ax2{}+ ax^2+b{}+ b が x2x^2−2x{}- 2x+3{}+ 3 で割り切れるように、定数 aa，bb の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=2{}= 2，bb=9{}= 9

解説

実際に割り算をします。

  • x4÷x2x^4 \div x^2=x2{}= x^2：x4x^4−2x3{}- 2x^3+3x2{}+ 3x^2 を引くと 2x32x^3+(a−3)x2{}+ (a - 3)x^2+b{}+ b
  • 2x3÷x22x^3 \div x^2=2x{}= 2x：2x32x^3−4x2{}- 4x^2+6x{}+ 6x を引くと (a+1)x2(a + 1)x^2−6x{}- 6x+b{}+ b
  • (a+1)x2÷x2(a + 1)x^2 \div x^2=a{}= a+1{}+ 1：(a+1)x2(a + 1)x^2−2(a+1)x{}- 2(a + 1)x+3(a+1){}+ 3(a + 1) を引くと
余り\displaystyle \text{余り}=(2a−4)x\displaystyle {}= (2a - 4)x+(b−3a−3)\displaystyle {}+ (b - 3a - 3)

割り切れるのは、余りが xx についての恒等式として 00 になるときです。

2a\displaystyle 2a−4\displaystyle {}- 4=0,\displaystyle {}= 0,b\displaystyle b−3a\displaystyle {}- 3a−3\displaystyle {}- 3=0\displaystyle {}= 0

よって a=2,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 2,} b=9‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 9}。このとき商は x2x^2+2x{}+ 2x+3{}+ 3 で、実際に

(x2−2x+3)(x2+2x+3)\displaystyle (x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x + 3)=(x2+3)2\displaystyle {}= (x^2 + 3)^2−(2x)2\displaystyle {}- (2x)^2=x4\displaystyle {}= x^4+2x2\displaystyle {}+ 2x^2+9\displaystyle {}+ 9

となります。（別解：x4x^4+ax2{}+ ax^2+b{}+ b を (x2−2x+3)(x2+px+q)(x^2 - 2x + 3)(x^2 + px + q) とおいて係数を比べても求められます。）

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問12　★★

aa>0{}> 0，bb>0{}> 0 のとき、不等式 a3a^3+b3{}+ b^3≧a2b{}\geqq a^2b+ab2{}+ ab^2 を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどのようなときかを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

差 =(a−b)2(a+b)= (a - b)^2(a + b)≧0{}\geqq 0。等号は aa=b{}= b のとき。

解説

(左辺) −- (右辺) を因数分解します。

(a3+b3)\displaystyle (a^3 + b^3)−(a2b+ab2)\displaystyle {}- (a^2b + ab^2)=a2(a−b)\displaystyle {}= a^2(a - b)−b2(a−b)\displaystyle {}- b^2(a - b)=(a−b)(a2−b2)\displaystyle {}= (a - b)(a^2 - b^2)=(a−b)2(a+b)\displaystyle {}= (a - b)^2(a + b)

(a−b)2(a - b)^2≧0{}\geqq 0 であり、aa>0{}> 0，bb>0{}> 0 より aa+b{}+ b>0{}> 0 なので

(a−b)2(a+b)\displaystyle (a - b)^2(a + b)≧0\displaystyle {}\geqq 0

よって a3a^3+b3{}+ b^3≧a2b{}\geqq a^2b+ab2{}+ ab^2。（証明終）

等号が成り立つのは (a−b)2(a - b)^2=0{}= 0，つまり a=b‾\underline{a = b} のときです。

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問13　★★

xx，yy が実数のとき、不等式 x2x^2+2xy{}+ 2xy+2y2{}+ 2y^2−2y{}- 2y+1{}+ 1≧0{}\geqq 0 を証明しなさい。また、等号が成り立つときの xx，yy の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

左辺 =(x+y)2= (x + y)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2≧0{}\geqq 0。等号は xx=−1{}= -1，yy=1{}= 1 のとき。

解説

xx について平方完成し、残りを yy について平方完成します。

x2\displaystyle x^2+2xy\displaystyle {}+ 2xy+2y2\displaystyle {}+ 2y^2−2y\displaystyle {}- 2y+1\displaystyle {}+ 1=(x+y)2\displaystyle {}= (x + y)^2−y2\displaystyle {}- y^2+2y2\displaystyle {}+ 2y^2−2y\displaystyle {}- 2y+1\displaystyle {}+ 1=(x+y)2\displaystyle {}= (x + y)^2+(y2−2y+1)\displaystyle {}+ (y^2 - 2y + 1)=(x+y)2\displaystyle {}= (x + y)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2

xx+y{}+ y，yy−1{}- 1 は実数なので (x+y)2(x + y)^2≧0{}\geqq 0，(y−1)2(y - 1)^2≧0{}\geqq 0 で、その和も 00 以上です。よって不等式が成り立ちます。（証明終）

等号が成り立つのは xx+y{}+ y=0{}= 0 かつ yy−1{}- 1=0{}= 0 のときなので

x=−1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = -1,} y=1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = 1}
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問14　★★

aa>b{}> b>0{}> 0 のとき、不等式 a\sqrt{a}−b{}- \sqrt{b}<a−b{}< \sqrt{a - b} が成り立つことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

両辺とも正で、(a−b)2(\sqrt{a - b})^2−(a−b)2{}- (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2=2b(a−b){}= 2\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})>0{}> 0（証明は解説）

解説

aa>b{}> b>0{}> 0 より a\sqrt{a}>b{}> \sqrt{b} なので a\sqrt{a}−b{}- \sqrt{b}>0{}> 0，また a−b\sqrt{a - b}>0{}> 0 です。両辺とも正なので、2乗の大小を比べれば十分です。

(a−b)2\displaystyle (\sqrt{a - b})^2−(a−b)2\displaystyle {}- (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2=(a−b)\displaystyle {}= (a - b)−(a−2ab+b)\displaystyle {}- (a - 2\sqrt{ab} + b)=2ab\displaystyle {}= 2\sqrt{ab}−2b\displaystyle {}- 2b=2b (a−b)\displaystyle {}= 2\sqrt{b}\,(\sqrt{a} - \sqrt{b})

b\sqrt{b}>0{}> 0，a\sqrt{a}−b{}- \sqrt{b}>0{}> 0 なので、これは正です。よって (a−b)2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2<(a−b)2{}< (\sqrt{a - b})^2 で、両辺が正であることから

a\displaystyle \sqrt{a}−b\displaystyle {}- \sqrt{b}<a−b\displaystyle {}< \sqrt{a - b}

が成り立ちます。（証明終）

「両辺が正」を書かずに2乗して比べると減点されやすいので、最初に必ず確かめます。

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問15　★★

xx>0{}> 0，yy>0{}> 0，xyxy=4{}= 4 のとき、(x+1)(y+4)(x + 1)(y + 4) の最小値と、そのときの xx，yy の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=1{}= 1，yy=4{}= 4 のとき最小値 1616

解説

展開して xyxy=4{}= 4 を使います。

(x+1)(y+4)\displaystyle (x + 1)(y + 4)=xy\displaystyle {}= xy+4x\displaystyle {}+ 4x+y\displaystyle {}+ y+4\displaystyle {}+ 4=4x\displaystyle {}= 4x+y\displaystyle {}+ y+8\displaystyle {}+ 8

4x4x>0{}> 0，yy>0{}> 0 なので、相加平均と相乗平均の大小関係より

4x\displaystyle 4x+y\displaystyle {}+ y≧24xy\displaystyle {}\geqq 2\sqrt{4xy}=216\displaystyle {}= 2\sqrt{16}=8\displaystyle {}= 8

よって (x+1)(y+4)(x + 1)(y + 4)≧16{}\geqq 16 です。

等号は 4x4x=y{}= y のときで、xyxy=4{}= 4 と合わせると 4x24x^2=4{}= 4，xx>0{}> 0 より xx=1{}= 1，yy=4{}= 4。この値は条件を満たすので、最小値は実際にとります。

x=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 1,} y=4 のとき最小値 16‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 4\ \text{のとき最小値}\ 16}
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問16　★★

nn を3以上の整数とする。二項定理を用いて、不等式 3n3^n>2n2{}> 2n^2+1{}+ 1 が成り立つことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

3n3^n=(1+2)n{}= (1 + 2)^n を展開し、第4項までで評価する（証明は解説）

解説

3n3^n=(1+2)n{}= (1 + 2)^n として二項定理で展開します。

3n\displaystyle 3^n=nC0\displaystyle {}= {}_n\mathrm{C}_0+nC1⋅2\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_1 \cdot 2+nC2⋅22\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_2 \cdot 2^2+nC3⋅23\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_3 \cdot 2^3+⋯\displaystyle {}+ \cdots+nCn⋅2n\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_n \cdot 2^n

右辺の各項はすべて正です。nn≧3{}\geqq 3 なので nC3⋅23{}_n\mathrm{C}_3 \cdot 2^3 の項が存在し、正なので、初めの3項だけを残すと

3n\displaystyle 3^n>1\displaystyle {}> 1+2n\displaystyle {}+ 2n+4⋅n(n−1)2\displaystyle {}+ 4 \cdot \frac{n(n - 1)}{2}=1\displaystyle {}= 1+2n\displaystyle {}+ 2n+2n2\displaystyle {}+ 2n^2−2n\displaystyle {}- 2n=2n2\displaystyle {}= 2n^2+1\displaystyle {}+ 1

よって 3n3^n>2n2{}> 2n^2+1{}+ 1。（証明終）

nn=2{}= 2 のときは 323^2=9{}= 9=2⋅22{}= 2 \cdot 2^2+1{}+ 1 で等号になります。「nn≧3{}\geqq 3 だから4項目以降が残る」ことが不等号 >> の理由です。

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問17　★★★

xx>0{}> 0 のとき、(x+2x)(2x+9x)\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\left(2x + \dfrac{9}{x}\right) の最小値と、そのときの xx の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=3{}= \sqrt{3} のとき最小値 2525

解説

よくある誤り　xx+2x{}+ \dfrac{2}{x}≧22{}\geqq 2\sqrt{2}，2x2x+9x{}+ \dfrac{9}{x}≧218{}\geqq 2\sqrt{18}=62{}= 6\sqrt{2} を掛けて「最小値 2424」とするのは誤りです。前者の等号は xx=2{}= \sqrt{2}，後者の等号は xx=32{}= \dfrac{3}{\sqrt{2}} のときで、同時には成り立たないので、積が 2424 になる xx はありません。

正しい解き方　展開してから相加平均と相乗平均を1回だけ使います。

(x+2x)(2x+9x)\displaystyle \left(x + \frac{2}{x}\right)\left(2x + \frac{9}{x}\right)=2x2\displaystyle {}= 2x^2+9\displaystyle {}+ 9+4\displaystyle {}+ 4+18x2\displaystyle {}+ \frac{18}{x^2}=2x2\displaystyle {}= 2x^2+18x2\displaystyle {}+ \frac{18}{x^2}+13\displaystyle {}+ 13

2x22x^2>0{}> 0，18x2\dfrac{18}{x^2}>0{}> 0 なので

2x2\displaystyle 2x^2+18x2\displaystyle {}+ \frac{18}{x^2}≧22x2⋅18x2\displaystyle {}\geqq 2\sqrt{2x^2 \cdot \frac{18}{x^2}}=236\displaystyle {}= 2\sqrt{36}=12\displaystyle {}= 12

よって与式 ≧25\geqq 25。等号は 2x22x^2=18x2{}= \dfrac{18}{x^2}，つまり x4x^4=9{}= 9 のときで、xx>0{}> 0 より xx=3{}= \sqrt{3} です。この xx は実際に存在するので

x=3 のとき最小値 25‾\underline{x = \sqrt{3}\ \text{のとき最小値}\ 25}
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問18　★★★

二項定理を用いて、292029^{20} を 900900 で割ったときの余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

301301

解説

900900=302{}= 30^2 なので、2929=30{}= 30−1{}- 1 として展開します。

2920\displaystyle 29^{20}=(−1+30)20\displaystyle {}= (-1 + 30)^{20}=∑k=02020Ck (−1)20−k 30k\displaystyle {}= \sum_{k=0}^{20} {}_{20}\mathrm{C}_k\,(-1)^{20-k}\,30^k

kk≧2{}\geqq 2 の項はすべて 30230^2=900{}= 900 の倍数です。残る kk=0{}= 0，11 の項は

20C0 (−1)20\displaystyle {}_{20}\mathrm{C}_0\,(-1)^{20}+20C1 (−1)19⋅30\displaystyle {}+ {}_{20}\mathrm{C}_1\,(-1)^{19} \cdot 30=1\displaystyle {}= 1−600\displaystyle {}- 600=−599\displaystyle {}= -599

よって、ある整数 MM を用いて 292029^{20}=900M{}= 900M−599{}- 599 と表せます。余りは 00 以上 900900 未満にしなければならないので、900900 を1つ借りて

2920\displaystyle 29^{20}=900(M−1)\displaystyle {}= 900(M - 1)+301\displaystyle {}+ 301

00≦301{}\leqq 301<900{}< 900 なので、余りは 301‾\underline{301} です。

−599-599 をそのまま余りと答えないことが要点です。

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問19　★★★

実数 xx，yy，zz が xx+2y{}+ 2y+2z{}+ 2z=9{}= 9 を満たすとき、x2x^2+y2{}+ y^2+z2{}+ z^2 の最小値と、そのときの xx，yy，zz の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=1{}= 1，yy=2{}= 2，zz=2{}= 2 のとき最小値 99

解説

コーシー・シュワルツの不等式

(12+22+22)(x2+y2+z2)\displaystyle (1^2 + 2^2 + 2^2)(x^2 + y^2 + z^2)≧(1⋅x+2⋅y+2⋅z)2\displaystyle {}\geqq (1 \cdot x + 2 \cdot y + 2 \cdot z)^2

に xx+2y{}+ 2y+2z{}+ 2z=9{}= 9 を代入すると

9(x2+y2+z2)\displaystyle 9(x^2 + y^2 + z^2)≧81\displaystyle {}\geqq 81  ⟺  x2\displaystyle {}\iff x^2+y2\displaystyle {}+ y^2+z2\displaystyle {}+ z^2≧9\displaystyle {}\geqq 9

等号は (1, 2, 2)(1,\ 2,\ 2) と (x, y, z)(x,\ y,\ z) が比例するとき、つまり xx=k{}= k，yy=2k{}= 2k，zz=2k{}= 2k と表せるときです。条件に代入すると kk+4k{}+ 4k+4k{}+ 4k=9{}= 9 より kk=1{}= 1 なので、xx=1{}= 1，yy=2{}= 2，zz=2{}= 2。このとき x2x^2+y2{}+ y^2+z2{}+ z^2=1{}= 1+4{}+ 4+4{}+ 4=9{}= 9 となり、最小値を実際にとります。

x=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 1,} y=2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 2,} z=2 のとき最小値 9‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ z = 2\ \text{のとき最小値}\ 9}

不等式の証明は、(左辺) −- (右辺) =(2x−y)2= (2x - y)^2+(2x−z)2{}+ (2x - z)^2+(2y−2z)2{}+ (2y - 2z)^2≧0{}\geqq 0 と平方の和にしても示せます。

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問20　★★★

実数 aa，bb，cc が aa+b{}+ b+c{}+ c=3{}= 3，abab+bc{}+ bc+ca{}+ ca=3{}= 3 を満たすとき、aa=b{}= b=c{}= c=1{}= 1 であることを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

a2a^2+b2{}+ b^2+c2{}+ c^2=3{}= 3 から (a−b)2(a - b)^2+(b−c)2{}+ (b - c)^2+(c−a)2{}+ (c - a)^2=0{}= 0 を導く（証明は解説）

解説

まず a2a^2+b2{}+ b^2+c2{}+ c^2 を求めます。

a2\displaystyle a^2+b2\displaystyle {}+ b^2+c2\displaystyle {}+ c^2=(a+b+c)2\displaystyle {}= (a + b + c)^2−2(ab+bc+ca)\displaystyle {}- 2(ab + bc + ca)=9\displaystyle {}= 9−6\displaystyle {}- 6=3\displaystyle {}= 3

次に、次の等式を使います（展開すると確かめられます）。

(a−b)2\displaystyle (a - b)^2+(b−c)2\displaystyle {}+ (b - c)^2+(c−a)2\displaystyle {}+ (c - a)^2=2{(a2+b2+c2)\displaystyle {}= 2\bigl\{(a^2 + b^2 + c^2)−(ab+bc+ca)}\displaystyle {}\qquad - (ab + bc + ca)\bigr\}

右辺は 2(3−3)2(3 - 3)=0{}= 0 なので

(a−b)2\displaystyle (a - b)^2+(b−c)2\displaystyle {}+ (b - c)^2+(c−a)2\displaystyle {}+ (c - a)^2=0\displaystyle {}= 0

aa，bb，cc は実数なので、3つの2乗はどれも 00 以上です。00 以上の数の和が 00 になるのは、すべてが 00 のときに限ります。よって

a\displaystyle a−b\displaystyle {}- b=0,\displaystyle {}= 0,b\displaystyle b−c\displaystyle {}- c=0,\displaystyle {}= 0,c\displaystyle c−a\displaystyle {}- a=0\displaystyle {}= 0つまり\displaystyle \text{つまり}a\displaystyle a=b\displaystyle {}= b=c\displaystyle {}= c

aa+b{}+ b+c{}+ c=3{}= 3 より 3a3a=3{}= 3，aa=1{}= 1。したがって aa=b{}= b=c{}= c=1{}= 1 です。（証明終）

「実数だから2乗が 00 以上」という理由が要になります（虚数を許すとこの議論は成り立ちません）。

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