目次 ／ 数と式 ／ 数学II

第7章　二項定理と整式の除法

—— 何乗でも一気に展開し、整式どうしを割り算する ——

ここから数学IIの内容に入ります。この章の前半では、$(a+b)^n$ を何乗でも一気に展開できる「二項定理」を学びます。パスカルの三角形から出発して、組合せの記号 ${}_n\mathrm{C}_r$ を使った一般の形、特定の項の係数の求め方、係数の性質、そして3つの文字の場合（多項定理）まで進みます。後半は「整式の除法」です。整数の割り算と同じように、整式も商と余りを求められます。割り算の等式 $A = BQ + R$ は、第12章の剰余の定理や、式の値を手早く求める工夫につながります。

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パスカルの三角形

第1章では (a+b)2(a+b)^2 と (a+b)3(a+b)^3 の展開を乗法公式として覚えました。では (a+b)4(a+b)^4 や (a+b)5(a+b)^5 はどうでしょう。毎回かけ算をくり返すのは大変なので、係数だけを取り出して並べてみます。

公式1：パスカルの三角形

(a+b)n(a+b)^n を展開したときの係数を、nn=0,{}= 0, 1,\ 1, 2,\ 2, …\ \ldots の順に並べると次の三角形になる。

11112113311464115101051\begin{array}{c} 1 \\ 1 \qquad 1 \\ 1 \qquad 2 \qquad 1 \\ 1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1 \\ 1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1 \\ 1 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 10 \qquad 5 \qquad 1 \end{array}
  • 各段の両端は 11 である。
  • 両端以外の数は、すぐ上の段の左右2つの数の和である。
  • 各段の数は左右対称に並ぶ。

これをパスカルの三角形といいます。たとえば4段目（nn=4{}= 4）の 1,1, 4,\ 4, 6,\ 6, 4,\ 4, 1\ 1 から

(a+b)4\displaystyle (a+b)^4=a4\displaystyle {}= a^4+4a3b\displaystyle {}+ 4a^3b+6a2b2\displaystyle {}+ 6a^2b^2+4ab3\displaystyle {}+ 4ab^3+b4\displaystyle {}+ b^4

と分かります。aa の指数は 44 から 11 ずつ減り、bb の指数は 00 から 11 ずつ増えます。各項の指数の和はいつも 44 です。

「上の2つを足す」理由は、(a+b)4(a+b)^4=(a+b)3(a+b){}= (a+b)^3(a+b) と考えると見えてきます。たとえば a2b2a^2b^2 の項は、(a+b)3(a+b)^3 の 3a2b3a^2b に bb をかけたものと、3ab23ab^2 に aa をかけたものから生まれます。だから係数は 33+3{}+ 3=6{}= 6 です。

碁盤の目のような街で、いちばん上の交差点から下へ進む道順を考えてみましょう。左下か右下にしか進めないとき、ある交差点へ行く道順の数は「左上の交差点までの道順」と「右上の交差点までの道順」の和になります。パスカルの三角形の数は、ちょうどこの道順の数になっています。

(a+b)n(a+b)^n の係数は、両端を 11 にして「上の2つを足す」ことをくり返せば、すべて手に入るということです。

例題1：パスカルの三角形を用いた展開

パスカルの三角形を用いて、次の式を展開した式を求めなさい。

(1) (x+2)4(x+2)^4

(2) (2a−b)5(2a-b)^5

【解答】

(1) 4段目の係数 1,1, 4,\ 4, 6,\ 6, 4,\ 4, 1\ 1 を使い、aa を xx、bb を 22 として当てはめます。

(x+2)4\displaystyle (x+2)^4=x4\displaystyle {}= x^4+4x3⋅2\displaystyle {}+ 4x^3 \cdot 2+6x2⋅22\displaystyle {}+ 6x^2 \cdot 2^2+4x⋅23\displaystyle {}+ 4x \cdot 2^3+24\displaystyle {}+ 2^4=x4\displaystyle {}= x^4+8x3\displaystyle {}+ 8x^3+24x2\displaystyle {}+ 24x^2+32x\displaystyle {}+ 32x+16\displaystyle {}+ 16

(2) 5段目の係数 1,1, 5,\ 5, 10,\ 10, 10,\ 10, 5,\ 5, 1\ 1 を使い、aa を 2a2a、bb を −b-b として当てはめます。

(2a−b)5\displaystyle (2a-b)^5=(2a)5\displaystyle {}= (2a)^5+5(2a)4(−b)\displaystyle {}+ 5(2a)^4(-b)+10(2a)3(−b)2\displaystyle {}+ 10(2a)^3(-b)^2+10(2a)2(−b)3\displaystyle {}+ 10(2a)^2(-b)^3+5(2a)(−b)4\displaystyle {}+ 5(2a)(-b)^4+(−b)5\displaystyle {}+ (-b)^5=32a5\displaystyle {}= 32a^5−80a4b\displaystyle {}- 80a^4b+80a3b2\displaystyle {}+ 80a^3b^2−40a2b3\displaystyle {}- 40a^2b^3+10ab4\displaystyle {}+ 10ab^4−b5\displaystyle {}- b^5

−b-b の奇数乗は負になるので、符号が ++ と −- で交互に並びます。

組合せの記号と二項定理

パスカルの三角形は、段が深くなると書くのが大変です。(a+b)10(a+b)^{10} の係数を知りたいとき、10段すべてを書くのは遠回りです。そこで、係数を直接計算できる記号を使います。

公式2：組合せの記号と二項定理

異なる nn 個のものから rr 個を選ぶ選び方の数を nCr{}_n\mathrm{C}_r と書く。

nCr\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=n(n−1)⋯(n−r+1)r(r−1)⋯2⋅1\displaystyle {}= \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots 2 \cdot 1}nC0\displaystyle {}_n\mathrm{C}_0=1,\displaystyle {}= 1,nCr\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=nCn−r\displaystyle {}= {}_n\mathrm{C}_{n-r}

これを用いると、(a+b)n(a+b)^n の展開は次のようになる（二項定理）。

(a+b)n\displaystyle (a+b)^n=nC0 an\displaystyle {}= {}_n\mathrm{C}_0\,a^n+nC1 an−1b\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_1\,a^{n-1}b+nC2 an−2b2\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_2\,a^{n-2}b^2+⋯\displaystyle {}+ \cdots+nCr an−rbr\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r+⋯\displaystyle {}+ \cdots+nCn bn\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_n\,b^n

nCr an−rbr{}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r を展開式の一般項、係数 nCr{}_n\mathrm{C}_r を二項係数という。

nCr{}_n\mathrm{C}_r は「コンビネーション nn，rr」と読みます。分子は nn から 11 ずつ減らして rr 個かけた数、分母は rr から 11 までかけた数です。たとえば

5C2\displaystyle {}_5\mathrm{C}_2=5⋅42⋅1\displaystyle {}= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}=10,\displaystyle {}= 10,6C3\displaystyle {}_6\mathrm{C}_3=6⋅5⋅43⋅2⋅1\displaystyle {}= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}=20\displaystyle {}= 20

です。選び方の数そのものは「場合の数と確率」の分野（第4章 組合せ）で詳しく学びます。ここでは計算のしかたと、なぜ展開の係数になるのかをつかめば十分です。

(a+b)n(a+b)^n は、(a+b)(a+b) を nn 個かけたものです。展開するとは、nn 個のかっこそれぞれから aa か bb のどちらかを1つずつ取り出してかけ、それを全部足すことです。an−rbra^{n-r}b^r の項ができるのは、nn 個のかっこのうち bb を取り出すかっこを rr 個選んだときです。その選び方が nCr{}_n\mathrm{C}_r 通りあるので、係数は nCr{}_n\mathrm{C}_r になります。

喫茶店で nn 人がそれぞれ「コーヒー」か「紅茶」を注文する場面に似ています。紅茶がちょうど rr 杯になる注文のしかたは、「nn 人のうち誰が紅茶を頼むか」を選ぶ数、つまり nCr{}_n\mathrm{C}_r 通りです。かっこが客、aa がコーヒー、bb が紅茶にあたります。

二項定理とは、(a+b)n(a+b)^n の an−rbra^{n-r}b^r の係数が「nn 個のかっこから bb を出すものを rr 個選ぶ数」nCr{}_n\mathrm{C}_r になる、ということです。

例題2：二項定理を用いた展開

(1) 7C3{}_7\mathrm{C}_3 と 8C6{}_8\mathrm{C}_6 の値を求めなさい。

(2) 二項定理を用いて、(x−1)6(x-1)^6 を展開した式を求めなさい。

【解答】

(1)

7C3\displaystyle {}_7\mathrm{C}_3=7⋅6⋅53⋅2⋅1\displaystyle {}= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}=35\displaystyle {}= 35

8C6{}_8\mathrm{C}_6 は 8C6{}_8\mathrm{C}_6=8C2{}= {}_8\mathrm{C}_2 を使うと計算が短くなります。

8C6\displaystyle {}_8\mathrm{C}_6=8C2\displaystyle {}= {}_8\mathrm{C}_2=8⋅72⋅1\displaystyle {}= \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1}=28\displaystyle {}= 28

8個から6個を選ぶことは、選ばない2個を決めることと同じだからです。

(2) 二項係数は 6C0{}_6\mathrm{C}_0=1{}= 1，6C1{}_6\mathrm{C}_1=6{}= 6，6C2{}_6\mathrm{C}_2=15{}= 15，6C3{}_6\mathrm{C}_3=20{}= 20 で、残りは左右対称に 15,15, 6,\ 6, 1\ 1 です。bb=−1{}= -1 として当てはめると

(x−1)6\displaystyle (x-1)^6=x6\displaystyle {}= x^6−6x5\displaystyle {}- 6x^5+15x4\displaystyle {}+ 15x^4−20x3\displaystyle {}- 20x^3+15x2\displaystyle {}+ 15x^2−6x\displaystyle {}- 6x+1\displaystyle {}+ 1

(−1)r(-1)^r は rr が奇数のとき −1-1 なので、符号が交互になります。

特定の項の係数

二項定理のありがたさは、全部を展開しなくても、ほしい項だけを取り出せることです。

公式3：特定の項の係数の求め方

(a+b)n(a+b)^n の展開式で特定の項の係数を求めるには

  1. 一般項 nCr an−rbr{}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r を書き、文字の部分と数の部分に分けて整理する。
  2. 文字の指数が求めたい項と一致するように rr を決める。
  3. その rr を一般項に代入する。

(2x−3)5(2x-3)^5 の x3x^3 の係数なら、一般項は 5Cr (2x)5−r(−3)r{}_5\mathrm{C}_r\,(2x)^{5-r}(-3)^r です。xx の指数は 55−r{}- r なので、55−r{}- r=3{}= 3 から rr=2{}= 2 と決まります。(2x)5−r(2x)^{5-r} の 22 や (−3)r(-3)^r の −3-3 のように、文字にくっついている数も係数に含めるのを忘れないようにしましょう。

分厚い辞書で1つの単語を調べるとき、最初のページから順に読む人はいません。見出し語の並び方（五十音順）という規則を知っているから、目当てのページを一発で開けます。一般項は、展開式のどこに何があるかを示す規則です。規則を知っていれば、ほしい項へまっすぐたどり着けます。

特定の項の係数は、一般項を書いて指数を合わせるように rr を決めれば、全部を展開せずに求められるということです。

例題3：特定の項の係数

次の係数を求めなさい。

(1) (2x−3)5(2x-3)^5 の展開式における x3x^3 の係数

(2) (x2+2)5(x^2+2)^5 の展開式における x6x^6 の係数

(3) (x−2y)7(x-2y)^7 の展開式における x4y3x^4y^3 の係数

【解答】

(1) 一般項は 5Cr (2x)5−r(−3)r{}_5\mathrm{C}_r\,(2x)^{5-r}(-3)^r=5Cr⋅25−r⋅(−3)r⋅x5−r{}= {}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-3)^r \cdot x^{5-r} です。55−r{}- r=3{}= 3 より rr=2{}= 2 なので

5C2⋅23⋅(−3)2\displaystyle {}_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^3 \cdot (-3)^2=10⋅8⋅9\displaystyle {}= 10 \cdot 8 \cdot 9=720‾\displaystyle {}= \underline{720}

(2) 一般項は 5Cr (x2)5−r⋅2r{}_5\mathrm{C}_r\,(x^2)^{5-r} \cdot 2^r=5Cr⋅2r⋅x10−2r{}= {}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^r \cdot x^{10-2r} です。1010−2r{}- 2r=6{}= 6 より rr=2{}= 2 なので

5C2⋅22\displaystyle {}_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^2=10⋅4\displaystyle {}= 10 \cdot 4=40‾\displaystyle {}= \underline{40}

(x2)5−r(x^2)^{5-r} の指数は 2(5−r)2(5-r) になることに注意します（第1章の指数法則）。

(3) 一般項は 7Cr x7−r(−2y)r{}_7\mathrm{C}_r\,x^{7-r}(-2y)^r=7Cr⋅(−2)r⋅x7−ryr{}= {}_7\mathrm{C}_r \cdot (-2)^r \cdot x^{7-r}y^r です。x4y3x^4y^3 になるのは rr=3{}= 3 のときなので

7C3⋅(−2)3\displaystyle {}_7\mathrm{C}_3 \cdot (-2)^3=35⋅(−8)\displaystyle {}= 35 \cdot (-8)=−280‾\displaystyle {}= \underline{-280}

二項係数の性質

二項定理は「どんな aa，bb でも成り立つ等式」です。そこで aa，bb に都合のよい数を入れると、二項係数どうしの関係が得られます。

公式4：二項係数の和

二項定理で aa=1{}= 1，bb=1{}= 1 とおくと

nC0\displaystyle {}_n\mathrm{C}_0+nC1\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_1+nC2\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_2+⋯\displaystyle {}+ \cdots+nCn\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_n=2n\displaystyle {}= 2^n

aa=1{}= 1，bb=−1{}= -1 とおくと（nn≧1{}\geqq 1）

nC0\displaystyle {}_n\mathrm{C}_0−nC1\displaystyle {}- {}_n\mathrm{C}_1+nC2\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_2−⋯\displaystyle {}- \cdots+(−1)n nCn\displaystyle {}+ (-1)^n\,{}_n\mathrm{C}_n=0\displaystyle {}= 0

1つめは、パスカルの三角形の各段の和が 1,1, 2,\ 2, 4,\ 4, 8,\ 8, 16,\ 16, 32,\ 32, …\ \ldots と倍々に増えることを表しています。

宅配ピザで、nn 種類のトッピングからいくつかを選ぶ場面を考えます。どのトッピングも「のせる」か「のせない」かの2通りなので、選び方は全部で 2n2^n 通りです。一方、この 2n2^n 通りを「のせる個数」で分けると、00 個が nC0{}_n\mathrm{C}_0 通り、11 個が nC1{}_n\mathrm{C}_1 通り、……、nn 個が nCn{}_n\mathrm{C}_n 通りです。同じものを2通りに数えたので、両者は等しくなります。

二項定理は、11 に近い数の累乗の近似値を求めるのにも使えます。(1+0.01)10(1 + 0.01)^{10} を展開すると、0.010.01 の累乗はどんどん小さくなるので、最初の数項だけで十分な精度が出ます。

二項定理に aa=b{}= b=1{}= 1 などの具体的な数を入れると、二項係数の和が 2n2^n になるといった性質が一気に導けるということです。

例題4：二項係数の性質と近似値

(1) 6C0{}_6\mathrm{C}_0+6C1{}+ {}_6\mathrm{C}_1+6C2{}+ {}_6\mathrm{C}_2+⋯{}+ \cdots+6C6{}+ {}_6\mathrm{C}_6 の値を求めなさい。

(2) 7C1{}_7\mathrm{C}_1+7C2{}+ {}_7\mathrm{C}_2+⋯{}+ \cdots+7C7{}+ {}_7\mathrm{C}_7 の値を求めなさい。

(3) 1.01101.01^{10} の小数第4位を四捨五入した値を求めなさい。

【解答】

(1) 公式4より 262^6=64‾{}= \underline{64} です。

(2) 7C0{}_7\mathrm{C}_0 から 7C7{}_7\mathrm{C}_7 までの和は 272^7=128{}= 128 です。そこから 7C0{}_7\mathrm{C}_0=1{}= 1 を除くので、128128−1{}- 1=127‾{}= \underline{127} です。

(3) 1.01101.01^{10}=(1+0.01)10{}= (1 + 0.01)^{10} を二項定理で展開します。

(1+0.01)10\displaystyle (1 + 0.01)^{10}=1\displaystyle {}= 1+10C1⋅0.01\displaystyle {}+ {}_{10}\mathrm{C}_1 \cdot 0.01+10C2⋅0.012\displaystyle {}+ {}_{10}\mathrm{C}_2 \cdot 0.01^2+10C3⋅0.013\displaystyle {}+ {}_{10}\mathrm{C}_3 \cdot 0.01^3+⋯\displaystyle {}+ \cdots=1\displaystyle {}= 1+0.1\displaystyle {}+ 0.1+0.0045\displaystyle {}+ 0.0045+0.00012\displaystyle {}+ 0.00012+⋯\displaystyle {}+ \cdots

5項目以降は 10C4⋅0.014{}_{10}\mathrm{C}_4 \cdot 0.01^4=0.0000021{}= 0.0000021 のようにごく小さく、全部足しても小数第4位には届きません。よって 1.01101.01^{10}=1.1046⋯{}= 1.1046\cdots で、小数第4位を四捨五入すると 1.105‾\underline{1.105} です。

多項定理

二項定理は2つの項の和の累乗でした。項が3つになっても、同じ考え方で係数が求められます。

公式5：多項定理

(a+b+c)n(a+b+c)^n の展開式における apbqcra^pb^qc^r（pp+q{}+ q+r{}+ r=n{}= n）の項の係数は

n!p! q! r!\frac{n!}{p!\,q!\,r!}

である。ここで n!n!（nn の階乗）は n!n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1{}= n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 を表し、0!0!=1{}= 1 と定める。

(a+b+c)n(a+b+c)^n の nn 個のかっこから、aa を pp 個、bb を qq 個、cc を rr 個取り出す方法の数を数えます。まず aa を出すかっこを nCp{}_n\mathrm{C}_p 通り選び、残り nn−p{}- p 個から bb を出すかっこを n−pCq{}_{n-p}\mathrm{C}_q 通り選べば、残りはすべて cc です。この積を計算すると n!p! q! r!\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!} になります。

喫茶店の例に緑茶を加えて、nn 人が「コーヒー・紅茶・緑茶」から1つずつ注文する場面で考えます。コーヒー pp 杯、紅茶 qq 杯、緑茶 rr 杯になる注文のしかたの数が、apbqcra^pb^qc^r の係数です。

3つの項の和の累乗でも、apbqcra^pb^qc^r の係数は「nn 個のかっこに aa，bb，cc を割り当てる方法の数」n!p! q! r!\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!} で求められるということです。

例題5：多項定理

次の係数を求めなさい。

(1) (a+b+c)5(a+b+c)^5 の展開式における a2b2ca^2b^2c の係数

(2) (x+2y−z)6(x+2y-z)^6 の展開式における x3y2zx^3y^2z の係数

【解答】

(1) pp=2{}= 2，qq=2{}= 2，rr=1{}= 1 なので

5!2! 2! 1!\displaystyle \frac{5!}{2!\,2!\,1!}=1202⋅2⋅1\displaystyle {}= \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1}=30‾\displaystyle {}= \underline{30}

(2) 一般項は 6!p! q! r! xp(2y)q(−z)r\dfrac{6!}{p!\,q!\,r!}\,x^p(2y)^q(-z)^r です。x3y2zx^3y^2z なので pp=3{}= 3，qq=2{}= 2，rr=1{}= 1 として

6!3! 2! 1!⋅22⋅(−1)1\displaystyle \frac{6!}{3!\,2!\,1!} \cdot 2^2 \cdot (-1)^1=60⋅4⋅(−1)\displaystyle {}= 60 \cdot 4 \cdot (-1)=−240‾\displaystyle {}= \underline{-240}

二項定理のときと同じく、文字にくっついた 22 や −1-1 も係数に入れます。

整式の除法

ここから後半です。整数に割り算があるように、整式どうしにも割り算があります。

公式6：整式の除法

整式 AA を整式 BB（BB≠0{}\neq 0）で割ったときの商を QQ、余りを RR とすると

A\displaystyle A=BQ\displaystyle {}= BQ+R\displaystyle {}+ R

が成り立つ。ここで、RR の次数は BB の次数より低い（または RR=0{}= 0）。RR=0{}= 0 のとき、AA は BB で割り切れるという。

計算のしかたは、整数の割り算の筆算と同じです。

  1. AA，BB をそれぞれ降べきの順に整理する。AA に欠けている次数があれば、その次数の係数を 00 として場所を空けておく。
  2. AA の最高次の項を BB の最高次の項で割り、商の最初の項を立てる。
  3. その項と BB の積を AA から引く。
  4. 残った式の次数が BB の次数より小さくなるまで、2・3をくり返す。最後に残った式が余りである。

3030 個のクッキーを 77 個入りの箱に詰めると、44 箱できて 22 個余ります（3030=7×4{}= 7 \times 4+2{}+ 2）。余りの 22 個は 77 個に満たないので、もう1箱は作れません。整式の割り算も同じで、残った式の次数が割る式の次数より小さくなったら、それ以上は割れません。これが余りの条件「RR の次数 << BB の次数」の意味です。特に、1次式で割った余りは定数になります。

整式の割り算は整数の筆算と同じ手順で進め、残りの次数が割る式の次数より小さくなったところで止めると、AA=BQ{}= BQ+R{}+ R の形が得られるということです。

例題6：整式の除法

次の整式 AA を整式 BB で割ったときの商と余りを求めなさい。

(1) AA=2x3{}= 2x^3−3x2{}- 3x^2+4x{}+ 4x−5{}- 5，BB=x{}= x−2{}- 2

(2) AA=x4{}= x^4+3x2{}+ 3x^2−x{}- x+2{}+ 2，BB=x2{}= x^2−x{}- x+1{}+ 1

【解答】

(1) 筆算の各段を等式で書くと、次のようになります。

2x3\displaystyle 2x^3−3x2\displaystyle {}- 3x^2+4x\displaystyle {}+ 4x−5\displaystyle {}- 5=2x2(x−2)\displaystyle {}= 2x^2(x - 2)+(x2+4x−5)\displaystyle {}+ (x^2 + 4x - 5)x2\displaystyle x^2+4x\displaystyle {}+ 4x−5\displaystyle {}- 5=x(x−2)\displaystyle {}= x(x - 2)+(6x−5)\displaystyle {}+ (6x - 5)6x\displaystyle 6x−5\displaystyle {}- 5=6(x−2)\displaystyle {}= 6(x - 2)+7\displaystyle {}+ 7

1行目で 2x3÷x2x^3 \div x=2x2{}= 2x^2 を立てて 2x2(x−2)2x^2(x-2)=2x3{}= 2x^3−4x2{}- 4x^2 を引き、2行目・3行目も同じことをくり返しています。残りの 77 は定数（0次）で、BB の次数 11 より小さいので止めます。立てた項をまとめて

商 2x2+x+6‾,\displaystyle \text{商}\ \underline{2x^2 + x + 6},余り 7‾\displaystyle \text{余り}\ \underline{7}

(2) AA には x3x^3 の項がないので、AA=x4{}= x^4+0x3{}+ 0x^3+3x2{}+ 3x^2−x{}- x+2{}+ 2 と考えます。

x4\displaystyle x^4+0x3\displaystyle {}+ 0x^3+3x2\displaystyle {}+ 3x^2−x\displaystyle {}- x+2\displaystyle {}+ 2=x2(x2−x+1)\displaystyle {}= x^2(x^2 - x + 1)+(x3+2x2−x+2)\displaystyle {}+ (x^3 + 2x^2 - x + 2)x3\displaystyle x^3+2x2\displaystyle {}+ 2x^2−x\displaystyle {}- x+2\displaystyle {}+ 2=x(x2−x+1)\displaystyle {}= x(x^2 - x + 1)+(3x2−2x+2)\displaystyle {}+ (3x^2 - 2x + 2)3x2\displaystyle 3x^2−2x\displaystyle {}- 2x+2\displaystyle {}+ 2=3(x2−x+1)\displaystyle {}= 3(x^2 - x + 1)+(x−1)\displaystyle {}+ (x - 1)

残りの xx−1{}- 1 は1次で、BB の次数 22 より小さいので止めます。

商 x2+x+3‾,\displaystyle \text{商}\ \underline{x^2 + x + 3},余り x−1‾\displaystyle \text{余り}\ \underline{x - 1}

確かめとして (x2−x+1)(x2+x+3)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 3)+(x−1){}+ (x - 1) を展開すると、AA に戻ります。

除法の等式の利用

割り算の結果は、いつも AA=BQ{}= BQ+R{}+ R という1本の等式で表せます。この等式を逆向きに使うと、いろいろな問題が解けます。

公式7：等式 A = BQ + R の利用
  • 割られる式を求める：BB，QQ，RR が分かれば、AA=BQ{}= BQ+R{}+ R を計算する。
  • 割る式を求める：AA，QQ，RR が分かれば、AA−R{}- R=BQ{}= BQ なので、AA−R{}- R を QQ で割って BB を求める。
  • 式の値を求める（次数下げ）：xx=α{}= \alpha が BB=0{}= 0 を満たすとき、AA を BB で割って AA=BQ{}= BQ+R{}+ R とすれば、xx=α{}= \alpha での AA の値は RR の値に等しい。

3つめの「次数下げ」を具体的に見てみます。xx=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} のとき、xx−1{}- 1=2{}= \sqrt{2} の両辺を2乗すると x2x^2−2x{}- 2x+1{}+ 1=2{}= 2、つまり

x2\displaystyle x^2−2x\displaystyle {}- 2x−1\displaystyle {}- 1=0\displaystyle {}= 0

です。3次式や4次式に 11+2{}+ \sqrt{2} をそのまま代入すると計算が大変ですが、x2x^2−2x{}- 2x−1{}- 1 で割っておけば、BQBQ の部分は 0×Q0 \times Q=0{}= 0 になり、1次以下の余り RR だけを計算すれば済みます。

これは両替に似ています。小銭がたくさんあると数えにくいので、「x2x^2 は 2x2x+1{}+ 1 と同じ」という両替のルールを使って、大きな次数を小さな次数へどんどん交換していきます。割り算は、その交換をまとめて行う手続きです。

等式 AA=BQ{}= BQ+R{}+ R を使えば割られる式・割る式を逆算でき、BB=0{}= 0 となる xx では AA の値が余り RR の値だけで決まるということです。

例題7：除法の等式の利用

(1) 整式 AA を x2x^2+1{}+ 1 で割ると、商が xx−3{}- 3、余りが 2x2x+1{}+ 1 である。AA を求めなさい。

(2) x3x^3+2x2{}+ 2x^2+x{}+ x+5{}+ 5 を整式 BB で割ると、商が xx+3{}+ 3、余りが 2x2x−1{}- 1 である。BB を求めなさい。

(3) xx=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} のとき、x3x^3−x2{}- x^2−3x{}- 3x+2{}+ 2 の値を求めなさい。

【解答】

(1) AA=BQ{}= BQ+R{}+ R に当てはめます。

A\displaystyle A=(x2+1)(x−3)\displaystyle {}= (x^2 + 1)(x - 3)+(2x+1)\displaystyle {}+ (2x + 1)=x3\displaystyle {}= x^3−3x2\displaystyle {}- 3x^2+x\displaystyle {}+ x−3\displaystyle {}- 3+2x\displaystyle {}+ 2x+1\displaystyle {}+ 1=x3‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}x^3}−3x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 3x^2}+3x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 3x}−2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 2}

(2) x3x^3+2x2{}+ 2x^2+x{}+ x+5{}+ 5=B(x+3){}= B(x + 3)+(2x−1){}+ (2x - 1) なので

B(x+3)\displaystyle B(x + 3)=x3\displaystyle {}= x^3+2x2\displaystyle {}+ 2x^2+x\displaystyle {}+ x+5\displaystyle {}+ 5−(2x−1)\displaystyle {}- (2x - 1)=x3\displaystyle {}= x^3+2x2\displaystyle {}+ 2x^2−x\displaystyle {}- x+6\displaystyle {}+ 6

右辺を xx+3{}+ 3 で割ります。

x3\displaystyle x^3+2x2\displaystyle {}+ 2x^2−x\displaystyle {}- x+6\displaystyle {}+ 6=x2(x+3)\displaystyle {}= x^2(x + 3)+(−x2−x+6)\displaystyle {}+ (-x^2 - x + 6)−x2\displaystyle -x^2−x\displaystyle {}- x+6\displaystyle {}+ 6=−x(x+3)\displaystyle {}= -x(x + 3)+(2x+6)\displaystyle {}+ (2x + 6)2x\displaystyle 2x+6\displaystyle {}+ 6=2(x+3)\displaystyle {}= 2(x + 3)

割り切れて、BB=x2‾{}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}−x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- x}+2‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 2} です。余り 2x2x−1{}- 1 の次数 11 が BB の次数 22 より小さいことも確かめられます。

(3) 上で見たように、xx=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} は x2x^2−2x{}- 2x−1{}- 1=0{}= 0 を満たします。x3x^3−x2{}- x^2−3x{}- 3x+2{}+ 2 を x2x^2−2x{}- 2x−1{}- 1 で割ると

x3\displaystyle x^3−x2\displaystyle {}- x^2−3x\displaystyle {}- 3x+2\displaystyle {}+ 2=x(x2−2x−1)\displaystyle {}= x(x^2 - 2x - 1)+(x2−2x+2)\displaystyle {}+ (x^2 - 2x + 2)x2\displaystyle x^2−2x\displaystyle {}- 2x+2\displaystyle {}+ 2=1⋅(x2−2x−1)\displaystyle {}= 1 \cdot (x^2 - 2x - 1)+3\displaystyle {}+ 3

なので、x3x^3−x2{}- x^2−3x{}- 3x+2{}+ 2=(x2−2x−1)(x+1){}= (x^2 - 2x - 1)(x + 1)+3{}+ 3 です。xx=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} のとき x2x^2−2x{}- 2x−1{}- 1=0{}= 0 だから、求める値は 3‾\underline{3} です。

余りが定数になったので、2\sqrt{2} を代入する計算そのものが不要になりました。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

パスカルの三角形を用いて、(a+b)5(a+b)^5 を展開した式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

a5a^5+5a4b{}+ 5a^4b+10a3b2{}+ 10a^3b^2+10a2b3{}+ 10a^2b^3+5ab4{}+ 5ab^4+b5{}+ b^5（5段目の係数 1,1, 5,\ 5, 10,\ 10, 10,\ 10, 5,\ 5, 1\ 1）

自己採点：
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問2

6C2{}_6\mathrm{C}_2 の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1515（6⋅52⋅1\dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}=15{}= 15）

自己採点：
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問3

(x+1)7(x+1)^7 の展開式における x3x^3 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

3535（一般項 7Cr x7−r{}_7\mathrm{C}_r\,x^{7-r} で rr=4{}= 4、7C4{}_7\mathrm{C}_4=7C3{}= {}_7\mathrm{C}_3=35{}= 35）

自己採点：
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問4

x2x^2+2x{}+ 2x+3{}+ 3 を xx+1{}+ 1 で割ったときの商と余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

商 xx+1{}+ 1、余り 22（x2x^2+2x{}+ 2x+3{}+ 3=(x+1)(x+1){}= (x+1)(x+1)+2{}+ 2）

自己採点：
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問5

整式 AA を xx−1{}- 1 で割ると、商が xx+2{}+ 2、余りが 33 である。AA を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

x2x^2+x{}+ x+1{}+ 1（AA=(x−1)(x+2){}= (x-1)(x+2)+3{}+ 3）

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) (x+3)4(x+3)^4

(2) (x−2)5(x-2)^5

パスカルの三角形を用いて、上の (1)，(2) の式を展開した式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) x4x^4+12x3{}+ 12x^3+54x2{}+ 54x^2+108x{}+ 108x+81{}+ 81　(2) x5x^5−10x4{}- 10x^4+40x3{}+ 40x^3−80x2{}- 80x^2+80x{}+ 80x−32{}- 32

解説

(1) 4段目の係数 1,1, 4,\ 4, 6,\ 6, 4,\ 4, 1\ 1 を使い、bb=3{}= 3 を当てはめます。

(x+3)4\displaystyle (x+3)^4=x4\displaystyle {}= x^4+4x3⋅3\displaystyle {}+ 4x^3 \cdot 3+6x2⋅32\displaystyle {}+ 6x^2 \cdot 3^2+4x⋅33\displaystyle {}+ 4x \cdot 3^3+34\displaystyle {}+ 3^4=x4‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}x^4}+12x3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 12x^3}+54x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 54x^2}+108x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 108x}+81‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 81}

(2) 5段目の係数 1,1, 5,\ 5, 10,\ 10, 10,\ 10, 5,\ 5, 1\ 1 を使い、bb=−2{}= -2 を当てはめます。

(x−2)5\displaystyle (x-2)^5=x5\displaystyle {}= x^5+5x4(−2)\displaystyle {}+ 5x^4(-2)+10x3(−2)2\displaystyle {}+ 10x^3(-2)^2+10x2(−2)3\displaystyle {}+ 10x^2(-2)^3+5x(−2)4\displaystyle {}+ 5x(-2)^4+(−2)5\displaystyle {}+ (-2)^5=x5‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}x^5}−10x4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 10x^4}+40x3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 40x^3}−80x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 80x^2}+80x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 80x}−32‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 32}

符号は ++ と −- が交互に並びます。

自己採点：
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問2　★

6C3{}_6\mathrm{C}_3，9C2{}_9\mathrm{C}_2，10C8{}_{10}\mathrm{C}_8，5C0{}_5\mathrm{C}_0 の値をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

6C3{}_6\mathrm{C}_3=20{}= 20，9C2{}_9\mathrm{C}_2=36{}= 36，10C8{}_{10}\mathrm{C}_8=45{}= 45，5C0{}_5\mathrm{C}_0=1{}= 1

解説
6C3\displaystyle {}_6\mathrm{C}_3=6⋅5⋅43⋅2⋅1\displaystyle {}= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}=20‾,\displaystyle {}= \underline{20},9C2\displaystyle {}_9\mathrm{C}_2=9⋅82⋅1\displaystyle {}= \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}=36‾\displaystyle {}= \underline{36}

10C8{}_{10}\mathrm{C}_8 は 10C8{}_{10}\mathrm{C}_8=10C2{}= {}_{10}\mathrm{C}_2 を使うと短く済みます。

10C8\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_8=10C2\displaystyle {}= {}_{10}\mathrm{C}_2=10⋅92⋅1\displaystyle {}= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}=45‾\displaystyle {}= \underline{45}

5C0{}_5\mathrm{C}_0 は「5個から1つも選ばない」選び方で、1通りなので 1‾\underline{1} です。

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問3　★

二項定理を用いて、(2x+1)5(2x+1)^5 を展開した式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

32x532x^5+80x4{}+ 80x^4+80x3{}+ 80x^3+40x2{}+ 40x^2+10x{}+ 10x+1{}+ 1

解説

一般項は 5Cr (2x)5−r⋅1r{}_5\mathrm{C}_r\,(2x)^{5-r} \cdot 1^r=5Cr⋅25−r x5−r{}= {}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r}\,x^{5-r} です。rr=0,{}= 0, 1,\ 1, …,\ \ldots, 5\ 5 を順に入れます。

(2x+1)5\displaystyle (2x+1)^5=1⋅32x5\displaystyle {}= 1 \cdot 32x^5+5⋅16x4\displaystyle {}+ 5 \cdot 16x^4+10⋅8x3\displaystyle {}+ 10 \cdot 8x^3+10⋅4x2\displaystyle {}+ 10 \cdot 4x^2+5⋅2x\displaystyle {}+ 5 \cdot 2x+1\displaystyle {}+ 1=32x5‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}32x^5}+80x4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 80x^4}+80x3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 80x^3}+40x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 40x^2}+10x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 10x}+1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 1}
自己採点：
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問4　★

(x+2)6(x+2)^6 の展開式における x4x^4 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

6060

解説

一般項は 6Cr x6−r⋅2r{}_6\mathrm{C}_r\,x^{6-r} \cdot 2^r です。66−r{}- r=4{}= 4 より rr=2{}= 2 なので

6C2⋅22\displaystyle {}_6\mathrm{C}_2 \cdot 2^2=15⋅4\displaystyle {}= 15 \cdot 4=60‾\displaystyle {}= \underline{60}
自己採点：
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問5　★

(3x−1)5(3x-1)^5 の展開式における x2x^2 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−90-90

解説

一般項は 5Cr (3x)5−r(−1)r{}_5\mathrm{C}_r\,(3x)^{5-r}(-1)^r=5Cr⋅35−r⋅(−1)r⋅x5−r{}= {}_5\mathrm{C}_r \cdot 3^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{5-r} です。55−r{}- r=2{}= 2 より rr=3{}= 3 なので

5C3⋅32⋅(−1)3\displaystyle {}_5\mathrm{C}_3 \cdot 3^2 \cdot (-1)^3=10⋅9⋅(−1)\displaystyle {}= 10 \cdot 9 \cdot (-1)=−90‾\displaystyle {}= \underline{-90}

(−1)3(-1)^3=−1{}= -1 の符号を落とさないようにしましょう。

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問6　★

x3x^3+4x2{}+ 4x^2−2x{}- 2x+1{}+ 1 を xx−1{}- 1 で割ったときの商と余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

商 x2x^2+5x{}+ 5x+3{}+ 3、余り 44

解説

筆算の各段を等式で書きます。

x3\displaystyle x^3+4x2\displaystyle {}+ 4x^2−2x\displaystyle {}- 2x+1\displaystyle {}+ 1=x2(x−1)\displaystyle {}= x^2(x - 1)+(5x2−2x+1)\displaystyle {}+ (5x^2 - 2x + 1)5x2\displaystyle 5x^2−2x\displaystyle {}- 2x+1\displaystyle {}+ 1=5x(x−1)\displaystyle {}= 5x(x - 1)+(3x+1)\displaystyle {}+ (3x + 1)3x\displaystyle 3x+1\displaystyle {}+ 1=3(x−1)\displaystyle {}= 3(x - 1)+4\displaystyle {}+ 4

残りの 44 は定数なので止めます。商は x2‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}+5x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 5x}+3‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 3}、余りは 4‾\underline{4} です。

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問7　★

2x32x^3−x{}- x+3{}+ 3 を xx+1{}+ 1 で割ったときの商と余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

商 2x22x^2−2x{}- 2x+1{}+ 1、余り 22

解説

x2x^2 の項がないので、2x32x^3+0x2{}+ 0x^2−x{}- x+3{}+ 3 と考えます。

2x3\displaystyle 2x^3+0x2\displaystyle {}+ 0x^2−x\displaystyle {}- x+3\displaystyle {}+ 3=2x2(x+1)\displaystyle {}= 2x^2(x + 1)+(−2x2−x+3)\displaystyle {}+ (-2x^2 - x + 3)−2x2\displaystyle -2x^2−x\displaystyle {}- x+3\displaystyle {}+ 3=−2x(x+1)\displaystyle {}= -2x(x + 1)+(x+3)\displaystyle {}+ (x + 3)x\displaystyle x+3\displaystyle {}+ 3=1⋅(x+1)\displaystyle {}= 1 \cdot (x + 1)+2\displaystyle {}+ 2

商は 2x2‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}2x^2}−2x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 2x}+1‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 1}、余りは 2‾\underline{2} です。0x20x^2 の場所を空けておかないと、次数がずれて計算を誤りやすくなります。

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問8　★

整式 AA を x2x^2−x{}- x+1{}+ 1 で割ると、商が 2x2x+1{}+ 1、余りが xx−3{}- 3 である。AA を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

2x32x^3−x2{}- x^2+2x{}+ 2x−2{}- 2

解説

AA=BQ{}= BQ+R{}+ R に当てはめます。

A\displaystyle A=(x2−x+1)(2x+1)\displaystyle {}= (x^2 - x + 1)(2x + 1)+(x−3)\displaystyle {}+ (x - 3)

積の部分を展開すると

(x2−x+1)(2x+1)\displaystyle (x^2 - x + 1)(2x + 1)=2x3\displaystyle {}= 2x^3+x2\displaystyle {}+ x^2−2x2\displaystyle {}- 2x^2−x\displaystyle {}- x+2x\displaystyle {}+ 2x+1\displaystyle {}+ 1=2x3\displaystyle {}= 2x^3−x2\displaystyle {}- x^2+x\displaystyle {}+ x+1\displaystyle {}+ 1

なので

A\displaystyle A=(2x3−x2+x+1)\displaystyle {}= (2x^3 - x^2 + x + 1)+x\displaystyle {}+ x−3\displaystyle {}- 3=2x3‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}2x^3}−x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- x^2}+2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 2x}−2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 2}
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問9　★★

(x−2y)6(x-2y)^6 の展開式における x2y4x^2y^4 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

240240

解説

一般項は 6Cr x6−r(−2y)r{}_6\mathrm{C}_r\,x^{6-r}(-2y)^r=6Cr⋅(−2)r⋅x6−ryr{}= {}_6\mathrm{C}_r \cdot (-2)^r \cdot x^{6-r}y^r です。x2y4x^2y^4 になるのは rr=4{}= 4 のときなので

6C4⋅(−2)4\displaystyle {}_6\mathrm{C}_4 \cdot (-2)^4=15⋅16\displaystyle {}= 15 \cdot 16=240‾\displaystyle {}= \underline{240}

6C4{}_6\mathrm{C}_4=6C2{}= {}_6\mathrm{C}_2=15{}= 15 です。(−2)4(-2)^4 は偶数乗なので正になります。

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問10　★★

(x2+3)6(x^2+3)^6 の展開式における x8x^8 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

135135

解説

一般項は 6Cr (x2)6−r⋅3r{}_6\mathrm{C}_r\,(x^2)^{6-r} \cdot 3^r=6Cr⋅3r⋅x12−2r{}= {}_6\mathrm{C}_r \cdot 3^r \cdot x^{12-2r} です。1212−2r{}- 2r=8{}= 8 より rr=2{}= 2 なので

6C2⋅32\displaystyle {}_6\mathrm{C}_2 \cdot 3^2=15⋅9\displaystyle {}= 15 \cdot 9=135‾\displaystyle {}= \underline{135}

(x2)6−r(x^2)^{6-r}=x2(6−r){}= x^{2(6-r)} と指数をかけ算にするのがポイントです。

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問11　★★

(1) 8C0{}_8\mathrm{C}_0+8C1{}+ {}_8\mathrm{C}_1+8C2{}+ {}_8\mathrm{C}_2+⋯{}+ \cdots+8C8{}+ {}_8\mathrm{C}_8

(2) 10C1{}_{10}\mathrm{C}_1+10C2{}+ {}_{10}\mathrm{C}_2+⋯{}+ \cdots+10C10{}+ {}_{10}\mathrm{C}_{10}

(3) 5C0{}_5\mathrm{C}_0+2 5C1{}+ 2\,{}_5\mathrm{C}_1+22 5C2{}+ 2^2\,{}_5\mathrm{C}_2+23 5C3{}+ 2^3\,{}_5\mathrm{C}_3+24 5C4{}+ 2^4\,{}_5\mathrm{C}_4+25 5C5{}+ 2^5\,{}_5\mathrm{C}_5

上の (1)〜(3) の値をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 256256　(2) 10231023　(3) 243243

解説

(1) 二項定理で aa=b{}= b=1{}= 1 とおいた式です。282^8=256‾{}= \underline{256} です。

(2) 10C0{}_{10}\mathrm{C}_0 から 10C10{}_{10}\mathrm{C}_{10} までの和は 2102^{10}=1024{}= 1024 です。10C0{}_{10}\mathrm{C}_0=1{}= 1 が抜けているので 10241024−1{}- 1=1023‾{}= \underline{1023} です。

(3) 2r 5Cr2^r\,{}_5\mathrm{C}_r の和は、二項定理で aa=1{}= 1，bb=2{}= 2 とおいたものです。

(1+2)5\displaystyle (1 + 2)^5=∑r=055Cr⋅15−r⋅2r\displaystyle {}= \sum_{r=0}^{5} {}_5\mathrm{C}_r \cdot 1^{5-r} \cdot 2^r

なので、値は 353^5=243‾{}= \underline{243} です。どの aa，bb を入れれば与えられた和になるかを見抜くのがコツです。

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問12　★★

二項定理を用いて、0.99100.99^{10} の小数第4位を四捨五入した値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

0.9040.904

解説

0.99100.99^{10}=(1−0.01)10{}= (1 - 0.01)^{10} を展開します。

(1−0.01)10\displaystyle (1 - 0.01)^{10}=1\displaystyle {}= 1−10C1⋅0.01\displaystyle {}- {}_{10}\mathrm{C}_1 \cdot 0.01+10C2⋅0.012\displaystyle {}+ {}_{10}\mathrm{C}_2 \cdot 0.01^2−10C3⋅0.013\displaystyle {}- {}_{10}\mathrm{C}_3 \cdot 0.01^3+⋯\displaystyle {}+ \cdots=1\displaystyle {}= 1−0.1\displaystyle {}- 0.1+0.0045\displaystyle {}+ 0.0045−0.00012\displaystyle {}- 0.00012+⋯\displaystyle {}+ \cdots

5項目は 10C4⋅0.014{}_{10}\mathrm{C}_4 \cdot 0.01^4=0.0000021{}= 0.0000021 で、それ以降はさらに小さくなります。4項目までの和は 0.904380.90438 で、残りの項は小数第5位以下にしか影響しません。よって 0.99100.99^{10}=0.9043⋯{}= 0.9043\cdots で、小数第4位を四捨五入すると 0.904‾\underline{0.904} です。

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問13　★★

(a+2b+c)6(a+2b+c)^6 の展開式における a2b3ca^2b^3c の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

480480

解説

一般項は 6!p! q! r! ap(2b)qcr\dfrac{6!}{p!\,q!\,r!}\,a^p(2b)^qc^r です。pp=2{}= 2，qq=3{}= 3，rr=1{}= 1 として

6!2! 3! 1!⋅23\displaystyle \frac{6!}{2!\,3!\,1!} \cdot 2^3=7202⋅6⋅1⋅8\displaystyle {}= \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} \cdot 8=60⋅8\displaystyle {}= 60 \cdot 8=480‾\displaystyle {}= \underline{480}
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問14　★★

x4x^4−2x3{}- 2x^3+x{}+ x−5{}- 5 を x2x^2+x{}+ x−1{}- 1 で割ったときの商と余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

商 x2x^2−3x{}- 3x+4{}+ 4、余り −6x-6x−1{}- 1

解説

x2x^2 の項がないので x4x^4−2x3{}- 2x^3+0x2{}+ 0x^2+x{}+ x−5{}- 5 と考えます。

x4\displaystyle x^4−2x3\displaystyle {}- 2x^3+0x2\displaystyle {}+ 0x^2+x\displaystyle {}+ x−5\displaystyle {}- 5=x2(x2+x−1)\displaystyle {}= x^2(x^2 + x - 1)+(−3x3+x2+x−5)\displaystyle {}+ (-3x^3 + x^2 + x - 5)−3x3\displaystyle -3x^3+x2\displaystyle {}+ x^2+x\displaystyle {}+ x−5\displaystyle {}- 5=−3x(x2+x−1)\displaystyle {}= -3x(x^2 + x - 1)+(4x2−2x−5)\displaystyle {}+ (4x^2 - 2x - 5)4x2\displaystyle 4x^2−2x\displaystyle {}- 2x−5\displaystyle {}- 5=4(x2+x−1)\displaystyle {}= 4(x^2 + x - 1)+(−6x−1)\displaystyle {}+ (-6x - 1)

残りの −6x-6x−1{}- 1 は1次で、割る式の次数 22 より小さいので止めます。商は x2‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}−3x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 3x}+4‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 4}、余りは −6x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}-6x}−1‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 1} です。

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問15　★★

x3x^3−4x2{}- 4x^2+3x{}+ 3x+7{}+ 7 を整式 BB で割ると、商が xx−3{}- 3、余りが 2x2x+1{}+ 1 である。BB を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

x2x^2−x{}- x−2{}- 2

解説

x3x^3−4x2{}- 4x^2+3x{}+ 3x+7{}+ 7=B(x−3){}= B(x - 3)+(2x+1){}+ (2x + 1) なので

B(x−3)\displaystyle B(x - 3)=x3\displaystyle {}= x^3−4x2\displaystyle {}- 4x^2+3x\displaystyle {}+ 3x+7\displaystyle {}+ 7−(2x+1)\displaystyle {}- (2x + 1)=x3\displaystyle {}= x^3−4x2\displaystyle {}- 4x^2+x\displaystyle {}+ x+6\displaystyle {}+ 6

右辺を xx−3{}- 3 で割ります。

x3\displaystyle x^3−4x2\displaystyle {}- 4x^2+x\displaystyle {}+ x+6\displaystyle {}+ 6=x2(x−3)\displaystyle {}= x^2(x - 3)+(−x2+x+6)\displaystyle {}+ (-x^2 + x + 6)−x2\displaystyle -x^2+x\displaystyle {}+ x+6\displaystyle {}+ 6=−x(x−3)\displaystyle {}= -x(x - 3)+(−2x+6)\displaystyle {}+ (-2x + 6)−2x\displaystyle -2x+6\displaystyle {}+ 6=−2(x−3)\displaystyle {}= -2(x - 3)

割り切れて BB=x2‾{}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}−x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- x}−2‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 2} です。余り 2x2x+1{}+ 1 の次数 11 は BB の次数 22 より小さく、条件に合っています。

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問16　★★

xx=2{}= 2−3{}- \sqrt{3} のとき、x4x^4−4x3{}- 4x^3+2x2{}+ 2x^2−5x{}- 5x+6{}+ 6 の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

33+3{}+ \sqrt{3}

解説

xx−2{}- 2=−3{}= -\sqrt{3} の両辺を2乗すると x2x^2−4x{}- 4x+4{}+ 4=3{}= 3、つまり x2x^2−4x{}- 4x+1{}+ 1=0{}= 0 です。与えられた式を x2x^2−4x{}- 4x+1{}+ 1 で割ります。

x4\displaystyle x^4−4x3\displaystyle {}- 4x^3+2x2\displaystyle {}+ 2x^2−5x\displaystyle {}- 5x+6\displaystyle {}+ 6=x2(x2−4x+1)\displaystyle {}= x^2(x^2 - 4x + 1)+(x2−5x+6)\displaystyle {}+ (x^2 - 5x + 6)x2\displaystyle x^2−5x\displaystyle {}- 5x+6\displaystyle {}+ 6=1⋅(x2−4x+1)\displaystyle {}= 1 \cdot (x^2 - 4x + 1)+(−x+5)\displaystyle {}+ (-x + 5)

よって x4x^4−4x3{}- 4x^3+2x2{}+ 2x^2−5x{}- 5x+6{}+ 6=(x2−4x+1)(x2+1){}= (x^2 - 4x + 1)(x^2 + 1)+(−x+5){}+ (-x + 5) です。xx=2{}= 2−3{}- \sqrt{3} のとき x2x^2−4x{}- 4x+1{}+ 1=0{}= 0 なので、値は

−x\displaystyle -x+5\displaystyle {}+ 5=−(2−3)\displaystyle {}= -(2 - \sqrt{3})+5\displaystyle {}+ 5=3‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}3}+3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}+ \sqrt{3}}
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問17　★★★

(x2−2x)6\left(x^2 - \dfrac{2}{x}\right)^6 の展開式における定数項を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

240240

解説

一般項は

6Cr (x2)6−r(−2x)r\displaystyle {}_6\mathrm{C}_r\,(x^2)^{6-r}\left(-\frac{2}{x}\right)^r=6Cr⋅(−2)r⋅x12−2rxr\displaystyle {}= {}_6\mathrm{C}_r \cdot (-2)^r \cdot \frac{x^{12-2r}}{x^r}

です。定数項は xx が消える項なので、分子と分母の xx の次数が等しくなる 1212−2r{}- 2r=r{}= r、つまり rr=4{}= 4 のときです。

6C4⋅(−2)4\displaystyle {}_6\mathrm{C}_4 \cdot (-2)^4=15⋅16\displaystyle {}= 15 \cdot 16=240‾\displaystyle {}= \underline{240}

1x\dfrac{1}{x} を含む式（分数式）は第8章で本格的に扱います。ここでは「x12−2rx^{12-2r} を xrx^r で割って xx が約分で消える」ことだけを使っています。

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問18　★★★

(1+x+x2)5(1 + x + x^2)^5 の展開式における x3x^3 の係数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

3030

解説

aa=1{}= 1，bb=x{}= x，cc=x2{}= x^2 として多項定理を使います。一般項は

5!p! q! r!⋅1p⋅xq⋅(x2)r\displaystyle \frac{5!}{p!\,q!\,r!} \cdot 1^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r=5!p! q! r! xq+2r\displaystyle {}= \frac{5!}{p!\,q!\,r!}\,x^{q+2r}(p+q+r=5)\displaystyle (p + q + r = 5)

です。x3x^3 になるのは qq+2r{}+ 2r=3{}= 3 のときで、00 以上の整数の組は次の2つです。

  • rr=0{}= 0，qq=3{}= 3，pp=2{}= 2：5!2! 3! 0!\dfrac{5!}{2!\,3!\,0!}=10{}= 10
  • rr=1{}= 1，qq=1{}= 1，pp=3{}= 3：5!3! 1! 1!\dfrac{5!}{3!\,1!\,1!}=20{}= 20

（rr=2{}= 2 だと qq=−1{}= -1 となり不適です。）これらを合わせて、係数は 1010+20{}+ 20=30‾{}= \underline{30} です。

同じ x3x^3 の項が複数の組から生まれるので、条件に合う組をもれなく数え上げるのがポイントです。

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問19　★★★

x3x^3+ax2{}+ ax^2+bx{}+ bx+3{}+ 3 を x2x^2+x{}+ x+1{}+ 1 で割ったときの余りが 2x2x+5{}+ 5 となるように、定数 aa，bb の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=−1{}= -1，bb=1{}= 1

解説

文字の係数のまま割り算を進めます。

x3\displaystyle x^3+ax2\displaystyle {}+ ax^2+bx\displaystyle {}+ bx+3\displaystyle {}+ 3=x(x2+x+1)\displaystyle {}= x(x^2 + x + 1)+{(a−1)x2+(b−1)x+3}\displaystyle {}\quad + \{(a - 1)x^2 + (b - 1)x + 3\}

続けて、かっこの中を割ります。

(a−1)x2\displaystyle (a - 1)x^2+(b−1)x\displaystyle {}+ (b - 1)x+3\displaystyle {}+ 3=(a−1)(x2+x+1)\displaystyle {}= (a - 1)(x^2 + x + 1)+{(b−a)x+(4−a)}\displaystyle {}\quad + \{(b - a)x + (4 - a)\}

2つ目の式では (a−1)(x2+x+1)(a-1)(x^2 + x + 1)=(a−1)x2{}= (a-1)x^2+(a−1)x{}+ (a-1)x+(a−1){}+ (a-1) を引いています。xx の係数は (b−1)(b - 1)−(a−1){}- (a - 1)=b{}= b−a{}- a、定数項は 33−(a−1){}- (a - 1)=4{}= 4−a{}- a です。

余りは (b−a)x(b - a)x+(4−a){}+ (4 - a) で、これが 2x2x+5{}+ 5 と一致するので

b\displaystyle b−a\displaystyle {}- a=2,\displaystyle {}= 2,4\displaystyle 4−a\displaystyle {}- a=5\displaystyle {}= 5

よって a=−1,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -1,} b=1‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 1} です。

（確かめ）x3x^3−x2{}- x^2+x{}+ x+3{}+ 3=(x2+x+1)(x−2){}= (x^2 + x + 1)(x - 2)+(2x+5){}+ (2x + 5) を展開すると一致します。

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問20　★★★

二項定理を用いて、21002^{100} を 77 で割った余りを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

22

解説

232^3=8{}= 8=7{}= 7+1{}+ 1 に着目します。100100=3×33{}= 3 \times 33+1{}+ 1 なので

2100\displaystyle 2^{100}=2⋅(23)33\displaystyle {}= 2 \cdot (2^3)^{33}=2⋅(7+1)33\displaystyle {}= 2 \cdot (7 + 1)^{33}

(7+1)33(7 + 1)^{33} を二項定理で展開すると

(7+1)33\displaystyle (7 + 1)^{33}=33C0 733\displaystyle {}= {}_{33}\mathrm{C}_0\,7^{33}+33C1 732\displaystyle {}+ {}_{33}\mathrm{C}_1\,7^{32}+⋯\displaystyle {}+ \cdots+33C32 7\displaystyle {}+ {}_{33}\mathrm{C}_{32}\,7+33C33\displaystyle {}+ {}_{33}\mathrm{C}_{33}

最後の項 33C33{}_{33}\mathrm{C}_{33}=1{}= 1 以外はすべて 77 の倍数なので、整数 MM を用いて (7+1)33(7 + 1)^{33}=7M{}= 7M+1{}+ 1 と書けます。よって

2100\displaystyle 2^{100}=2(7M+1)\displaystyle {}= 2(7M + 1)=7⋅2M\displaystyle {}= 7 \cdot 2M+2\displaystyle {}+ 2

となり、77 で割った余りは 2‾\underline{2} です。

「割る数 ±1\pm 1」の累乗をつくると、二項定理で最後の項以外がまとめて割り切れる、というのが定番の考え方です。

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数学小話コーナー

パスカルより古いパスカルの三角形

「パスカルの三角形」という名前は、17世紀フランスの数学者ブレーズ・パスカルにちなんでいます。パスカルはこの三角形の性質をまとめて研究し、確率の計算などに使いました。ところが、三角形そのものはパスカルよりずっと前から知られていました。

中国では、南宋の楊輝が『詳解九章算法』（1261年）でこの三角形を紹介しており、今でも「楊輝三角」と呼ばれます。楊輝は、11世紀の賈憲の方法を伝えたと書いているとされます（※諸説あり）。1303年に朱世傑が著した『四元玉鑑』には、8乗までの係数を並べた美しい図が載っています。ペルシアの詩人で数学者のウマル・ハイヤーム（11〜12世紀）も、同じ係数の規則を知っていたと考えられています（※諸説あり）。イタリアでは、16世紀の数学者の名をとって「タルターリアの三角形」と呼ぶこともあります。

同じ三角形が、国ごとに別の人の名前で呼ばれているのです。

豆知識

1111 の累乗を計算すると、11011^0=1{}= 1，11111^1=11{}= 11，11211^2=121{}= 121，11311^3=1331{}= 1331，11411^4=14641{}= 14641 と、パスカルの三角形の段がそのまま数字として並びます。11n11^n=(10+1)n{}= (10 + 1)^n を二項定理で展開すると、各位の数字が二項係数になるからです。ただし 11511^5=161051{}= 161051 では、係数の 1010 がくり上がるので並びが崩れます。

毎日1%の積み重ね

「毎日 1%1\% ずつ成長すれば、1年後には約 3838 倍になる」という話を聞いたことがあるでしょうか。1.013651.01^{365} を計算すると、およそ 37.837.8 です。反対に毎日 1%1\% ずつ減ると、0.993650.99^{365} はおよそ 0.0260.026 まで小さくなります。

足し算で考えると、1%1\% を365日分足しても 11+3.65{}+ 3.65=4.65{}= 4.65 倍にしかなりません。かけ算の積み重ねがこれほど大きくなる理由は、二項定理で見えてきます。

(1+0.01)365\displaystyle (1 + 0.01)^{365}=1\displaystyle {}= 1+365C1⋅0.01\displaystyle {}+ {}_{365}\mathrm{C}_1 \cdot 0.01+365C2⋅0.012\displaystyle {}+ {}_{365}\mathrm{C}_2 \cdot 0.01^2+⋯\displaystyle {}+ \cdots

2項目の 3.653.65 が「足し算の分」です。3項目は 365C2⋅0.0001{}_{365}\mathrm{C}_2 \cdot 0.0001=66430×0.0001{}= 66430 \times 0.0001=6.643{}= 6.643 で、これだけで2項目を上回ります。最初の3項を足しただけでも 1111 を超えます。成長した分がさらに成長するという「増えた分への上乗せ」が、3項目以降の正体です。

豆知識

同じ計算で、毎日 2%2\% なら 1.023651.02^{365} はおよそ 13771377 になります。わずか 1%1\% の違いが、1年で 3030 倍以上の差になるわけです。もちろん現実の成長は毎日一定ではないので、これは累乗の性質を楽しむための話と考えてください。

割り算の余りでデータの傷を見つける

インターネットで送られるデータや、パソコンに保存されたファイルは、途中で一部が壊れることがあります。壊れたことに気づくための代表的なしくみが、巡回冗長検査（CRC）です。1961年にアメリカの研究者ウェスリー・ピーターソンが発表した方法がもとになっています。

しくみは、この章の整式の除法そのものです。00 と 11 の並び、たとえば 11011101 を、係数と見なして x3x^3+x2{}+ x^2+1{}+ 1 という整式に置きかえます。送る側は、あらかじめ決めた整式でこれを割って余りを求め、その余りをデータの後ろにつけて送ります。受け取った側も同じ整式で割り、余りが合わなければ「途中でデータが壊れた」と分かります。

有線LANの通信（イーサネット）や、ZIP ファイル、PNG 画像などで、CRC が今も使われています。

豆知識

CRC の計算では、係数を「22 で割った余り」だけで考えます。この世界では 11+1{}+ 1=0{}= 0 なので、足し算と引き算がまったく同じ計算になります。そのため割り算の筆算がとても単純になり、電子回路で高速に計算できるのです。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。本文では、二項定理を「かっこから bb を選ぶ数」という数え方で説明し、整式の割り算を筆算の手順として使いました。ここでは、二項係数を式で定めて二項定理を証明し、整式の割り算で商と余りが必ずただ1組に決まることを確かめます。

階乗と二項係数

定義1：階乗と二項係数

00 以上の整数 nn に対し、nn の階乗 n!n! を

0!\displaystyle 0!=1,\displaystyle {}= 1,n!\displaystyle n!=n⋅(n−1)!\displaystyle {}= n \cdot (n-1)!(n≧1)\displaystyle (n \geqq 1)

で定める。00≦r{}\leqq r≦n{}\leqq n を満たす整数 rr に対し、二項係数を

nCr\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=n!r! (n−r)!\displaystyle {}= \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

と定める。

本文の公式2の分数 n(n−1)⋯(n−r+1)r(r−1)⋯1\dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots 1} は、この定義の分子と分母を (n−r)!(n-r)! で約分したものです。定義から、nC0{}_n\mathrm{C}_0=nCn{}= {}_n\mathrm{C}_n=1{}= 1 と nCr{}_n\mathrm{C}_r=nCn−r{}= {}_n\mathrm{C}_{n-r} はすぐに分かります。0!0!=1{}= 1 と決めておくのは、rr=0{}= 0 や rr=n{}= n のときにも同じ式が使えるようにするためです。

定理1：パスカルの規則

11≦r{}\leqq r≦n{}\leqq n−1{}- 1 のとき

nCr\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=n−1Cr−1\displaystyle {}= {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+n−1Cr\displaystyle {}+ {}_{n-1}\mathrm{C}_r

証明　右辺を定義1で書き、分母を r! (n−r)!r!\,(n-r)! にそろえる。

n−1Cr−1\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+n−1Cr\displaystyle {}+ {}_{n-1}\mathrm{C}_r=(n−1)!(r−1)! (n−r)!\displaystyle {}= \frac{(n-1)!}{(r-1)!\,(n-r)!}+(n−1)!r! (n−1−r)!\displaystyle {}+ \frac{(n-1)!}{r!\,(n-1-r)!}=(n−1)!⋅rr! (n−r)!\displaystyle {}= \frac{(n-1)! \cdot r}{r!\,(n-r)!}+(n−1)!⋅(n−r)r! (n−r)!\displaystyle {}+ \frac{(n-1)! \cdot (n-r)}{r!\,(n-r)!}=(n−1)!⋅nr! (n−r)!\displaystyle {}= \frac{(n-1)! \cdot n}{r!\,(n-r)!}=n!r! (n−r)!\displaystyle {}= \frac{n!}{r!\,(n-r)!}=nCr\displaystyle {}= {}_n\mathrm{C}_r

2行目では r!r!=r⋅(r−1)!{}= r \cdot (r-1)!，(n−r)!(n-r)!=(n−r)⋅(n−1−r)!{}= (n-r) \cdot (n-1-r)! を使った。（証明終）

これは本文の公式1「上の段の左右2つの数の和」を式で書いたものです。

二項定理の証明

定理2：二項定理

11 以上の整数 nn について

(a+b)n\displaystyle (a+b)^n=∑r=0nnCr an−rbr\displaystyle {}= \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^r

証明　nn=1{}= 1 のとき、右辺は 1C0 a{}_1\mathrm{C}_0\,a+1C1 b{}+ {}_1\mathrm{C}_1\,b=a{}= a+b{}+ b で成り立つ。

ある nn で成り立つと仮定して、nn+1{}+ 1 の場合を示す。

(a+b)n+1\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)n(a+b)\displaystyle {}= (a+b)^n(a+b)=∑r=0nnCr an+1−rbr\displaystyle {}= \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r\,a^{n+1-r}b^r+∑r=0nnCr an−rbr+1\displaystyle {}+ \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^{r+1}

右辺で an+1−rbra^{n+1-r}b^r（11≦r{}\leqq r≦n{}\leqq n）の係数を集めると、1つめの和から nCr{}_n\mathrm{C}_r、2つめの和（番号を1つずらしたもの）から nCr−1{}_n\mathrm{C}_{r-1} が出る。定理1よりその和は n+1Cr{}_{n+1}\mathrm{C}_r である。両端の an+1a^{n+1}，bn+1b^{n+1} の係数はどちらも 11=n+1C0{}= {}_{n+1}\mathrm{C}_0=n+1Cn+1{}= {}_{n+1}\mathrm{C}_{n+1} である。よって

(a+b)n+1\displaystyle (a+b)^{n+1}=∑r=0n+1n+1Cr an+1−rbr\displaystyle {}= \sum_{r=0}^{n+1} {}_{n+1}\mathrm{C}_r\,a^{n+1-r}b^r

となり、nn+1{}+ 1 でも成り立つ。nn=1{}= 1 から順にたどれば、すべての nn で成り立つ。（証明終）

「nn で成り立てば nn+1{}+ 1 でも成り立つ」を示してドミノ倒しのように全体を示す方法を、数学的帰納法といいます。数列の分野（第8章）で正式に学びます。本文では「かっこから bb を選ぶ数」で説明しましたが、ここでは数え方を使わず、定理1の計算だけで証明できました。

整式の除法の定理

定理3：商と余りの存在と一意性

係数が実数の整式 AA と、00 でない整式 BB（次数 mm）に対し

A\displaystyle A=BQ\displaystyle {}= BQ+R\displaystyle {}+ R(R=0 または R の次数<m)\displaystyle (R = 0 \ \text{または}\ R \ \text{の次数} < m)

を満たす整式 QQ，RR がただ1組存在する。

証明　（存在）AA=0{}= 0 または AA の次数が mm より小さいときは、QQ=0{}= 0，RR=A{}= A とすればよい。

AA の次数 kk が mm 以上のとき、AA，BB の最高次の係数をそれぞれ α\alpha，β\beta（β\beta≠0{}\neq 0）とし

A1\displaystyle A_1=A\displaystyle {}= A−αβ xk−mB\displaystyle {}- \frac{\alpha}{\beta}\,x^{k-m}B

をつくる。右辺の2つの項は最高次の項 αxk\alpha x^k が打ち消し合うので、A1A_1 は 00 か、次数が kk より小さい。これが筆算の1段である。次数は 11 回ごとに少なくとも 11 下がるので、この操作は有限回で終わり、次数が mm より小さい式（または 00）が残る。それを RR、差し引いた項の和を QQ とすれば AA=BQ{}= BQ+R{}+ R となる。

（一意性）AA=BQ1{}= BQ_1+R1{}+ R_1=BQ2{}= BQ_2+R2{}+ R_2 と2通りに表せたとすると

B(Q1−Q2)\displaystyle B(Q_1 - Q_2)=R2\displaystyle {}= R_2−R1\displaystyle {}- R_1

Q1Q_1≠Q2{}\neq Q_2 と仮定すると、第1章の厳密定義の「積の次数は次数の和」から、左辺の次数は mm 以上である。一方、右辺は 00 か次数が mm より小さい。これは矛盾なので Q1Q_1=Q2{}= Q_2 であり、このとき R1R_1=R2{}= R_2 も従う。（証明終）

一意性の証明では、第6章の背理法を使いました。「商と余りがただ1組」だから、例題7(2)のように AA=BQ{}= BQ+R{}+ R から BB を逆算できるわけです。

存在の証明で、AA の係数を BB の最高次の係数 β\beta で割っていることに注意しましょう。係数を整数に限ると、この割り算ができないことがあります。たとえば x2x^2 を 2x2x で割ると商は 12x\dfrac{1}{2}x となり、整数係数の範囲では商が見つかりません。係数が実数（または有理数）なら、00 でない数でいつでも割れるので、定理3が成り立ちます。

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