第2章　準2級 二次関数

頂点 $\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)$，軸 直線 $x$${}= \dfrac{3}{2}$

$x^2$ と $x$ の項を $-2$ でくくり、かっこの中で $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ を足して引きます。

よって頂点 $\underline{\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)}$，軸 $\underline{\text{直線}\ x = \dfrac{3}{2}}$ です。中かっこを外すとき、$-\dfrac{9}{4}$ にも $-2$ を掛けます。

$y$${}= x^2$${}+ 10x$${}+ 20$

$x$ を $x$${}+ 3$ に、$y$ を $y$${}- 2$ に置きかえます。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}y = x^2}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 10x}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 20}$ です。

確かめ：もとの頂点は $y$${}= (x + 2)^2$${}- 7$ より $(-2,\ -7)$ で、移動後は $(-5,\ -5)$。$(x + 5)^2$${}- 5$${}= x^2$${}+ 10x$${}+ 20$ と一致します。

$y$${}= -x^2$${}- x$${}+ 6$

$y$ 軸に関する対称移動では $x$ を $-x$ に置きかえます。

次に $x$ を $x$${}- 1$ に置きかえます。

確かめ：もとの頂点 $\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{25}{4}\right)$ は $\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{25}{4}\right)$ に移り、さらに $\left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{25}{4}\right)$ に移ります。$-x^2$${}- x$${}+ 6$${}= -\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2$${}+ \dfrac{25}{4}$ と一致します。

$x$${}= 1$ のとき最大値 $11$，$x$${}= -3$ のとき最小値 $-5$

$y$${}= (x + 3)^2$${}- 5$ で、軸 $x$${}= -3$ は定義域に入っています。下に凸なので、頂点で最小、軸から遠い端 $x$${}= 1$ で最大です。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 1 \ \text{のとき最大値}\ 11,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\quad x = -3 \ \text{のとき最小値}}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}\ -5}$ です。

$x$${}= 0$ のとき最大値 $1$，$x$${}= 2$ のとき最小値 $-15$

$y$${}= -2(x + 1)^2$${}+ 3$ で、軸 $x$${}= -1$ は定義域の左の外です。上に凸なので、定義域では $x$ が増えると $y$ は減ります。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 0 \ \text{のとき最大値}\ 1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\quad x = 2 \ \text{のとき最小値}}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}\ -15}$ です。頂点の値 $3$ は定義域の外なので答えになりません。

$k$${}= 2$，最大値 $5$（$x$${}= 1$ のとき）

$y$${}= -(x - 2)^2$${}+ k$${}+ 4$ で、軸 $x$${}= 2$ は定義域の右の外です。定義域では $x$ が増えると $y$ も増えるので、$x$${}= -1$ で最小、$x$${}= 1$ で最大です。

$k$${}- 5$${}= -3$ より $\underline{k = 2}$。最大値は $x$${}= 1$ のとき $-1$${}+ 4$${}+ 2$${}= \underline{5}$ です。

$y$${}= 3x^2$${}- 2x$${}- 5$

$y$${}= ax^2$${}+ bx$${}+ c$ とおいて 3 点の座標を代入します。

上の 2 式の差から $2b$${}= -4$ で $b$${}= -2$、和から $a$${}+ c$${}= -2$。3 つ目の式は $4a$${}+ c$${}= 7$ となり、$a$${}+ c$${}= -2$ と引いて $3a$${}= 9$ より $a$${}= 3$，$c$${}= -5$ です。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}y = 3x^2}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 2x}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 5}$ です。$x$${}= 2$ を代入すると $12$${}- 4$${}- 5$${}= 3$ で合っています。

$y$${}= -2(x + 2)(x - 3)$（$= -2x^2$${}+ 2x$${}+ 12$）

$y$${}= a(x + 2)(x - 3)$ とおきます。軸は 2 つの交点の真ん中の $x$${}= \dfrac{1}{2}$ で、最大値をもつので $a$${}< 0$ です。

$-\dfrac{25}{4}a$${}= \dfrac{25}{2}$ より $a$${}= -2$（$a$${}< 0$ を満たす）。よって $\underline{y = -2(x + 2)(x - 3)}$（$= -2x^2$${}+ 2x$${}+ 12$）です。

頂点 $(a - 1,\ 2a - 1)$，$\dfrac{1}{2}$${}< a$${}< 1$

平方完成します。

よって頂点は $\underline{(a - 1,\ 2a - 1)}$ です。

第2象限にあるのは「$x$ 座標が負、かつ $y$ 座標が正」のときです。

$a$${}< 1$ と $a$${}> \dfrac{1}{2}$ の共通部分をとって $\underline{\dfrac{1}{2} < a < 1}$ です。座標軸上の点はどの象限にも入らないので、等号は含めません。

$x$${}= 1$，$y$${}= 0$ のとき最小値 $1$

$y^2$${}= 1$${}- x$ を代入して $y$ を消去します。消した $y$ の条件 $y^2$${}\geqq 0$ から

です。この範囲で

を考えます。軸 $x$${}= 2$ は $x$${}\leqq 1$ の右の外なので、$x$${}\leqq 1$ では $x$ が増えると値は減り、$x$${}= 1$ で最小になります。

$x$${}= 1$ のとき値は $1$ で、$y^2$${}= 0$ より $y$${}= 0$。よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 0 \ \text{のとき最小値}\ 1}$ です。

$x$${}\leqq 1$ を書き忘れると、頂点から「最小値 $0$」と誤ります（$x$${}= 2$ では $y^2$${}= -1$ となり、実数 $y$ がありません）。

$a$${}= 4$，最小値 $1$（$x$${}= 1$ のとき）

$f(x)$${}= (x - 1)^2$${}+ 1$ で、軸は直線 $x$${}= 1$ です。下に凸なので、最大値は軸から遠い端でとります。定義域の中央 $x$${}= \dfrac{a}{2}$ と軸を比べます。

(i) $0$${}< a$${}\leqq 2$ のとき：$\dfrac{a}{2}$${}\leqq 1$ なので、左端 $x$${}= 0$ が軸から遠く（$a$${}= 2$ では両端が同じ距離）、最大値は $f(0)$${}= 2$ です。これは $10$ になりません。

(ii) $a$${}> 2$ のとき：右端 $x$${}= a$ が軸から遠いので、最大値は $f(a)$ です。

$a$${}> 2$ より $\underline{a = 4}$ です。

このとき定義域 $0$${}\leqq x$${}\leqq 4$ は軸 $x$${}= 1$ を含むので、最小値は $\underline{f(1) = 1}$ です。

$t$${}< 1$ のとき $M(t)$${}= -t^2$${}+ 2t$${}+ 8$，$1$${}\leqq t$${}\leqq 3$ のとき $M(t)$${}= 9$，$t$${}> 3$ のとき $M(t)$${}= -t^2$${}+ 6t$

$f(x)$${}= -(x - 3)^2$${}+ 9$ で、上に凸、軸は直線 $x$${}= 3$ です。上に凸なので、軸が定義域に入れば頂点で最大、入らなければ軸に近い端で最大です。

(i) $t$${}+ 2$${}< 3$，つまり $t$${}< 1$ のとき：定義域は軸の左にあり、右端で最大です。

(ii) $t$${}\leqq 3$${}\leqq t$${}+ 2$，つまり $1$${}\leqq t$${}\leqq 3$ のとき：軸が定義域に入るので $M(t)$${}= f(3)$${}= 9$。

(iii) $t$${}> 3$ のとき：定義域は軸の右にあり、左端で最大です。

まとめると

• $t$${}< 1$ のとき $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}M(t) = -t^2}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ 2t}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ 8}$
• $1$${}\leqq t$${}\leqq 3$ のとき $\underline{M(t) = 9}$
• $t$${}> 3$ のとき $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}M(t) = -t^2}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ 6t}$

確かめ：$t$${}= 1$ で $-1$${}+ 2$${}+ 8$${}= 9$，$t$${}= 3$ で $-9$${}+ 18$${}= 9$ となり、境目で値がつながっています。

$a$${}= \dfrac{1}{3},$$\ 3$

$f(x)$${}= (x - a)^2$${}- a^2$${}+ a$ で、下に凸、軸は直線 $x$${}= a$ です。最大値は軸から遠い端でとるので、定義域の中央 $x$${}= 1$ と軸を比べます。

(i) $a$${}\leqq 1$ のとき：右端 $x$${}= 2$ が軸から遠い（$a$${}= 1$ では両端が同じ距離）ので、最大値は

$4$${}- 3a$${}= 3$ より $a$${}= \dfrac{1}{3}$ で、これは $a$${}\leqq 1$ を満たします。

(ii) $a$${}> 1$ のとき：左端 $x$${}= 0$ が軸から遠いので、最大値は $f(0)$${}= a$ です。$a$${}= 3$ で、これは $a$${}> 1$ を満たします。

よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}a = \dfrac{1}{3},}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 3}$ です。

確かめ：$a$${}= \dfrac{1}{3}$ なら $f(0)$${}= \dfrac{1}{3}$，$f(2)$${}= 3$。$a$${}= 3$ なら $f(0)$${}= 3$，$f(2)$${}= -5$。どちらも最大値は $3$ です。

$f(x)$${}= -2(x + 1)(x - 3)$（$= -2x^2$${}+ 4x$${}+ 6$）

$f(x)$${}= a(x + 1)(x - 3) \ (a \neq 0)$ とおきます。軸は 2 つの交点の真ん中の直線 $x$${}= 1$ で、定義域 $0$${}\leqq x$${}\leqq 3$ に入っています。

(i) $a$${}> 0$ のとき：下に凸で、$0$${}\leqq x$${}\leqq 3$ では $(x + 1)$${}> 0$，$(x - 3)$${}\leqq 0$ なので $f(x)$${}\leqq 0$ です。最大値が $8$ になることはありません。

(ii) $a$${}< 0$ のとき：上に凸で、軸が定義域に入るので頂点で最大です。

これは $a$${}< 0$ を満たします。よって $\underline{f(x) = -2(x + 1)(x - 3)}$（$= -2x^2$${}+ 4x$${}+ 6$）です。