第24章　準1級 合成関数・逆関数

$f^{-1}(x)$${}= \dfrac{-2x - 1}{x - 4}$

$f(x)$${}= 4$${}- \dfrac{9}{x + 2}$ なので、値域は $y$${}\neq 4$ です。$y$${}= \dfrac{4x - 1}{x + 2}$ の分母を払って $x$ について解きます。

$x$ と $y$ を入れかえて

定義域 $x$${}\neq 4$ は分母の条件と同じなので、書き添えなくてもかまいません。確かめ：$f(0)$${}= -\dfrac{1}{2}$，$f^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$${}= \dfrac{0}{-\frac{9}{2}}$${}= 0$ です。

$f^{-1}(x)$${}= -\dfrac{1}{2}x^2$${}+ 3$$(x \geqq 0)$

$f(x)$ の定義域は $x$${}\leqq 3$、値域は $y$${}\geqq 0$ です。$y$${}= \sqrt{6 - 2x}$ の両辺を2乗すると $y^2$${}= 6$${}- 2x$ なので

$x$ と $y$ を入れかえ、定義域にもとの値域 $x$${}\geqq 0$ を添えます。

$(x \geqq 0)$ を落とすと放物線全体になり、$y$${}= f(x)$ の値域と合いません。

$f^{-1}(x)$${}= -\sqrt{x + 4}$${}- 3$$(x \geqq -4)$

$f(x)$${}= (x + 3)^2$${}- 4$ です。$x$${}\leqq -3$ ではグラフは右下がりで、値域は $y$${}\geqq -4$ です。

$y$${}= (x + 3)^2$${}- 4$ より $(x + 3)^2$${}= y$${}+ 4$。$x$${}\leqq -3$ より $x$${}+ 3$${}\leqq 0$ なので、$x$${}+ 3$${}= -\sqrt{y + 4}$（$+\sqrt{y + 4}$ のほうは選びません）。

$x$ と $y$ を入れかえて

$f^{-1}(2)$${}= 1$，$f^{-1}(-13)$${}= -2$

$f^{-1}(b)$${}= a$${}\iff f(a)$${}= b$ なので、逆関数の式は作らずに $f(x)$${}= b$ を解きます。$x^3$ も $2x$ も右上がりなので、$f(x)$ は右上がりで、解はそれぞれ1つだけです。

• $f(x)$${}= 2$：$x^3$${}+ 2x$${}- 3$${}= 0$，$(x - 1)(x^2 + x + 3)$${}= 0$。実数解は $x$${}= 1$ です。
• $f(x)$${}= -13$：$x^3$${}+ 2x$${}+ 12$${}= 0$，$(x + 2)(x^2 - 2x + 6)$${}= 0$。実数解は $x$${}= -2$ です。

$(g \circ f)(x)$${}= 2x^2$${}- 6x$${}+ 1$，$(f \circ g)(x)$${}= 4x^2$${}- 2x$${}- 2$

$(g \circ f)(x)$ は「先に $f$、後から $g$」です。$g(x)$ の $x$ を、かたまり $f(x)$ に置きかえます。

$(f \circ g)(x)$ は「先に $g$、後から $f$」です。

順番を入れかえると別の関数になります。

$k$${}= 0,$${}\ -3$

値は内側から計算します。

• $(g \circ f)(3)$${}= g(f(3))$${}= g(3)$${}= 3$${}+ k$
• $(f \circ g)(3)$${}= f(3 + k)$${}= (3 + k)^2$${}- 2(3 + k)$${}= k^2$${}+ 4k$${}+ 3$

等しいので $3$${}+ k$${}= k^2$${}+ 4k$${}+ 3$，$k^2$${}+ 3k$${}= 0$，$k(k + 3)$${}= 0$。

$k$${}= -3$ のとき、どちらも $0$ になります。

$(g \circ f)^{-1}(x)$${}= \dfrac{3}{2}x$${}+ 1$

まず合成関数を作ります。

$y$${}= \dfrac{2}{3}x$${}- \dfrac{2}{3}$ を $x$ について解くと $x$${}= \dfrac{3}{2}y$${}+ 1$。$x$ と $y$ を入れかえて

確かめ：$g^{-1}(x)$${}= 3x$${}- 3$，$f^{-1}(x)$${}= \dfrac{x + 5}{2}$ で、$(f^{-1} \circ g^{-1})(x)$${}= \dfrac{(3x - 3) + 5}{2}$${}= \dfrac{3}{2}x$${}+ 1$。後から使った $g$ を先に取り消す形 $(g \circ f)^{-1}$${}= f^{-1} \circ g^{-1}$ と一致します。

$a$${}= -5$，$b$${}= 19$

$y$${}= f(x)$ が点 $(2,\ 3)$ を通るので $f(2)$${}= 3$。$y$${}= f^{-1}(x)$ が点 $(2,\ 3)$ を通る $\iff f^{-1}(2)$${}= 3$${}\iff f(3)$${}= 2$ です。

2乗して $2a$${}+ b$${}= 9$，$3a$${}+ b$${}= 4$。引くと $a$${}= -5$，$b$${}= 19$。

このとき $f(x)$${}= \sqrt{-5x + 19}$ は右下がりで逆関数をもち、$f(2)$${}= \sqrt{9}$${}= 3$，$f(3)$${}= \sqrt{4}$${}= 2$ です。

$f^{-1}(x)$${}= \begin{cases} \dfrac{x + 1}{3} & (x \geqq 2) \\[2mm] x - 1 & (x < 2) \end{cases}$

絶対値を外す

• $x$${}\geqq 1$ のとき：$f(x)$${}= 2x$${}+ (x - 1)$${}= 3x$${}- 1$。値の範囲は $f(x)$${}\geqq 2$ です。
• $x$${}< 1$ のとき：$f(x)$${}= 2x$${}- (x - 1)$${}= x$${}+ 1$。値の範囲は $f(x)$${}< 2$ です。

逆関数をもつこと　どちらの区間でも傾きが正で、$x$${}= 1$ で2つの直線はつながっている（どちらの式でも $f(1)$${}= 2$）ので、$y$${}= f(x)$ のグラフは全体で右上がりです。よって異なる $x$ には異なる $y$ が対応し（1対1）、$f(x)$ は逆関数をもちます。値域は実数全体です。

逆関数を求める

• $y$${}\geqq 2$ のとき：$y$${}= 3x$${}- 1$ より $x$${}= \dfrac{y + 1}{3}$
• $y$${}< 2$ のとき：$y$${}= x$${}+ 1$ より $x$${}= y$${}- 1$

$x$ と $y$ を入れかえて

区切りは、もとの関数の区切り $x$${}= 1$ ではなく、その値 $f(1)$${}= 2$ になります。

$(g \circ f)(x)$ の値域は $y$${}\geqq -1$，$(f \circ g)(x)$ の値域は $y$${}\geqq \dfrac{1}{2}$

$(g \circ f)(x)$（先に $f$、後から $g$）

$t$${}= 2^x$ とおくと、$t$ のとりうる値は $t$${}> 0$ です。

$t$${}= 1$（$x$${}= 0$）で最小値 $-1$ をとり、$t$ を大きくすると限りなく大きくなります。よって値域は $\underline{y \geqq -1}$ です。

$(f \circ g)(x)$（先に $g$、後から $f$）

$u$${}= x^2$${}- 2x$${}= (x - 1)^2$${}- 1$ とおくと、$u$ のとりうる値は $u$${}\geqq -1$ です。$2^u$ は $u$ について右上がりなので、値域は $2^u$${}\geqq 2^{-1}$、つまり $\underline{y \geqq \dfrac{1}{2}}$ です。

どちらも「内側のかたまりの範囲 → 外側の関数」の順に調べます。$t$${}> 0$ を書かずに $g(x)$${}= x^2$${}- 2x$ の値域 $y$${}\geqq -1$ をそのまま答えると、今回はたまたま合っても、答案としては根拠が足りません。

$f(x)$${}= x^2$${}- 2x$${}+ 2$$(x \neq 1)$

内側のかたまりを $t$ とおきます。

$x$${}\neq 0$ のとき $\dfrac{1}{x}$ は $0$ 以外のすべての値をとるので、$t$ のとりうる値は $t$${}\neq 1$ です。

$\dfrac{1}{x}$${}= t$${}- 1$ なので、$\dfrac{1}{x^2}$${}= (t - 1)^2$。よって

文字を $x$ に書きかえて

$t$${}= 1$ になる $x$ は無いので、$f(1)$ の値はこの条件からは決まりません。定義域から $1$ を除くのはそのためです。

$f(x)$${}= 2x$${}- 3$，$f(x)$${}= -2x$${}+ 9$

$f(x)$ の $x$ を、かたまり $f(x)$ に置きかえます。

これが $4x$${}- 9$ とすべての $x$ で等しいので、係数を比べて

• $a$${}= 2$ のとき：$3b$${}= -9$ より $b$${}= -3$
• $a$${}= -2$ のとき：$-b$${}= -9$ より $b$${}= 9$

確かめ：$-2(-2x + 9)$${}+ 9$${}= 4x$${}- 9$ です。傾きは合成で掛け算になる（$a \times a$${}= 4$）ので、傾きが負の $f$ も見落とさないようにします。

$a$${}= -7$，$b$${}= -3$

$f(f(x))$${}= x$ がすべての $x$ で成り立つことは、$f^{-1}$${}= f$（自分自身が逆関数）と同じです。

逆関数を求める　$y$${}= \dfrac{3x + a}{x + b}$ の分母を払うと $y(x + b)$${}= 3x$${}+ a$，$(y - 3)x$${}= a$${}- by$ なので