第5章　逆関数

逆関数——出力から入力へ戻る関数

関数 $y$${}= f(x)$ は、入力 $x$ を 1 つ決めると出力 $y$ が 1 つ決まる仕組みでした。ここでは向きを逆にして、「出力 $y$ を見て、入力 $x$ を当てる」ことを考えます。

$y$${}= 2x$${}+ 1$ なら、$y$${}= 7$ を見て $x$${}= 3$ と当てられます。$x$ について解いた式 $x$${}= \dfrac{y - 1}{2}$ を使えば、どの $y$ からでも $x$ がただ 1 つ求まるからです。このように、$y$ の値から $x$ の値がただ 1 つに決まるとき、その対応「$y$${}\mapsto x$」も関数になります。これを、文字をいつもの向き（入力が $x$，出力が $y$）に書き直したものが逆関数です。

$f$ の逆関数を $f^{-1}$ と書き、「エフ・インバース」と読みます。$f^{-1}(x)$ は $\dfrac{1}{f(x)}$ のことではないので、注意してください。

大事なのは、入力と出力が入れかわるので、定義域と値域も入れかわることです。もとの関数の値域（出てくる $y$ の範囲）が、逆関数の定義域（入れてよい $x$ の範囲）になります。

公式1：逆関数の求め方

関数 $y$${}= f(x)$ で、値域のどの $y$ に対しても $x$ がただ 1 つ決まるとき、次の手順で逆関数 $y$${}= f^{-1}(x)$ を求める。

1. もとの関数の値域を求める
2. $y$${}= f(x)$ を $x$ について解き、$x$${}= g(y)$ の形にする
3. $x$ と $y$ を入れかえて $y$${}= g(x)$ とする。定義域は 1. の値域

$\displaystyle f^{-1} \text{ の定義域}$$\displaystyle {}= f \text{ の値域},$$\displaystyle f^{-1} \text{ の値域}$$\displaystyle {}= f \text{ の定義域}$

逆関数の答えには、定義域をかっこで添えます。もとの関数の値域が実数全体のときや、分数関数のように式から自然に決まるときは、省いてもかまいません。

劇場のクロークにコートを預けると、1 着ごとに違う番号の札を渡されます。帰りに札を出せば、係の人はその番号からコートを 1 着だけ取り出せます。「コート → 札」の対応が逆向きにたどれるのは、同じ番号の札が 2 枚ないからです。また、係の人が受けつけるのは実際に渡した番号の札だけで、渡していない番号を出されても返すコートがありません。これが「逆関数の定義域はもとの値域」にあたります。

逆関数とは、出力から入力をただ 1 つに戻す関数のことで、求めるときは $x$ について解いて $x$ と $y$ を入れかえ、定義域にはもとの関数の値域を書けばよいということです。

例題1：逆関数を求める

次の関数の逆関数を求めなさい。

(1) $y$${}= -2x$${}+ 4$（$0$${}\leqq x$${}\leqq 3$）

(2) $y$${}= \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

---

【解答】

(1) グラフは右下がりの線分なので、値域は両端の値から $-2$${}\leqq y$${}\leqq 4$ です（$x$${}= 0$ で $y$${}= 4$，$x$${}= 3$ で $y$${}= -2$）。$x$ について解くと

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= -\frac{1}{2}y$$\displaystyle {}+ 2$

$x$ と $y$ を入れかえて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = -\frac{1}{2}x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ 2 \quad (-2 \leqq x \leqq 4)}$

逆関数の値域は $0$${}\leqq y$${}\leqq 3$ で、もとの定義域と一致しています。

(2) 第1章 例題3 で、この関数の値域が $y$${}\neq 2$ であることを確かめました。分母を払って $x$ について整理すると

$\displaystyle y(x - 1)$$\displaystyle {}= 2x$$\displaystyle {}+ 1,$$\displaystyle xy$$\displaystyle {}- 2x$$\displaystyle {}= y$$\displaystyle {}+ 1,$$\displaystyle x(y - 2)$$\displaystyle {}= y$$\displaystyle {}+ 1$

$y$${}\neq 2$ なので、両辺を $y$${}- 2$ で割れます。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{y + 1}{y - 2}$

$x$ と $y$ を入れかえて

$$\underline{y = \frac{x + 1}{x - 2}}$$

定義域 $x$${}\neq 2$ は、もとの関数の値域 $y$${}\neq 2$ と一致します。分数関数の逆関数は、分母を $0$ にしない条件から定義域が自然に決まるので、かっこ書きは省きました。

逆関数のグラフ——直線 $y$${}= x$ について対称

逆関数の値を 1 つ求めるだけなら、逆関数の式は要りません。$f^{-1}(b)$ は「$f$ に入れると $b$ が出てくる $x$」のことなので、方程式 $f(x)$${}= b$ を解けば求まります。

$\displaystyle f^{-1}(b)$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}\iff f(a)$$\displaystyle {}= b$

これを座標で言いかえると、「点 $(a,\ b)$ が $y$${}= f(x)$ のグラフ上にある」ことと「点 $(b,\ a)$ が $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフ上にある」ことが同じになります。座標を入れかえた 2 点は直線 $y$${}= x$ について対称なので（指数関数・対数関数の分野 第5章）、2 つのグラフも $y$${}= x$ について対称です。

公式2：逆関数の値とグラフ

$\displaystyle f^{-1}(b)$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}\iff f(a)$$\displaystyle {}= b$

• 点 $(a,\ b)$ が $y$${}= f(x)$ のグラフ上にある $\iff$ 点 $(b,\ a)$ が $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフ上にある
• $y$${}= f(x)$ のグラフと $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフは、直線 $y$${}= x$ について対称である

九九の表を、左上の角から右下の角へ引いた斜めの線で折ることを想像してください。「3 の段の 5 列目」のマスと「5 の段の 3 列目」のマスがぴったり重なり、どちらにも $15$ が書いてあります。行と列を入れかえた位置が、折り目について対称な位置です。グラフでは、この折り目が直線 $y$${}= x$ にあたります。

$f^{-1}(b)$ は方程式 $f(a)$${}= b$ を解けば求まり、逆関数のグラフはもとのグラフの点の座標を入れかえたもの、つまり直線 $y$${}= x$ で折り返したものだということです。

例題2：逆関数の値とグラフが通る点

(1) $f(x)$${}= \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ のとき、$f^{-1}(5)$ の値を求めなさい。

(2) $f(x)$${}= \sqrt{ax + b}$ とします。$y$${}= f(x)$ のグラフと $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフがどちらも点 $(1,\ 2)$ を通るとき、定数 $a$，$b$ の値を求めなさい。

---

【解答】

(1) $f^{-1}(5)$ は $f(x)$${}= 5$ を満たす $x$ です。

$\displaystyle \frac{2x + 1}{x - 1}$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 5x$$\displaystyle {}- 5,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 2$

$x$${}= 2$ は分母を $0$ にしないので、$\underline{f^{-1}(5) = 2}$。例題1(2) の逆関数に $x$${}= 5$ を代入しても $\dfrac{6}{3}$${}= 2$ となり、一致します。

(2) $y$${}= f(x)$ が点 $(1,\ 2)$ を通るので $f(1)$${}= 2$。$y$${}= f^{-1}(x)$ が点 $(1,\ 2)$ を通るので、公式2 より $y$${}= f(x)$ は点 $(2,\ 1)$ を通り、$f(2)$${}= 1$ です。

$\displaystyle \sqrt{a + b}$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle \sqrt{2a + b}$$\displaystyle {}= 1$

右辺はどちらも正なので、2 乗して $a$${}+ b$${}= 4$，$2a$${}+ b$${}= 1$。これを解いて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = -3,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 7}$

確かめ：$f(x)$${}= \sqrt{-3x + 7}$ で、$f(1)$${}= \sqrt{4}$${}= 2$，$f(2)$${}= \sqrt{1}$${}= 1$。

1 対 1 でないとき——定義域を区切って逆関数を作る

$y$${}= x^2$ で $y$${}= 4$ を見ても、入力は $x$${}= 2$ か $x$${}= -2$ か決められません。このように、異なる $x$ から同じ $y$ が出てくることがある関数には、逆関数がありません。

異なる $x$ にはいつも異なる $y$ が対応するとき、その関数は 1 対 1 であるといいます。逆関数があるのは、1 対 1 の関数だけです。右上がりだけ、または右下がりだけのグラフになる関数は、同じ高さを 2 回通らないので 1 対 1 です。

1 対 1 でない関数でも、定義域を区切れば逆関数を作れます。$y$${}= x^2$ の定義域を $x$${}\geqq 0$ に限ると、右上がりだけのグラフになり、$x$${}= \sqrt{y}$ とただ 1 つに解けます。こうしてできる逆関数が $y$${}= \sqrt{x}$ です（図1）。第3章で「$y$${}= \sqrt{x}$ は放物線 $x$${}= y^2$ の上半分」と言ったのは、このことでした。

公式3：1 対 1 と逆関数

• 関数 $f$ が逆関数をもつのは、$f$ が 1 対 1（$x_1$${}\neq x_2$ ならば $f(x_1)$${}\neq f(x_2)$）のときである
• 定義域でグラフが右上がりだけ、または右下がりだけの関数は 1 対 1 である
• 1 対 1 でない関数は、定義域を右上がりだけ（または右下がりだけ）の範囲に区切ると、逆関数が作れる

2 乗をふくむ式を $x$ について解くときは、区切った定義域から $x$ の符号（または $x$${}- p$ の符号）を決めて、根号の前の $\pm$ を 1 つに選ぶ。

無理関数の逆関数では、向きが逆になります。$y$${}= \sqrt{x - 1}$ を $x$ について解くと $x$${}= y^2$${}+ 1$ ですが、逆関数を $y$${}= x^2$${}+ 1$ とだけ書くと、$x$${}< 0$ の部分まで入ってしまい、1 対 1 でない関数になります。もとの関数の値域 $y$${}\geqq 0$ を、定義域として必ず添えます。

公園の太鼓橋（まん中が高く盛り上がった橋）で「今、高さ 1 m の所にいる」と聞いても、上り坂の途中か下り坂の途中かは分かりません。同じ高さの場所が左右に 1 つずつあるからです。「上り坂を歩いている」と分かっていれば、高さから場所が 1 つに決まります。定義域を区切るのは、この「上り坂だけ」と決めることにあたります。

逆関数が作れるのは 1 対 1 の関数だけで、そうでない関数は右上がりだけ（または右下がりだけ）の範囲に定義域を区切り、その範囲に合わせて $\pm$ を選べばよいということです。

例題3：定義域に気をつけて逆関数を求める

次の関数の逆関数を求めなさい。

(1) $y$${}= \sqrt{x - 1}$

(2) $y$${}= x^2$${}- 2x$（$x$${}\geqq 1$）

---

【解答】

(1) 値域は $y$${}\geqq 0$ です。両辺を 2 乗すると $y^2$${}= x$${}- 1$ なので、$x$${}= y^2$${}+ 1$。$x$ と $y$ を入れかえて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1199em}y = x^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1199em}{}+ 1 \quad (x \geqq 0)}$

グラフは、放物線 $y$${}= x^2$${}+ 1$ の右半分です。

(2) 平方完成すると $y$${}= (x - 1)^2$${}- 1$。定義域 $x$${}\geqq 1$ では右上がりなので 1 対 1 で、値域は $y$${}\geqq -1$ です。

$\displaystyle (x - 1)^2$$\displaystyle {}= y$$\displaystyle {}+ 1$

$x$${}\geqq 1$ より $x$${}- 1$${}\geqq 0$ なので、$x$${}- 1$${}= \sqrt{y + 1}$（$-\sqrt{y + 1}$ のほうは選びません）。よって $x$${}= \sqrt{y + 1}$${}+ 1$。$x$ と $y$ を入れかえて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1702em}y = \sqrt{x + 1}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1702em}{}+ 1 \quad (x \geqq -1)}$

逆関数は、端点 $(-1,\ 1)$ から右上がりに伸びる無理関数です。もとの関数の頂点 $(1,\ -1)$ と、座標が入れかわっています。

分数関数の逆関数——漸近線も入れかわる

例題1(2) で、$y$${}= \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ の逆関数は $y$${}= \dfrac{x + 1}{x - 2}$ でした。どちらも分数関数で、漸近線は次のように入れかわっています。

一般の形でも同じ計算ができます。$y$${}= \dfrac{ax + b}{cx + d}$（$c$${}\neq 0$，$ad$${}- bc$${}\neq 0$）の値域は $y$${}\neq \dfrac{a}{c}$ で、分母を払って $x$ について解くと

$\displaystyle x(cy - a)$$\displaystyle {}= -dy$$\displaystyle {}+ b,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{-dy + b}{cy - a}$

となります。逆関数は $y$${}= \dfrac{-dx + b}{cx - a}$ で、もとの式の $a$ と $d$ を入れかえて、両方の符号を変えた形です。

とくに $a$${}+ d$${}= 0$ のときは、$-d$${}= a$，$-a$${}= d$ なので、逆関数がもとの関数とまったく同じ式になります。グラフでいえば、十字の中心 $\left(-\dfrac{d}{c},\ \dfrac{a}{c}\right)$ が直線 $y$${}= x$ 上にあり、グラフ全体が $y$${}= x$ について対称になっている場合です。第1章の $y$${}= \dfrac{k}{x}$ も、$a$${}= d$${}= 0$ なのでこの仲間です。

公式4：分数関数の逆関数

$c$${}\neq 0$，$ad$${}- bc$${}\neq 0$ とする。

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{ax + b}{cx + d}$$\displaystyle \text{の逆関数は}$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{-dx + b}{cx - a}$

• 漸近線は、もとの $x$${}= -\dfrac{d}{c}$，$y$${}= \dfrac{a}{c}$ が、$x$${}= \dfrac{a}{c}$，$y$${}= -\dfrac{d}{c}$ に入れかわる
• 逆関数がもとの関数と一致するのは、$a$${}+ d$${}= 0$ のときである

公式4 は結果を確かめるのに使い、答案では例題1(2) のように、$x$ について解く手順で求めるのが確実です。

リバーシ（オセロ）の石をひっくり返す操作を考えます。ひっくり返した石をもとに戻したいとき、使う操作はやはり「ひっくり返す」です。操作とその取り消しが同じものになっている、というわけです。逆関数がもとの関数と一致する分数関数は、この「ひっくり返す」のような関数です。

分数関数の逆関数はまた分数関数になり、漸近線の十字が $y$${}= x$ で折り返され、$a$${}+ d$${}= 0$ なら逆関数がもとの関数そのものになるということです。

例題4：分数関数の逆関数

(1) 関数 $y$${}= \dfrac{x + 2}{2x - 1}$ の逆関数を求めなさい。

(2) $f(x)$${}= \dfrac{2x + b}{x + c}$ の逆関数がもとの関数と一致し、$f(3)$${}= 5$ であるとき、定数 $b$，$c$ の値を求めなさい。

---

【解答】

(1) 値域は $y$${}\neq \dfrac{1}{2}$ です。分母を払って $x$ について整理すると

$\displaystyle y(2x - 1)$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}+ 2,$$\displaystyle x(2y - 1)$$\displaystyle {}= y$$\displaystyle {}+ 2,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{y + 2}{2y - 1}$

$x$ と $y$ を入れかえて

$$\underline{y = \frac{x + 2}{2x - 1}}$$

逆関数は、もとの関数と同じ式です。$a$${}= 1$，$d$${}= -1$ で $a$${}+ d$${}= 0$ なので、公式4 のとおりです。十字の中心 $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)$ は直線 $y$${}= x$ 上にあります。

(2) 公式4 より、逆関数がもとの関数と一致するのは $a$${}+ d$${}= 0$，すなわち $2$${}+ c$${}= 0$ のときで、$c$${}= -2$。このとき $f(x)$${}= \dfrac{2x + b}{x - 2}$ なので

$\displaystyle f(3)$$\displaystyle {}= \frac{6 + b}{1}$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle b$$\displaystyle {}= -1$

$ad$${}- bc$${}= 2 \cdot (-2)$${}- (-1) \cdot 1$${}= -3$${}\neq 0$ で、たしかに分数関数です。よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}b = -1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}\ c = -2}$

確かめ：$y$${}= \dfrac{2x - 1}{x - 2}$ を $x$ について解くと $x(y - 2)$${}= 2y$${}- 1$，$x$${}= \dfrac{2y - 1}{y - 2}$ で、入れかえるともとの式に戻ります。

もとの関数と逆関数の共有点——増加する関数なら $y$${}= x$ の上

最後に、$y$${}= f(x)$ と $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフの共有点を求めます。まともに方程式 $f(x)$${}= f^{-1}(x)$ を立てると、式が複雑になりがちです。

ここで、$f$ のグラフが定義域で右上がりだけのときは、共有点がすべて直線 $y$${}= x$ 上にあることが示せます。共有点を $(a,\ b)$ とすると、$b$${}= f(a)$，かつ公式2 より $a$${}= f(b)$ です。もし $a$${}< b$ なら、右上がりなので $f(a)$${}< f(b)$，すなわち $b$${}< a$ となって矛盾します。$a$${}> b$ としても同じように矛盾するので、$a$${}= b$ です。

背の順に一列に並んだ列を考えます。違う 2 人が場所を交換すると、前にいる人のほうが背が高くなり、背の順が崩れます。交換しても崩れないのは「自分と自分」を交換したとき、つまり何も動かさないときだけです。右上がりの関数で、$x$ と $y$ を入れかえてもグラフに乗ったままの点が $y$${}= x$ 上に限られるのも、これと同じ理屈です。

公式5：もとの関数と逆関数のグラフの共有点

$f$ のグラフが定義域で右上がりだけのとき、$y$${}= f(x)$ と $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフの共有点は、すべて直線 $y$${}= x$ 上にある。したがって、共有点は

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle {}= x$

の解（ただし $x$ は $f$ の定義域の値）を求めればよい。

グラフが右下がりの関数では、$y$${}= x$ 上にない共有点が出ることがあります（実践問題 j20）。たとえば $y$${}= -x$${}+ 3$ は逆関数が自分自身なので、グラフ全体が共有点です。公式5 を使ってよいのは、右上がりの関数だけです。

右上がりの関数では、もとの関数と逆関数のグラフが出会うのは直線 $y$${}= x$ の上だけなので、$f(x)$${}= x$ を解けば共有点が求まるということです。

例題5：もとの関数と逆関数のグラフの共有点

$f(x)$${}= \sqrt{x - 1}$${}+ 1$ とします。

(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めなさい。

(2) $y$${}= f(x)$ と $y$${}= f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の座標を求めなさい。

---

【解答】

(1) 値域は $y$${}\geqq 1$ です。$\sqrt{x - 1}$${}= y$${}- 1$ の両辺を 2 乗して $x$${}= (y - 1)^2$${}+ 1$。$x$ と $y$ を入れかえて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1199em}f^{-1}(x) = (x - 1)^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1199em}{}+ 1 \quad (x \geqq 1)}$

(2) $f$ のグラフは右上がりなので、公式5 より $f(x)$${}= x$ を解きます。

$\displaystyle \sqrt{x - 1}$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= x,$$\displaystyle \sqrt{x - 1}$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}- 1$

右辺が $0$ 以上なので $x$${}\geqq 1$。両辺を 2 乗すると

$\displaystyle x$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= (x - 1)^2,$$\displaystyle (x - 1)(x - 2)$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle \ 2$

どちらも $x$${}\geqq 1$ を満たします。共有点は

$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(1,\ 1),}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (2,\ 2)}$

図3のとおり、どちらも直線 $y$${}= x$ 上にあります。$f(x)$${}= f^{-1}(x)$ をそのまま立てると $\sqrt{x - 1}$${}= (x - 1)^2$ となり、2 乗すると 4 次方程式になります。公式5 を使うと、第4章と同じ 2 次方程式で済みます。

この章のまとめ——逆関数を扱う 4 つの確認

逆関数は「$f$ で進んだ道を $f^{-1}$ で戻る」関数で、$f^{-1}(f(a))$${}= a$ が成り立ちます。このように関数を続けて使う考え方を、次の第6章で合成関数として扱います。