第1章　集合の要素の個数

要素の個数

場合の数と確率の分野は、「条件に合うものが何個あるか」を正しく数えることから始まります。その道具になるのが、数と式 第5章で学んだ集合です。まず、集合の要素の個数を表す記号を決めます。

公式1：要素の個数 $n(A)$

有限集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ と書く。

• 空集合の要素の個数は $n(\varnothing)$${}= 0$ である。
• $A$${}\subset B$ ならば $n(A)$${}\leqq n(B)$ である。
• 全体集合 $U$ の要素の個数は $n(U)$ と書く。

$n$ は「個数」を意味する英語 number の頭文字です。たとえば $A$${}= \{2,\ 4,\ 6,\ 8\}$ なら $n(A)$${}= 4$ です。$n(A)$ は要素が有限個の集合（有限集合）にだけ使い、自然数全体のような無限集合には使いません。

整数の範囲を数えるときは、端に注意します。$3$ から $10$ までの整数は $10$${}- 3$${}= 7$ 個ではなく、$3$ 自身も入るので $10$${}- 3$${}+ 1$${}= 8$ 個です。一般に、整数 $a$ から $b$ までの整数は $b$${}- a$${}+ 1$ 個です。

数えるという作業は、体育の授業の点呼に似ています。「$1$、$2$、$3$、…」と1人ずつ番号を言っていき、最後の人が言った番号がその列の人数です。同じ人が2回言ったり、言い忘れた人がいたりすると、人数が狂ってしまいます。1つずつ、重なりも抜けもなく番号を振ることが、数えることの中身です。

$n(A)$ は集合 $A$ の要素の個数で、要素に重なりも抜けもなく番号を振ったときの最後の番号だということです。

例題1：要素の個数

次の集合の要素の個数を求めなさい。

(1) $A$${}= \{x \mid x \text{ は } 48 \text{ の正の約数}\}$

(2) $B$${}= \{x \mid x \text{ は整数},\ -3 < x \leqq 6\}$

(3) $C$${}= \{x \mid x \text{ は } 2 \text{ 桁の自然数}\}$

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【解答】

(1) $48$${}= 1 \times 48$${}= 2 \times 24$${}= 3 \times 16$${}= 4 \times 12$${}= 6 \times 8$ より、$A$ の要素は $1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4,$$\ 6,$$\ 8,$$\ 12,$$\ 16,$$\ 24,$$\ 48$ です。$\underline{n(A) = 10}$ です。

(2) $-3$ は含まず、$6$ は含むので、$B$ の要素は $-2$ から $6$ までの整数です。$6$${}- (-2)$${}+ 1$${}= 9$ より $\underline{n(B) = 9}$ です。

(3) $10$ から $99$ までの整数なので、$99$${}- 10$${}+ 1$${}= 90$ より $\underline{n(C) = 90}$ です。

和集合の要素の個数

2つの集合を合わせた和集合の個数は、それぞれの個数を足すだけでは求まりません。

公式2：和集合の要素の個数

$\displaystyle n(A \cup B)$$\displaystyle {}= n(A)$$\displaystyle {}+ n(B)$$\displaystyle {}- n(A \cap B)$

特に、$A \cap B$${}= \varnothing$（$A$ と $B$ に共通な要素がない）のときは

$\displaystyle n(A \cup B)$$\displaystyle {}= n(A)$$\displaystyle {}+ n(B)$

$A$${}= \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$，$B$${}= \{4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\}$ で確かめます。$n(A)$${}+ n(B)$${}= 6$${}+ 5$${}= 11$ ですが、$A \cup B$${}= \{1,\ 2,\ \ldots,\ 8\}$ の要素は $8$ 個です。$3$ 個多いのは、共通部分 $A \cap B$${}= \{4,\ 5,\ 6\}$ の要素を、$A$ の側と $B$ の側で2回数えたからです。そこで $n(A \cap B)$ を1回引いて、$11$${}- 3$${}= 8$ と正しい個数になります。

吹奏楽部と合唱部の合同合宿を考えてみましょう。吹奏楽部が $25$ 人、合唱部が $18$ 人で、そのうち $4$ 人は両方の部に入っています。布団を $25$${}+ 18$${}= 43$ 枚用意すると、兼部の $4$ 人の分が余ります。名簿には2回ずつ載っていても、寝るのは1人1枚です。必要な布団は $43$${}- 4$${}= 39$ 枚です。

2つの集合の個数を足すと重なった部分を2回数えるので、共通部分の個数を1回引けばよいということです。

例題2：和集合の要素の個数

(1) $40$ 人のクラスで、数学の宿題を提出した人は $32$ 人、英語の宿題を提出した人は $27$ 人、両方とも提出した人は $22$ 人でした。少なくとも一方を提出した人の人数を求めなさい。

(2) $n(A \cup B)$${}= 50$，$n(A)$${}= 34$，$n(B)$${}= 29$ のとき、$n(A \cap B)$ を求めなさい。

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【解答】

(1) 数学を提出した人の集合を $A$、英語を提出した人の集合を $B$ とします。「少なくとも一方」は和集合 $A \cup B$ です。

$\displaystyle n(A \cup B)$$\displaystyle {}= 32$$\displaystyle {}+ 27$$\displaystyle {}- 22$$\displaystyle {}= 37$

より $\underline{37 \text{ 人}}$ です。

(2) 公式2に代入すると $50$${}= 34$${}+ 29$${}- n(A \cap B)$ なので

$\displaystyle n(A \cap B)$$\displaystyle {}= 34$$\displaystyle {}+ 29$$\displaystyle {}- 50$$\displaystyle {}= \underline{13}$

公式2は、4つの数のうち3つが分かれば残りの1つが求まる式として使えます。

補集合の要素の個数

「〜でないもの」は、直接数えるより、全体から引くほうが早いことがよくあります。

公式3：補集合の要素の個数

全体集合を $U$ とすると

$\displaystyle n(\overline{A})$$\displaystyle {}= n(U)$$\displaystyle {}- n(A)$

ド・モルガンの法則 $\overline{A} \cap \overline{B}$${}= \overline{A \cup B}$ と組み合わせると

$\displaystyle n(\overline{A} \cap \overline{B})$$\displaystyle {}= n(U)$$\displaystyle {}- n(A \cup B)$

また、「$A$ に属するが $B$ に属さない」要素の個数は

$\displaystyle n(A \cap \overline{B})$$\displaystyle {}= n(A)$$\displaystyle {}- n(A \cap B)$

$A$ と $\overline{A}$ は共通な要素がなく、合わせると $U$ になります。公式2の特別な場合として $n(A)$${}+ n(\overline{A})$${}= n(U)$ が成り立つので、1つめの式が出てきます。3つめの式は、$A$ の要素を「$B$ にも属するもの」と「$B$ に属さないもの」に分けて考えれば分かります。ベン図では $A$ の円のうち、$B$ と重ならない部分（$A$ だけの部分）の個数です。

映画館の空席を思い浮かべてください。$180$ 席の映画館で $143$ 席が予約済みなら、空席は $180$${}- 143$${}= 37$ 席です。空いている席を1つずつ探して数えるより、全体から引くほうが速くて確実です。「〜でない」を数えたくなったら、まず「全体 $-$ 〜である」を考えましょう。

「〜でないもの」の個数は全体から引いて求め、「どちらでもない」は全体から和集合を引く、「$A$ だけ」は $A$ から共通部分を引くということです。

例題3：補集合の要素の個数

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$，$B$ について、$n(U)$${}= 60$，$n(A)$${}= 25$，$n(B)$${}= 32$，$n(A \cap B)$${}= 10$ とする。

(1) $n(\overline{A})$ を求めなさい。

(2) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求めなさい。

(3) $n(A \cap \overline{B})$ を求めなさい。

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【解答】

(1) $n(\overline{A})$${}= 60$${}- 25$${}= \underline{35}$ です。

(2) まず $n(A \cup B)$${}= 25$${}+ 32$${}- 10$${}= 47$ です。ド・モルガンの法則より

$\displaystyle n(\overline{A} \cap \overline{B})$$\displaystyle {}= n(U)$$\displaystyle {}- n(A \cup B)$$\displaystyle {}= 60$$\displaystyle {}- 47$$\displaystyle {}= \underline{13}$

(3) $n(A \cap \overline{B})$${}= n(A)$${}- n(A \cap B)$${}= 25$${}- 10$${}= \underline{15}$ です。

確かめとして、ベン図の4つの部分（$A$ だけ $15$、$A \cap B$ が $10$、$B$ だけ $22$、どちらでもない $13$）を足すと、$15$${}+ 10$${}+ 22$${}+ 13$${}= 60$${}= n(U)$ になります。

倍数の個数

「$1$ から $100$ までの整数のうち $3$ の倍数」のような集合は、書き並べなくても個数が分かります。

公式4：倍数の個数

1. $1$ から $N$ までの整数のうち、$k$ の倍数の個数は、$N \div k$ の商（余りを切り捨てた整数）である。
2. $M$ から $N$ までの整数の範囲では、「$1$ から $N$ まで」の個数から「$1$ から $M$${}- 1$ まで」の個数を引く。
3. $a$ の倍数であり $b$ の倍数でもある数は、$a$ と $b$ の最小公倍数の倍数である。

$1$ から $100$ までの $3$ の倍数は $3 \times 1,$$\ 3 \times 2,$$\ \ldots,$$\ 3 \times 33$ です。$3 \times 34$${}= 102$ は $100$ を超えるので、ここで止まります。個数はかけている数 $1$〜$33$ の個数と同じ $33$ 個で、これは $100 \div 3$${}= 33$ 余り $1$ の商です。

3の注意は大切です。$4$ の倍数かつ $6$ の倍数である数は、$4 \times 6$${}= 24$ の倍数ではなく、最小公倍数 $12$ の倍数です。$12$ は $24$ の倍数ではありませんが、$4$ でも $6$ でも割り切れます。

100 段の階段に印をつける場面で考えます。$3$ 段ごとに赤い印をつけると、印は $33$ か所です。さらに $4$ 段ごとに青い印をつけると、赤と青の両方がつくのは $12$ 段目、$24$ 段目、…と $12$ 段ごとで、$8$ か所あります。ところが「$4$ 段ごと」と「$6$ 段ごと」の組なら、両方がつくのは $24$ 段ごとではなく $12$ 段ごとです。重なりの間隔は、かけ算ではなく最小公倍数で決まります。

$1$ から $N$ までの $k$ の倍数は $N \div k$ の商の個数で、2つの数の両方の倍数は最小公倍数の倍数として数えるということです。

例題4：倍数の個数

(1) $1$ から $200$ までの整数のうち、$7$ の倍数の個数を求めなさい。

(2) $100$ から $300$ までの整数のうち、$8$ の倍数の個数を求めなさい。

(3) $1$ から $200$ までの整数のうち、$4$ の倍数または $6$ の倍数であるものの個数を求めなさい。

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【解答】

(1) $200 \div 7$${}= 28$ 余り $4$ なので、$\underline{28 \text{ 個}}$ です。

(2) $1$ から $300$ までの $8$ の倍数は、$300 \div 8$${}= 37$ 余り $4$ より $37$ 個です。$1$ から $99$ までの $8$ の倍数は、$99 \div 8$${}= 12$ 余り $3$ より $12$ 個です。よって $37$${}- 12$${}= \underline{25 \text{ 個}}$ です。

うっかり「$1$ から $100$ まで」を引くと、$100$ がもし $8$ の倍数だった場合に、範囲に入るはずの $100$ まで引いてしまいます。引くのは「$M$${}- 1$ まで」と覚えておきましょう。

(3) $4$ の倍数の集合を $A$、$6$ の倍数の集合を $B$ とします。$A \cap B$ は $4$ と $6$ の最小公倍数 $12$ の倍数の集合です。

$\displaystyle n(A)$$\displaystyle {}= 50,$$\displaystyle n(B)$$\displaystyle {}= 33,$$\displaystyle n(A \cap B)$$\displaystyle {}= 16$

（$200 \div 4$${}= 50$，$200 \div 6$${}= 33$ 余り $2$，$200 \div 12$${}= 16$ 余り $8$）より

$\displaystyle n(A \cup B)$$\displaystyle {}= 50$$\displaystyle {}+ 33$$\displaystyle {}- 16$$\displaystyle {}= \underline{67 \text{ 個}}$

3つの集合の和集合の要素の個数

集合が3つになっても、「重なりを数えすぎたら引く」という考え方は同じです。ただし、引きすぎた分を最後に足し戻す必要があります。

公式5：3つの集合の和集合の要素の個数

$\displaystyle n(A \cup B \cup C) = {}$$\displaystyle n(A)$$\displaystyle {}+ n(B)$$\displaystyle {}+ n(C)$$\displaystyle {}- n(A \cap B)$$\displaystyle {}- n(B \cap C)$$\displaystyle {}- n(C \cap A)$$\displaystyle {}+ n(A \cap B \cap C)$

ベン図の7つの部分それぞれについて、右辺で何回数えられるかを確かめます。

• 1つの集合だけに入る部分（例：$A$ だけ）：$n(A)$ で1回足されるだけなので、$1$ 回。
• ちょうど2つに入る部分（例：$A$ と $B$ だけ）：$n(A)$，$n(B)$ で2回足され、$n(A \cap B)$ で1回引かれて $2$${}- 1$${}= 1$ 回。
• 3つすべてに入る真ん中：3回足され、2つずつの共通部分で3回引かれて $0$ 回になってしまうので、$n(A \cap B \cap C)$ で足し戻して $3$${}- 3$${}+ 1$${}= 1$ 回。

どの部分もちょうど1回ずつ数えられるので、和集合の個数になります。このように「いったん全部含めてから、重なりを除き、除きすぎを戻す」数え方を包除原理といいます。

赤・青・黄の3枚の色セロハンを少しずつずらして重ねたところを想像してください。3枚の面積を足すと、2枚が重なった部分は2回、3枚が重なった真ん中は3回数えています。2枚ずつの重なりの面積を引くと、2枚重なりの部分はちょうど1回に戻りますが、真ん中は3回とも引かれて $0$ 回になります。だから最後に、真ん中の面積を1回足し戻すのです。

3つの集合では、1つずつの個数を足し、2つずつの共通部分を引き、3つの共通部分を足し戻すと、どの部分もちょうど1回ずつ数えられるということです。

例題5：3つの集合と倍数

$1$ から $200$ までの整数について、次の個数を求めなさい。

(1) $3$，$4$，$5$ の少なくとも1つで割り切れる数

(2) $3$，$4$，$5$ のどれでも割り切れない数

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【解答】

$3$，$4$，$5$ の倍数の集合をそれぞれ $A$，$B$，$C$ とします。2つずつの最小公倍数は $12$，$20$，$15$、3つの最小公倍数は $60$ です。

$\displaystyle n(A)$$\displaystyle {}= 66,$$\displaystyle \quad n(B)$$\displaystyle {}= 50,$$\displaystyle \quad n(C)$$\displaystyle {}= 40$$\displaystyle n(A \cap B)$$\displaystyle {}= 16,$$\displaystyle \quad n(B \cap C)$$\displaystyle {}= 10,$$\displaystyle \quad n(C \cap A)$$\displaystyle {}= 13$$\displaystyle n(A \cap B \cap C)$$\displaystyle {}= 3$

（それぞれ $200$ を $3$，$4$，$5$，$12$，$20$，$15$，$60$ で割った商です。）

(1) 公式5より

$\displaystyle n(A \cup B \cup C)$$\displaystyle {}= (66 + 50 + 40)$$\displaystyle {}- (16 + 10 + 13)$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= 156$$\displaystyle {}- 39$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= \underline{120 \text{ 個}}$

(2) ド・モルガンの法則より、どれでも割り切れない数は $A \cup B \cup C$ の補集合です。

$\displaystyle 200$$\displaystyle {}- 120$$\displaystyle {}= \underline{80 \text{ 個}}$

表で整理する

アンケートの結果などは、ベン図のほかに「表」で整理すると見通しがよくなります。

公式6：2つの分け方の表

全体集合 $U$ を、「$A$ に属するか」と「$B$ に属するか」の2つの分け方で4つに分け、次の表にまとめる。

	$B$	$\overline{B}$	計
$A$	$n(A \cap B)$	$n(A \cap \overline{B})$	$n(A)$
$\overline{A}$	$n(\overline{A} \cap B)$	$n(\overline{A} \cap \overline{B})$	$n(\overline{A})$
計	$n(B)$	$n(\overline{B})$	$n(U)$

1. 横に足すと右の「計」に、縦に足すと下の「計」になる。
2. 4つのますの数はどれも $0$ 以上である。ここから $n(A \cap B)$ の取りうる範囲が分かる。

表の4つのますは、ベン図の4つの部分（$A$ だけ、$A \cap B$、$B$ だけ、どちらでもない）と同じものです。表の良さは、足し算の関係が縦と横にそろって見えることです。分かっている数を書き込み、空いたますを引き算で埋めていけば、残りが順に決まります。

2は、共通部分の個数の最大・最小を考えるときに役立ちます。$n(A \cap B)$${}= x$ とおくと、4つのますは $x$，$n(A)$${}- x$，$n(B)$${}- x$，$n(U)$${}- n(A)$${}- n(B)$${}+ x$ と表せます。これらがすべて $0$ 以上になる範囲が、$x$ の取りうる範囲です。

• 最大：$x$${}\leqq n(A)$ かつ $x$${}\leqq n(B)$ なので、$n(A)$ と $n(B)$ の小さいほうが最大です（小さいほうの集合がもう一方にすっぽり入るとき）。
• 最小：$x$${}\geqq n(A)$${}+ n(B)$${}- n(U)$ です。これが負のときは、$x$${}\geqq 0$ のほうが効いて最小は $0$ です。

学食の注文の集計表を例にとります。お昼の $120$ 食を「ご飯もの／麺類」と「大盛り／普通」で分けて表にすると、厨房は「麺類の大盛りは何食か」を、麺類の合計から麺類の普通を引いてすぐに出せます。縦の合計と横の合計が同じ $120$ になることが、書き間違いのチェックにもなります。

2つの分け方で全体を4つのますに分けると、縦と横の合計から空いたますが埋まり、どのますも $0$ 以上であることから共通部分の最大・最小も分かるということです。

例題6：表で整理する

(1) ある高校の生徒 $80$ 人のうち、自転車で通学している人は $45$ 人、女子は $36$ 人、自転車で通学している女子は $15$ 人です。自転車で通学していない男子の人数を求めなさい。

(2) $40$ 人のクラスで、兄がいる人は $25$ 人、姉がいる人は $22$ 人です。兄と姉の両方がいる人の人数として考えられる最大の数と最小の数を求めなさい。

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【解答】

(1) 分かっている数を表に書き込み、空いたますを埋めます。男子は $80$${}- 36$${}= 44$ 人、自転車で通学している男子は $45$${}- 15$${}= 30$ 人です。

	自転車	自転車でない	計
男子	$30$	$\mathbf{14}$	$44$
女子	$15$	$21$	$36$
計	$45$	$35$	$80$

自転車で通学していない男子は $44$${}- 30$${}= \underline{14 \text{ 人}}$ です。縦に見ても、$35$${}- 21$${}= 14$ と一致します。

(2) 兄がいる人の集合を $A$、姉がいる人の集合を $B$ とし、$n(A \cap B)$${}= x$ とおきます。4つのますは

$\displaystyle x,$$\displaystyle 25$$\displaystyle {}- x,$$\displaystyle 22$$\displaystyle {}- x,$$\displaystyle 40$$\displaystyle {}- 25$$\displaystyle {}- 22$$\displaystyle {}+ x$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}- 7$

で、すべて $0$ 以上なので $7$${}\leqq x$${}\leqq 22$ です。

$x$${}= 22$ は、姉がいる $22$ 人が全員兄もいるとき、$x$${}= 7$ は、兄も姉もいない人が $0$ 人のときに実現します。よって $\underline{\text{最大 } 22 \text{ 人、最小 } 7 \text{ 人}}$ です。