第5章　円の接線と方べきの定理

この章で使う言葉と記号

円と直線の話に入る前に、言葉をそろえておきます。

• 接する・接線・接点：直線が円とただ 1 点だけを共有するとき、直線は円に接するといい、その直線を接線、共有点を接点と呼びます。
• 割線：円と 2 点で交わる直線。円の内側に入った部分が弦です。
• 接線の長さ：円の外の点 $P$ から接線を引き、接点を $A$ とするときの線分 $PA$ の長さ。

記号は第4章と同じく、円は $O$、半径は $r$（2 つの円を比べるときは $r$ と $r'$）、中心 $O$ と直線 $\ell$ の距離は $d$ と書きます。

円と直線の位置関係——距離と半径を比べる

円 $O$ と直線 $\ell$ の関係は、3 通りしかありません。どれになるかは、$O$ から $\ell$ に下ろした垂線の長さ $d$ と、半径 $r$ の大小で決まります。

垂線の足を $H$ とすると、$\ell$ 上の点のうち $O$ にいちばん近いのは $H$ です（$\ell$ 上のほかの点 $X$ は、直角三角形 $OHX$ の斜辺の端なので $OX$${}> OH$）。

• $d$${}> r$ なら、いちばん近い $H$ でさえ円の外。$\ell$ は円と共有点をもちません。
• $d$${}= r$ なら、$H$ だけが円の上。ほかの点はすべて外なので、共有点は $H$ ただ 1 つ。これが「接する」です。
• $d$${}< r$ なら、$H$ は円の内側。$\ell$ は円を突き抜け、共有点は 2 つです。

$d$${}= r$ のときの接点は垂線の足そのものなので、接線は接点を通る半径に垂直です。

公式1：円と直線の位置関係・接線と半径

半径 $r$ の円 $O$ と直線 $\ell$ について、$O$ と $\ell$ の距離を $d$ とすると

$d$ と $r$	位置関係	共有点
$d > r$	離れている	0 個
$d = r$	接する	1 個
$d < r$	2 点で交わる	2 個

円の接線は、接点を通る半径に垂直である。逆に、円周上の点 $A$ を通り半径 $OA$ に垂直な直線は、$A$ における接線である。

ボールを壁ぎわへ転がしていくところを思い浮かべてください。ボールの中心と壁の距離が半径より大きいうちは、まだ壁に触れていません。距離がちょうど半径になった瞬間、ボールは壁に 1 点だけで触れます。そのとき、中心から触れている点へ引いた線は、壁にまっすぐ突き当たっています。斜めに当たっていたら、もっと近い点が壁にあるはずだからです。

円と直線の関係は「中心までの距離」と「半径」の比べっこで決まり、ぴったり等しいときの接線は半径と直角に交わるということです。

接線の長さ——2 本の接線は同じ長さ

円の外の点 $P$ からは、接線がちょうど 2 本引けます。接点を $A$，$B$ とすると、$\angle OAP$${}= \angle OBP$${}= 90^\circ$（公式1）。直角三角形 $OAP$ と $OBP$ は、斜辺 $OP$ が共通で、$OA$${}= OB$（半径）です。斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので合同になり

$\displaystyle PA$$\displaystyle {}= PB,$$\displaystyle \angle APO$$\displaystyle {}= \angle BPO$

が出ます。第2章・第3章で「中学で学んだ事実」として使ってきた接線の長さの等しさは、この合同が根拠です。

この事実を 4 回使うと、四角形についておもしろい条件が出ます。四角形 $ABCD$ の 4 つの辺すべてに接する円があるとき（円に外接する四角形）、各頂点から接点までの長さを $a$，$b$，$c$，$d$ とすると、4 つの辺は

$\displaystyle AB$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ b,$$\displaystyle BC$$\displaystyle {}= b$$\displaystyle {}+ c,$$\displaystyle CD$$\displaystyle {}= c$$\displaystyle {}+ d,$$\displaystyle DA$$\displaystyle {}= d$$\displaystyle {}+ a$

と書けます。向かい合う辺の和を作ると、どちらも $a$${}+ b$${}+ c$${}+ d$ です。

公式2：接線の長さ・円に外接する四角形

1. 円の外の点 $P$ から引いた 2 本の接線の接点を $A$，$B$ とすると $\displaystyle PA$$\displaystyle {}= PB$ また、直線 $PO$ は $\angle APB$ を 2 等分し、弦 $AB$ と垂直に交わる。
2. 四角形 $ABCD$ が円に外接するならば、向かい合う辺の長さの和は等しい。 $\displaystyle AB$$\displaystyle {}+ CD$$\displaystyle {}= BC$$\displaystyle {}+ DA$

(2) の逆（向かい合う辺の和が等しい凸四角形には、4 辺に接する円がある）も成り立ちます。証明は厳密定義ページで。

太い丸い柱の向こう側を、左から回り込んで覗く視線と、右から回り込んで覗く視線を考えてみてください。柱の表面をかすめる 2 本の視線は、あなたと柱の中心を結ぶ線をはさんで鏡に映したような形になります。だから、目から柱に触れる点までの距離は、左右で同じです。

(2) のほうは、双子を 4 組集めて 2 チームに分ける場面に似ています。どの双子も片方をチーム $AB \cdot CD$ に、もう片方をチーム $BC \cdot DA$ に入れる決まりなら、2 チームの身長の合計は必ず等しくなります。

円の外の 1 点からの 2 本の接線は、長さも角度も左右でそろうということです。四角形ではそれが「向かい合う辺の和が等しい」という形で現れます。

例題1：接線の長さと弦

半径 $5$ の円 $O$ があり、$OP$${}= 13$ の点 $P$ から円に 2 本の接線を引き、接点を $A$，$B$ とします。

(1) 接線の長さ $PA$ を求めなさい。

(2) 四角形 $PAOB$ の面積を求めなさい。

(3) 弦 $AB$ の長さを求めなさい。

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【解答】

(1) $\angle OAP$${}= 90^\circ$ なので、直角三角形 $OAP$ で三平方の定理より

$\displaystyle PA$$\displaystyle {}= \sqrt{OP^2 - OA^2}$$\displaystyle {}= \sqrt{169 - 25}$$\displaystyle {}= \sqrt{144}$$\displaystyle {}= \underline{12}$

(2) 四角形 $PAOB$ は、合同な直角三角形 $OAP$ と $OBP$ を合わせたものです。

$\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 12$$\displaystyle {}= \underline{60}$

(3) 公式2 (1) より $AB$${}\perp OP$ です。交点を $M$ とすると、$AM$ は直角三角形 $OAP$ の斜辺 $OP$ への高さなので、面積を 2 通りに表して

$\displaystyle \frac{1}{2} \times OP \times AM$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \times OA \times PA$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad AM$$\displaystyle {}= \frac{5 \times 12}{13}$$\displaystyle {}= \frac{60}{13}$

$AB$${}= 2AM$（$OP$ について線対称）なので

$\displaystyle AB$$\displaystyle {}= \underline{\frac{120}{13}}$

接弦定理——接線と弦が作る角

第4章の円周角の定理で、円周角の頂点 $C$ を弦の端 $A$ にどんどん近づけていくと、どうなるでしょうか。弦 $CA$ は短くなっていき、最後には $A$ における接線の向きになります。そのあいだ、角の大きさはずっと変わりません。行き着いた先の角——接線と弦 $AB$ が作る角——も、同じ円周角に等しいはずです。

この予想は正しく、円周角の定理を使って証明できます。$A$ を通る直径 $AD$ を引くと、公式1 より $\angle DAT$${}= 90^\circ$、第4章 公式2 より $\angle ABD$${}= 90^\circ$。すると

$\displaystyle \angle BAT$$\displaystyle {}= 90^\circ - \angle DAB$$\displaystyle {}= \angle ADB$$\displaystyle {}= \angle ACB$

最後の等号は、$\angle ADB$ と $\angle ACB$ がどちらも弧 $AB$ に対する円周角だからです（図は $\angle BAT$ が鋭角の場合。直角・鈍角の場合は厳密定義ページで扱います）。

公式3：接弦定理

円の弦 $AB$ と、点 $A$ における接線 $AT$ が作る角 $\angle BAT$ は、その角の内側にある弧 $AB$ に対する円周角に等しい。

$\displaystyle \angle BAT$$\displaystyle {}= \angle ACB$

ここで $C$ は、その弧の上にない円周上の点（$C$ と $T$ は直線 $AB$ について反対側）。

円形のグラウンドの周りを歩きながら、グラウンドの縁に立つ旗 $A$ と旗 $B$ を同時に眺めているとします。2 本の旗の見え方の角度は、どこを歩いても変わりません（第4章）。旗 $A$ にぴったりたどり着いた瞬間、$A$ の旗はもう足もとにあり、「$A$ を見る向き」は自分がいま進んでいる向き、つまり円の接線の向きに重なります。それでも角度は変わらない——これが接弦定理です。

接線と弦の作る角は、円周角の頂点を接点まで滑らせたものなので、円周角と同じ大きさだということです。

例題2：接弦定理で角を求める

$\triangle ABC$ が円に内接していて、点 $A$ における接線上に点 $T$，$S$ を、$T$ は直線 $AB$ について $C$ と反対側、$S$ は直線 $AC$ について $B$ と反対側にとります。$\angle BAT$${}= 65^\circ$，$\angle ABC$${}= 50^\circ$ のとき、$\angle ACB$，$\angle BAC$，$\angle CAS$ を求めなさい。

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【解答】

$\angle BAT$ の内側にある弧 $AB$ に対する円周角が $\angle ACB$ なので、公式3 より

$\displaystyle \angle ACB$$\displaystyle {}= \angle BAT$$\displaystyle {}= \underline{65^\circ}$

$\triangle ABC$ の内角の和から

$\displaystyle \angle BAC$$\displaystyle {}= 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ$$\displaystyle {}= \underline{65^\circ}$

$\angle CAS$ についても同じように、その内側にある弧 $AC$ に対する円周角が $\angle ABC$ なので

$\displaystyle \angle CAS$$\displaystyle {}= \angle ABC$$\displaystyle {}= \underline{50^\circ}$

確かめ：$T$，$A$，$S$ は一直線なので、$\angle BAT$${}+ \angle BAC$${}+ \angle CAS$${}= 65^\circ + 65^\circ + 50^\circ$${}= 180^\circ$。合っています。$AB$ の両側の角 $\angle BAT$ と $\angle ACB$、$AC$ の両側の角 $\angle CAS$ と $\angle ABC$ が、それぞれ「接弦定理のペア」になっていることを図で確かめてください。

方べきの定理——長さの積はいつも同じ

点 $P$ を通る直線で円を切ると、円との交点が 2 つできます。$P$ からそれぞれの交点までの長さを掛け合わせると、直線の向きをどう変えても同じ値になります。これが方べきの定理です。$P$ が円の内側にあっても外側にあっても成り立ち、外側では接線の場合も含みます。

証明は相似です。(i) の場合、$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ で、$\angle APC$${}= \angle DPB$（対頂角）、$\angle PAC$${}= \angle PDB$（弧 $BC$ に対する円周角）なので 2 角が等しく

$\displaystyle \triangle PAC \backsim \triangle PDB$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \frac{PA}{PD}$$\displaystyle {}= \frac{PC}{PB}$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad PA \cdot PB$$\displaystyle {}= PC \cdot PD$

(ii) では、$\angle P$ が共通で、$\angle PAC$${}= \angle PDB$（四角形 $ABDC$ が円に内接するので、外角 $=$ 内対角。第4章 公式5）。(iii) では、$\angle P$ が共通で、$\angle PTA$${}= \angle PBT$（接弦定理）なので $\triangle PTA \backsim \triangle PBT$ となり、$PT^2$${}= PA \cdot PB$ が出ます。

公式4：方べきの定理

点 $P$ を通る 2 本の直線が、円とそれぞれ $A$，$B$ および $C$，$D$ で交わるとき

$\displaystyle PA \cdot PB$$\displaystyle {}= PC \cdot PD$

$P$ が円の内部にあるとき（(i) 交わる弦）も、外部にあるとき（(ii) 2 本の割線）も成り立つ。

$P$ が円の外部にあり、$P$ から引いた接線の接点を $T$ とすると

$\displaystyle PA \cdot PB$$\displaystyle {}= PT^2$$\displaystyle \text{(iii)}$

• この一定の値を、円に対する点 $P$ の方べきといいます。半径 $r$、$OP$${}= p$ とすると、$P$ が内部なら $r^2$${}- p^2$、外部なら $p^2$${}- r^2$ です（$P$ を通る直径で測るとすぐ分かります）。

面積が $24\,\mathrm{m}^2$ と決まっている長方形の花壇を考えてください。縦を $3\,\mathrm{m}$ にすれば横は $8\,\mathrm{m}$、縦を $4\,\mathrm{m}$ にすれば横は $6\,\mathrm{m}$。片方を伸ばせば、もう片方が縮んで、積は動きません。点 $P$ を通る直線の向きを変えるのは、この花壇の縦横を取りかえるのと同じです。面積にあたる「方べき」は、円と点 $P$ の位置だけで決まっています。

点 $P$ を通るどの直線で円を切っても、$P$ から 2 つの交点までの長さの積は同じだということです。接線は、2 つの交点が 1 つに重なった場合です。

第4章の例題3 で、2 本の弦の交点にできる角が「向かい合う 2 つの弧に対する円周角の和」になることを見ました。同じ交点には、角だけでなく長さについても、この方べきの関係が成り立っているわけです。

例題3：方べきの定理の 3 つの形

次の $x$ を求めなさい。点の並び方は、それぞれの直線上で ( ) 内の順とします。

(1) 円の弦 $AB$，$CD$ が点 $P$ で交わり、$PA$${}= 4$，$PB$${}= 6$，$PC$${}= 3$，$PD$${}= x$。

(2) 円の外の点 $P$ を通る 2 直線が円と $A$，$B$ および $C$，$D$ で交わり（$P$，$A$，$B$ の順、$P$，$C$，$D$ の順）、$PA$${}= 4$，$AB$${}= 5$，$PC$${}= 3$，$CD$${}= x$。

(3) 円の外の点 $P$ を通る直線が円と $A$，$B$ で交わり（$P$，$A$，$B$ の順）、$PA$${}= 2$，$AB$${}= 6$。$P$ から引いた接線の長さ $PT$${}= x$。

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【解答】

(1) 公式4 (i) より $4 \times 6$${}= 3 \times x$ なので $x$${}= \underline{8}$。

(2) $PB$${}= PA$${}+ AB$${}= 9$ です。公式4 (ii) より $PA \cdot PB$${}= PC \cdot PD$ なので

$\displaystyle 4 \times 9$$\displaystyle {}= 3 \times PD$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad PD$$\displaystyle {}= 12$

$CD$${}= PD$${}- PC$${}= 12$${}- 3$ より $x$${}= \underline{9}$。

(3) $PB$${}= 2$${}+ 6$${}= 8$。公式4 (iii) より

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}= PA \cdot PB$$\displaystyle {}= 2 \times 8$$\displaystyle {}= 16$

$x$${}> 0$ なので $x$${}= \underline{4}$。

(2) で $PD$ に $CD$ をそのまま入れてしまうのが、いちばん多い間違いです。方べきの定理の長さは、いつも $P$ から測ります。

方べきの定理の逆——積がそろえば同じ円の上

方べきの定理も、逆が成り立ちます。第4章の「4 点が同一円周上にあることを示す道具」に、長さを使うものが 1 つ加わります。

公式5：方べきの定理の逆

1. 2 直線 $AB$，$CD$ が点 $P$ で交わり、$P$ が線分 $AB$，$CD$ の両方の内部にあるか、両方の外部にあって $\displaystyle PA \cdot PB$$\displaystyle {}= PC \cdot PD$ が成り立つならば、4 点 $A$，$B$，$C$，$D$ は同一円周上にある。
2. 点 $P$ が線分 $AB$ の延長上にあり、$P$ を通り直線 $AB$ 上にない点 $T$ について $PT^2$${}= PA \cdot PB$ ならば、直線 $PT$ は 3 点 $A$，$B$，$T$ を通る円に $T$ で接する。

証明の流れは (1) も (2) も同じで、式を $\dfrac{PA}{PC}$${}= \dfrac{PD}{PB}$ と比の形に直すと、2 辺の比とその間の角が等しいので相似が出ます。相似から角が等しくなり、第4章の公式6（(1) の場合）や、接弦定理の逆（(2) の場合、厳密定義ページ）に持ち込めます。

「両方の内部」「両方の外部」の条件は外せません。4 点が 1 つの円の上にあるとすると、$P$ が弦 $AB$ の内部にあれば $P$ は円の内側、弦 $CD$ の外部にあれば $P$ は円の外側にあることになり、両立しないからです。$P$ が線分 $AB$ の内部で線分 $CD$ の外部なら、積が等しくても 4 点は同じ円に乗りません。

たとえば会員証の番号のように、「$P$ に対する方べき」は円ごとに決まった値です。$P$ を通る 2 本の直線の上で積が一致したら、「同じ円の会員証を持っている」と判定してよい——公式5 はそう言っています。

長さの積 $PA \cdot PB$ と $PC \cdot PD$ が一致すれば、4 点が同一円周上にあると言えるということです。

2 つの円の位置関係と共通接線

最後に、円と円の関係です。半径 $r$，$r'$（$r$${}> r'$）の 2 つの円の中心間の距離を $d$ とすると、位置関係は 5 通りに分かれます。

公式6：2 つの円の位置関係と共通接線

半径 $r$，$r'$（$r$${}> r'$）の 2 円の中心間の距離を $d$ とする。

$d$ の範囲	位置関係	共有点	共通接線
$d > r + r'$	互いに外部にある	0 個	4 本
$d = r + r'$	外接する	1 個	3 本
$r - r' < d < r + r'$	2 点で交わる	2 個	2 本
$d = r - r'$	内接する	1 個	1 本
$d < r - r'$	一方が他方の内部にある	0 個	0 本

2 円が接するとき、接点は 2 つの中心を結ぶ直線の上にある。

2 円が互いに外部にあるとき、共通接線の接点間の長さは

$\displaystyle \text{共通外接線：}\sqrt{d^2 - (r - r')^2},$$\displaystyle \text{共通内接線：}\sqrt{d^2 - (r + r')^2}$

「2 点で交わる」の条件 $r$${}- r'$${}< d$${}< r$${}+ r'$ は、2 つの中心と交点の 1 つが作る三角形（辺の長さ $d$，$r$，$r'$）が存在する条件そのものです。第1章の厳密定義ページで、三角形の成立条件 $|b - c|$${}< a$${}< b$${}+ c$ の逆を「2 円が 2 点で交わる条件」として説明しました。同じ不等式に、ここで戻ってきたわけです。

日食を思い浮かべるとイメージしやすいでしょう。地上から見た月の円盤が太陽の円盤に近づいていくとき、離れている → 縁が触れる → 欠け始める（2 点で交わる）と進みます。月の見かけの円盤が太陽より小さい日には、月が太陽の内側にすっぽり入って縁に触れ、やがて完全に内側に収まります。これが金環日食で、公式6 の表を上から下へ順にたどったものです。

共通接線のほうは、2 つの滑車にかけたベルトが実物です。ベルトをそのまま掛ければ共通外接線、8 の字にたすき掛けすれば共通内接線になります。

長さの公式は、図のように接線を平行移動して直角三角形を作れば出ます。共通外接線 $ST$ を、$O'$ を通るように平行移動すると、$OS$ 上に長さ $r$${}- r'$ の部分が残り、斜辺 $d$ の直角三角形ができます。共通内接線では $OS$ を延長して $r$${}+ r'$ になります。

2 つの円の関係は、中心間の距離 $d$ を $r$${}+ r'$ と $r$${}- r'$ にはさんで比べれば決まり、共通接線の長さは直角三角形 1 つで求まるということです。

例題4：棒がいちばん大きく見える位置（第4章 小話1 の続き）

直線 $\ell$ 上に点 $O$ があり、$O$ を通って $\ell$ に垂直な直線上の、$\ell$ について同じ側に 2 点 $A$，$B$ を $OA$${}= 1$，$OB$${}= 4$ となるようにとります。$A$，$B$ を通り $\ell$ に接する円の、接点を $T$ とします（$T$ は $O$ の右側にとる）。

(1) $OT$ の長さを求めなさい。

(2) この円の半径を求めなさい。

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【解答】

(1) 点 $O$ は直線 $AB$ 上にあり、$A$，$B$ の外側です。$O$ から円に引いた接線が $OT$（$\ell$ そのもの）なので、公式4 (iii) より

$\displaystyle OT^2$$\displaystyle {}= OA \cdot OB$$\displaystyle {}= 1 \times 4$$\displaystyle {}= 4$

$OT$${}> 0$ より $OT$${}= \underline{2}$。

(2) 円の中心を $C$ とします。接線は接点を通る半径に垂直なので（公式1）、$C$ は $T$ を通り $\ell$ に垂直な直線上にあり、$C$ から直線 $AB$ までの距離は $OT$${}= 2$ です。また $C$ は弦 $AB$ の垂直二等分線上にあるので、$C$ の $\ell$ からの高さは $A$，$B$ の高さの平均 $\dfrac{1 + 4}{2}$${}= \dfrac{5}{2}$ です。半径は $CT$ なので

$\displaystyle r$$\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{2}}$

確かめ：$CA^2$${}= 2^2$${}+ \left(\dfrac{5}{2} - 1\right)^2$${}= 4$${}+ \dfrac{9}{4}$${}= \dfrac{25}{4}$ で、$CA$${}= \dfrac{5}{2}$ と一致します。

第4章の小話1 で見たとおり、$\ell$ 上で $T$ 以外の点はこの円の外にあるので、$AB$ を見込む角は $T$ で最大です。高さ $1$ と $4$ のあいだにある棒は、根元から $\sqrt{1 \times 4}$${}= 2$ 離れたところでいちばん大きく見える。レギオモンタヌスの問いの答えは、方べきの定理で「高さの積の平方根」と一言で書けます。三角比の余弦定理を使うと、そのときの角は $\cos\angle ATB$${}= \dfrac{4}{5}$ と分かります（$TA$${}= \sqrt{5}$，$TB$${}= 2\sqrt{5}$，$AB$${}= 3$）。

例題5：2 円の位置関係と共通接線

半径 $5$ の円 $O$ と、半径 $3$ の円 $O'$ があります。

(1) 中心間の距離 $d$ が $10$，$8$，$5$，$2$，$1$ のとき、2 円の位置関係をそれぞれ答えなさい。

(2) $d$${}= 10$ のとき、共通外接線と共通内接線について、接点間の長さをそれぞれ求めなさい。

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【解答】

(1) $r$${}+ r'$${}= 8$，$r$${}- r'$${}= 2$ と比べます（公式6）。

• $d$${}= 10$：$10$${}> 8$ なので 互いに外部にある
• $d$${}= 8$：$d$${}= r$${}+ r'$ なので 外接する
• $d$${}= 5$：$2$${}< 5$${}< 8$ なので 2 点で交わる
• $d$${}= 2$：$d$${}= r$${}- r'$ なので 内接する
• $d$${}= 1$：$1$${}< 2$ なので 円 $O'$ が円 $O$ の内部にある

(2) 公式6 より

$\displaystyle \text{共通外接線：}\sqrt{10^2 - (5 - 3)^2}$$\displaystyle {}= \sqrt{96}$$\displaystyle {}= \underline{4\sqrt{6}}$$\displaystyle \text{共通内接線：}\sqrt{10^2 - (5 + 3)^2}$$\displaystyle {}= \sqrt{36}$$\displaystyle {}= \underline{6}$

内接線のほうが短いのは、たすき掛けのベルトが 2 つの円のあいだを斜めに横切り、そのぶん「平行移動で残る長さ」$r$${}+ r'$ が大きくなるからです。

4 点が同一円周上にあることを示す道具（第4章の表に追加）

第4章の 3 つに、方べきの定理の逆が加わりました。

角が見えたら第4章、長さが見えたら公式5。図を見て、どちらの情報が与えられているかで選びます。

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この章で、円と直線・円と円の関係が出そろいました。次の第6章「作図」では、定規とコンパスだけで図形をかく方法を学びます。「円の外の点から接線を引く」作図には、この章の公式1（接線と半径は直角）と第4章の「直径に対する円周角は $90^\circ$」がそのまま使えます。また、線分の長さが $a$，$b$ のとき、長さ $\sqrt{ab}$ の線分をかく作図には、方べきの定理（例題4 の「積の平方根」）が活躍します。