平行な 3 直線 $\ell$ ， $m$ ， $n$ に、直線 $p$ が点 $A$ ， $B$ ， $C$ で、直線 $q$ が点 $D$ ， $E$ ， $F$ で交わっています（ $A$ ， $D$ は $\ell$ 上、 $B$ ， $E$ は $m$ 上、 $C$ ， $F$ は $n$ 上）。 $AB$ ${}= 4$ ， $BC$ ${}= 6$ ， $DE$ ${}= 5$ のとき、 $EF$ の長さを求めなさい。

19:T844,

$EF$ ${}= \dfrac{15}{2}$

1a:T5dcb,

平行な 3 直線が 2 本の直線から切り取る線分の比は等しいので

\displaystyle AB : BC

理由： $D$ を通り $p$ に平行な直線を引き、 $m$ ， $n$ との交点を $B'$ ， $C'$ とすると、平行四辺形ができるので $DB'$ ${}= AB$ ${}= 4$ ， $B'C'$ ${}= BC$ ${}= 6$ です。 $\triangle DC'F$ で $B'E$ ${}\parallel C'F$ なので、公式1 (2) より $DB' : B'C'$ ${}= DE : EF$ となります。

1b:T187b,

長さ $8$ の線分 $AB$ について、 $AB$ を $5 : 3$ に内分する点 $P$ 、 $5 : 3$ に外分する点 $Q$ 、 $3 : 5$ に外分する点 $R$ を考えます。 $AP$ ， $AQ$ ， $AR$ の長さを求めなさい。

1c:Te67,

$AP$ ${}= 5$ ， $AQ$ ${}= 20$ ， $AR$ ${}= 12$

1d:T785c,

(内分) $AP$ ${}= 5k$ ， $PB$ ${}= 3k$ とおくと $8k$ ${}= 8$ 、 $k$ ${}= 1$ 。よって $AP$ ${}= \underline{5}$ 。

(5 : 3 の外分) $5$ ${}> 3$ なので $Q$ は $B$ の外側です。 $AQ$ ${}= 5k$ ， $QB$ ${}= 3k$ とおくと、差が $AB$ なので $2k$ ${}= 8$ 、 $k$ ${}= 4$ 。よって $AQ$ ${}= \underline{20}$ 。

(3 : 5 の外分) $3$ ${}< 5$ なので $R$ は $A$ の外側です。 $AR$ ${}= 3k$ ， $RB$ ${}= 5k$ とおくと $2k$ ${}= 8$ 、 $k$ ${}= 4$ 。よって $AR$ ${}= \underline{12}$ 。

$Q$ と $R$ は、線分 $AB$ をはさんで反対側にあります。 $AQ$ ${}= 20$ と $AR$ ${}= 12$ が違うのは、 $A$ から見て $Q$ は $B$ の向こう、 $R$ は手前側に出ているからです。

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