3 点 $\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$ ， $\mathrm{C}(2,\ 0,\ 3)$ を通る平面の方程式を求めなさい。

1a:T75e,

$x$ ${}+ y$ ${}= 2$

1b:T9245,

$\overrightarrow{AB}$ ${}= (-1,\ 1,\ 1)$ ， $\overrightarrow{AC}$ ${}= (1,\ -1,\ 3)$ です。法線ベクトルを $\vec{n}$ ${}= (x,\ y,\ z)$ とおくと

\displaystyle -x

2 式を足すと $4z$ ${}= 0$ で $z$ ${}= 0$ 、1 つ目から $y$ ${}= x$ 。 $x$ ${}= 1$ として $\vec{n}$ ${}= (1,\ 1,\ 0)$ です。A を通るので

\displaystyle (x - 1)

B は $0$ ${}+ 2$ ${}= 2$ ，C は $2$ ${}+ 0$ ${}= 2$ で、確かに平面上にあります。

この方程式には $z$ が含まれません。 $z$ がどんな値でも、 $x$ ${}+ y$ ${}= 2$ を満たせば平面上にあるということなので、この平面は $z$ 軸に平行です（法線ベクトル $(1,\ 1,\ 0)$ が $z$ 軸と垂直）。

1c:T2a57,

2 つの平面 $\alpha : x$ ${}- y$ ${}+ 3$ ${}= 0$ ， $\beta : y$ ${}- z$ ${}- 1$ ${}= 0$ について、(1) $\alpha$ と $\beta$ のなす角 $\theta$ を求め、(2) 平面 $x$ ${}+ y$ ${}+ z$ ${}= 0$ が $\alpha$ ， $\beta$ の両方に垂直であることを示しなさい。

1d:T130c,

(1) $\theta$ ${}= 60^\circ$ 　(2) 法線ベクトル $(1,\ 1,\ 1)$ が $(1,\ -1,\ 0)$ ， $(0,\ 1,\ -1)$ の両方と内積 $0$

1e:Tbed3,

(1) $\alpha$ ， $\beta$ の法線ベクトルは $\vec{n_1}$ ${}= (1,\ -1,\ 0)$ ， $\vec{n_2}$ ${}= (0,\ 1,\ -1)$ です。

\displaystyle \cos\theta

$0^\circ$ ${}\leqq \theta$ ${}\leqq 90^\circ$ から $\underline{\theta = 60^\circ}$ です。

(2) 平面 $x$ ${}+ y$ ${}+ z$ ${}= 0$ の法線ベクトルは $\vec{n}$ ${}= (1,\ 1,\ 1)$ で

\displaystyle \vec{n} \cdot \vec{n_1}

法線ベクトルどうしが垂直なので、公式3から、この平面は $\alpha$ ， $\beta$ の両方に垂直です。（証明終）

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