第9章　座標空間の直線・平面・球面

図形を式で表す

第6章では、平面上の直線と円をベクトル方程式で表し、$ax$${}+ by$${}+ c$${}= 0$ や $(x - a)^2$${}+ (y - b)^2$${}= r^2$ の形に書き直しました。この章では、同じことを座標空間で行います。

平面から空間へ移ると、式の顔ぶれが少し入れかわります。第6章の終わりで予告したとおり、法線ベクトルを使った $\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})$${}= 0$ は、空間では直線ではなく平面を表します。そのため、空間の直線は 1 本の 1 次方程式では表せず、媒介変数を使って表します。円の式 $|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$ は、空間では球面になります。

空間の直線

直線の表し方は、第6章とまったく同じです。通る点 A と、進む向き（方向ベクトル）$\vec{d}$ がわかれば、直線上の点 P は $\overrightarrow{AP}$${}= t\vec{d}$ と表せます。違うのは、成分が 3 つになることだけです。

公式1：空間の直線

点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{d}$${}= (l,\ m,\ n)$ の直線上の点を $\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$ とする。

ベクトル方程式：$\vec{p}$${}= \vec{a}$${}+ t\vec{d}$（$t$ は実数）

媒介変数表示：

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= x_1$$\displaystyle {}+ lt,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= y_1$$\displaystyle {}+ mt,$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= z_1$$\displaystyle {}+ nt$

$t$ を消去した形（$l$，$m$，$n$ がどれも $0$ でないとき）：

$\displaystyle \frac{x - x_1}{l}$$\displaystyle {}= \frac{y - y_1}{m}$$\displaystyle {}= \frac{z - z_1}{n}$

2 点を通る直線：2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線は $\vec{p}$${}= (1 - t)\vec{a}$${}+ t\vec{b}$（$t$${}= 0$ で A、$t$${}= 1$ で B。線分 AB は $0$${}\leqq t$${}\leqq 1$）

ここでの $n$ は方向ベクトルの $z$ 成分で、このあと出てくる法線ベクトル $\vec{n}$ とは別物です。

平面の直線 $m(x - x_1)$${}- l(y - y_1)$${}= 0$ は 1 本の式でしたが、空間の直線を $t$ を使わずに書くと、「$=$」が 2 つ並んだ形になります。これは式が 2 本あるということです。後で見るように、$x$，$y$，$z$ の 1 次方程式 1 本は平面を表すので、直線は「2 枚の平面の交わり」として 2 本の式で表されるのです。成分に $0$ があるとき、たとえば $l$${}= 0$ なら、$x$${}= x_1$ と $\dfrac{y - y_1}{m}$${}= \dfrac{z - z_1}{n}$ の 2 本に分けて書きます。

ある点が直線上にあるかどうかは、媒介変数表示の 3 本の式を満たす $t$ が 1 つ共通に とれるかで判定します。$x$ 座標から決まる $t$ で、$y$，$z$ 座標も合うかを確かめるわけです。

公園にあるジップライン（ワイヤーにつるされて滑り降りる遊具）を思い浮かべてください。ワイヤーの道すじは、スタート台の位置と、「東へ 2 m 進むごとに北へ 1 m、下へ 2 m」という向きがわかれば 1 本に決まります。$t$ は、スタート台から向きの何倍ぶん進んだかを表す目盛りです。

空間の直線は、平面のときと同じく「通る点 ＋ $t$ × 方向ベクトル」で表し、成分の式が 3 本になるだけだということです。

例題1：空間の直線

点 $\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3)$ を通り、$\vec{d}$${}= (2,\ 1,\ -2)$ に平行な直線を $\ell$ とします。

(1) 直線 $\ell$ を媒介変数 $t$ を使って表しなさい。

(2) 直線 $\ell$ と $xy$ 平面の交点の座標を求めなさい。

(3) 2 点 $\mathrm{P}(-3,\ -4,\ 7)$，$\mathrm{Q}(3,\ -1,\ 2)$ のうち、直線 $\ell$ 上にある点を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式1から

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 1}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2t,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad y = -2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ t,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad z = 3}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 2t}$

$t$ を消去すると $\dfrac{x - 1}{2}$${}= y$${}+ 2$${}= \dfrac{z - 3}{-2}$ とも書けます。

(2) $xy$ 平面上の点は $z$${}= 0$ です。$3$${}- 2t$${}= 0$ より $t$${}= \dfrac{3}{2}$ で、$x$${}= 1$${}+ 3$${}= 4$，$y$${}= -2$${}+ \dfrac{3}{2}$${}= -\dfrac{1}{2}$。よって交点は $\underline{\left(4,\ -\dfrac{1}{2},\ 0\right)}$ です。

(3) P について、$x$ 座標から $1$${}+ 2t$${}= -3$ で $t$${}= -2$。このとき $y$${}= -2$${}- 2$${}= -4$，$z$${}= 3$${}+ 4$${}= 7$ となり、P の座標と一致します。

Q について、$x$ 座標から $1$${}+ 2t$${}= 3$ で $t$${}= 1$。このとき $y$${}= -1$ は合いますが、$z$${}= 3$${}- 2$${}= 1$ は Q の $z$ 座標 $2$ と合いません。

よって、直線 $\ell$ 上にあるのは $\underline{\text{点 P}}$ です。

平面の方程式

第8章では、平面に垂直なベクトルを法線ベクトルと呼びました。平面は、「通る 1 点」と「法線ベクトル」で 1 つに決まります。

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、$\vec{n}$ に垂直な平面を $\alpha$ とします。点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ が $\alpha$ 上にあるとき、$\overrightarrow{AP}$ は平面の中のベクトルなので $\vec{n}$ と垂直です（P が A に重なるときは $\overrightarrow{AP}$${}= \vec{0}$ で、内積はやはり $0$）。逆に $\overrightarrow{AP}$ が $\vec{n}$ と垂直なら、P は $\alpha$ 上にあります（厳密定義ページの定理1）。したがって

$\displaystyle \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})$$\displaystyle {}= 0$

が平面 $\alpha$ のベクトル方程式です。第6章 公式3で「直線」を表したのとまったく同じ式が、空間では平面を表します。平面では法線に垂直な向きが 1 通り（直線の向き）でしたが、空間では法線に垂直な向きが平面いっぱいに広がっているからです。

公式2：平面の方程式

点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n}$${}= (a,\ b,\ c)$（$\vec{n}$${}\neq \vec{0}$）の平面の方程式は

$\displaystyle a(x - x_1)$$\displaystyle {}+ b(y - y_1)$$\displaystyle {}+ c(z - z_1)$$\displaystyle {}= 0$

展開すると $ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ の形になる。逆に、$(a,\ b,\ c)$${}\neq (0,\ 0,\ 0)$ のとき、方程式 $ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ は 法線ベクトルが $(a,\ b,\ c)$ の平面 を表す。

3 点を通る平面：一直線上にない 3 点 A，B，C を通る平面は、$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直なベクトル（第8章 公式2）を法線ベクトルにとって求める。

切片の形：$x$ 軸・$y$ 軸・$z$ 軸とそれぞれ $(p,\ 0,\ 0)$，$(0,\ q,\ 0)$，$(0,\ 0,\ r)$ で交わる平面（$pqr$${}\neq 0$）は

$\displaystyle \frac{x}{p}$$\displaystyle {}+ \frac{y}{q}$$\displaystyle {}+ \frac{z}{r}$$\displaystyle {}= 1$

係数を読むだけで法線ベクトルがわかるのが、この形のよいところです。たとえば $2x$${}- y$${}+ 3z$${}= 5$ の法線ベクトルは $(2,\ -1,\ 3)$ です。第7章で扱った $z$${}= 3$ のような座標平面に平行な平面も、法線ベクトルが $(0,\ 0,\ 1)$ の平面として、この形に含まれています。また、$x$${}+ y$${}= 2$ のように $z$ を含まない式は、$xy$ 平面上の直線ではなく、法線ベクトル $(1,\ 1,\ 0)$ が $z$ 軸と垂直な平面、つまり $z$ 軸に平行な平面を表します。

3 点を通る平面は、$ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ に 3 点の座標を代入して係数の比を求めることもできます。どちらの方法でも、最後に 3 点を代入して確かめましょう。

屋根にソーラーパネルを取りつける場面を考えます。パネルがどちらを向いているかは、パネルの面にまっすぐ立てた棒がどちらを指すかで言い表せます。取りつける場所 1 点と、その棒の向きが決まれば、パネルを広げた平面は 1 枚に決まります。この棒が法線ベクトルです。

平面は「通る 1 点」と「法線ベクトル」で決まり、$ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ の係数 $(a,\ b,\ c)$ がそのまま法線ベクトルになるということです。

例題2：平面の方程式

(1) 点 $\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$ を通り、$\vec{n}$${}= (2,\ -3,\ 1)$ に垂直な平面の方程式を求めなさい。

(2) 3 点 $\mathrm{A}(1,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 2)$ を通る平面の方程式を求めなさい。

(3) 平面 $\dfrac{x}{2}$${}+ \dfrac{y}{3}$${}+ \dfrac{z}{6}$${}= 1$ を $ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ の形（係数は整数）に直し、法線ベクトルを 1 つ求めなさい。

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【解答】

(1) 公式2から

$\displaystyle 2(x - 2)$$\displaystyle {}- 3(y + 1)$$\displaystyle {}+ (z - 3)$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 3y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ z}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 10 = 0}$

(2) $\overrightarrow{AB}$${}= (1,\ 1,\ -2)$，$\overrightarrow{AC}$${}= (-1,\ 3,\ 0)$ です。法線ベクトルを $\vec{n}$${}= (x,\ y,\ z)$ とおくと

$\displaystyle \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}+ y$$\displaystyle {}- 2z$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}$$\displaystyle {}= -x$$\displaystyle {}+ 3y$$\displaystyle {}= 0$

2 つ目から $x$${}= 3y$。1 つ目に代入して $4y$${}- 2z$${}= 0$ より $z$${}= 2y$。$y$${}= 1$ として $\vec{n}$${}= (3,\ 1,\ 2)$ がとれます。A を通るので

$\displaystyle 3(x - 1)$$\displaystyle {}+ y$$\displaystyle {}+ 2(z - 2)$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2z = 7}$

確かめると、B は $6$${}+ 1$${}+ 0$${}= 7$，C は $0$${}+ 3$${}+ 4$${}= 7$ で、どちらも平面上にあります。

(3) 両辺に $6$ をかけて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ z}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 6 = 0}$

法線ベクトルは係数を並べて $\underline{(3,\ 2,\ 1)}$ です（$0$ でない実数倍でもかまいません）。

2 つの平面・直線と平面

平面の向きは法線ベクトルで決まるので、2 つの平面の関係は、2 本の法線ベクトルの関係で調べられます。

公式3：平面と平面・直線と平面の関係

平面 $\alpha$，$\beta$ の法線ベクトルを $\vec{n_1}$，$\vec{n_2}$ とする。

• $\alpha$${}\parallel \beta$（または一致）$\iff \vec{n_1}$${}\parallel \vec{n_2}$
• $\alpha$${}\perp \beta$${}\iff \vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$${}= 0$
• 2 平面のなす角 $\theta$（$0^\circ$${}\leqq \theta$${}\leqq 90^\circ$）：$\cos\theta$${}= \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}$
• 平行でない 2 平面の交わりは直線（交線）で、その方向ベクトルは $\vec{n_1}$，$\vec{n_2}$ の両方に垂直

方向ベクトル $\vec{d}$ の直線 $\ell$ と、法線ベクトル $\vec{n}$ の平面 $\alpha$ について

• $\ell$${}\parallel \alpha$（または $\ell$ が $\alpha$ に含まれる）$\iff \vec{d} \cdot \vec{n}$${}= 0$
• $\ell$${}\perp \alpha$${}\iff \vec{d}$${}\parallel \vec{n}$
• 直線と平面のなす角 $\varphi$（$0^\circ$${}\leqq \varphi$${}\leqq 90^\circ$）：$\sin\varphi$${}= \dfrac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}|\,|\vec{n}|}$
• 交点：直線の媒介変数表示を平面の方程式に代入して $t$ を求める

2 平面のなす角は、交線に垂直な平面で 2 枚を切ったときの、切り口の 2 直線がつくる角です。この角は、法線ベクトルどうしのなす角か、その補角（$180^\circ$ から引いた角）に等しくなります。第6章で 2 直線のなす角を $0^\circ$〜$90^\circ$ にそろえたのと同じ理由で、分子に絶対値をつけます。

直線と平面のなす角は、直線と、その直線を平面に正射影した直線とがつくる角です。直線が平面に垂直に近いほど、$\vec{d}$ と $\vec{n}$ の向きは近くなります。$\vec{d}$ と $\vec{n}$ のなす角を $\psi$ とすると $\varphi$${}= 90^\circ - \psi$（$\psi$ が鈍角なら $\varphi$${}= \psi$${}- 90^\circ$）なので、$\cos$ の代わりに $\sin$ が現れます。

交線の方向ベクトルは、第8章 公式2の手順で求められます。交線は 2 枚の平面の両方に含まれるので、どちらの法線ベクトルとも垂直だからです。

ノートパソコンの画面の開き具合を分度器で測るとき、分度器はヒンジ（ちょうつがい）と直角になるように当てます。斜めに当てると、正しい角度が読めません。画面とキーボードに、それぞれの面にまっすぐ立つ棒をつけておけば、2 本の棒がつくる角からも開き具合がわかります。これが法線ベクトルで 2 平面の角を測る考え方です。

2 つの平面の平行・垂直・なす角は法線ベクトルどうしで、直線と平面の関係は方向ベクトルと法線ベクトルの内積で調べ、交点は媒介変数表示を平面の式に代入して求めればよいということです。

例題3：2 平面のなす角・直線と平面の交点

2 つの平面 $\alpha : 2x$${}- y$${}+ z$${}= 3$，$\beta : x$${}+ y$${}+ 2z$${}= 1$ があります。

(1) $\alpha$ と $\beta$ のなす角 $\theta$ を求めなさい。

(2) 直線 $x$${}= 1$${}+ t$，$y$${}= 2t$，$z$${}= 2$${}- t$ と平面 $\alpha$ の交点の座標を求めなさい。

(3) $\alpha$，$\beta$ の両方に垂直で、原点を通る平面の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) $\vec{n_1}$${}= (2,\ -1,\ 1)$，$\vec{n_2}$${}= (1,\ 1,\ 2)$ とすると

$\displaystyle \vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$$\displaystyle {}= 2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle |\vec{n_1}|$$\displaystyle {}= |\vec{n_2}|$$\displaystyle {}= \sqrt{6}$$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}$

$0^\circ$${}\leqq \theta$${}\leqq 90^\circ$ から $\underline{\theta = 60^\circ}$ です。

(2) 直線の式を $\alpha$ の方程式に代入すると

$\displaystyle 2(1 + t)$$\displaystyle {}- 2t$$\displaystyle {}+ (2 - t)$$\displaystyle {}= 3$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 4$$\displaystyle {}- t$$\displaystyle {}= 3$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad t$$\displaystyle {}= 1$

よって交点は $\underline{(2,\ 2,\ 1)}$ です。（$\alpha$ に代入すると $4$${}- 2$${}+ 1$${}= 3$ で、確かに $\alpha$ 上にあります。）

(3) 求める平面を $\gamma$、その法線ベクトルを $\vec{n}$${}= (x,\ y,\ z)$ とします。公式3から、$\gamma$${}\perp \alpha$，$\gamma$${}\perp \beta$ となる条件は $\vec{n} \cdot \vec{n_1}$${}= 0$，$\vec{n} \cdot \vec{n_2}$${}= 0$ です。

$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}- y$$\displaystyle {}+ z$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}+ y$$\displaystyle {}+ 2z$$\displaystyle {}= 0$

2 式を足すと $3x$${}+ 3z$${}= 0$ で $x$${}= -z$。1 つ目の式から $y$${}= 2x$${}+ z$${}= -z$。$z$${}= -1$ として $\vec{n}$${}= (1,\ 1,\ -1)$。原点を通るので

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}+ y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}- z = 0}$

この $\vec{n}$${}= (1,\ 1,\ -1)$ は、$\vec{n_1}$，$\vec{n_2}$ の両方に垂直なので、$\alpha$ と $\beta$ の交線の方向ベクトルでもあります。求めた平面は、交線に垂直な平面です。

点と平面の距離

第8章では、点と平面の距離を、垂線の足を求めてから長さを計算するか、法線ベクトルの向きへの正射影 $\dfrac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ として求めました。平面の方程式がわかっていれば、この正射影の計算を 1 本の公式にまとめられます。

平面 $\alpha : ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ 上に点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1)$ をとり、$\vec{n}$${}= (a,\ b,\ c)$ とします。A は $\alpha$ 上にあるので $ax_1$${}+ by_1$${}+ cz_1$${}= -d$ です。点 $\mathrm{P}(x_0,\ y_0,\ z_0)$ に対して

$\displaystyle \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}$$\displaystyle {}= a(x_0 - x_1)$$\displaystyle {}+ b(y_0 - y_1)$$\displaystyle {}+ c(z_0 - z_1)$$\displaystyle {}= ax_0$$\displaystyle {}+ by_0$$\displaystyle {}+ cz_0$$\displaystyle {}+ d$

となり、A の座標が消えます。P から $\alpha$ に下ろした垂線 PH は $\vec{n}$ と平行なので、PH の長さは $\overrightarrow{AP}$ の $\vec{n}$ の向きへの正射影の長さです。

公式4：点と平面の距離

点 $\mathrm{P}(x_0,\ y_0,\ z_0)$ と平面 $\alpha : ax$${}+ by$${}+ cz$${}+ d$${}= 0$ の距離 $h$ は

$\displaystyle h$$\displaystyle {}= \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

P から $\alpha$ に下ろした垂線の足 H は、$\vec{n}$${}= (a,\ b,\ c)$ として

$\displaystyle \overrightarrow{OH}$$\displaystyle {}= \overrightarrow{OP}$$\displaystyle {}- k\vec{n},$$\displaystyle k$$\displaystyle {}= \frac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$

第6章 公式4の点と直線の距離 $\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ と、同じ形をしています。どちらも「法線ベクトルの向きへの正射影」から出てきた式だからです。垂線の足の式は、H が P から $\vec{n}$ の向きに $-k$ 倍だけ進んだ点であり、$\overrightarrow{OP}$${}- k\vec{n}$ を平面の方程式に代入すると $0$ になることから確かめられます。

第8章の例題5で、原点 O から平面 ABC（$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$）までの距離を $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ と求めました。この平面は、公式2の切片の形から $\dfrac{x}{4}$${}+ \dfrac{y}{4}$${}+ \dfrac{z}{2}$${}= 1$，つまり $x$${}+ y$${}+ 2z$${}- 4$${}= 0$ です。公式4を使うと $\dfrac{|-4|}{\sqrt{1 + 1 + 4}}$${}= \dfrac{4}{\sqrt{6}}$${}= \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ となり、1 行で同じ答えが出ます。

分子の $ax_0$${}+ by_0$${}+ cz_0$${}+ d$ は、P が平面からどれだけ離れているかを、長さの $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ 倍の目盛りで表した数です。海外の体重計がポンド表示なら、キログラムに直すには換算の数で割ります。同じように、この数を $|\vec{n}|$ で割ると、本当の長さに直ります。符号は、P が平面のどちら側にあるかを表しています。

点と平面の距離は、平面の式の左辺に点の座標を代入した値の絶対値を、法線ベクトルの大きさで割れば求まり、第6章の点と直線の距離と同じ形になるということです。

例題4：点と平面の距離・垂線の足・対称点

点 $\mathrm{P}(3,\ 4,\ -1)$ と平面 $\alpha : x$${}+ 2y$${}- 2z$${}- 4$${}= 0$ があります。

(1) 点 P と平面 $\alpha$ の距離を求めなさい。

(2) P から $\alpha$ に下ろした垂線の足 H の座標を求めなさい。

(3) 平面 $\alpha$ に関して P と対称な点 $\mathrm{P'}$ の座標を求めなさい。

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【解答】

(1) $ax_0$${}+ by_0$${}+ cz_0$${}+ d$${}= 3$${}+ 8$${}+ 2$${}- 4$${}= 9$，$\sqrt{1 + 4 + 4}$${}= 3$ なので、公式4から

$\displaystyle h$$\displaystyle {}= \frac{|9|}{3}$$\displaystyle {}= \underline{3}$

(2) $\vec{n}$${}= (1,\ 2,\ -2)$，$k$${}= \dfrac{9}{9}$${}= 1$ なので

$\displaystyle \overrightarrow{OH}$$\displaystyle {}= (3,\ 4,\ -1)$$\displaystyle {}- (1,\ 2,\ -2)$$\displaystyle {}= (2,\ 2,\ 1)$

よって $\underline{\mathrm{H}(2,\ 2,\ 1)}$ です。$\alpha$ に代入すると $2$${}+ 4$${}- 2$${}- 4$${}= 0$ で、確かに $\alpha$ 上にあります。また $\mathrm{PH}$${}= |\vec{n}|$${}= 3$ で、(1) と一致します。

(3) H は線分 $\mathrm{PP'}$ の中点なので、$\overrightarrow{OP'}$${}= 2\overrightarrow{OH}$${}- \overrightarrow{OP}$${}= (4 - 3,\ 4 - 4,\ 2 + 1)$。

$$\underline{\mathrm{P'}(1,\ 0,\ 3)}$$

（$\overrightarrow{OP'}$${}= \overrightarrow{OP}$${}- 2k\vec{n}$ としても同じです。）

球面の方程式

空間で、定点 C から一定の距離 $r$ にある点全体を、中心 C、半径 $r$ の球面といいます。第6章の円 $|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$ と同じ式が、空間では球面を表します。

公式5：球面の方程式

中心 $\mathrm{C}(a,\ b,\ c)$，半径 $r$ の球面のベクトル方程式は $|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$ で、成分で書くと

$\displaystyle (x - a)^2$$\displaystyle {}+ (y - b)^2$$\displaystyle {}+ (z - c)^2$$\displaystyle {}= r^2$

とくに、中心が原点なら $x^2$${}+ y^2$${}+ z^2$${}= r^2$。

一般形：$x^2$${}+ y^2$${}+ z^2$${}+ Ax$${}+ By$${}+ Cz$${}+ D$${}= 0$ は、$x$，$y$，$z$ それぞれで平方完成して、右辺が正なら球面を表す。

直径の両端：2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を直径の両端とする球面は $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b})$${}= 0$

直径の両端の式は、第6章 公式5 (2) と同じ理由で成り立ちます。P が A，B と異なる球面上の点なら、P を含み線分 AB を含む平面で切った切り口は AB を直径とする円なので、$\angle \mathrm{APB}$${}= 90^\circ$ です。

一般形で右辺が $0$ になるときは 1 点、負になるときは何も表しません。平方完成をしたら、右辺の符号を必ず確かめましょう。

タンポポの綿毛は、茎の先を中心に、同じ長さの細い柄が四方八方へ伸び、その先に種がついています。種が並ぶのは、茎の先から等しい距離にある点、つまり球面の上です。平面の上で同じことをすると、点は円の上に並びます。

球面は中心からの距離が一定の点の集まりで、円の式に $z$ の項を 1 つ加えた $(x - a)^2$${}+ (y - b)^2$${}+ (z - c)^2$${}= r^2$ で表されるということです。

例題5：球面の方程式

(1) 中心が $(1,\ -2,\ 3)$，半径が $4$ の球面の方程式を求めなさい。

(2) 方程式 $x^2$${}+ y^2$${}+ z^2$${}- 4x$${}+ 6y$${}- 2z$${}+ 5$${}= 0$ が表す球面の中心と半径を求めなさい。

(3) 2 点 $\mathrm{A}(3,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 0)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式5から $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 1)^2}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 2)^2}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (z - 3)^2 = 16}$

(2) $x$，$y$，$z$ それぞれで平方完成すると

$\displaystyle (x - 2)^2$$\displaystyle {}- 4$$\displaystyle {}+ (y + 3)^2$$\displaystyle {}- 9$$\displaystyle {}+ (z - 1)^2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle (x - 2)^2$$\displaystyle {}+ (y + 3)^2$$\displaystyle {}+ (z - 1)^2$$\displaystyle {}= 9$

右辺が正なので球面で、$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\text{中心}\ (2,\ -3,\ 1),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ \text{半径}\ 3}$ です。

(3) 中心は AB の中点 $\left(\dfrac{3 - 1}{2},\ \dfrac{-1 + 3}{2},\ \dfrac{2 + 0}{2}\right)$${}= (1,\ 1,\ 1)$，半径は中心と A の距離 $\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}$${}= 3$ です。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x - 1)^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 1)^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (z - 1)^2 = 9}$

公式5の直径の両端の式で確かめると

$\displaystyle (x - 3)(x + 1)$$\displaystyle {}+ (y + 1)(y - 3)$$\displaystyle {}+ (z - 2)z$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad x^2$$\displaystyle {}+ y^2$$\displaystyle {}+ z^2$$\displaystyle {}- 2x$$\displaystyle {}- 2y$$\displaystyle {}- 2z$$\displaystyle {}- 6$$\displaystyle {}= 0$

平方完成すると $(x - 1)^2$${}+ (y - 1)^2$${}+ (z - 1)^2$${}= 9$ となり、一致します。

球面と平面の交わり

球面を平面で切ると、切り口はどうなるでしょうか。中心 C から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を H、距離を $h$${}= \mathrm{CH}$ とします。平面上の点 Q について、$\overrightarrow{CH}$ は平面に垂直なので $\overrightarrow{CH}$${}\perp \overrightarrow{HQ}$ で、三平方の定理から

$\displaystyle \mathrm{CQ}^2$$\displaystyle {}= h^2$$\displaystyle {}+ \mathrm{HQ}^2$

です。Q が球面上にある、つまり $\mathrm{CQ}$${}= r$ となる条件は $\mathrm{HQ}^2$${}= r^2$${}- h^2$ です。

公式6：球面と平面の位置関係・接平面

中心 C，半径 $r$ の球面と平面 $\alpha$ について、C と $\alpha$ の距離を $h$，C から $\alpha$ に下ろした垂線の足を H とする。

• $h$${}< r$ のとき：交わりは H を中心とし、半径 $\sqrt{r^2 - h^2}$ の円
• $h$${}= r$ のとき：共有点は H だけ。$\alpha$ は球面に 接する といい、$\alpha$ を 接平面、H を 接点 という
• $h$${}> r$ のとき：共有点はない

接平面の方程式：中心 $\mathrm{C}(a,\ b,\ c)$，半径 $r$ の球面上の点 $\mathrm{P_0}(x_0,\ y_0,\ z_0)$ における接平面は、$\overrightarrow{CP_0}$ を法線ベクトルとする平面で

$\displaystyle (\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c})$$\displaystyle {}= r^2$$\displaystyle (x_0 - a)(x - a)$$\displaystyle {}+ (y_0 - b)(y - b)$$\displaystyle {}+ (z_0 - c)(z - c)$$\displaystyle {}= r^2$

$h$ は公式4で計算できます。$h$${}= 0$，つまり平面が中心を通るとき、切り口の円の半径は $r$ で最大になります。この円を大円といいます。

接平面の式は、第6章 公式5 (3) の円の接線の式と同じ形です。接平面は接点で半径 $\mathrm{CP_0}$ と垂直なので、$\overrightarrow{CP_0} \cdot \overrightarrow{P_0P}$${}= 0$ です。$\overrightarrow{P_0P}$${}= (\vec{p} - \vec{c})$${}- (\vec{p_0} - \vec{c})$ と書きかえ、$|\vec{p_0} - \vec{c}|^2$${}= r^2$ を使うと、上の式になります。

また、座標平面との交わりも公式6の特別な場合です。球面の式に $z$${}= 0$ を代入すれば、$xy$ 平面上の切り口の円の式が得られます。

丸いグレープフルーツを包丁で切ると、真ん中で切ったときに切り口の円がいちばん大きくなります。中心から離れた位置で切るほど切り口は小さくなり、皮の端をかすめるように切ると点になり、さらに外では包丁は実に触れません。この 3 通りが、公式6の $h$${}< r$，$h$${}= r$，$h$${}> r$ に対応しています。

球面と平面の関係は、中心と平面の距離 $h$ を半径 $r$ と比べて決まり、切り口の円の中心は垂線の足、半径は $\sqrt{r^2 - h^2}$、接平面は半径に垂直な平面だということです。

例題6：球面と平面の交わり・接平面

球面 $S : (x - 1)^2$${}+ (y + 1)^2$${}+ (z - 2)^2$${}= 25$ があります。

(1) 平面 $\alpha : 2x$${}+ y$${}- 2z$${}+ 12$${}= 0$ と球面 $S$ の交わりは円になります。この円の中心の座標と半径を求めなさい。

(2) 点 $\mathrm{P_0}(1,\ 2,\ 6)$ は $S$ 上にあります。$\mathrm{P_0}$ における $S$ の接平面の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) 中心 $\mathrm{C}(1,\ -1,\ 2)$，半径 $5$ です。$2 \cdot 1$${}+ (-1)$${}- 2 \cdot 2$${}+ 12$${}= 9$，$\sqrt{4 + 1 + 4}$${}= 3$ なので、公式4から C と $\alpha$ の距離は

$\displaystyle h$$\displaystyle {}= \frac{|9|}{3}$$\displaystyle {}= 3$

$h$${}< 5$ なので交わりは円で、半径は $\sqrt{5^2 - 3^2}$${}= \underline{4}$ です。

円の中心は C から $\alpha$ に下ろした垂線の足 H です。$\vec{n}$${}= (2,\ 1,\ -2)$，$k$${}= \dfrac{9}{9}$${}= 1$ なので

$\displaystyle \overrightarrow{OH}$$\displaystyle {}= (1,\ -1,\ 2)$$\displaystyle {}- (2,\ 1,\ -2)$$\displaystyle {}= (-1,\ -2,\ 4)$

よって中心は $\underline{(-1,\ -2,\ 4)}$ です。（$\alpha$ に代入すると $-2$${}- 2$${}- 8$${}+ 12$${}= 0$。）

(2) まず $\mathrm{P_0}$ が $S$ 上にあることを確かめると、$0^2$${}+ 3^2$${}+ 4^2$${}= 25$ です。$\overrightarrow{CP_0}$${}= (0,\ 3,\ 4)$ なので、公式6から

$\displaystyle 0 \cdot (x - 1)$$\displaystyle {}+ 3(y + 1)$$\displaystyle {}+ 4(z - 2)$$\displaystyle {}= 25$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 4z = 30}$

$\mathrm{P_0}$ を代入すると $6$${}+ 24$${}= 30$ で成り立ちます。この平面は $x$ を含まないので、$x$ 軸に平行です。

これで、ベクトル分野の 9 つの章が終わりました。第1章の「向きと大きさをもつ矢印」から始まり、内積で角と長さを、位置ベクトルで図形を扱い、最後は空間の直線・平面・球面を式で表すところまで来ました。平面の円と空間の球面、平面の直線と空間の平面が同じ式で書けたように、ベクトルを使うと、次元が変わっても同じ考え方で図形を扱えます。この見方は、大学で学ぶ線形代数へとつながっていきます。