第2章　四分位数と箱ひげ図

$\underline{7}$（最大値 $9$ − 最小値 $2$）

$Q_1$${}= 3$，$Q_2$${}= 6$，$Q_3$${}= 9$（中央値 $6$ を除いた $1,$$\ 3,$$\ 4$ と $8,$$\ 9,$$\ 12$ の中央値）

$Q_1$${}= \dfrac{4 + 5}{2}$${}= 4.5$，$Q_3$${}= \dfrac{10 + 11}{2}$${}= 10.5$

$20$${}- 12$${}= \underline{8}$

$30$${}+ 1.5 \times (30 - 20)$${}= \underline{45}$（$45$ 以上の値が外れ値）

範囲 $1.8$ 秒、四分位範囲 $0.95$ 秒

小さい順に並べます。

範囲は $9.0$${}- 7.2$${}= \underline{1.8}$ 秒です。

$n$${}= 9$ なので、5 番目の $8.1$ を除き、下位のデータは $7.2,$$\ 7.5,$$\ 7.8,$$\ 7.9$、上位のデータは $8.3,$$\ 8.4,$$\ 8.8,$$\ 9.0$ です。

よって、四分位範囲は $8.6$${}- 7.65$${}= \underline{0.95}$ 秒です。

$Q_1$${}= 15$ 回，$Q_2$${}= 19$ 回，$Q_3$${}= 25$ 回

小さい順に並べると、$n$${}= 10$ は偶数なので 5 個ずつに分かれます。

$Q_2$ は 5 番目と 6 番目の平均で $\dfrac{18 + 20}{2}$${}= \underline{19}$ 回です。$Q_1$ は下位のデータの 3 番目で $\underline{15}$ 回、$Q_3$ は上位のデータの 3 番目で $\underline{25}$ 回です。

最小値 $45$、$Q_1$${}= 60$、中央値 $95$、$Q_3$${}= 120$、最大値 $150$（分）

小さい順に並べます。

$n$${}= 7$ なので、中央値は 4 番目の $\underline{95}$ 分です。これを除いた下位のデータ $45,$$\ 60,$$\ 80$ の中央値が $Q_1$${}= \underline{60}$ 分、上位のデータ $110,$$\ 120,$$\ 150$ の中央値が $Q_3$${}= \underline{120}$ 分です。最小値は $\underline{45}$ 分、最大値は $\underline{150}$ 分です。

範囲 $15$、四分位範囲 $6$

範囲はひげの端から端までの長さ、四分位範囲は箱の長さです。

$30$ 分

小さい順に並べると $12,$$\ 13,$$\ 14,$$\ 15,$$\ 15,$$\ 16,$$\ 17,$$\ 18,$$\ 30$ です。5 番目の $15$ を除いて、下位のデータは $12,$$\ 13,$$\ 14,$$\ 15$、上位のデータは $16,$$\ 17,$$\ 18,$$\ 30$ です。

四分位範囲は $4$ で、$1.5 \times 4$${}= 6$ です。外れ値の基準は $13.5$${}- 6$${}= 7.5$ と $17.5$${}+ 6$${}= 23.5$ なので、$7.5$ 以下または $23.5$ 以上の値が外れ値です。あてはまるのは $\underline{30}$ 分だけです。

A：範囲 $28$、四分位範囲 $4$　B：範囲 $22$、四分位範囲 $16$

A　小さい順に $10,$$\ 21,$$\ 22,$$\ 23,$$\ 24,$$\ 25,$$\ 38$ です。範囲は $38$${}- 10$${}= \underline{28}$ です。中央値 $23$ を除くと、下位のデータ $10,$$\ 21,$$\ 22$ から $Q_1$${}= 21$、上位のデータ $24,$$\ 25,$$\ 38$ から $Q_3$${}= 25$ で、四分位範囲は $25$${}- 21$${}= \underline{4}$ です。

B　小さい順に $12,$$\ 15,$$\ 18,$$\ 23,$$\ 28,$$\ 31,$$\ 34$ です。範囲は $34$${}- 12$${}= \underline{22}$ です。$Q_1$${}= 15$，$Q_3$${}= 31$ で、四分位範囲は $31$${}- 15$${}= \underline{16}$ です。

範囲では A、四分位範囲では B のほうが大きく、比べる物差しによって結論が逆になります。A は $10$ と $38$ という端の 2 株のせいで範囲が大きいだけで、真ん中の 5 株は $21$〜$25$ にまとまっています。

範囲 $36$、四分位範囲 $18$

$y$${}= ax$${}+ b$ と変換すると、範囲と四分位範囲は $|a|$ 倍になり、$b$ には影響されません。$a$${}= 3$ なので

$+5$ はデータ全体を右へ $5$ ずらすだけなので、幅には関係しません。

$Q_1$${}= 7$，$Q_2$${}= 9.5$，$Q_3$${}= 12$（千歩）

小さい順に並べると $5,$$\ 7,$$\ 9,$$\ 10,$$\ 12,$$\ 15$ です。$n$${}= 6$ は偶数なので、3 個ずつに分かれます。

$Q_2$ は 3 番目と 4 番目の平均で $\dfrac{9 + 10}{2}$${}= \underline{9.5}$ 千歩です。下位のデータ $5,$$\ 7,$$\ 9$ の中央値から $Q_1$${}= \underline{7}$ 千歩、上位のデータ $10,$$\ 12,$$\ 15$ の中央値から $Q_3$${}= \underline{12}$ 千歩です。

(1) $2$ と $35$　(2) 左のひげの端 $14$、右のひげの端 $22$

(1) 小さい順に並べると

$n$${}= 10$ なので、下位のデータは $2,$$\ 14,$$\ 15,$$\ 16,$$\ 17$、上位のデータは $18,$$\ 19,$$\ 20,$$\ 22,$$\ 35$ で、$Q_1$${}= 15$，$Q_3$${}= 20$ です。四分位範囲は $5$ で、$1.5 \times 5$${}= 7.5$ なので、外れ値の基準は

$7.5$ 以下の $2$ と、$27.5$ 以上の $35$ が外れ値です。答えは $\underline{2 \text{ と } 35}$ です。

(2) ひげは外れ値を除いた最小値・最大値までにとどめるので、左のひげの端は $\underline{14}$、右のひげの端は $\underline{22}$ です。

(1) $5$ 人　(2) $2$ 人

小さい順に並べた 9 人の値を $x_1$${}\leqq x_2$${}\leqq \cdots$${}\leqq x_9$ とします。

(1) 中央値は 5 番目の値なので $x_5$${}= 5$ です。$x_5,$$\ x_6,$$\ \ldots,$$\ x_9$ の 5 人は 5 時間以上なので、少なくとも $\underline{5}$ 人います。

(2) 中央値 $x_5$ を除いた上位のデータは $x_6,$$\ x_7,$$\ x_8,$$\ x_9$ で、$Q_3$ はその 2 番目と 3 番目の平均、つまり $\dfrac{x_7 + x_8}{2}$${}= 8$ です。$x_7$${}\leqq x_8$ なので $x_8$${}\geqq 8$ で、$x_8$ と $x_9$ の 2 人は 8 時間以上です。$x_7$ は 8 時間未満のこともある（たとえば $x_7$${}= 7$，$x_8$${}= 9$）ので、少なくとも $\underline{2}$ 人です。

ア

小さい順に並べた値を $x_1$${}\leqq x_2$${}\leqq \cdots$${}\leqq x_{10}$ とします。$n$${}= 10$ なので、$Q_1$${}= x_3$，中央値 $= \dfrac{x_5 + x_6}{2}$，$Q_3$${}= x_8$ です。

累積度数は上から $1,$$\ 3,$$\ 7,$$\ 9,$$\ 10$ なので、各値の入る階級は次のとおりです。

• $x_1$：0 以上 10 未満
• $x_2,$$\ x_3$：10 以上 20 未満
• $x_4$${}\sim x_7$：20 以上 30 未満
• $x_8,$$\ x_9$：30 以上 40 未満
• $x_{10}$：40 以上 50 未満

よって、$Q_1$ は 10 以上 20 未満、中央値は 20 以上 30 未満（$x_5$ も $x_6$ も 30 未満なので、その平均も 30 未満）、$Q_3$ は 30 以上 40 未満、最大値は 40 以上 50 未満です。

• ア：すべての値がこの条件に合います。
• イ：$Q_1$${}= 20$ ですが、$x_3$ は 20 未満なので矛盾します。
• ウ：中央値 $30$ ですが、中央値は 30 未満なので矛盾します。

答えは $\underline{\text{ア}}$ です。