第5章　準2級 データの分析

平均値 $6$ 本，中央値 $6.5$ 本，最頻値 $7$ 本

小さい順に並べると

• 平均値：総和は $60$ なので $\dfrac{60}{10}$${}= 6$（本）。
• 中央値：10 個なので 5 番目と 6 番目の平均で $\dfrac{6 + 7}{2}$${}= 6.5$（本）。
• 最頻値：$7$ が 3 回でもっとも多く、$7$（本）。

よって 平均値 $\underline{6\ \text{本}}$，中央値 $\underline{6.5\ \text{本}}$，最頻値 $\underline{7\ \text{本}}$ です。

$Q_1$${}= 6$，$Q_2$${}= 11$，$Q_3$${}= 16$，四分位範囲 $10$

小さい順に並べます。

11 個なので中央値 $Q_2$ は 6 番目の $11$ です。これを除いた下位 5 個 $3,$$\ 5,$$\ 6,$$\ 8,$$\ 10$ の中央値が $Q_1$${}= 6$、上位 5 個 $13,$$\ 14,$$\ 16,$$\ 19,$$\ 21$ の中央値が $Q_3$${}= 16$ です。

四分位範囲は $16$${}- 6$${}= 10$ なので、$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}Q_1 = 6,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ Q_2 = 11,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ Q_3 = 16,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ \text{四分位範囲}\ 10}$ です。

分散 $8$，標準偏差 $2\sqrt{2}$

平均値は $\dfrac{6 + 10 + 4 + 12 + 8}{5}$${}= 8$ です。偏差を表にします。

分散は $\dfrac{4 + 4 + 16 + 16 + 0}{5}$${}= 8$、標準偏差は $\sqrt{8}$${}= 2\sqrt{2}$ です。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\text{分散}\ 8,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\ \text{標準偏差}\ 2\sqrt{2}}$ です。

$0.8$

$\overline{x}$${}= 6$，$\overline{y}$${}= 7$ です。偏差を並べます。

$s_x$${}= s_y$${}= 2\sqrt{2}$ なので

よって $\underline{0.8}$ です。

平均値 $100$，分散 $900$，標準偏差 $30$

$y$${}= ax$${}+ b$ のとき $\overline{y}$${}= a\overline{x}$${}+ b$，$s_y$${}= |a| s_x$ です。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{平均値}\ 100,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ \text{分散}\ 900,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ \text{標準偏差}\ 30}$ です。標準偏差は $-5$ 倍ではなく $5$ 倍になることに注意します。

(イ)，(ウ)

20 人なので、$Q_1$ は 5 番目と 6 番目、中央値は 10 番目と 11 番目、$Q_3$ は 15 番目と 16 番目の平均です（小さい順）。

• (ア) 範囲は A 組 $95$${}- 28$${}= 67$、B 組 $88$${}- 20$${}= 68$ で、B 組のほうが大きい。誤り。
• (イ) 四分位範囲は A 組 $74$${}- 45$${}= 29$、B 組 $70$${}- 42$${}= 28$。正しい。
• (ウ) 10 番目と 11 番目の平均が $62$ なので、11 番目は $62$ 以上です。11〜20 番目の 10 人は $62$ 点以上で、$60$ 点以上は 10 人以上います。正しい。
• (エ) 15 番目と 16 番目の平均が $70$ なので、16〜20 番目の 5 人は $70$ 点以上です。ただし 15 番目も $70$ 点（15 番目と 16 番目がともに $70$ 点）のことがあり、「ちょうど 5 人」とは限りません。必ず正しいとはいえない。

よって $\underline{\text{(イ)，(ウ)}}$ です。

$6$ と $48$

小さい順に並べると $6,$$\ 19,$$\ 21,$$\ 22,$$\ 23,$$\ 24,$$\ 25,$$\ 26,$$\ 27,$$\ 48$ です。

下位 5 個 $6,$$\ 19,$$\ 21,$$\ 22,$$\ 23$ の中央値が $Q_1$${}= 21$、上位 5 個 $24,$$\ 25,$$\ 26,$$\ 27,$$\ 48$ の中央値が $Q_3$${}= 26$ で、四分位範囲は $5$ です。外れ値の基準は

$13.5$ 以下の $6$ と、$33.5$ 以上の $48$ が外れ値です。よって $\underline{6\ \text{と}\ 48}$ です。

いえる（表が 10 回以上の確率はおよそ $0.023$ で、$0.05$ 以下）

帰無仮説は「このコインに偏りはない」、対立仮説は「このコインは表が出やすい」です。

表が 10 回以上になったのは $17$${}+ 6$${}+ 0$${}= 23$ セットなので、その確率はおよそ $\dfrac{23}{1000}$${}= 0.023$ です。

$0.023$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却され、このコインは $\underline{\text{表が出やすいといえる}}$ です。

(1) $67$ cm　(2) 分散 $96$，標準偏差 $4\sqrt{6}$ cm　(3) 60 cm 以上 70 cm 未満

階級値を $x$ とし、$u$${}= \dfrac{x - 65}{10}$ とおいて表にします。

(1) $\overline{u}$${}= \dfrac{4}{20}$${}= 0.2$ で、$x$${}= 10u$${}+ 65$ より

(2) $\overline{u^2}$${}= \dfrac{20}{20}$${}= 1$ なので $s_u^2$${}= 1$${}- 0.2^2$${}= 0.96$ です。$x$${}= 10u$${}+ 65$ より

(3) 小さい順に 10 番目と 11 番目の平均が中央値です。累積度数は $1,$$\ 4,$$\ 13,$$\ \ldots$ で、10 番目と 11 番目はどちらも 60 cm 以上 70 cm 未満の階級に入ります。

よって (1) $\underline{67\ \text{cm}}$　(2) 分散 $\underline{96}$，標準偏差 $\underline{4\sqrt{6}\ \text{cm}}$　(3) $\underline{60\ \text{cm 以上}\ 70\ \text{cm 未満}}$ です。

平均値 $6$，分散 $\dfrac{9}{4}$，標準偏差 $\dfrac{3}{2}$

総和と 2 乗の総和に戻します。$\overline{x^2}$${}= s^2$${}+ \left(\overline{x}\right)^2$${}= 5$${}+ 36$${}= 41$ なので

2 個を取り除くと

よって、大きさ $8$ のデータについて

答えは $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\text{平均値}\ 6,}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \text{分散}\ \dfrac{9}{4},}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \text{標準偏差}\ \dfrac{3}{2}}$ です。平均値から遠い 2 個を取り除いたので、分散は $5$ から小さくなっています。

(1) 共分散 $4$，相関係数 $0.5$　(2) 共分散 $-1$，相関係数 $-0.5$

(1) $\overline{x}$${}= 16$，$\overline{y}$${}= 30$ です。

$s_x$${}= s_y$${}= 2\sqrt{2}$ なので $r$${}= \dfrac{4}{8}$${}= 0.5$ です。

(2) $u$${}= \dfrac{1}{2}x$${}- 8$，$v$${}= -\dfrac{1}{2}y$${}+ 15$ なので、$x$ の係数 $\dfrac{1}{2}$ と $y$ の係数 $-\dfrac{1}{2}$ を掛けて

また $s_u$${}= \dfrac{1}{2}s_x$${}= \sqrt{2}$，$s_v$${}= \dfrac{1}{2}s_y$${}= \sqrt{2}$ なので

係数の積が負なので、相関係数は符号だけが変わります。

答えは $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(1)\ \text{共分散}\ 4,}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ \text{相関係数}\ 0.5 \quad (2)\ \text{共分散}}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}\ -1,}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ \text{相関係数}}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}\ -0.5}$ です。

$10$ 人以上

帰無仮説は「A と B の書きやすさに差はない（どちらを選ぶかは半々）」、対立仮説は「B のほうが書きやすいと感じられる」です。帰無仮説のもとでは、B を選ぶ人数はコインを 12 回投げたときの表の回数と同じように考えられます。

B を選んだ人が $k$ 人のとき、「$k$ 人以上」の確率を表から見積もります。

• $k$${}= 10$：$17$${}+ 6$${}+ 0$${}= 23$ セットで、確率はおよそ $0.023$。$0.05$ 以下なので棄却されます。
• $k$${}= 9$：$44$${}+ 23$${}= 67$ セットで、確率はおよそ $0.067$。$0.05$ より大きいので棄却されません。

$k$ が大きいほど確率は小さくなるので、$\underline{10\ \text{人以上}}$ のとき「B のほうが書きやすいと感じられる」と判断されます。

※実験による見積もりです。偏りのないコインの本当の確率は、10 回以上が $\dfrac{79}{4096}$${}\fallingdotseq 0.019$、9 回以上が $\dfrac{299}{4096}$${}\fallingdotseq 0.073$ で、結論は変わりません。

(1) $a$${}= \dfrac{5}{4}$，$b$${}= -30$　(2) $x$${}= 80$ のとき $y$${}= 70$，$x$${}= 56$ のとき $y$${}= 40$

(1) $a$${}> 0$ なので $s_y$${}= a s_x$ です。

平均値について $\overline{y}$${}= a\overline{x}$${}+ b$ なので

(2) $y$${}= \dfrac{5}{4}x$${}- 30$ に代入します。

答えは $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}(1)\ a = \dfrac{5}{4},}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ b = -30 \quad (2)\ 70,}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 40}$ です。$y$ は偏差値と同じ換算で、平均より標準偏差 2 つ分高い $80$ 点が $70$ になっています。

$-2$${}< a$${}< \dfrac{22}{3},$$12$${}< a$

平均値は $\dfrac{44 + a}{7}$ です。中央値は、小さい順に並べた 4 番目の値で、$a$ の位置によって変わります。

• $a$${}\leqq 6$ のとき：中央値は $6$。$\dfrac{44 + a}{7}$${}> 6$ より $a$${}> -2$。よって $-2$${}< a$${}\leqq 6$。
• $6$${}\leqq a$${}\leqq 8$ のとき：中央値は $a$。$\dfrac{44 + a}{7}$${}> a$ より $6a$${}< 44$、$a$${}< \dfrac{22}{3}$。よって $6$${}\leqq a$${}< \dfrac{22}{3}$。
• $a$${}\geqq 8$ のとき：中央値は $8$。$\dfrac{44 + a}{7}$${}> 8$ より $a$${}> 12$。

3 つを合わせて、$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-2 < a < \dfrac{22}{3},}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ 12 < a}$ です。

確かめ：$a$${}= 10$ のとき、平均値は $\dfrac{54}{7}$${}\fallingdotseq 7.7$、中央値は $8$ で、平均値のほうが小さくなります。

(1) $-0.1$　(2) $0.8$

(1) $\overline{x}$${}= 6$，$\overline{y}$${}= 5$ です。

$s_x s_y$${}= 8$ なので $r$${}= -\dfrac{4}{5} \div 8$${}= -0.1$ です。

(2) 4 人では $\overline{x}$${}= 5$，$\overline{y}$${}= 6$ です。

$s_x s_y$${}= 5$ なので $r$${}= \dfrac{4}{5}$${}= 0.8$ です。

答えは $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(1)}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}\ -0.1 \quad (2)\ 0.8}$ です。E さん 1 人の外れた値のために、強い正の相関（$0.8$）が「ほとんど相関がない」（$-0.1$）に見えていました。相関係数は外れ値の影響を大きく受けるので、散布図で確かめてから使います。

(1) いえる（5 問以上の確率はおよそ $0.037$）　(2) $6$ 問

帰無仮説は「当てずっぽうで答えた（1 問ごとの正解の確率は $\dfrac{1}{5}$）」、対立仮説は「当てずっぽうで答えたのではない」です。

(1) 正解が 5 問以上のセットは $28$${}+ 8$${}+ 0$${}+ 1$${}+ 0$${}= 37$ で、確率はおよそ $0.037$ です。$0.037$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却され、「当てずっぽうで答えたのではない」といえます。