第22章　準1級 関数の極限

$-\dfrac{1}{2}$

分母の最高次 $x^3$ で分母・分子を割ります。

分子は $x$${}- 2x^3$ の順に書かれていますが、最高次の係数は $-2$ です。

$2$

$\infty$${}- \infty$ の形なので、分子を有理化します。

$x$${}> 0$ なので、分母・分子を $x$ で割ると

$-\dfrac{1}{2}$

$x$${}\to -\infty$ では $3^x$ も $2^x$ も $0$ に近づきますが、$\dfrac{3^x}{2^x}$${}= \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$${}\to 0$ なので、$2^x$ のほうがゆっくり $0$ に近づきます。そこで $2^x$ で分母・分子を割ります（$2^{x+1}$${}= 2 \cdot 2^x$）。

$x$${}\to \infty$ なら大きい底 $3^x$ で割るところですが、$x$${}\to -\infty$ では主役が入れかわります。

$\dfrac{3}{2}$

$\tan$ の中身 $3x$ と、$\sin$ の中身 $2x$ を分母に作ります。

$\dfrac{\tan 3x}{3x}$${}= \dfrac{\sin 3x}{3x} \cdot \dfrac{1}{\cos 3x}$${}\to 1$，$\dfrac{2x}{\sin 2x}$${}\to 1$ なので

$-1$

$x$${}\to \pi$ なので、そのままでは公式が使えません。$t$${}= x$${}- \pi$ とおくと $x$${}\to \pi$ のとき $t$${}\to 0$ で、

よって

「$\dfrac{\sin x}{x - \pi}$ だから $1$」としないよう、$0$ に近づく文字を作ってから公式を使います。

$\displaystyle \lim_{x \to 2 + 0} f(x)$$\displaystyle {}= 4$，$\displaystyle \lim_{x \to 2 - 0} f(x)$$\displaystyle {}= -4$

$x$${}> 2$ のとき $|x - 2|$${}= x$${}- 2$ なので

$x$${}< 2$ のとき $|x - 2|$${}= -(x - 2)$ なので

（左右が一致しないので、$\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ は存在しません。）

$a$${}= \dfrac{1}{4}$

分子を有理化します。

よって $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$$\displaystyle {}= \frac{1}{2 + 2}$$\displaystyle {}= \frac{1}{4}$ です。連続になるのは、これが $f(1)$${}= a$ と等しいときなので $\underline{a = \dfrac{1}{4}}$ です。

$-2$

$x$${}= -t$ とおくと、$x$${}\to -\infty$ のとき $t$${}\to \infty$ です。$t$${}> 0$ なので $\sqrt{4t^2 - t}$${}= t\sqrt{4 - \dfrac{1}{t}}$ となり、

分子の $\sqrt{\ }$ は正、分母 $x$${}- 3$ は負なので、答えは負になるはずです。符号の見当を先につけておくと検算になります。

$a$${}= 2$，$b$${}= 4$

$x$${}\to 2$ で分母 $\to 0$ なので、極限が有限の値になるためには分子 $\to 0$ が必要です。

このとき、分子を有理化すると

$\dfrac{a}{4}$${}= \dfrac{1}{2}$ より $a$${}= 2$，$b$${}= 4$ です。逆にこのとき、上の計算から極限はたしかに $\dfrac{1}{2}$ になります。

「分子 $\to 0$」は必要条件です。答案では、最後に極限が指定の値になることまで書きます。

$a$${}= 6$，$b$${}= 1$

$b$ を決める　$x$${}> 0$ のとき

かっこの中は $x$${}\to \infty$ で $1$${}- b$ に近づきます。$b$${}\neq 1$ なら、$x$ に $0$ でない数に近づく量を掛けることになり、全体は $\infty$ か $-\infty$ に発散します。極限が $3$ になるためには $b$${}= 1$ が必要です。

$a$ を決める　$b$${}= 1$ のとき、有理化して

$\dfrac{a}{2}$${}= 3$ より $a$${}= 6$ です。このとき極限はたしかに $3$ です。

$\infty$${}- \infty$ が有限の値になるのは、2つの $\infty$ の「増え方」がそろっているときだけです。その条件が $b$${}= 1$ です。

$\dfrac{1}{2}$

2倍角の公式 $\cos 2x$${}= 1$${}- 2\sin^2 x$ より、$1$${}- \cos 2x$${}= 2\sin^2 x$ です。$x$${}\neq 0$ で $0$ に近いとき $\sin x$${}\neq 0$ なので、約分できます。

$\dfrac{x}{\sin x}$ は $\dfrac{\sin x}{x}$ の逆数なので $x$${}\to 0$ で $1$ に近づきます。よって

（$1$${}+ \cos 2x$ を掛けて $\sin^2 2x$ に直す方法でも解けますが、$1$${}- \cos 2x$ は2倍角で一気に $\sin^2 x$ にするほうが短く書けます。）

$2$

$[2x]$ は $2x$ を超えない最大の整数なので、

が成り立ちます。$x$${}> 0$ のとき、各辺を $x$ で割って

$x$${}\to \infty$ のとき $2$${}- \dfrac{1}{x}$${}\to 2$ で、右端も $2$ です。はさみうちの原理より

ガウス記号は式変形できないので、「$[t]$ は $t$${}- 1$ より大きく $t$ 以下」という不等式に置きかえてはさみます。

$a$${}= \pi$，$b$${}= -2\pi$

左側極限　$t$${}= x$${}- 1$ とおくと、$x$${}\to 1$${}- 0$ のとき $t$${}\to -0$ で、$\sin \pi x$${}= \sin(\pi t + \pi)$${}= -\sin \pi t$ です。

右側極限と $f(1)$　$x$${}\geqq 1$ では $f(x)$${}= ax$${}+ b$ なので、$\displaystyle \lim_{x \to 1 + 0} f(x)$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ b$$\displaystyle {}= f(1)$ です。

$x$${}= 1$ で連続になる条件は、左側極限・右側極限・$f(1)$ がすべて等しいことなので

$a$${}+ b$${}= -\pi$ …①

また $f(2)$${}= 2a$${}+ b$${}= 0$ …②。② − ① より $a$${}= \pi$，これを ① に代入して $b$${}= -2\pi$ です。

右側は1次式なので右側極限は代入で求まります。条件が効くのは左側だけです。

$f(x)$${}= \log_2 x$${}+ x$${}- 4$ は $x$${}> 0$ で連続かつ増加し、$f(2)$${}= -1$${}< 0$，$f(3)$${}= \log_2 3$${}- 1$${}> 0$ なので、中間値の定理より示される。

$f(x)$${}= \log_2 x$${}+ x$${}- 4$（$x$${}> 0$）とおくと、方程式は $f(x)$${}= 0$ と同じです。

解が $2$${}< x$${}< 3$ にあること　$\log_2 x$ と $x$${}- 4$ はともに連続なので、$f(x)$ は $2$${}\leqq x$${}\leqq 3$ で連続です。

（$3$${}> 2$ より $\log_2 3$${}> \log_2 2$${}= 1$ です。）中間値の定理より、$f(c)$${}= 0$ となる $c$ が $2$${}< c$${}< 3$ に少なくとも1つあります。

解がただ1つであること　底 $2$ は $1$ より大きいので $\log_2 x$ は増加関数で、$x$${}- 4$ も増加関数です。その和 $f(x)$ は $x$${}> 0$ で増加するので、$f(x)$${}= 0$ となる $x$ は2つ以上ありません。

以上より、方程式 $\log_2 x$${}= 4$${}- x$ はただ1つの実数解をもち、それは $2$${}< x$${}< 3$ にあります。（証明終）

中間値の定理が保証するのは「少なくとも1つ」だけです。「ただ1つ」には、増加（または減少）の議論を別に書きます。

$\dfrac{dy}{dx}$${}= -\dfrac{2}{x^3}$

$x$ の増分を $\Delta x$ とすると

よって

$\Delta x$${}\to 0$ として

通分してから $x^2$${}- (x + \Delta x)^2$ を因数分解し、$\Delta x$ を約分できる形にするのがポイントです。$\dfrac{1}{x^2}$${}= x^{-2}$ と見ると、答えは $-2x^{-3}$ で、$(x^n)'$${}= nx^{n-1}$ が $n$${}= -2$ でも成り立っています。

$2$

$t$${}= \dfrac{1}{x}$ とおくと、$x$${}\to \infty$ のとき $t$${}\to +0$ で、$x^2$${}= \dfrac{1}{t^2}$ です。

2倍角の公式より $1$${}- \cos 2t$${}= 2\sin^2 t$ なので

よって $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^2\left(1 - \cos\frac{2}{x}\right)$$\displaystyle {}= \underline{2}$ です。

$x$${}\to \infty$ のままでは $\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ の公式が使えません。$\cos$ の中身 $\dfrac{2}{x}$ が $0$ に近づくことに目をつけて、$\dfrac{1}{x}$ を新しい文字にします。

(1) $1$　(2) $\dfrac{1}{4}$

(1)　2点間の距離の公式より

（半角の公式 $1$${}- \cos\theta$${}= 2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ を使いました。）$0$${}< \dfrac{\theta}{2}$${}< \dfrac{\pi}{4}$ で $\sin\dfrac{\theta}{2}$${}> 0$ なので $L(\theta)$${}= 2\sin\dfrac{\theta}{2}$ です。半径 $1$，中心角 $\theta$ の弧の長さは $\ell(\theta)$${}= \theta$ なので