第19章　2級 不定積分と定積分

$2x^3$${}- 2x^2$${}+ 5x$${}+ C$（$C$ は積分定数）

項ごとに $\displaystyle \int x^n\,dx$$\displaystyle {}= \frac{1}{n + 1}x^{n + 1}$$\displaystyle {}+ C$ を使います。

答えを微分すると $6x^2$${}- 4x$${}+ 5$ に戻ることで確かめられます。

$x^3$${}+ \dfrac{5}{2}x^2$${}- 2x$${}+ C$（$C$ は積分定数）

積の形のままでは公式が使えないので、展開してから積分します。

「$(x + 2)$ の積分 × $(3x - 1)$ の積分」とするのは誤りです。

$f(x)$${}= x^3$${}- 4x^2$${}+ x$${}+ 5$

$f(2)$${}= 8$${}- 16$${}+ 2$${}+ C$${}= C$${}- 6$${}= -1$ より $C$${}= 5$ です。

$9$

下端 $x$${}= -1$ を代入した値 $-3$ を、括弧でくくってから引きます。

$20$

区間が $-2$ から $2$ なので、奇数次の項 $x^3$，$-5x$ の定積分は $0$ になり、偶数次の項（定数項を含む）は $0$ から $2$ までの2倍になります。

$\dfrac{5}{2}$

$x$${}- 1$ の符号は $x$${}= 1$ で変わるので、区間を分けて絶対値を外します。

（$y$${}= |x - 1|$ のグラフと $x$ 軸の間の2つの三角形の面積 $\dfrac{1}{2}$${}+ 2$ と見ても同じです。）

$\dfrac{4}{3}$

$x^2$${}- 4x$${}+ 3$${}= (x - 1)(x - 3)$ より、$x$ 軸との交点は $x$${}= 1,$$\ 3$ です。$1$${}\leqq x$${}\leqq 3$ では放物線が $x$ 軸より下にあるので

$f(x)$${}= 2x$${}+ 2$，$a$${}= 2$

等式に $x$${}= 1$ を代入すると、左辺は $\displaystyle \int_1^1 f(t)\,dt$$\displaystyle {}= 0$ なので

両辺を $x$ で微分すると $f(x)$${}= 2x$${}+ a$${}= 2x$${}+ 2$。

$f(x)$${}= 2x^3$${}- 3x^2$${}- 2$，極大値 $-2$

接線の傾きは $f'(x)$ なので、$f'(x)$${}= 6x^2$${}- 6x$ です。

$f'(x)$${}= 6x(x - 1)$ より、増減は次のとおりです。

極小値は $f(1)$${}= 2$${}- 3$${}+ C$${}= C$${}- 1$${}= -3$ より $C$${}= -2$。極大値は $f(0)$${}= C$${}= -2$ です。

どの $x$ で極小になるかを増減表で決めてから $C$ の方程式を立てる、という順番が答案の骨組みです。

$f(x)$${}= 3x^2$${}- 3x$${}+ 2$

$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ は両端が定数なので1つの数です。これを $k$ とおくと、$f(x)$${}= 3x^2$${}- 2kx$${}+ 2$ と表せます。

$k$${}= 3$${}- k$ より $k$${}= \dfrac{3}{2}$。よって

（確かめ：$\displaystyle \int_0^1 (3t^2 - 3t + 2)\,dt$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}- \frac{3}{2}$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= \frac{3}{2}$ で、$k$ と一致します。）

$4$

$x^2$${}- 2x$${}= x(x - 2)$ は、$-1$${}\leqq x$${}\leqq 0$ と $2$${}\leqq x$${}\leqq 3$ で $0$ 以上、$0$${}\leqq x$${}\leqq 2$ で $0$ 以下です。

$F(x)$${}= \dfrac{x^3}{3}$${}- x^2$ とおくと

区間が3つに分かれるときは、原始関数 $F(x)$ の値を先に一覧にしておくと計算が整理できます。

$\dfrac{125}{3}$

交点の $x$ 座標は、$2x^2$${}- 5x$${}= x$${}+ 8$ より $2x^2$${}- 6x$${}- 8$${}= 0$，つまり $2(x + 1)(x - 4)$${}= 0$ で、$x$${}= -1,$$\ 4$ です。

$-1$${}\leqq x$${}\leqq 4$ では直線が放物線より上にあり

6分の1公式の係数は「上 − 下」の $x^2$ の係数の絶対値（ここでは $2$）です。$1$ と思い込むと答えが半分になります。

$\dfrac{64}{3}$

交点の $x$ 座標は、$x^2$${}= -x^2$${}+ 4x$${}+ 6$ より $2x^2$${}- 4x$${}- 6$${}= 0$，つまり $2(x + 1)(x - 3)$${}= 0$ で、$x$${}= -1,$$\ 3$ です。 $x$${}= 0$ で比べると $-x^2$${}+ 4x$${}+ 6$ のほうが大きいので、$-1$${}\leqq x$${}\leqq 3$ では $y$${}= -x^2$${}+ 4x$${}+ 6$ が上にあります。

$\dfrac{9}{2}$

$x^3$${}- 3x$${}= x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ より、$x$ 軸との交点は $x$${}= -\sqrt{3},$$\ 0,$$\ \sqrt{3}$ です。 $-\sqrt{3}$${}\leqq x$${}\leqq 0$ では曲線が $x$ 軸の上、$0$${}\leqq x$${}\leqq \sqrt{3}$ では下にあります。

$y$${}= x^3$${}- 3x$ のグラフは原点について対称なので、2つの部分の面積は等しく

$\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (x^3 - 3x)\,dx$ と一気に計算すると、上と下が打ち消し合って $0$ になってしまいます。

$x$${}= 1$ で極大値 $0$，$x$${}= 3$ で極小値 $-\dfrac{4}{3}$

微分積分学の基本定理より

極大値は $F(1) = \displaystyle\int_1^1 (t^2 - 4t + 3)\,dt = 0$。極小値は

$F(x)$ を計算してから微分する必要はありません。$F'(x)$ は中身の $t$ を $x$ にかえるだけで求まります。

$\dfrac{16}{3}$

$y'$${}= 2x$ より、$\ell_1$ の傾きは $-2$，$\ell_2$ の傾きは $6$ です。

$-2x$${}- 1$${}= 6x$${}- 9$ より、2本の接線は $x$${}= 1$ で交わります。放物線はどちらの接線よりも上にあり

区間を交点 $x$${}= 1$ で分けて

接線の交点の $x$ 座標は、2つの接点のちょうど真ん中（$\dfrac{-1 + 3}{2}$${}= 1$）になります。検算に使えます。

$m$${}= 4,$${}\ -8$

交点の $x$ 座標は、$x^2$${}- 2x$${}= mx$ より $x\{x - (m + 2)\}$${}= 0$ で、$x$${}= 0,$$\ m$${}+ 2$ です。囲まれた部分ができるには $m$${}+ 2$${}\neq 0$ が必要です。

2つの交点の間では直線が放物線より上にあり、「上 − 下」$= -x\{x - (m + 2)\}$ です。交点の差は $|m + 2|$ なので

$m$${}+ 2$${}= \pm 6$ より

$m$${}+ 2$${}> 0$ と決めつけると $m$${}= -8$（交点が $x$${}= -6,$$\ 0$ の場合）を落とします。交点の大小がわからないときは、差を絶対値で書きます。

$\dfrac{27}{4}$

$y'$${}= 3x^2$${}- 1$ より、接線の傾きは $2$ で、$\ell:\ y$${}= 2x$${}- 2$ です。

$C$ と $\ell$ の共有点を求めます。$x$${}= 1$ で接しているので、差は $(x - 1)^2$ で割り切れます。