目次 ／ 微分積分 ／ 数学II

第8章　定積分

—— 原始関数の「差」で、決まった値を取り出す ——

第7章の不定積分には、いつも積分定数 $C$ がついて回りました。この章では、原始関数の2つの値の「差」をとることで $C$ を消し、1つの数として決まる**定積分**を学びます。計算の書き方 $\left[F(x)\right]_a^b$、区間を分けたりつないだりする性質、対称な区間での近道を身につけたあと、微分と積分が本当に「逆の関係」にあることを示す**微分積分学の基本定理**へ進みます。最後に、式の中に定積分を含む関数を決める問題を扱います。次の第9章では、定積分を使って図形の面積を求めます。

問題マップ記録を読み込み中…
基1基2基3基4基51234567891011121314151617181920
未回答 25× 0○ 01か月定着 0

定積分とは

第7章では、f(x)f(x) の原始関数 F(x)F(x) を求めると、必ず積分定数 CC が残りました。ところが、原始関数の2つの値の差 F(b)F(b)−F(a){}- F(a) を考えると、事情が変わります。F(x)F(x)+C{}+ C で計算しても

{F(b)+C}\displaystyle \{F(b) + C\}−{F(a)+C}\displaystyle {}- \{F(a) + C\}=F(b)\displaystyle {}= F(b)−F(a)\displaystyle {}- F(a)

となり、CC は引き算で消えてしまいます。どの原始関数を選んでも同じ値になるので、これを1つの数として名前をつけます。

公式1：定積分

f(x)f(x) の原始関数の1つを F(x)F(x) とするとき

∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=[ F(x) ]ab\displaystyle {}= \Big[\,F(x)\,\Big]_a^b=F(b)\displaystyle {}= F(b)−F(a)\displaystyle {}- F(a)

を、f(x)f(x) の aa から bb までの定積分という。

  • aa を下端、bb を上端といいます。[ F(x) ]ab\Big[\,F(x)\,\Big]_a^b は「F(b)F(b)−F(a){}- F(a) を計算しなさい」という記号です。
  • 定積分の答えは xx を含まない数です。積分定数 CC は書きません。
  • 積分する文字は何でもかまいません。∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=∫abf(t) dt\displaystyle {}= \int_a^b f(t)\,dt です。

車の走行距離計（オドメーター）を思い浮かべてください。ドライブの前に「12345 km」、帰ってきたら「12405 km」なら、走った距離は差の 6060 km です。この計算に、メーターが新車のときに 00 から始まったか、中古車で途中の値から始まったかは関係ありません。メーターの最初の目盛りが積分定数 CC にあたり、差をとればどこから数え始めても同じ答えになります。

定積分は、原始関数の「終わりの値 − 始めの値」で、CC は引き算で消えるので1つの数に決まるということです。

例題1：定積分の計算

定積分 ∫13(3x2−2x) dx\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x)\,dx を求めなさい。

【解答】

3x23x^2−2x{}- 2x の原始関数の1つは x3x^3−x2{}- x^2 です（CC は書きません）。

∫13(3x2−2x) dx\displaystyle \int_1^3 (3x^2 - 2x)\,dx=[ x3−x2 ]13\displaystyle {}= \Big[\,x^3 - x^2\,\Big]_1^3=(27−9)\displaystyle {}= (27 - 9)−(1−1)\displaystyle {}- (1 - 1)=18‾\displaystyle {}= \underline{18}

※ 上端を代入した値から、下端を代入した値を引きます。下端側の値にも括弧をつけて、符号のミスを防ぎましょう。

定積分の性質

定積分は原始関数の差なので、第7章の不定積分の性質（定数倍・和・差）がそのまま引き継がれます。さらに、積分する区間についての性質が加わります。

公式2：定積分の性質

kk を定数とするとき

∫abkf(x) dx\displaystyle \int_a^b kf(x)\,dx=k∫abf(x) dx,\displaystyle {}= k\int_a^b f(x)\,dx,∫ab{f(x)±g(x)} dx\displaystyle \int_a^b \{f(x) \pm g(x)\}\,dx=∫abf(x) dx\displaystyle {}= \int_a^b f(x)\,dx±∫abg(x) dx\displaystyle {}\pm \int_a^b g(x)\,dx(複号同順)\displaystyle (\text{複号同順})

区間については

∫aaf(x) dx\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx=0,\displaystyle {}= 0,∫baf(x) dx\displaystyle \int_b^a f(x)\,dx=−∫abf(x) dx,\displaystyle {}= -\int_a^b f(x)\,dx,∫acf(x) dx\displaystyle \int_a^c f(x)\,dx+∫cbf(x) dx\displaystyle {}+ \int_c^b f(x)\,dx=∫abf(x) dx\displaystyle {}= \int_a^b f(x)\,dx
  • どれも F(b)F(b)−F(a){}- F(a) に当てはめれば確かめられます。たとえば3つめは {F(c)−F(a)}\{F(c) - F(a)\}+{F(b)−F(c)}{}+ \{F(b) - F(c)\}=F(b){}= F(b)−F(a){}- F(a) です。
  • 区間が同じ積分どうしは、先に1つにまとめてから計算すると楽になります。
  • 絶対値のついた関数は、中身の符号が変わる xx で区間を分け、それぞれで絶対値を外して積分します。

駅伝のコースを考えましょう。1区のスタートから3区のゴールまでの距離は、1区・2区・3区の距離を足したものです。区間をどこで区切っても合計は変わりません。また、ゴールからスタートへ逆向きにたどれば、進んだ量は符号が反対になります。スタートとゴールが同じ地点なら、進んだ量は 00 です。定積分の区間の性質は、この当たり前の感覚を式にしたものです。

定積分は、同じ区間ならまとめられ、区間は途中で区切って足してもよく、上端と下端を入れかえると符号が変わるということです。

例題2：性質を使った計算

次の定積分を求めなさい。

(1) ∫13(x2+2x) dx\displaystyle \int_1^3 (x^2 + 2x)\,dx−∫13(x2−x) dx\displaystyle {}- \int_1^3 (x^2 - x)\,dx　　(2) ∫03∣x−2∣ dx\displaystyle\int_0^3 |x - 2|\,dx

【解答】

(1) 区間が同じなので、1つにまとめます。

∫13{(x2+2x)−(x2−x)} dx\displaystyle \int_1^3 \{(x^2 + 2x) - (x^2 - x)\}\,dx=∫133x dx\displaystyle {}= \int_1^3 3x\,dx=[ 32x2 ]13\displaystyle {}= \Big[\,\frac{3}{2}x^2\,\Big]_1^3=32(9−1)\displaystyle {}= \frac{3}{2}(9 - 1)=12‾\displaystyle {}= \underline{12}

(2) xx−2{}- 2 は xx=2{}= 2 で符号が変わります。00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では ∣x−2∣|x - 2|=−(x−2){}= -(x - 2)，22≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 では ∣x−2∣|x - 2|=x{}= x−2{}- 2 なので

∫03∣x−2∣ dx\displaystyle \int_0^3 |x - 2|\,dx=∫02(2−x) dx\displaystyle {}= \int_0^2 (2 - x)\,dx+∫23(x−2) dx\displaystyle {}+ \int_2^3 (x - 2)\,dx=[ 2x−12x2 ]02\displaystyle = \Big[\,2x - \frac{1}{2}x^2\,\Big]_0^2+[ 12x2−2x ]23\displaystyle {}+ \Big[\,\frac{1}{2}x^2 - 2x\,\Big]_2^3=2\displaystyle {}= 2+{(92−6)−(2−4)}\displaystyle {}+ \left\{\left(\frac{9}{2} - 6\right) - (2 - 4)\right\}=2\displaystyle {}= 2+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}=52‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{2}}

※ (2) で絶対値を外さずに「12x2\dfrac{1}{2}x^2−2x{}- 2x に絶対値をつける」ような計算はできません。必ず区間を分けます。

対称な区間の定積分

下端と上端が −a-a と aa のように原点について対称なときは、計算を大きく省けます。

x3x^3 の原始関数 14x4\dfrac{1}{4}x^4 は、xx と −x-x で同じ値をとります。そのため [ 14x4 ]−aa\Big[\,\dfrac{1}{4}x^4\,\Big]_{-a}^{a}=0{}= 0 です。一方、x2x^2 の原始関数 13x3\dfrac{1}{3}x^3 は、−x-x で符号だけが反対になるので、[ 13x3 ]−aa\Big[\,\dfrac{1}{3}x^3\,\Big]_{-a}^{a}=23a3{}= \dfrac{2}{3}a^3 となり、00 から aa までの2倍になります。

公式3：−a-a から aa までの定積分
∫−aax偶数 dx\displaystyle \int_{-a}^{a} x^{\text{偶数}}\,dx=2∫0ax偶数 dx,\displaystyle {}= 2\int_0^a x^{\text{偶数}}\,dx,∫−aax奇数 dx\displaystyle \int_{-a}^{a} x^{\text{奇数}}\,dx=0\displaystyle {}= 0
  • 定数（x0x^0）は偶数の仲間です。∫−aak dx\displaystyle \int_{-a}^{a} k\,dx=2ka\displaystyle {}= 2ka。
  • 多項式は、奇数次の項を消し、偶数次の項だけを 00 から aa まで積分して2倍します。

左右対称な切り絵は、紙を半分に折って片側だけ切れば、開いたときに全体ができあがります。偶数次の項は yy 軸について対称なグラフなので、片側（00 から aa）だけ計算して2倍すれば足ります。奇数次の項は原点について対称で、右側と左側がちょうど打ち消し合って 00 になります（面積との関係は第9章でくわしく見ます）。

−a-a から aa までの定積分は、奇数次の項は 00 として捨て、偶数次の項だけを 00 から aa まで積分して2倍すればよいということです。

例題3：対称な区間の定積分

定積分 ∫−22(x3+3x2−x+1) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - x + 1)\,dx を求めなさい。

【解答】

奇数次の項 x3x^3，−x-x の積分は 00 になるので、偶数次の項だけを残します。

∫−22(x3+3x2−x+1) dx\displaystyle \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - x + 1)\,dx=2∫02(3x2+1) dx\displaystyle {}= 2\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx=2[ x3+x ]02\displaystyle {}= 2\Big[\,x^3 + x\,\Big]_0^2=2⋅10\displaystyle {}= 2 \cdot 10=20‾\displaystyle {}= \underline{20}

※ ふつうに計算しても [ 14x4+x3−12x2+x ]−22\Big[\,\dfrac{1}{4}x^4 + x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + x\,\Big]_{-2}^{2}=(4+8−2+2){}= (4 + 8 - 2 + 2)−(4−8−2−2){}- (4 - 8 - 2 - 2)=12{}= 12−(−8){}- (-8)=20{}= 20 で、同じ答えになります。

微分積分学の基本定理

定積分の上端を定数 bb ではなく変数 xx にすると、定積分は xx の関数になります。このとき、積分の中の文字は xx と区別するために tt などに変えておきます。

∫axf(t) dt\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt=[ F(t) ]ax\displaystyle {}= \Big[\,F(t)\,\Big]_a^x=F(x)\displaystyle {}= F(x)−F(a)\displaystyle {}- F(a)

右辺を xx で微分すると、F(a)F(a) は定数なので消え、F′(x)F'(x)=f(x){}= f(x) が残ります。

公式4：微分積分学の基本定理

aa を定数とするとき

ddx∫axf(t) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\displaystyle {}= f(x)
  • ddx\dfrac{d}{dx} は「xx で微分する」という記号で、ここでは (∫axf(t) dt)′\Big(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\Big)' と同じ意味です（くわしい使い方は数IIIで学びます）。
  • xx=a{}= a を代入すると ∫aaf(t) dt\displaystyle \int_a^a f(t)\,dt=0\displaystyle {}= 0 です。「xx=a{}= a を代入」と「両辺を微分」の2つが、この形の問題の決め手になります。

浴槽に蛇口から水をためている場面を考えます。ある時刻までにたまった水の量を ∫axf(t) dt\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt、蛇口から出る水の勢い（1分あたりの量）を f(t)f(t) とします。「たまった水の量が、今この瞬間どれだけの割合で増えているか」を聞かれたら、答えは「今の蛇口の勢い f(x)f(x)」です。これまでにどれだけためたかは関係ありません。

y t O a x x + h a から x までの定積分 （x の関数） 増え分 ≒ f(x)·h y = f(t)

下端が定数で上端が xx の定積分は、xx で微分すると中身の関数 f(x)f(x) に戻る、つまり積分と微分は打ち消し合う逆の操作だということです。

例題4：上端が x の定積分を含む等式

等式 ∫axf(t) dt\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt=x2\displaystyle {}= x^2−3x\displaystyle {}- 3x+2\displaystyle {}+ 2 を満たす関数 f(x)f(x) と定数 aa の値を求めなさい。

【解答】

両辺を xx で微分すると、公式4より

f(x)=2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}f(x) = 2x}−3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}- 3}

また、等式に xx=a{}= a を代入すると、左辺は ∫aaf(t) dt\displaystyle \int_a^a f(t)\,dt=0\displaystyle {}= 0 なので

0\displaystyle 0=a2\displaystyle {}= a^2−3a\displaystyle {}- 3a+2\displaystyle {}+ 2=(a−1)(a−2)\displaystyle {}= (a - 1)(a - 2)より\displaystyle \text{より}a=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}a = 1,} 2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 2}

※ 確かめ：aa=1{}= 1 なら ∫1x(2t−3) dt\displaystyle \int_1^x (2t - 3)\,dt=[ t2−3t ]1x\displaystyle {}= \Big[\,t^2 - 3t\,\Big]_1^x=x2\displaystyle {}= x^2−3x\displaystyle {}- 3x+2\displaystyle {}+ 2 となり、たしかに成り立ちます（aa=2{}= 2 も同様です）。

定積分を含む関数

∫01f(t) dt\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt のように、下端も上端も定数の定積分は、中身が何であっても計算すれば1つの数になります。そこで、関数の式の中にこの形が入っているときは、まず定数とおいてしまいます。

公式5：定積分を含む関数の決め方

f(x)=g(x)+∫abf(t) dtf(x) = g(x) + \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt（aa，bb は定数）の形の等式では

  1. ∫abf(t) dt\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt=k\displaystyle {}= k（定数）とおき、f(x)f(x)=g(x){}= g(x)+k{}+ k と表す。
  2. この f(t)f(t) を ∫abf(t) dt\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt に代入して計算し、=k= k として kk の方程式を作る。
  3. 方程式を解いて kk を求め、f(x)f(x) に戻す。
  • 上端が xx のとき（公式4の形）は定数ではないので、この方法は使えません。見分けが大切です。

推理小説で、名前のわからない人物をとりあえず「黒い帽子の男」と呼んで話を進めると、最後に「その男は執事だった」と正体が明かされます。∫abf(t) dt\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt も、見た目は複雑でも正体は1つの数なので、いったん kk という仮の名前で呼んで計算を進め、最後に正体を突き止めます。

端が両方とも定数の定積分はただの数なので、kk とおいて f(x)f(x) を表し、kk の方程式を解けば関数が決まるということです。

例題5：定積分を含む関数

等式 f(x)=3x2−2x+∫02f(t) dtf(x) = 3x^2 - 2x + \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt を満たす関数 f(x)f(x) を求めなさい。

【解答】

∫02f(t) dt\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt=k\displaystyle {}= k とおくと、f(x)f(x)=3x2{}= 3x^2−2x{}- 2x+k{}+ k です。これを代入して

k\displaystyle k=∫02(3t2−2t+k) dt\displaystyle {}= \int_0^2 (3t^2 - 2t + k)\,dt=[ t3−t2+kt ]02\displaystyle {}= \Big[\,t^3 - t^2 + kt\,\Big]_0^2=8\displaystyle {}= 8−4\displaystyle {}- 4+2k\displaystyle {}+ 2k=4\displaystyle {}= 4+2k\displaystyle {}+ 2k

kk=4{}= 4+2k{}+ 2k より kk=−4{}= -4。よって

f(x)=3x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}f(x) = 3x^2}−2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}- 2x}−4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}- 4}

※ 確かめ：∫02(3t2−2t−4) dt\displaystyle \int_0^2 (3t^2 - 2t - 4)\,dt=8\displaystyle {}= 8−4\displaystyle {}- 4−8\displaystyle {}- 8=−4\displaystyle {}= -4 で、たしかに kk=−4{}= -4 になっています。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

定積分 ∫023x2 dx\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

[ x3 ]02\Big[\,x^3\,\Big]_0^2=8‾{}= \underline{8}

自己採点：
記録を読み込み中…

問2

定積分 ∫12(2x+1) dx\displaystyle\int_1^2 (2x + 1)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

[ x2+x ]12\Big[\,x^2 + x\,\Big]_1^2=6{}= 6−2{}- 2=4‾{}= \underline{4}

自己採点：
記録を読み込み中…

問3

定積分 ∫−11(x2+x) dx\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^2 + x)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

奇数次の xx は 00。2∫01x2 dx=2⋅13=23‾2\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \underline{\frac{2}{3}}

自己採点：
記録を読み込み中…

問4

定積分 ∫22(x3−5x+1) dx\displaystyle\int_2^2 (x^3 - 5x + 1)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

下端と上端が等しいので 0‾\underline{0}

自己採点：
記録を読み込み中…

問5

ddx∫1x(t2−3t) dt\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^x (t^2 - 3t)\,dt を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

微分積分学の基本定理より x2‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}−3x‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 3x}

自己採点：
記録を読み込み中…

実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

定積分 ∫13(x2−2x+3) dx\displaystyle\int_1^3 (x^2 - 2x + 3)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

203\dfrac{20}{3}

解説
∫13(x2−2x+3) dx\displaystyle \int_1^3 (x^2 - 2x + 3)\,dx=[ 13x3−x2+3x ]13\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x\,\Big]_1^3=(9−9+9)\displaystyle {}= (9 - 9 + 9)−(13−1+3)\displaystyle {}- \left(\frac{1}{3} - 1 + 3\right) =9\displaystyle = 9−73\displaystyle {}- \frac{7}{3}=203‾\displaystyle {}= \underline{\frac{20}{3}}
自己採点：
記録を読み込み中…

問2　★

定積分 ∫−12(3x2+4x−1) dx\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2 + 4x - 1)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

1212

解説
∫−12(3x2+4x−1) dx\displaystyle \int_{-1}^{2} (3x^2 + 4x - 1)\,dx=[ x3+2x2−x ]−12\displaystyle {}= \Big[\,x^3 + 2x^2 - x\,\Big]_{-1}^{2}=(8+8−2)\displaystyle {}= (8 + 8 - 2)−(−1+2+1)\displaystyle {}- (-1 + 2 + 1)=14\displaystyle {}= 14−2\displaystyle {}- 2=12‾\displaystyle {}= \underline{12}

（下端 −1-1 を代入するときは、(−1)3(-1)^3=−1{}= -1，2⋅(−1)22 \cdot (-1)^2=2{}= 2，−(−1)-(-1)=1{}= 1 と1項ずつ符号を確かめます。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問3　★

定積分 ∫01(x+1)(x−2) dx\displaystyle\int_0^1 (x + 1)(x - 2)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

−136-\dfrac{13}{6}

解説

(x+1)(x−2)(x + 1)(x - 2)=x2{}= x^2−x{}- x−2{}- 2 なので

∫01(x2−x−2) dx\displaystyle \int_0^1 (x^2 - x - 2)\,dx=[ 13x3−12x2−2x ]01\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x\,\Big]_0^1=13\displaystyle {}= \frac{1}{3}−12\displaystyle {}- \frac{1}{2}−2\displaystyle {}- 2=−136‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{13}{6}}

（定積分の値は負になることもあります。下端が 00 なので、引く側は 00 です。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問4　★

定積分 ∫−21(2x−1)2 dx\displaystyle\int_{-2}^{1} (2x - 1)^2\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

2121

解説

(2x−1)2(2x - 1)^2=4x2{}= 4x^2−4x{}- 4x+1{}+ 1 なので

∫−21(4x2−4x+1) dx\displaystyle \int_{-2}^{1} (4x^2 - 4x + 1)\,dx=[ 43x3−2x2+x ]−21\displaystyle {}= \Big[\,\frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x\,\Big]_{-2}^{1} =(43−2+1)\displaystyle = \left(\frac{4}{3} - 2 + 1\right)−(−323−8−2)\displaystyle {}- \left(-\frac{32}{3} - 8 - 2\right)=13\displaystyle {}= \frac{1}{3}+323\displaystyle {}+ \frac{32}{3}+10\displaystyle {}+ 10=21‾\displaystyle {}= \underline{21}
自己採点：
記録を読み込み中…

問5　★

∫13(x2+1) dx\displaystyle \int_1^3 (x^2 + 1)\,dx−∫13(x2−2x) dx\displaystyle {}- \int_1^3 (x^2 - 2x)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

1010

解説

区間が同じなので1つにまとめます。(x2+1)(x^2 + 1)−(x2−2x){}- (x^2 - 2x)=2x{}= 2x+1{}+ 1 より

∫13(2x+1) dx\displaystyle \int_1^3 (2x + 1)\,dx=[ x2+x ]13\displaystyle {}= \Big[\,x^2 + x\,\Big]_1^3=12\displaystyle {}= 12−2\displaystyle {}- 2=10‾\displaystyle {}= \underline{10}
自己採点：
記録を読み込み中…

問6　★

∫−11(x2+1) dx\displaystyle \int_{-1}^{1} (x^2 + 1)\,dx+∫12(x2+1) dx\displaystyle {}+ \int_1^2 (x^2 + 1)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

66

解説

中身が同じで、1つめの上端と2つめの下端がどちらも 11 なので、区間をつなげます。

∫−12(x2+1) dx\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 + 1)\,dx=[ 13x3+x ]−12\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3 + x\,\Big]_{-1}^{2}=(83+2)\displaystyle {}= \left(\frac{8}{3} + 2\right)−(−13−1)\displaystyle {}- \left(-\frac{1}{3} - 1\right)=3\displaystyle {}= 3+3\displaystyle {}+ 3=6‾\displaystyle {}= \underline{6}
自己採点：
記録を読み込み中…

問7　★

定積分 ∫−33(x3−2x2+5x+4) dx\displaystyle\int_{-3}^{3} (x^3 - 2x^2 + 5x + 4)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

−12-12

解説

奇数次の項 x3x^3，5x5x は消えるので

∫−33(x3−2x2+5x+4) dx\displaystyle \int_{-3}^{3} (x^3 - 2x^2 + 5x + 4)\,dx=2∫03(−2x2+4) dx\displaystyle {}= 2\int_0^3 (-2x^2 + 4)\,dx=2[ −23x3+4x ]03\displaystyle {}= 2\Big[\,-\frac{2}{3}x^3 + 4x\,\Big]_0^3=2(−18+12)\displaystyle {}= 2(-18 + 12)=−12‾\displaystyle {}= \underline{-12}
自己採点：
記録を読み込み中…

問8　★

関数 F(x)=∫1x(3t2−2t+5) dtF(x) = \displaystyle\int_1^x (3t^2 - 2t + 5)\,dt について、F′(2)F'(2) と F(1)F(1) の値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

F′(2)F'(2)=13{}= 13，F(1)F(1)=0{}= 0

解説

微分積分学の基本定理より F′(x)F'(x)=3x2{}= 3x^2−2x{}- 2x+5{}+ 5 なので

F′(2)\displaystyle F'(2)=12\displaystyle {}= 12−4\displaystyle {}- 4+5\displaystyle {}+ 5=13‾\displaystyle {}= \underline{13}

また、F(1)=∫11(3t2−2t+5) dt=0‾F(1) = \displaystyle\int_1^1 (3t^2 - 2t + 5)\,dt = \underline{0}（下端と上端が等しい）です。

（F(x)F(x) を計算してから微分してもよいですが、基本定理を使えば積分の計算は要りません。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問9　★★

定積分 ∫04∣x−1∣ dx\displaystyle\int_0^4 |x - 1|\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

55

解説

xx−1{}- 1 は xx=1{}= 1 で符号が変わるので、区間を分けます。

∫04∣x−1∣ dx\displaystyle \int_0^4 |x - 1|\,dx=∫01(1−x) dx\displaystyle {}= \int_0^1 (1 - x)\,dx+∫14(x−1) dx\displaystyle {}+ \int_1^4 (x - 1)\,dx =[ x−12x2 ]01\displaystyle = \Big[\,x - \frac{1}{2}x^2\,\Big]_0^1+[ 12x2−x ]14\displaystyle {}+ \Big[\,\frac{1}{2}x^2 - x\,\Big]_1^4=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}+{(8−4)−(12−1)}\displaystyle {}+ \left\{(8 - 4) - \left(\frac{1}{2} - 1\right)\right\}=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}+92\displaystyle {}+ \frac{9}{2}=5‾\displaystyle {}= \underline{5}
自己採点：
記録を読み込み中…

問10　★★

定積分 ∫03∣x2−3x+2∣ dx\displaystyle\int_0^3 |x^2 - 3x + 2|\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

116\dfrac{11}{6}

解説

x2x^2−3x{}- 3x+2{}+ 2=(x−1)(x−2){}= (x - 1)(x - 2) は、11<x{}< x<2{}< 2 で負、それ以外で 00 以上です。G(x)G(x)=13x3{}= \dfrac{1}{3}x^3−32x2{}- \dfrac{3}{2}x^2+2x{}+ 2x とおくと

G(0)\displaystyle G(0)=0,\displaystyle {}= 0,G(1)\displaystyle G(1)=56,\displaystyle {}= \frac{5}{6},G(2)\displaystyle G(2)=23,\displaystyle {}= \frac{2}{3},G(3)\displaystyle G(3)=32\displaystyle {}= \frac{3}{2} ∫03∣x2−3x+2∣ dx\displaystyle \int_0^3 |x^2 - 3x + 2|\,dx=[ G(x) ]01\displaystyle {}= \Big[\,G(x)\,\Big]_0^1−[ G(x) ]12\displaystyle {}- \Big[\,G(x)\,\Big]_1^2+[ G(x) ]23\displaystyle {}+ \Big[\,G(x)\,\Big]_2^3 =56\displaystyle = \frac{5}{6}−(23−56)\displaystyle {}- \left(\frac{2}{3} - \frac{5}{6}\right)+(32−23)\displaystyle {}+ \left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3}\right)=56\displaystyle {}= \frac{5}{6}+16\displaystyle {}+ \frac{1}{6}+56\displaystyle {}+ \frac{5}{6}=116‾\displaystyle {}= \underline{\frac{11}{6}}

（負になる区間 11≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 だけ、符号を反対にして足します。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問11　★★

定積分 ∫13(x−1)(x−3) dx\displaystyle\int_1^3 (x - 1)(x - 3)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

−43-\dfrac{4}{3}

解説

展開すると x2x^2−4x{}- 4x+3{}+ 3 なので

∫13(x2−4x+3) dx\displaystyle \int_1^3 (x^2 - 4x + 3)\,dx=[ 13x3−2x2+3x ]13\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\,\Big]_1^3=(9−18+9)\displaystyle {}= (9 - 18 + 9)−(13−2+3)\displaystyle {}- \left(\frac{1}{3} - 2 + 3\right)=0\displaystyle {}= 0−43\displaystyle {}- \frac{4}{3}=−43‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{4}{3}}

（下端と上端が、かっこの中を 00 にする値になっている形です。実践問題17で、この形の近道の公式を導きます。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問12　★★

等式 f(x)=x2−2x+2∫01f(t) dtf(x) = x^2 - 2x + 2\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt を満たす関数 f(x)f(x) を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

f(x)f(x)=x2{}= x^2−2x{}- 2x+43{}+ \dfrac{4}{3}

解説

∫01f(t) dt\displaystyle \int_0^1 f(t)\,dt=k\displaystyle {}= k とおくと f(x)f(x)=x2{}= x^2−2x{}- 2x+2k{}+ 2k です。

k\displaystyle k=∫01(t2−2t+2k) dt\displaystyle {}= \int_0^1 (t^2 - 2t + 2k)\,dt=[ 13t3−t2+2kt ]01\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}t^3 - t^2 + 2kt\,\Big]_0^1=13\displaystyle {}= \frac{1}{3}−1\displaystyle {}- 1+2k\displaystyle {}+ 2k

kk=−23{}= -\dfrac{2}{3}+2k{}+ 2k より kk=23{}= \dfrac{2}{3}。よって 2k2k=43{}= \dfrac{4}{3} で

f(x)=x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}f(x) = x^2}−2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 2x}+43‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{4}{3}}
自己採点：
記録を読み込み中…

問13　★★

等式 ∫axf(t) dt\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt=x2\displaystyle {}= x^2+x\displaystyle {}+ x−6\displaystyle {}- 6 を満たす関数 f(x)f(x) と定数 aa の値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

f(x)f(x)=2x{}= 2x+1{}+ 1，aa=2,{}= 2, −3{}\ -3

解説

両辺を xx で微分して

f(x)=2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}f(x) = 2x}+1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}+ 1}

xx=a{}= a を代入すると左辺は 00 なので

a2\displaystyle a^2+a\displaystyle {}+ a−6\displaystyle {}- 6=(a−2)(a+3)\displaystyle {}= (a - 2)(a + 3)=0\displaystyle {}= 0より\displaystyle \text{より}a=2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}a = 2,} −3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}\ -3}
自己採点：
記録を読み込み中…

問14　★★

関数 F(x)=∫0x(t2−t−2) dtF(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - t - 2)\,dt の極値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

xx=−1{}= -1 で極大値 76\dfrac{7}{6}，xx=2{}= 2 で極小値 −103-\dfrac{10}{3}

解説

基本定理より F′(x)F'(x)=x2{}= x^2−x{}- x−2{}- 2=(x+1)(x−2){}= (x + 1)(x - 2) です。また

F(x)\displaystyle F(x)=[ 13t3−12t2−2t ]0x\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 - 2t\,\Big]_0^x=13x3\displaystyle {}= \frac{1}{3}x^3−12x2\displaystyle {}- \frac{1}{2}x^2−2x\displaystyle {}- 2x
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots22⋯\cdots
F′(x)F'(x)++00−-00++
F(x)F(x)↗\nearrow極大 76\frac{7}{6}↘\searrow極小 −103-\frac{10}{3}↗\nearrow
F(−1)\displaystyle F(-1)=−13\displaystyle {}= -\frac{1}{3}−12\displaystyle {}- \frac{1}{2}+2\displaystyle {}+ 2=76,\displaystyle {}= \frac{7}{6},F(2)\displaystyle F(2)=83\displaystyle {}= \frac{8}{3}−2\displaystyle {}- 2−4\displaystyle {}- 4=−103\displaystyle {}= -\frac{10}{3} x=−1 で極大値 76,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = -1\ \text{で極大値}\ \frac{7}{6},}x=2 で極小値‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad x = 2\ \text{で極小値}} −103‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}\ -\frac{10}{3}}
自己採点：
記録を読み込み中…

問15　★★

1次関数 f(x)f(x) が ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=3\displaystyle {}= 3，∫01xf(x) dx\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=1\displaystyle {}= 1 を満たすとき、f(x)f(x) を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

f(x)f(x)=−6x{}= -6x+6{}+ 6

解説

f(x)f(x)=ax{}= ax+b{}+ b（aa≠0{}\neq 0）とおきます。

∫01(ax+b) dx\displaystyle \int_0^1 (ax + b)\,dx=a2\displaystyle {}= \frac{a}{2}+b\displaystyle {}+ b=3,\displaystyle {}= 3,∫01(ax2+bx) dx\displaystyle \int_0^1 (ax^2 + bx)\,dx=a3\displaystyle {}= \frac{a}{3}+b2\displaystyle {}+ \frac{b}{2}=1\displaystyle {}= 1

分母を払うと aa+2b{}+ 2b=6{}= 6，2a2a+3b{}+ 3b=6{}= 6。1つめを2倍して引くと bb=6{}= 6，よって aa=−6{}= -6。

f(x)=−6x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}f(x) = -6x}+6‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}+ 6}

（aa=−6{}= -6≠0{}\neq 0 なので、たしかに1次関数です。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問16　★★

定積分 ∫−22(x−1)(x+1)(x+3) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} (x - 1)(x + 1)(x + 3)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

44

解説

(x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1)=x2{}= x^2−1{}- 1 なので、(x2−1)(x+3)(x^2 - 1)(x + 3)=x3{}= x^3+3x2{}+ 3x^2−x{}- x−3{}- 3 です。区間が −2-2 から 22 なので、奇数次の項 x3x^3，−x-x は消えます。

2∫02(3x2−3) dx\displaystyle 2\int_0^2 (3x^2 - 3)\,dx=2[ x3−3x ]02\displaystyle {}= 2\Big[\,x^3 - 3x\,\Big]_0^2=2(8−6)\displaystyle {}= 2(8 - 6)=4‾\displaystyle {}= \underline{4}
自己採点：
記録を読み込み中…

問17　★★★

α\alpha<β{}< \beta のとき ∫αβ(x−α)(x−β) dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)\,dx=−(β−α)36\displaystyle {}= -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6} であることを示し、これを用いて定積分 ∫1−31+3(x2−2x−2) dx\displaystyle\int_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} (x^2 - 2x - 2)\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

（証明は解説）−43-4\sqrt{3}

解説

xx−β{}- \beta=(x−α){}= (x - \alpha)−(β−α){}- (\beta - \alpha) と書きかえると

(x−α)(x−β)\displaystyle (x - \alpha)(x - \beta)=(x−α)2\displaystyle {}= (x - \alpha)^2−(β−α)(x−α)\displaystyle {}- (\beta - \alpha)(x - \alpha)

第7章 j10 で見たとおり、13(x−α)3\dfrac{1}{3}(x - \alpha)^3 を展開して微分すると (x−α)2(x - \alpha)^2 になるので、これは (x−α)2(x - \alpha)^2 の原始関数です。同様に 12(x−α)2\dfrac{1}{2}(x - \alpha)^2 は xx−α{}- \alpha の原始関数です。

∫αβ(x−α)(x−β) dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)\,dx=[ 13(x−α)3\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}(x - \alpha)^3−β−α2(x−α)2 ]αβ\displaystyle {}\qquad - \frac{\beta - \alpha}{2}(x - \alpha)^2\,\Big]_\alpha^\beta=(β−α)33\displaystyle {}= \frac{(\beta - \alpha)^3}{3}−(β−α)32\displaystyle {}- \frac{(\beta - \alpha)^3}{2}−0\displaystyle {}- 0=−(β−α)36\displaystyle {}= -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}

（証明終）

次に、x2x^2−2x{}- 2x−2{}- 2=0{}= 0 の解は xx=1{}= 1±3{}\pm \sqrt{3} なので、α\alpha=1{}= 1−3{}- \sqrt{3}，β\beta=1{}= 1+3{}+ \sqrt{3} として

x2\displaystyle x^2−2x\displaystyle {}- 2x−2\displaystyle {}- 2=(x−α)(x−β),\displaystyle {}= (x - \alpha)(x - \beta),β\displaystyle \beta−α\displaystyle {}- \alpha=23\displaystyle {}= 2\sqrt{3} ∫1−31+3(x2−2x−2) dx\displaystyle \int_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} (x^2 - 2x - 2)\,dx=−(23)36\displaystyle {}= -\frac{(2\sqrt{3})^3}{6}=−2436\displaystyle {}= -\frac{24\sqrt{3}}{6}=−43‾\displaystyle {}= \underline{-4\sqrt{3}}

（端に 3\sqrt{3} があるとそのまま代入するのは大変ですが、この公式なら一瞬です。第9章の面積でもよく使います。）

自己採点：
記録を読み込み中…

問18　★★★

等式 f(x)=2x+∫01(x+t)f(t) dtf(x) = 2x + \displaystyle\int_0^1 (x + t)f(t)\,dt を満たす関数 f(x)f(x) を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

f(x)f(x)=−12x{}= -12x−8{}- 8

解説

積分する文字は tt なので、xx は積分の外に出せます。

∫01(x+t)f(t) dt\displaystyle \int_0^1 (x + t)f(t)\,dt=x∫01f(t) dt\displaystyle {}= x\int_0^1 f(t)\,dt+∫01tf(t) dt\displaystyle {}+ \int_0^1 tf(t)\,dt

∫01f(t) dt\displaystyle \int_0^1 f(t)\,dt=a\displaystyle {}= a，∫01tf(t) dt\displaystyle \int_0^1 tf(t)\,dt=b\displaystyle {}= b（どちらも定数）とおくと、f(x)f(x)=(2+a)x{}= (2 + a)x+b{}+ b です。

a\displaystyle a=∫01{(2+a)t+b} dt\displaystyle {}= \int_0^1 \{(2 + a)t + b\}\,dt=2+a2\displaystyle {}= \frac{2 + a}{2}+b,\displaystyle {}+ b,b\displaystyle b=∫01{(2+a)t2+bt} dt\displaystyle {}= \int_0^1 \{(2 + a)t^2 + bt\}\,dt=2+a3\displaystyle {}= \frac{2 + a}{3}+b2\displaystyle {}+ \frac{b}{2}

2つめから bb=2(2+a)3{}= \dfrac{2(2 + a)}{3}。1つめに代入して6倍すると 6a6a=3(2+a){}= 3(2 + a)+4(2+a){}+ 4(2 + a)，つまり 6a6a=14{}= 14+7a{}+ 7a で aa=−14{}= -14。すると bb=2⋅(−12)3{}= \dfrac{2 \cdot (-12)}{3}=−8{}= -8。

f(x)=−12x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}f(x) = -12x}−8‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}- 8}

確かめ：∫01(−12t−8) dt\displaystyle \int_0^1 (-12t - 8)\,dt=−6\displaystyle {}= -6−8\displaystyle {}- 8=−14\displaystyle {}= -14=a\displaystyle {}= a，∫01(−12t2−8t) dt\displaystyle \int_0^1 (-12t^2 - 8t)\,dt=−4\displaystyle {}= -4−4\displaystyle {}- 4=−8\displaystyle {}= -8=b\displaystyle {}= b で、条件を満たします。

自己採点：
記録を読み込み中…

問19　★★★

aa を実数とする。S(a)=∫01∣x−a∣ dxS(a) = \displaystyle\int_0^1 |x - a|\,dx の最小値と、そのときの aa の値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

aa=12{}= \dfrac{1}{2} で最小値 14\dfrac{1}{4}

解説

xx=a{}= a が区間 00≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1 の中にあるかどうかで場合分けします。

(i) aa≦0{}\leqq 0 のとき　区間全体で xx−a{}- a≧0{}\geqq 0 なので

S(a)\displaystyle S(a)=∫01(x−a) dx\displaystyle {}= \int_0^1 (x - a)\,dx=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}−a\displaystyle {}- a≧12\displaystyle {}\geqq \frac{1}{2}

(ii) 00<a{}< a<1{}< 1 のとき　xx=a{}= a で区間を分けて

S(a)\displaystyle S(a)=∫0a(a−x) dx\displaystyle {}= \int_0^a (a - x)\,dx+∫a1(x−a) dx\displaystyle {}+ \int_a^1 (x - a)\,dx=a22\displaystyle {}= \frac{a^2}{2}+(1−a)22\displaystyle {}+ \frac{(1 - a)^2}{2}=a2\displaystyle {}= a^2−a\displaystyle {}- a+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}=(a−12)2\displaystyle {}= \left(a - \frac{1}{2}\right)^2+14\displaystyle {}+ \frac{1}{4}

（∫a1(x−a) dx\displaystyle \int_a^1 (x - a)\,dx=[ 12x2−ax ]a1\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{2}x^2 - ax\,\Big]_a^1=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}−a\displaystyle {}- a+a22\displaystyle {}+ \frac{a^2}{2}=(1−a)22\displaystyle {}= \frac{(1 - a)^2}{2} です。）

(iii) aa≧1{}\geqq 1 のとき　区間全体で xx−a{}- a≦0{}\leqq 0 なので

S(a)\displaystyle S(a)=∫01(a−x) dx\displaystyle {}= \int_0^1 (a - x)\,dx=a\displaystyle {}= a−12\displaystyle {}- \frac{1}{2}≧12\displaystyle {}\geqq \frac{1}{2}

(ii) の最小値 14\dfrac{1}{4}（aa=12{}= \dfrac{1}{2}）は、(i)・(iii) の値 12\dfrac{1}{2} 以上よりも小さいので

a=12 のとき最小値 14‾\underline{a = \frac{1}{2}\ \text{のとき最小値}\ \frac{1}{4}}
自己採点：
記録を読み込み中…

問20　★★★

関数 F(x)=∫xx+1(t2−2t) dtF(x) = \displaystyle\int_x^{x+1} (t^2 - 2t)\,dt の最小値と、そのときの xx の値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

xx=12{}= \dfrac{1}{2} で最小値 −1112-\dfrac{11}{12}

解説

G(t)G(t)=13t3{}= \dfrac{1}{3}t^3−t2{}- t^2 とおくと F(x)F(x)=G(x+1){}= G(x + 1)−G(x){}- G(x) です。

G(x+1)\displaystyle G(x + 1)−G(x)\displaystyle {}- G(x)=(x+1)3−x33\displaystyle {}= \frac{(x + 1)^3 - x^3}{3}−{(x+1)2−x2}\displaystyle {}- \{(x + 1)^2 - x^2\}=3x2+3x+13\displaystyle {}= \frac{3x^2 + 3x + 1}{3}−(2x+1)\displaystyle {}- (2x + 1) =x2\displaystyle = x^2−x\displaystyle {}- x−23\displaystyle {}- \frac{2}{3}=(x−12)2\displaystyle {}= \left(x - \frac{1}{2}\right)^2−1112\displaystyle {}- \frac{11}{12} x=12 のとき最小値‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = \frac{1}{2}\ \text{のとき最小値}} −1112‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}\ -\frac{11}{12}}

（F′(x)F'(x)=2x{}= 2x−1{}- 1 は、f(t)f(t)=t2{}= t^2−2t{}- 2t として f(x+1)f(x + 1)−f(x){}- f(x)=(x+1)2{}= (x + 1)^2−2(x+1){}- 2(x + 1)−x2{}- x^2+2x{}+ 2x=2x{}= 2x−1{}- 1 と一致します。区間の幅を 11 に保ったまま、中身が最も小さくなる位置へ区間をすべらせたことになります。）

自己採点：
記録を読み込み中…

数学小話コーナー

2200年前の「積分」— アルキメデスと放物線

積分の考え方は、ニュートンやライプニッツよりずっと前から芽生えていました。紀元前3世紀、古代ギリシャのアルキメデスは、放物線と1本の直線（弦）で囲まれた部分の面積が、同じ底辺と高さをもつ三角形の面積の 43\dfrac{4}{3} 倍になることを示しています。

方法はこうです。まず囲まれた部分に大きな三角形を1つはめ込み、残ったすき間に小さな三角形を2つ、さらにそのすき間に4つ……とはめ込んでいきます。新しく加わる三角形の面積の合計は、そのたびに前の 14\dfrac{1}{4} になるので、全体は 11+14{}+ \dfrac{1}{4}+116{}+ \dfrac{1}{16}+⋯{}+ \cdots=43{}= \dfrac{4}{3} 倍に近づきます。細かく分けたものを集めて全体を求める、という定積分の発想そのものです。

豆知識

アルキメデスが自分の発見のしかたを書いた『方法』という本は、長いあいだ失われていました。20世紀の初めに、中世の祈とう書の下に消し残されていた古い写本（羊皮紙を削って書き直したパリンプセスト）の中から見つかったのです。この写本は1998年に競売にかけられ、およそ200万ドルで落札されました。その後、X線などを使った解析で、消えかけた文字の多くが読み取られています。

薬の効き目を「面積」で測る

薬を飲むと、薬の成分は血液の中に入って濃度が上がり、やがて体の外へ出ていって下がっていきます。横軸を時間、縦軸を血液中の濃度にしてグラフをかくと、山のような形になります。

医薬品の世界では、このグラフと横軸で囲まれた部分の大きさを AUC（Area Under the Curve＝曲線の下の面積）と呼び、体がどれだけの量の薬にさらされたかの目安にしています。濃度の関数を時間で定積分した値です。たとえば、特許の切れた薬と同じ成分で作られるジェネリック医薬品は、もとの薬と AUC や最高濃度がほぼ同じになるかを確かめる試験を経て認められます。

「どれだけの時間、どれだけの濃さだったか」を1つの数にまとめる。定積分は、変化し続けるものの「合計の量」を測る道具として、実験室の外でも使われているのです。次の第9章では、この「曲線の下の面積」を実際に計算します。

1² + 2² + … + n² と、3分の1

数学Bで学ぶ公式に、121^2+22{}+ 2^2+⋯{}+ \cdots+n2{}+ n^2=n(n+1)(2n+1)6{}= \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} があります。この和を n3n^3 で割ってみましょう。

12+22+⋯+n2n3\displaystyle \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3}=16(1+1n)(2+1n)\displaystyle {}= \frac{1}{6}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)

nn を大きくしていくと、1n\dfrac{1}{n} は 00 に近づくので、この値は 26\dfrac{2}{6}=13{}= \dfrac{1}{3} に近づきます。

一方、定積分で計算すると ∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=13\displaystyle {}= \dfrac{1}{3} です。同じ 13\dfrac{1}{3} が出てくるのは偶然ではありません。左の式は、00 から 11 までを nn 等分して、高さ (kn)2\left(\dfrac{k}{n}\right)^2、幅 1n\dfrac{1}{n} の細い長方形を nn 本並べた面積の合計になっているのです。長方形を細くしていくと、合計は曲線の下の面積、つまり定積分に近づきます。このつながりは、数学IIIで区分求積法として学びます。

豆知識

「面積（積分）」と「接線（微分）」が表と裏の関係にあるという基本定理は、ニュートンのケンブリッジ大学での前任教授アイザック・バロウが、図形の言葉ですでに述べていたといわれます（※どこまで気づいていたかは諸説あり）。それを計算の道具として使いこなせる形にしたのが、ニュートンとライプニッツでした。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、定積分を F(b)F(b)−F(a){}- F(a) で計算し、基本定理を使えれば十分です。本文では定積分を「原始関数の差」で定めましたが、大学では面積のように細かく分けて足し合わせたものの極限で定積分を定め、そこから F(b)F(b)−F(a){}- F(a) で計算できることを証明します。第7章 定理3で予告した「連続関数は原始関数をもつ」も、ここで回収します。

定義1：定積分（リーマン和の極限）

関数 f(x)f(x) が閉区間 aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b で連続であるとする。区間を

a\displaystyle a=x0\displaystyle {}= x_0<x1\displaystyle {}< x_1<x2\displaystyle {}< x_2<⋯\displaystyle {}< \cdots<xn\displaystyle {}< x_n=b\displaystyle {}= b

と nn 個の小区間に分け、各小区間 xk−1x_{k-1}≦x{}\leqq x≦xk{}\leqq x_k から点 ckc_k を1つずつ選んで

S\displaystyle S=∑k=1nf(ck) (xk−xk−1)\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,(x_k - x_{k-1})

をつくる（リーマン和という）。小区間の幅の最大値を 00 に近づけるとき、分け方や ckc_k の選び方によらず SS が一定の値に近づくならば、その値を ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx と書き、f(x)f(x) の aa から bb までの定積分という。また ∫baf(x) dx\displaystyle \int_b^a f(x)\,dx=−∫abf(x) dx\displaystyle {}= -\int_a^b f(x)\,dx，∫aaf(x) dx\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx=0\displaystyle {}= 0 と定める。

f(ck)(xk−xk−1)f(c_k)(x_k - x_{k-1}) は、高さ f(ck)f(c_k)、幅 xkx_k−xk−1{}- x_{k-1} の細い長方形の面積です（f(ck)f(c_k)<0{}< 0 なら負の値として数える）。小話3の 12+22+⋯+n2n3\dfrac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} は、f(x)f(x)=x2{}= x^2 を nn 等分し、ckc_k を各小区間の右端にとったリーマン和です。f(x)f(x) が連続なら、この極限は必ず存在することが知られています（証明には実数の性質を深く使うので略します）。この定義から、公式2の性質（定数倍・和・区間の加法性）も導けます。さらに次の性質も成り立ちます。

定理1：定積分の大小

aa<b{}< b で、aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b においてつねに mm≦f(x){}\leqq f(x)≦M{}\leqq M ならば

m(b−a)\displaystyle m(b - a)≦∫abf(x) dx\displaystyle {}\leqq \int_a^b f(x)\,dx≦M(b−a)\displaystyle {}\leqq M(b - a)

証明　どのリーマン和も、m(xk−xk−1)m(x_k - x_{k-1})≦f(ck)(xk−xk−1){}\leqq f(c_k)(x_k - x_{k-1})≦M(xk−xk−1){}\leqq M(x_k - x_{k-1}) を kk=1{}= 1 から nn まで足して、m(b−a)m(b - a)≦S{}\leqq S≦M(b−a){}\leqq M(b - a) をみたす。極限をとっても不等号の向きは保たれる。（証明終）

定理2：積分の平均値の定理

f(x)f(x) が aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b（aa<b{}< b）で連続ならば

∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=f(c) (b−a)\displaystyle {}= f(c)\,(b - a)

をみたす cc が aa≦c{}\leqq c≦b{}\leqq b の範囲にある。

証明　第5章 定理1（最大値・最小値の定理）より、f(x)f(x) はこの区間で最小値 mm と最大値 MM をとる。定理1より

m\displaystyle m≦1b−a∫abf(x) dx\displaystyle {}\leqq \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx≦M\displaystyle {}\leqq M

真ん中の値を μ\mu とおく。f(x)f(x) は mm と MM の両方の値をとる連続関数なので、第6章 定理1（中間値の定理）より、f(c)f(c)=μ{}= \mu となる cc が区間内にある。（証明終）

1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx は、f(x)f(x) の区間での「平均の高さ」です。でこぼこした砂山を平らにならすと、どこかの地点の元の高さと一致する、というイメージです。第5章・第6章で証明を略した2つの定理が、ここで同時に活躍します。

定理3：微分積分学の基本定理（1）

f(x)f(x) が区間 II で連続で、aa が II の点ならば、S(x)=∫axf(t) dtS(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt は II で微分可能であり

S′(x)\displaystyle S'(x)=f(x)\displaystyle {}= f(x)

が成り立つ。とくに、連続関数は原始関数をもつ（第7章 定理3）。

証明　hh≠0{}\neq 0 とする。区間の加法性より

S(x+h)\displaystyle S(x + h)−S(x)\displaystyle {}- S(x)=∫xx+hf(t) dt\displaystyle {}= \int_x^{x+h} f(t)\,dt

定理2より、これは f(ch)⋅hf(c_h) \cdot h に等しい。ここで chc_h は xx と xx+h{}+ h の間の数である（hh<0{}< 0 のときも、上端と下端を入れかえて同じ式が得られる）。よって

S(x+h)−S(x)h\displaystyle \frac{S(x + h) - S(x)}{h}=f(ch)\displaystyle {}= f(c_h)

hh→0{}\to 0 のとき chc_h→x{}\to x であり、ff は連続なので f(ch)f(c_h)→f(x){}\to f(x)。したがって S′(x)S'(x)=f(x){}= f(x) である。（証明終）

本文の図 fig01 の「細い帯」を、きちんと式にしたのがこの証明です。帯の高さを「ほぼ f(x)f(x)」ではなく「ちょうど f(ch)f(c_h)」とできるのが、定理2のおかげです。

定理4：微分積分学の基本定理（2）

f(x)f(x) が aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b で連続で、F(x)F(x) がその原始関数の1つならば

∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)\displaystyle {}= F(b)−F(a)\displaystyle {}- F(a)

証明　定理3の S(x)=∫axf(t) dtS(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt も f(x)f(x) の原始関数である。第7章 定理1（原始関数は定数の差しかない）より、ある定数 CC で S(x)S(x)=F(x){}= F(x)+C{}+ C と書ける。xx=a{}= a を代入すると 00=F(a){}= F(a)+C{}+ C，よって CC=−F(a){}= -F(a)。xx=b{}= b を代入して

∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=S(b)\displaystyle {}= S(b)=F(b)\displaystyle {}= F(b)−F(a)\displaystyle {}- F(a)

（証明終）

こうして、「細かく分けて足す」（定義1）という面積の考え方と、「微分の逆をたどって差をとる」（本文の公式1）という計算のしかたが、同じものであることがわかりました。本文で公式1を定義として使ってよかったのは、この定理4が裏で支えているからです。

この章の学習が終わったら

学習完了テストを受ける