目次 ／ 数検対策（準2級・2級・準1級） ／ 数検2級

第15章　2級 軌跡と領域

—— 図形と方程式 第6〜8章の「軌跡・不等式の表す領域・領域と最大・最小」を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「図形と方程式」のうち、軌跡と領域の類題です。等距離の点やアポロニウスの円、つなぎの文字・媒介変数を使う軌跡から、不等式の表す領域の面積、領域と命題、線形計画法、通過領域、反転による軌跡までを20問にまとめました。点・直線・円の基本は14章で扱っています。2次（数理技能）では、軌跡の答えに「除外する点・範囲」を必ず添えること、領域の答えで「境界線を含むかどうか」を書くこと、最大・最小では「その値をとる点」と「その点が領域に入っていること」を示すことを練習します。問11では二次関数の分野で学ぶ放物線の接線（重解の条件）を、問15・問18では2次方程式の解と係数の関係・解の配置を使います。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（図形と方程式 第6〜8章）
  • 軌跡の求め方：条件を満たす点を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とおく → 条件を xx，yy の式にする → 整理して図形を読む → 逆に、その図形上の点がすべて条件を満たすかを確かめる（除外点）。
  • 2点 A，B からの距離の比が PA:PB\mathrm{PA} : \mathrm{PB}=m:n{}= m : n（mm≠n{}\neq n）の点の軌跡は、線分 AB を m:nm : n に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）。mm=n{}= n なら AB の垂直二等分線。
  • 動く点 Q につられて動く点 P は、Q の座標を P の座標で表し（つなぎの文字）、Q の満たす式に代入します。媒介変数 tt で表された点は、tt を消去し、tt の範囲から xx の範囲を出します。
  • 不等式 yy>f(x){}> f(x) はグラフ yy=f(x){}= f(x) の上側、(x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2<r2{}< r^2 は円の内部。axax+by{}+ by+c{}+ c>0{}> 0 は、境界線上にない点（原点など）を代入して、どちら側かを決めます。
  • 式の値の最大・最小は、式 =k= k とおいた図形（直線・円・放物線）が領域と共有点をもつような kk の範囲を考えます。
  • 直線（曲線）ℓt\ell_t が tt を動かして通過する領域は、点 (x, y)(x,\ y) を固定し、「tt の方程式が条件を満たす解をもつか」で決めます。

この章の問題は、「条件を式に直して図形を読む力」と、「図形（領域）の問題を方程式が解をもつかどうかの問題に置きかえる力」の2本柱です。答えを出したら、除外点・境界・最大値をとる点を図に戻って確かめます。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

2点 A(−2, 1)\mathrm{A}(-2,\ 1)，B(4, −3)\mathrm{B}(4,\ -3) があります。

(1) PA\mathrm{PA}=PB{}= \mathrm{PB} を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

(2) PA2\mathrm{PA}^2+PB2{}+ \mathrm{PB}^2=60{}= 60 を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 直線 3x3x−2y{}- 2y−5{}- 5=0{}= 0　(2) 中心 (1, −1)(1,\ -1)，半径 17\sqrt{17} の円

解説

P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とおくと

PA2\displaystyle \mathrm{PA}^2=(x+2)2\displaystyle {}= (x + 2)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=x2\displaystyle {}= x^2+y2\displaystyle {}+ y^2+4x\displaystyle {}+ 4x−2y\displaystyle {}- 2y+5\displaystyle {}+ 5 PB2\displaystyle \mathrm{PB}^2=(x−4)2\displaystyle {}= (x - 4)^2+(y+3)2\displaystyle {}+ (y + 3)^2=x2\displaystyle {}= x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−8x\displaystyle {}- 8x+6y\displaystyle {}+ 6y+25\displaystyle {}+ 25

(1) PA\mathrm{PA}=PB{}= \mathrm{PB} は、両辺とも 00 以上なので PA2\mathrm{PA}^2=PB2{}= \mathrm{PB}^2 と同じです。

4x\displaystyle 4x−2y\displaystyle {}- 2y+5\displaystyle {}+ 5=−8x\displaystyle {}= -8x+6y\displaystyle {}+ 6y+25\displaystyle {}+ 25⟹12x\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 12x−8y\displaystyle {}- 8y−20\displaystyle {}- 20=0\displaystyle {}= 0⟹3x\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 3x−2y\displaystyle {}- 2y−5\displaystyle {}- 5=0\displaystyle {}= 0

逆に、この直線上の点はすべて条件を満たすので、軌跡は 直線 3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線 } 3x}−2y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 2y}−5=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 5 = 0} です（線分 AB の垂直二等分線）。

(2) 2つの式を足すと

2x2\displaystyle 2x^2+2y2\displaystyle {}+ 2y^2−4x\displaystyle {}- 4x+4y\displaystyle {}+ 4y+30\displaystyle {}+ 30=60\displaystyle {}= 60⟹x2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−2x\displaystyle {}- 2x+2y\displaystyle {}+ 2y−15\displaystyle {}- 15=0\displaystyle {}= 0

平方完成して (x−1)2(x - 1)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=17{}= 17。逆にこの円上の点は条件を満たすので、軌跡は 中心 (1, −1),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1572em}\text{中心 } (1,\ -1),} 半径 17 の円‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1572em}\ \text{半径 } \sqrt{17} \text{ の円}} です。

中心 (1, −1)(1,\ -1) は AB の中点 M です。中線定理 PA2\mathrm{PA}^2+PB2{}+ \mathrm{PB}^2=2PM2{}= 2\mathrm{PM}^2+2AM2{}+ 2\mathrm{AM}^2 で AM2\mathrm{AM}^2=13{}= 13 なので、2PM22\mathrm{PM}^2+26{}+ 26=60{}= 60 から PM\mathrm{PM}=17{}= \sqrt{17} と確かめられます。

自己採点：
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問2　★

2点 A(−1, 1)\mathrm{A}(-1,\ 1)，B(3, 1)\mathrm{B}(3,\ 1) からの距離の比が PA:PB\mathrm{PA} : \mathrm{PB}=3:1{}= 3 : 1 である点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

中心 (72, 1)\left(\dfrac{7}{2},\ 1\right)，半径 32\dfrac{3}{2} の円

解説

P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とおきます。PA\mathrm{PA}=3PB{}= 3\mathrm{PB} は、両辺とも 00 以上なので PA2\mathrm{PA}^2=9PB2{}= 9\mathrm{PB}^2 と同じです。

(x+1)2\displaystyle (x + 1)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=9{(x−3)2+(y−1)2}\displaystyle {}= 9\{(x - 3)^2 + (y - 1)^2\} x2\displaystyle x^2+2x\displaystyle {}+ 2x+1\displaystyle {}+ 1+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=9x2\displaystyle {}= 9x^2−54x\displaystyle {}- 54x+81\displaystyle {}+ 81+9(y−1)2\displaystyle {}+ 9(y - 1)^2 8x2\displaystyle 8x^2−56x\displaystyle {}- 56x+8(y−1)2\displaystyle {}+ 8(y - 1)^2+80\displaystyle {}+ 80=0\displaystyle {}= 0⟹x2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad x^2−7x\displaystyle {}- 7x+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2+10\displaystyle {}+ 10=0\displaystyle {}= 0 (x−72)2\displaystyle \left(x - \frac{7}{2}\right)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=494\displaystyle {}= \frac{49}{4}−10\displaystyle {}- 10=94\displaystyle {}= \frac{9}{4}

逆にこの円上の点は条件を満たすので、軌跡は 中心 (72, 1),‾\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\text{中心 } \left(\dfrac{7}{2},\ 1\right),} 半径 32 の円‾\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ \text{半径 } \dfrac{3}{2} \text{ の円}} です。

（確かめ：AB を 3:13 : 1 に内分する点は (2, 1)(2,\ 1)，外分する点は (−1⋅(−1)+3⋅33−1, 1)\left(\dfrac{-1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3}{3 - 1},\ 1\right)=(5, 1){}= (5,\ 1) です。この2点を直径の両端とする円の中心は (72, 1)\left(\dfrac{7}{2},\ 1\right)，半径は 32\dfrac{3}{2} で一致します。）

自己採点：
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問3　★

点 Q が円 (x−2)2(x - 2)^2+y2{}+ y^2=16{}= 16 の上を動くとき、点 A(−4, 6)\mathrm{A}(-4,\ 6) と Q を結ぶ線分 AQ を 1:31 : 3 に内分する点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

中心 (−52, 92)\left(-\dfrac{5}{2},\ \dfrac{9}{2}\right)，半径 11 の円

解説

P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y)，Q(s, t)\mathrm{Q}(s,\ t) とおくと、P は AQ を 1:31 : 3 に内分するので

x\displaystyle x=3⋅(−4)+1⋅s4,\displaystyle {}= \frac{3 \cdot (-4) + 1 \cdot s}{4},y\displaystyle y=3⋅6+1⋅t4\displaystyle {}= \frac{3 \cdot 6 + 1 \cdot t}{4}

Q の座標を P で表すと ss=4x{}= 4x+12{}+ 12，tt=4y{}= 4y−18{}- 18 です。Q は円上にあるので (s−2)2(s - 2)^2+t2{}+ t^2=16{}= 16 に代入して

(4x+10)2\displaystyle (4x + 10)^2+(4y−18)2\displaystyle {}+ (4y - 18)^2=16\displaystyle {}= 16⟹(x+52)2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \left(x + \frac{5}{2}\right)^2+(y−92)2\displaystyle {}+ \left(y - \frac{9}{2}\right)^2=1\displaystyle {}= 1

両辺を 1616 で割りました。逆にこの円上の点 P に対して Q(4x+12, 4y−18)\mathrm{Q}(4x + 12,\ 4y - 18) はもとの円上にあるので、軌跡は 中心 (−52, 92),‾\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\text{中心 } \left(-\dfrac{5}{2},\ \dfrac{9}{2}\right),} 半径 1 の円‾\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ \text{半径 } 1 \text{ の円}} です。

P は A を中心にして Q を 14\dfrac{1}{4} 倍に縮めた点なので、軌跡はもとの円を 14\dfrac{1}{4} 倍に縮めた円です（半径 44→1{}\to 1）。

自己採点：
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問4　★

tt が 00<t{}< t<3{}< 3 の範囲を動くとき、放物線 yy=x2{}= x^2+2tx{}+ 2tx+4t{}+ 4t−1{}- 1 の頂点の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

放物線 yy=−x2{}= -x^2−4x{}- 4x−1{}- 1 の −3-3<x{}< x<0{}< 0 の部分

解説

平方完成すると

y\displaystyle y=(x+t)2\displaystyle {}= (x + t)^2−t2\displaystyle {}- t^2+4t\displaystyle {}+ 4t−1\displaystyle {}- 1

なので、頂点を (X, Y)(X,\ Y) とすると XX=−t{}= -t，YY=−t2{}= -t^2+4t{}+ 4t−1{}- 1 です。tt=−X{}= -X を代入して

Y\displaystyle Y=−X2\displaystyle {}= -X^2−4X\displaystyle {}- 4X−1\displaystyle {}- 1

00<t{}< t<3{}< 3 より −3-3<X{}< X<0{}< 0 です。逆に、この範囲の点はどれも tt=−X{}= -X に対応する頂点です。よって軌跡は 放物線 y=−x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{放物線 } y = -x^2}−4x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4x}−1 の ‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 1 \text{ の }}−3<x<0 の部分‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}-3 < x < 0 \text{ の部分}} です（両端の点 (−3, 2)(-3,\ 2)，(0, −1)(0,\ -1) は含みません）。

自己採点：
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問5　★

3点 A(−1, −1)\mathrm{A}(-1,\ -1)，B(5, 1)\mathrm{B}(5,\ 1)，C(1, 5)\mathrm{C}(1,\ 5) を頂点とする三角形の周および内部を D とします。

(1) D を連立不等式で表しなさい。

(2) D の面積を求めなさい。

(3) 点 (a, 2)(a,\ 2) が D に含まれるような定数 aa の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) xx−3y{}- 3y−2{}- 2≦0{}\leqq 0，xx+y{}+ y−6{}- 6≦0{}\leqq 0，3x3x−y{}- y+2{}+ 2≧0{}\geqq 0　(2) 1616　(3) 00≦a{}\leqq a≦4{}\leqq 4

解説

(1) 3辺の直線は

  • AB：傾き 13\dfrac{1}{3} で A を通るので xx−3y{}- 3y−2{}- 2=0{}= 0
  • BC：傾き −1-1 で B を通るので xx+y{}+ y−6{}- 6=0{}= 0
  • CA：傾き 33 で A を通るので 3x3x−y{}- y+2{}+ 2=0{}= 0

三角形の内部の点として重心 (53, 53)\left(\dfrac{5}{3},\ \dfrac{5}{3}\right) を代入すると、xx−3y{}- 3y−2{}- 2=−163{}= -\dfrac{16}{3}<0{}< 0，xx+y{}+ y−6{}- 6=−83{}= -\dfrac{8}{3}<0{}< 0，3x3x−y{}- y+2{}+ 2=163{}= \dfrac{16}{3}>0{}> 0 です。境界を含むので

x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}x}−3y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}- 3y}−2≦0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}- 2 \leqq 0,}x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\quad x}+y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}+ y}−6≦0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}- 6 \leqq 0,}3x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\quad 3x}−y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}- y}+2≧0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}+ 2 \geqq 0}

(2) A が原点に重なるように全体を平行移動すると、B，C は (6, 2)(6,\ 2)，(2, 6)(2,\ 6) に移ります。原点と (x1, y1)(x_1,\ y_1)，(x2, y2)(x_2,\ y_2) を頂点とする三角形の面積 12∣x1y2−x2y1∣\dfrac{1}{2}\lvert x_1 y_2 - x_2 y_1 \rvert を使うと、面積は 12∣6⋅6−2⋅2∣\dfrac{1}{2}\lvert 6 \cdot 6 - 2 \cdot 2 \rvert=16‾{}= \underline{16} です。

(3) (a, 2)(a,\ 2) を (1) の3つの不等式に代入すると

a\displaystyle a−8\displaystyle {}- 8≦0,\displaystyle {}\leqq 0,a\displaystyle a−4\displaystyle {}- 4≦0,\displaystyle {}\leqq 0,3a\displaystyle 3a≧0\displaystyle {}\geqq 0

これらを同時に満たすのは 0≦a≦4‾\underline{0 \leqq a \leqq 4} です。直線 yy=2{}= 2 が辺 CA と (0, 2)(0,\ 2) で、辺 BC と (4, 2)(4,\ 2) で交わることと合っています。

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問6　★

連立不等式 x2x^2+y2{}+ y^2≦9{}\leqq 9，yy≧∣x∣{}\geqq \lvert x \rvert−3{}- 3 の表す領域の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

92π\dfrac{9}{2}\pi+9{}+ 9

解説

yy=∣x∣{}= \lvert x \rvert−3{}- 3 は、xx≧0{}\geqq 0 で yy=x{}= x−3{}- 3，xx<0{}< 0 で yy=−x{}= -x−3{}- 3 の折れ線です。3点 (3, 0)(3,\ 0)，(0, −3)(0,\ -3)，(−3, 0)(-3,\ 0) はどれも円 x2x^2+y2{}+ y^2=9{}= 9 の上にあるので、折れ線は円の弦2本になっています。

領域は、円の内部から「折れ線より下側」の部分を除いたものです。除く部分は、弦と弧で囲まれた2つの部分（弓形）です。第4象限の弓形の面積は

14⋅9π\displaystyle \frac{1}{4} \cdot 9\pi−12⋅3⋅3\displaystyle {}- \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3=94π\displaystyle {}= \frac{9}{4}\pi−92\displaystyle {}- \frac{9}{2}

第3象限も同じなので、求める面積は

9π\displaystyle 9\pi−2(94π−92)\displaystyle {}- 2\left(\frac{9}{4}\pi - \frac{9}{2}\right)=92π‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{9}{2}\pi}+9‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ 9}

（上半分の半円 92π\dfrac{9}{2}\pi と、3点 (3, 0)(3,\ 0)，(0, −3)(0,\ -3)，(−3, 0)(-3,\ 0) の三角形 99 の和と見ても同じです。）

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問7　★

連立不等式 xx≧0{}\geqq 0，yy≧0{}\geqq 0，2x2x+3y{}+ 3y≦18{}\leqq 18，2x2x+y{}+ y≦10{}\leqq 10 の表す領域を D とします。点 (x, y)(x,\ y) が D を動くとき、3x3x+2y{}+ 2y の最大値と、xx−2y{}- 2y の最小値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

3x3x+2y{}+ 2y は xx=3{}= 3，yy=4{}= 4 のとき最大値 1717，xx−2y{}- 2y は xx=0{}= 0，yy=6{}= 6 のとき最小値 −12-12

解説

2x2x+3y{}+ 3y=18{}= 18 と 2x2x+y{}+ y=10{}= 10 を連立すると、引いて 2y2y=8{}= 8 より yy=4{}= 4，xx=3{}= 3 です。D は4点 (0, 0)(0,\ 0)，(5, 0)(5,\ 0)，(3, 4)(3,\ 4)，(0, 6)(0,\ 6) を頂点とする四角形の周および内部です。

一次式の最大・最小は多角形の頂点でとるので、頂点での値を並べます。

頂点(0, 0)(0,\ 0)(5, 0)(5,\ 0)(3, 4)(3,\ 4)(0, 6)(0,\ 6)
3x+2y3x + 2y00151517171212
x−2yx - 2y0055−5-5−12-12

よって 3x3x+2y{}+ 2y は x=3,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 3,} y=4 のとき最大値 17‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 4 \text{ のとき最大値 } 17}，xx−2y{}- 2y は x=0,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 0,} y=6 のとき最小値 ‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ y = 6 \text{ のとき最小値 }}−12‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}-12} です。

（直線 3x3x+2y{}+ 2y=k{}= k の傾き −32-\dfrac{3}{2} は、頂点 (3, 4)(3,\ 4) に集まる2辺の傾き −2-2 と −23-\dfrac{2}{3} の間にあるので、(3, 4)(3,\ 4) で最大になることが図からも分かります。）

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問8　★

rr を正の定数とします。

(1) 命題「∣x∣\lvert x \rvert≦1{}\leqq 1 かつ ∣y∣\lvert y \rvert≦1{}\leqq 1 ならば x2x^2+y2{}+ y^2≦r2{}\leqq r^2」が真となるような rr の値の範囲を求めなさい。

(2) 命題「x2x^2+y2{}+ y^2≦r2{}\leqq r^2 ならば ∣x∣\lvert x \rvert≦1{}\leqq 1 かつ ∣y∣\lvert y \rvert≦1{}\leqq 1」が真となるような rr の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) rr≧2{}\geqq \sqrt{2}　(2) 00<r{}< r≦1{}\leqq 1

解説

∣x∣\lvert x \rvert≦1{}\leqq 1 かつ ∣y∣\lvert y \rvert≦1{}\leqq 1 の表す領域を P（4点 (±1, ±1)(\pm 1,\ \pm 1) を頂点とする正方形の周および内部）、x2x^2+y2{}+ y^2≦r2{}\leqq r^2 の表す領域を Q（原点中心、半径 rr の円の周および内部）とします。命題が真   ⟺  \iff 領域の包含関係、です。

(1) P\mathrm{P}⊂Q{}\subset \mathrm{Q} となる条件です。正方形の点で原点からいちばん遠いのは頂点で、距離は 2\sqrt{2} です。よって r≧2‾\underline{r \geqq \sqrt{2}} です。

(2) Q\mathrm{Q}⊂P{}\subset \mathrm{P} となる条件です。円が正方形からはみ出さないためには、円の点 (r, 0)(r,\ 0) が ∣x∣\lvert x \rvert≦1{}\leqq 1 を満たすことが必要で rr≦1{}\leqq 1。逆に rr≦1{}\leqq 1 なら円の点は ∣x∣\lvert x \rvert≦r{}\leqq r≦1{}\leqq 1，∣y∣\lvert y \rvert≦r{}\leqq r≦1{}\leqq 1 を満たします。よって 0<r≦1‾\underline{0 < r \leqq 1} です。

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問9　★★

点 A(4, 0)\mathrm{A}(4,\ 0) を通る直線が円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 と異なる2点 P，Q で交わるとき、線分 PQ の中点 M の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

円 (x−2)2(x - 2)^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 の 00≦x{}\leqq x<1{}< 1 の部分

解説

A を通る縦の直線 xx=4{}= 4 は円と交わらないので、直線は傾き mm を使って yy=m(x−4){}= m(x - 4) と表せます。円の式に代入すると

(1+m2)x2\displaystyle (1 + m^2)x^2−8m2x\displaystyle {}- 8m^2 x+16m2\displaystyle {}+ 16m^2−4\displaystyle {}- 4=0\displaystyle {}= 0⋯(1)\displaystyle \cdots (1)

異なる2点で交わる条件は、円の中心 O と直線 mxmx−y{}- y−4m{}- 4m=0{}= 0 の距離が半径より小さいことで

∣−4m∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert -4m \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}<2\displaystyle {}< 2⟹16m2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 16m^2<4m2\displaystyle {}< 4m^2+4\displaystyle {}+ 4⟹m2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad m^2<13\displaystyle {}< \frac{1}{3}⋯(2)\displaystyle \cdots (2)

M(X, Y)\mathrm{M}(X,\ Y) とすると、(1) の解と係数の関係から

X\displaystyle X=12⋅8m21+m2\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot \frac{8m^2}{1 + m^2}=4m21+m2,\displaystyle {}= \frac{4m^2}{1 + m^2},Y\displaystyle Y=m(X−4)\displaystyle {}= m(X - 4)=−4m1+m2\displaystyle {}= -\frac{4m}{1 + m^2}

図形を読む：M は弦 PQ の中点なので OM\mathrm{OM}⊥PQ{}\perp \mathrm{PQ}，つまり ∠OMA\angle\mathrm{OMA}=90∘{}= 90^\circ です（M = O のときを除く）。よって M は OA を直径とする円 (X−2)2(X - 2)^2+Y2{}+ Y^2=4{}= 4 の上にあります。実際、上の式を代入すると

(X−2)2\displaystyle (X - 2)^2+Y2\displaystyle {}+ Y^2=(2m2−2)2+16m2(1+m2)2\displaystyle {}= \frac{(2m^2 - 2)^2 + 16m^2}{(1 + m^2)^2}=4(m2+1)2(1+m2)2\displaystyle {}= \frac{4(m^2 + 1)^2}{(1 + m^2)^2}=4\displaystyle {}= 4

が確かめられます（mm=0{}= 0 のときの M = O もこの円上にあります）。

範囲：XX=4{}= 4−41+m2{}- \dfrac{4}{1 + m^2} は m2m^2 について増加し、(2) の 00≦m2{}\leqq m^2<13{}< \dfrac{1}{3} で 00≦X{}\leqq X<1{}< 1 です。逆に、この円の 00≦X{}\leqq X<1{}< 1 の点は、どれも (2) を満たす mm に対応します（XX から m2m^2 が決まり、YY の符号から mm の符号が決まる）。

よって軌跡は 円 (x−2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円 } (x - 2)^2}+y2=4‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ y^2 = 4} の 0≦x<1 の部分‾\underline{0 \leqq x < 1 \text{ の部分}} です。xx=1{}= 1 の2点 (1, ±3)(1,\ \pm\sqrt{3}) は、直線が円に接するときの接点なので除きます。

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問10　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=5{}= 5 に引いた2本の接線が直交するような点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

円 x2x^2+y2{}+ y^2=10{}= 10

解説

P(p, q)\mathrm{P}(p,\ q) とします。

(i) pp≠±5{}\neq \pm\sqrt{5} のとき　P を通る縦の直線 xx=p{}= p は接線ではないので、接線は yy−q{}- q=m(x−p){}= m(x - p)，つまり mxmx−y{}- y−mp{}- mp+q{}+ q=0{}= 0 と表せます。中心 O との距離が半径 5\sqrt{5} に等しい条件は

∣q−mp∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert q - mp \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}=5\displaystyle {}= \sqrt{5}⟹(p2−5)m2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (p^2 - 5)m^2−2pq m\displaystyle {}- 2pq\,m+q2\displaystyle {}+ q^2−5\displaystyle {}- 5=0\displaystyle {}= 0⋯(1)\displaystyle \cdots (1)

p2p^2−5{}- 5≠0{}\neq 0 なので (1) は mm の2次方程式で、2本の接線の傾きはその2つの解 m1m_1，m2m_2 です。直交する条件は m1m2m_1 m_2=−1{}= -1 で、解と係数の関係から

q2−5p2−5\displaystyle \frac{q^2 - 5}{p^2 - 5}=−1\displaystyle {}= -1⟹p2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad p^2+q2\displaystyle {}+ q^2=10\displaystyle {}= 10

このとき (1) の判別式は D4\dfrac{D}{4}=p2q2{}= p^2q^2−(p2−5)(q2−5){}- (p^2 - 5)(q^2 - 5)=5(p2+q2−5){}= 5(p^2 + q^2 - 5)=25{}= 25>0{}> 0 なので、実際に異なる2本の接線が引けます。

(ii) pp=±5{}= \pm\sqrt{5} のとき　縦の直線 xx=p{}= p が接線です。これと直交する接線は横の直線 yy=±5{}= \pm\sqrt{5} なので、P は (±5, ±5)(\pm\sqrt{5},\ \pm\sqrt{5})（4点）です。これらも p2p^2+q2{}+ q^2=10{}= 10 を満たします。

以上から、軌跡は 円 x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{円 } x^2}+y2=10‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2 = 10} です（除く点はありません）。

（図で見ると、P と2つの接点と O は1辺 5\sqrt{5} の正方形の頂点になるので、OP\mathrm{OP}=5⋅2{}= \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}=10{}= \sqrt{10} です。）

自己採点：
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問11　★★

点 A(1, −1)\mathrm{A}(1,\ -1) を通る直線が放物線 yy=x2{}= x^2 と異なる2点 P，Q で交わるとき、P，Q における放物線の2本の接線の交点 R の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

直線 yy=2x{}= 2x+1{}+ 1 の xx<1{}< 1−2{}- \sqrt{2}，11+2{}+ \sqrt{2}<x{}< x の部分

解説

放物線 yy=x2{}= x^2 上の点 (α, α2)(\alpha,\ \alpha^2) における接線は yy=2αx{}= 2\alpha x−α2{}- \alpha^2 です（x2x^2=2αx{}= 2\alpha x−α2{}- \alpha^2 が重解 xx=α{}= \alpha をもつ直線）。

A を通る縦の直線 xx=1{}= 1 は放物線と1点でしか交わらないので、直線は yy=m(x−1){}= m(x - 1)−1{}- 1 と表せます。yy=x2{}= x^2 と連立すると

x2\displaystyle x^2−mx\displaystyle {}- mx+m\displaystyle {}+ m+1\displaystyle {}+ 1=0\displaystyle {}= 0⋯(1)\displaystyle \cdots (1)

異なる2点で交わる条件は DD=m2{}= m^2−4m{}- 4m−4{}- 4>0{}> 0，つまり

m\displaystyle m<2\displaystyle {}< 2−22,\displaystyle {}- 2\sqrt{2},2\displaystyle 2+22\displaystyle {}+ 2\sqrt{2}<m\displaystyle {}< m⋯(2)\displaystyle \cdots (2)

P，Q の xx 座標を α\alpha，β\beta とすると、(1) より α\alpha+β{}+ \beta=m{}= m，αβ\alpha\beta=m{}= m+1{}+ 1 です。2本の接線 yy=2αx{}= 2\alpha x−α2{}- \alpha^2，yy=2βx{}= 2\beta x−β2{}- \beta^2 の交点は、引いて 2(α−β)x2(\alpha - \beta)x=α2{}= \alpha^2−β2{}- \beta^2，α\alpha≠β{}\neq \beta より

X\displaystyle X=α+β2\displaystyle {}= \frac{\alpha + \beta}{2}=m2,\displaystyle {}= \frac{m}{2},Y\displaystyle Y=2αX\displaystyle {}= 2\alpha X−α2\displaystyle {}- \alpha^2=αβ\displaystyle {}= \alpha\beta=m\displaystyle {}= m+1\displaystyle {}+ 1

mm=2X{}= 2X を消去して YY=2X{}= 2X+1{}+ 1。(2) から XX<1{}< 1−2{}- \sqrt{2}，11+2{}+ \sqrt{2}<X{}< X です。逆に、この範囲の XX に対して mm=2X{}= 2X は (2) を満たし、R がその交点になります。

よって軌跡は 直線 y=2x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\text{直線 } y = 2x}+1 の x<1‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}+ 1 \text{ の } x < 1}−2,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}- \sqrt{2},} 1‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}\ 1}+2<x の部分‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}+ \sqrt{2} < x \text{ の部分}} です。

（この範囲は、直線 yy=2x{}= 2x+1{}+ 1 のうち放物線の外側（2x2x+1{}+ 1<x2{}< x^2）にある部分と一致します。放物線の外側の点からだけ、2本の接線が引けるからです。）

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問12　★★

連立不等式 xx≧1{}\geqq 1，yy≧1{}\geqq 1，2x2x+y{}+ y≦9{}\leqq 9 の表す領域を D とします。点 (x, y)(x,\ y) が D を動くとき、(x−5)2(x - 5)^2+(y−5)2{}+ (y - 5)^2 の最大値と最小値、およびそのときの xx，yy の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=1{}= 1，yy=1{}= 1 のとき最大値 3232，xx=135{}= \dfrac{13}{5}，yy=195{}= \dfrac{19}{5} のとき最小値 365\dfrac{36}{5}

解説

D は3点 (1, 1)(1,\ 1)，(4, 1)(4,\ 1)，(1, 7)(1,\ 7) を頂点とする三角形の周および内部です。A(5, 5)\mathrm{A}(5,\ 5) とすると、(x−5)2(x - 5)^2+(y−5)2{}+ (y - 5)^2=k{}= k は、D の点 P について AP2\mathrm{AP}^2=k{}= k を表します。

最小値　2⋅52 \cdot 5+5{}+ 5=15{}= 15>9{}> 9 なので、A は D の外にあり、直線 2x2x+y{}+ y=9{}= 9 に関して D と反対側にあります。よって D の点 P について、AP\mathrm{AP} は A と直線 2x2x+y{}+ y−9{}- 9=0{}= 0 の距離以上です。

AP\displaystyle \mathrm{AP}≧∣10+5−9∣5\displaystyle {}\geqq \frac{\lvert 10 + 5 - 9 \rvert}{\sqrt{5}}=65\displaystyle {}= \frac{6}{\sqrt{5}}

等号は P が A から直線に下ろした垂線の足 H のときです。H は A から向き (2, 1)(2,\ 1) に沿って戻った点で、H(5−2s, 5−s)\mathrm{H}(5 - 2s,\ 5 - s) を直線の式に代入すると 1515−5s{}- 5s=9{}= 9，ss=65{}= \dfrac{6}{5} より

H(135, 195)\mathrm{H}\left(\frac{13}{5},\ \frac{19}{5}\right)

135\dfrac{13}{5}≧1{}\geqq 1，195\dfrac{19}{5}≧1{}\geqq 1 なので H は D の辺の上にあります。よって x=135,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = \dfrac{13}{5},} y=195 のとき最小値 365‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ y = \dfrac{19}{5} \text{ のとき最小値 } \dfrac{36}{5}} です。

最大値　A を中心とする円を広げていくと、D を最後に離れるのは頂点です。頂点での値は (1, 1)(1,\ 1) で 3232，(4, 1)(4,\ 1) で 1717，(1, 7)(1,\ 7) で 2020 なので、x=1,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}x = 1,} y=1 のとき最大値 32‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ y = 1 \text{ のとき最大値 } 32} です。

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問13　★★

ある工房で製品 A，B を作ります。A を1個作るには材料 P が 2 kg，材料 Q が 1 kg 必要で、利益は 3 千円です。B を1個作るには材料 P が 1 kg，材料 Q が 3 kg 必要で、利益は 4 千円です。使える材料は P が 15 kg，Q が 17 kg までです。A，B をそれぞれ何個作ると利益が最大になるかを求めなさい。また、そのときの利益を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

A を 5 個，B を 4 個作ると最大で、利益は 31 千円（31000 円）

解説

A を xx 個，B を yy 個作るとします（xx，yy は 0 以上の整数）。条件は

x\displaystyle x≧0,\displaystyle {}\geqq 0,y\displaystyle y≧0,\displaystyle {}\geqq 0,2x\displaystyle 2x+y\displaystyle {}+ y≦15,\displaystyle {}\leqq 15,x\displaystyle x+3y\displaystyle {}+ 3y≦17\displaystyle {}\leqq 17

利益は 3x3x+4y{}+ 4y（千円）です。

実数で考える　2x2x+y{}+ y=15{}= 15 と xx+3y{}+ 3y=17{}= 17 の交点は、yy=15{}= 15−2x{}- 2x を代入して xx+45{}+ 45−6x{}- 6x=17{}= 17，xx=285{}= \dfrac{28}{5}，yy=195{}= \dfrac{19}{5} です。領域は (0, 0)(0,\ 0)，(152, 0)\left(\dfrac{15}{2},\ 0\right)，(285, 195)\left(\dfrac{28}{5},\ \dfrac{19}{5}\right)，(0, 173)\left(0,\ \dfrac{17}{3}\right) を頂点とする四角形で、3x3x+4y{}+ 4y=k{}= k の傾き −34-\dfrac{3}{4} は2辺の傾き −2-2 と −13-\dfrac{1}{3} の間にあるので、交点で最大となり、その値は

3⋅285\displaystyle 3 \cdot \frac{28}{5}+4⋅195\displaystyle {}+ 4 \cdot \frac{19}{5}=84+765\displaystyle {}= \frac{84 + 76}{5}=32\displaystyle {}= 32

整数で考える　3x3x+4y{}+ 4y≦32{}\leqq 32 なので、3x3x+4y{}+ 4y=32{}= 32 となる整数の点から調べます。xx≧0{}\geqq 0，yy≧0{}\geqq 0 で 3x3x+4y{}+ 4y=32{}= 32 となるのは (0, 8)(0,\ 8)，(4, 5)(4,\ 5)，(8, 2)(8,\ 2) で、それぞれ xx+3y{}+ 3y=24{}= 24>17{}> 17，xx+3y{}+ 3y=19{}= 19>17{}> 17，2x2x+y{}+ y=18{}= 18>15{}> 15 となり、どれも条件を満たしません。

次に 3x3x+4y{}+ 4y=31{}= 31 となるのは (1, 7)(1,\ 7)，(5, 4)(5,\ 4)，(9, 1)(9,\ 1) で、(1, 7)(1,\ 7) は xx+3y{}+ 3y=22{}= 22>17{}> 17，(9, 1)(9,\ 1) は 2x2x+y{}+ y=19{}= 19>15{}> 15 で不適、(5, 4)(5,\ 4) は 2x2x+y{}+ y=14{}= 14≦15{}\leqq 15，xx+3y{}+ 3y=17{}= 17≦17{}\leqq 17 で条件を満たします。

よって A を 5 個‾\underline{5\ \text{個}}，B を 4 個‾\underline{4\ \text{個}} 作ると利益が最大で、31 千円‾\underline{31\ \text{千円}} です。

（交点 (5.6, 3.8)(5.6,\ 3.8) を四捨五入した (6, 4)(6,\ 4) は 2x2x+y{}+ y=16{}= 16>15{}> 15 となり、材料 P が足りません。四捨五入で済ませず、候補を並べて確かめることが大切です。）

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問14　★★

aa を定数とします。xx，yy についての条件 p:x2p : x^2+y2{}+ y^2≦4{}\leqq 4 が、条件 q:yq : y≧x2{}\geqq x^2−a{}- a であるための十分条件となるような aa の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa≧174{}\geqq \dfrac{17}{4}

解説

pp が qq の十分条件であるとは、命題「pp⇒q{}\Rightarrow q」が真であることで、pp の表す円板 x2x^2+y2{}+ y^2≦4{}\leqq 4 が、qq の表す領域（放物線 yy=x2{}= x^2−a{}- a の上側、境界を含む）に含まれることです。qq は yy−x2{}- x^2≧−a{}\geqq -a と書けるので、

(円板上での y−x2 の最小値)\displaystyle (\text{円板上での } y - x^2 \text{ の最小値})≧−a\displaystyle {}\geqq -a

となる条件を求めます。

円板上の点で yy を固定すると、yy−x2{}- x^2 は x2x^2 が大きいほど小さくなります。yy を固定したとき x2x^2 の最大値は 44−y2{}- y^2（円周上の点）なので、最小値は円周上でとり、そこでは

y\displaystyle y−x2\displaystyle {}- x^2=y\displaystyle {}= y−(4−y2)\displaystyle {}- (4 - y^2)=y2\displaystyle {}= y^2+y\displaystyle {}+ y−4\displaystyle {}- 4=(y+12)2\displaystyle {}= \left(y + \frac{1}{2}\right)^2−174\displaystyle {}- \frac{17}{4}(−2≦y≦2)\displaystyle (-2 \leqq y \leqq 2)

yy=−12{}= -\dfrac{1}{2}（xx=±152{}= \pm\dfrac{\sqrt{15}}{2}）で最小値 −174-\dfrac{17}{4} をとります。

よって条件は −174-\dfrac{17}{4}≧−a{}\geqq -a，つまり a≧174‾\underline{a \geqq \dfrac{17}{4}} です。

aa=174{}= \dfrac{17}{4} のとき、放物線 yy=x2{}= x^2−174{}- \dfrac{17}{4} は円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 に2点 (±152, −12)\left(\pm\dfrac{\sqrt{15}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right) で接しています。境界を含む qq なので、接していても pp⇒q{}\Rightarrow q は真です。

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問15　★★

実数 ss，tt が s2s^2+t2{}+ t^2≦2{}\leqq 2 を満たしながら動くとき、点 (s+t, st)(s + t,\ st) の動く領域を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

2つの放物線 yy=12x2{}= \dfrac{1}{2}x^2−1{}- 1 と yy=14x2{}= \dfrac{1}{4}x^2 で囲まれた部分（境界線を含む。−2-2≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2）。連立不等式では 12x2\dfrac{1}{2}x^2−1{}- 1≦y{}\leqq y≦14x2{}\leqq \dfrac{1}{4}x^2

解説

xx=s{}= s+t{}+ t，yy=st{}= st とおきます。

ss，tt が実数である条件　ss，tt は2次方程式 u2u^2−xu{}- xu+y{}+ y=0{}= 0 の2つの解です（解と係数の関係）。ss，tt が実数であるためには、判別式について

x2\displaystyle x^2−4y\displaystyle {}- 4y≧0\displaystyle {}\geqq 0⟹y\displaystyle {}\Longrightarrow\quad y≦14x2\displaystyle {}\leqq \frac{1}{4}x^2

s2s^2+t2{}+ t^2≦2{}\leqq 2 の条件　s2s^2+t2{}+ t^2=(s+t)2{}= (s + t)^2−2st{}- 2st=x2{}= x^2−2y{}- 2y なので

x2\displaystyle x^2−2y\displaystyle {}- 2y≦2\displaystyle {}\leqq 2⟹y\displaystyle {}\Longrightarrow\quad y≧12x2\displaystyle {}\geqq \frac{1}{2}x^2−1\displaystyle {}- 1

逆に、この2つを満たす (x, y)(x,\ y) に対しては、u2u^2−xu{}- xu+y{}+ y=0{}= 0 の実数解を ss，tt とすれば ss+t{}+ t=x{}= x，stst=y{}= y，s2s^2+t2{}+ t^2≦2{}\leqq 2 となります。

よって求める領域は 12x2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\dfrac{1}{2}x^2}−1≦y≦14x2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 1 \leqq y \leqq \dfrac{1}{4}x^2} で、2つの放物線で囲まれた部分です（境界線を含む）。2つの放物線は 14x2\dfrac{1}{4}x^2=12x2{}= \dfrac{1}{2}x^2−1{}- 1，つまり xx=±2{}= \pm 2 で交わり、交点は (±2, 1)(\pm 2,\ 1) です。

「ss，tt が実数」という条件を落とすと、yy≧12x2{}\geqq \dfrac{1}{2}x^2−1{}- 1 だけになり、たとえば (0, 1)(0,\ 1)（ss，tt が ±i\pm i）まで含めてしまうので注意します。

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問16　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 に外接し、直線 yy=−2{}= -2 に接する円の中心の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

放物線 yy=16x2{}= \dfrac{1}{6}x^2−32{}- \dfrac{3}{2}

解説

求める円の中心を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y)，半径を r (r>0)r\ (r > 0) とします。

  • 直線 yy=−2{}= -2 に接するので rr=∣y+2∣{}= \lvert y + 2 \rvert
  • 円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 に外接するので、中心間の距離が半径の和に等しく x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}=r{}= r+1{}+ 1

P が直線より下（yy<−2{}< -2）の場合　rr=−y{}= -y−2{}- 2 で、x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}=−y{}= -y−1{}- 1。両辺を2乗すると x2x^2=2y{}= 2y+1{}+ 1 となり、yy=x2−12{}= \dfrac{x^2 - 1}{2}≧−12{}\geqq -\dfrac{1}{2} です。これは yy<−2{}< -2 と両立しないので、この場合はありません。

P が直線より上（yy>−2{}> -2）の場合　rr=y{}= y+2{}+ 2 で、x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}=y{}= y+3{}+ 3。右辺は正なので、両辺を2乗しても同値で

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2=y2\displaystyle {}= y^2+6y\displaystyle {}+ 6y+9\displaystyle {}+ 9⟹y\displaystyle {}\Longrightarrow\quad y=16x2\displaystyle {}= \frac{1}{6}x^2−32\displaystyle {}- \frac{3}{2}

この放物線上の点はすべて yy≧−32{}\geqq -\dfrac{3}{2}>−2{}> -2 を満たし、rr=y{}= y+2{}+ 2>0{}> 0 も成り立ちます。逆に、この放物線上の点を中心とし、半径 yy+2{}+ 2 の円は、条件を満たします。

よって軌跡は 放物線 y=16x2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\text{放物線 } y = \dfrac{1}{6}x^2}−32‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \dfrac{3}{2}} です（除く点はありません）。

（P は「原点からの距離」と「直線 yy=−3{}= -3 までの距離」が等しい点になっています。1点と1直線から等距離の点の軌跡が放物線になる例です。）

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問17　★★★

tt が tt≧0{}\geqq 0 の範囲を動くとき、直線 yy=2tx{}= 2tx+t2{}+ t^2+1{}+ 1 が通過する領域を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx≧0{}\geqq 0 の範囲では直線 yy=1{}= 1 の上側、xx<0{}< 0 の範囲では放物線 yy=−x2{}= -x^2+1{}+ 1 の上側（境界線を含む）

解説

点 (x, y)(x,\ y) を固定して考えます。この点を直線が通過する   ⟺  \iff tt の2次方程式

t2\displaystyle t^2+2xt\displaystyle {}+ 2xt+1\displaystyle {}+ 1−y\displaystyle {}- y=0\displaystyle {}= 0

が tt≧0{}\geqq 0 の解を少なくとも1つもつ、です。左辺を g(t)g(t) とおくと、g(t)g(t)=(t+x)2{}= (t + x)^2−x2{}- x^2+1{}+ 1−y{}- y で、軸は tt=−x{}= -x，g(0)g(0)=1{}= 1−y{}- y です。

(i) g(0)g(0)≦0{}\leqq 0，つまり yy≧1{}\geqq 1 のとき　g(t)g(t) は下に凸で g(0)g(0)≦0{}\leqq 0 なので、tt≧0{}\geqq 0 に解があります。

(ii) g(0)g(0)>0{}> 0，つまり yy<1{}< 1 のとき　tt≧0{}\geqq 0 に解をもつのは、2つの解がともに正のときで、条件は

軸 \displaystyle \text{軸 }−x\displaystyle {}-x>0\displaystyle {}> 0かつ\displaystyle \text{かつ}D4\displaystyle \frac{D}{4}=x2\displaystyle {}= x^2−(1−y)\displaystyle {}- (1 - y)≧0\displaystyle {}\geqq 0

つまり xx<0{}< 0 かつ yy≧1{}\geqq 1−x2{}- x^2 です。軸が −x-x≦0{}\leqq 0 なら g(t)g(t) は tt≧0{}\geqq 0 で増加し、g(t)g(t)≧g(0){}\geqq g(0)>0{}> 0 となるので解はありません。

(i)・(ii) を合わせると、通過する領域は

y\displaystyle y≧1\displaystyle {}\geqq 1または\displaystyle \text{または}(x<0 かつ 1−x2≦y<1)\displaystyle (x < 0 \ \text{かつ} \ 1 - x^2 \leqq y < 1)

xx<0{}< 0 では 11−x2{}- x^2<1{}< 1 なので、これは次のようにまとめられます。

x≧0 では y≧1‾\underline{x \geqq 0 \text{ では } y \geqq 1}，x<0 では y≧−x2‾\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0699em}x < 0 \text{ では } y \geqq -x^2}+1‾\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0699em}{}+ 1}（境界線を含む）

境界の yy=−x2{}= -x^2+1{}+ 1（xx<0{}< 0）は、tt>0{}> 0 の直線がすべて接する放物線で、xx=0{}= 0 で直線 yy=1{}= 1（tt=0{}= 0 の直線）となめらかにつながります。

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問18　★★★

xx の2次方程式 x2x^2+ax{}+ ax+b{}+ b=0{}= 0 が 00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような点 (a, b)(a,\ b) の存在する範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

b(2a+b+4)b(2a + b + 4)≦0{}\leqq 0 の表す部分（2直線 bb=0{}= 0，bb=−2a{}= -2a−4{}- 4 ではさまれた部分）と、−4-4≦a{}\leqq a≦0{}\leqq 0，bb≧0{}\geqq 0，bb≧−2a{}\geqq -2a−4{}- 4，bb≦14a2{}\leqq \dfrac{1}{4}a^2 の表す部分を合わせた範囲（境界線を含む）

解説

f(x)f(x)=x2{}= x^2+ax{}+ ax+b{}+ b とおくと、f(0)f(0)=b{}= b，f(2)f(2)=2a{}= 2a+b{}+ b+4{}+ 4，軸は xx=−a2{}= -\dfrac{a}{2} です。00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 に少なくとも1つの解をもつのは、次の (i) か (ii) のときです。

(i) f(0)f(0) と f(2)f(2) が異符号、またはどちらかが 00

f(0) f(2)\displaystyle f(0)\,f(2)≦0\displaystyle {}\leqq 0⟹b(2a+b+4)\displaystyle {}\Longrightarrow\quad b(2a + b + 4)≦0\displaystyle {}\leqq 0

このとき、グラフは 00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 で xx 軸と交わる（または端で接する・通る）ので、解があります。

(ii) f(0)f(0)>0{}> 0 かつ f(2)f(2)>0{}> 0 で、2つの解（重解を含む）がともに 00<x{}< x<2{}< 2 にある

D\displaystyle D=a2\displaystyle {}= a^2−4b\displaystyle {}- 4b≧0,\displaystyle {}\geqq 0,0\displaystyle 0<−a2\displaystyle {}< -\frac{a}{2}<2,\displaystyle {}< 2,b\displaystyle b>0,\displaystyle {}> 0,2a\displaystyle 2a+b\displaystyle {}+ b+4\displaystyle {}+ 4>0\displaystyle {}> 0

つまり bb≦14a2{}\leqq \dfrac{1}{4}a^2，−4-4<a{}< a<0{}< 0，bb>0{}> 0，bb>−2a{}> -2a−4{}- 4 です。

（f(0)f(0)>0{}> 0，f(2)f(2)>0{}> 0 で軸が範囲外なら、区間内で ff は単調で解はありません。）

(i) と (ii) を合わせ、(ii) の境界は (i) に含まれるので、求める範囲は

b(2a+b+4)≦0‾\underline{b(2a + b + 4) \leqq 0} の部分と，−4≦a≦0,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-4 \leqq a \leqq 0,} b≧0,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ b \geqq 0,} b≧−2a‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ b \geqq -2a}−4,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 4,} b≦14a2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ b \leqq \dfrac{1}{4}a^2} の部分を合わせた範囲（境界線を含む）

です。放物線 bb=14a2{}= \dfrac{1}{4}a^2 は、直線 bb=0{}= 0 と原点で接し、直線 bb=−2a{}= -2a−4{}- 4 と点 (−4, 4)(-4,\ 4) で接しています（14a2\dfrac{1}{4}a^2+2a{}+ 2a+4{}+ 4=14(a+4)2{}= \dfrac{1}{4}(a + 4)^2）。(ii) の部分は、この2本の直線と放物線で囲まれた部分です。

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問19　★★★

連立不等式 yy≧x2{}\geqq x^2−2{}- 2，yy≦x{}\leqq x の表す領域を D とし、kk を定数とします。

(1) 点 (x, y)(x,\ y) が D を動くときの kxkx+y{}+ y の最小値 m(k)m(k) を求めなさい。

(2) m(k)m(k)=−3{}= -3 となる kk の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) kk<−4{}< -4 のとき m(k)m(k)=2k{}= 2k+2{}+ 2，−4-4≦k{}\leqq k≦2{}\leqq 2 のとき m(k)m(k)=−14k2{}= -\dfrac{1}{4}k^2−2{}- 2，kk>2{}> 2 のとき m(k)m(k)=−k{}= -k−1{}- 1　(2) kk=±2{}= \pm 2

解説

(1) x2x^2−2{}- 2=x{}= x より xx=−1,{}= -1, 2\ 2 なので、D は放物線 yy=x2{}= x^2−2{}- 2 と直線 yy=x{}= x で囲まれた部分（境界を含む）で、2点 (−1, −1)(-1,\ -1)，(2, 2)(2,\ 2) で交わります。D の点の xx は −1-1≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 です。

xx を固定すると、kxkx+y{}+ y は yy が小さいほど小さいので、最小値は下の境界（放物線）の上でとります。放物線上では

h(x)\displaystyle h(x)=kx\displaystyle {}= kx+x2\displaystyle {}+ x^2−2\displaystyle {}- 2=(x+k2)2\displaystyle {}= \left(x + \frac{k}{2}\right)^2−k24\displaystyle {}- \frac{k^2}{4}−2\displaystyle {}- 2(−1≦x≦2)\displaystyle (-1 \leqq x \leqq 2)

軸 xx=−k2{}= -\dfrac{k}{2} の位置で場合分けします。

  • −1-1≦−k2{}\leqq -\dfrac{k}{2}≦2{}\leqq 2，つまり −4-4≦k{}\leqq k≦2{}\leqq 2 のとき：頂点で最小で m(k)m(k)=−14k2{}= -\dfrac{1}{4}k^2−2{}- 2
  • −k2-\dfrac{k}{2}<−1{}< -1，つまり kk>2{}> 2 のとき：xx=−1{}= -1 で最小で m(k)m(k)=h(−1){}= h(-1)=−k{}= -k−1{}- 1
  • −k2-\dfrac{k}{2}>2{}> 2，つまり kk<−4{}< -4 のとき：xx=2{}= 2 で最小で m(k)m(k)=h(2){}= h(2)=2k{}= 2k+2{}+ 2

よって k<−4 で 2k‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}k < -4 \text{ で } 2k}+2，‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ 2，} −4≦k≦2 で ‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}\ -4 \leqq k \leqq 2 \text{ で }}−14k2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}-\dfrac{1}{4}k^2}−2， k>2 で ‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 2，\ k > 2 \text{ で }}−k‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}-k}−1‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 1} です。

（図で見ると、直線 kxkx+y{}+ y=c{}= c（傾き −k-k）を下から上へ動かして、D に最初に触れる点を探しています。傾き −k-k が、端点 (−1, −1)(-1,\ -1) での接線の傾き −2-2 と、(2, 2)(2,\ 2) での接線の傾き 44 の間にあれば、放物線に接する点で最小になります。）

(2) 場合ごとに解きます。

  • −4-4≦k{}\leqq k≦2{}\leqq 2：−14k2-\dfrac{1}{4}k^2−2{}- 2=−3{}= -3 より k2k^2=4{}= 4，kk=±2{}= \pm 2（どちらも範囲内）
  • kk>2{}> 2：−k-k−1{}- 1=−3{}= -3 より kk=2{}= 2 で、kk>2{}> 2 を満たさない
  • kk<−4{}< -4：2k2k+2{}+ 2=−3{}= -3 より kk=−52{}= -\dfrac{5}{2} で、kk<−4{}< -4 を満たさない

よって k=±2‾\underline{k = \pm 2} です。

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問20　★★★

O を原点とします。点 Q が直線 xx+2y{}+ 2y=4{}= 4 の上を動くとき、半直線 OQ 上にあって OP⋅OQ\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=4{}= 4 を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

中心 (12, 1)\left(\dfrac{1}{2},\ 1\right)，半径 52\dfrac{\sqrt{5}}{2} の円から、原点を除いたもの

解説

P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とおきます。OP⋅OQ\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=4{}= 4 より P は O と異なるので、(x, y)(x,\ y)≠(0, 0){}\neq (0,\ 0) です。

Q は半直線 OP 上にあるので、正の数 λ\lambda を使って Q(λx, λy)\mathrm{Q}(\lambda x,\ \lambda y) と書けます。OQ\mathrm{OQ}=λ OP{}= \lambda\,\mathrm{OP} なので

OP⋅OQ\displaystyle \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=λ OP2\displaystyle {}= \lambda\,\mathrm{OP}^2=λ(x2+y2)\displaystyle {}= \lambda(x^2 + y^2)=4\displaystyle {}= 4⟹λ\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \lambda=4x2+y2\displaystyle {}= \frac{4}{x^2 + y^2}

Q は直線 xx+2y{}+ 2y=4{}= 4 上にあるので

4xx2+y2\displaystyle \frac{4x}{x^2 + y^2}+8yx2+y2\displaystyle {}+ \frac{8y}{x^2 + y^2}=4\displaystyle {}= 4⟹x2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad x^2+y2\displaystyle {}+ y^2=x\displaystyle {}= x+2y\displaystyle {}+ 2y

平方完成して

(x−12)2\displaystyle \left(x - \frac{1}{2}\right)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=54\displaystyle {}= \frac{5}{4}

この円は原点を通りますが、P は原点と異なるので、原点は除きます。

逆の確認　この円上の原点以外の点 P をとると、xx+2y{}+ 2y=x2{}= x^2+y2{}+ y^2>0{}> 0 です。λ\lambda=4x2+y2{}= \dfrac{4}{x^2 + y^2}>0{}> 0 として Q(λx, λy)\mathrm{Q}(\lambda x,\ \lambda y) とおくと、Q は半直線 OP 上にあり、λ(x+2y)\lambda(x + 2y)=4{}= 4 より直線 xx+2y{}+ 2y=4{}= 4 上にあり、OP⋅OQ\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=4{}= 4 を満たします。

よって軌跡は 中心 (12, 1),‾\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.5343em}\text{中心 } \left(\dfrac{1}{2},\ 1\right),} 半径 52 の円‾\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.5343em}\ \text{半径 } \dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{ の円}} から 原点を除いたもの‾\underline{\text{原点を除いたもの}} です。

このように「O からの向きは同じで、距離の積が一定」となる点を対応させる変換を反転といいます。原点を通らない直線は、反転で原点を通る円（原点を除く）に移ります。

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