第7章　準2級 整数の性質

$n$${}= 21,$$\ 84,$$\ 189,$$\ 756$

$756$${}= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$ です。$\dfrac{756}{n}$${}= m^2$（$m$ は自然数）となるので、$m^2$ は $756$ の約数である平方数です。

$756$ の約数のうち平方数は、$2$ の指数が $0$ か $2$、$3$ の指数が $0$ か $2$、$7$ の指数が $0$ のものなので、$m^2$${}= 1,$$\ 4,$$\ 9,$$\ 36$ の4つです。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}n = 21,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 84,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 189,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 756}$ です。

約数の個数 $30$ 個，$3$ の倍数 $20$ 個

$1008$${}= 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7$ です。正の約数は $2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$（$0$${}\leqq a$${}\leqq 4$，$0$${}\leqq b$${}\leqq 2$，$0$${}\leqq c$${}\leqq 1$）の形なので、個数は

$3$ の倍数であるのは $b$${}= 1,$$\ 2$ のときなので、$b$ の選び方が $2$ 通りになり

最大公約数 $36$，最小公倍数 $3780$

最大公約数は、3つに共通する素因数を指数の最も小さいもので掛けて $2^2 \cdot 3^2$${}= \underline{36}$ です。

最小公倍数は、どれかに現れる素因数を指数の最も大きいもので掛けて $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$${}= \underline{3780}$ です。

最大公約数 $37$，最小公倍数 $47027$

よって最大公約数は $\underline{37}$ です。

$1147$${}= 37 \times 31$，$1517$${}= 37 \times 41$ で、$31$ と $41$ は互いに素なので、最小公倍数は

$x$${}= 12t$${}+ 3,$$y$${}= 17t$${}+ 4$（$t$ は整数）

$x$${}= 3$，$y$${}= 4$ は $17 \times 3$${}- 12 \times 4$${}= 51$${}- 48$${}= 3$ を満たすので、1組の解です。

辺ごとに引くと $17(x - 3)$${}= 12(y - 4)$ です。$17$ と $12$ は互いに素なので、$x$${}- 3$ は $12$ の倍数です。$x$${}- 3$${}= 12t$（$t$ は整数）とおくと $y$${}- 4$${}= 17t$ となり

$9$

$3^5$${}= 243$${}= 11 \times 22$${}+ 1$ なので、$3^5$${}\equiv 1 \pmod{11}$ です。$2027$${}= 5 \times 405$${}+ 2$ より

よって余りは $\underline{9}$ です。

$N$${}= 6048,$$\ 6408,$$\ 6768$

$72$${}= 8 \times 9$ で、$8$ と $9$ は互いに素なので、$N$ が $8$ の倍数かつ $9$ の倍数であればよいです。百の位、十の位の数字を順に $a$，$b$ とします。

• $9$ の倍数：各位の数字の和 $6$${}+ a$${}+ b$${}+ 8$${}= a$${}+ b$${}+ 14$ が $9$ の倍数なので、$a$${}+ b$${}= 4$ または $13$
• $8$ の倍数：下3けた $100a$${}+ 10b$${}+ 8$ が $8$ の倍数です。$100a$${}+ 10b$${}+ 8$${}= 8(12a + b + 1)$${}+ 4a$${}+ 2b$ なので、$4a$${}+ 2b$ が $8$ の倍数、つまり $2a$${}+ b$ が $4$ の倍数

$a$${}+ b$${}= 4$ のとき、$(a,\ b)$${}= (0,\ 4),$$\ (1,\ 3),$$\ (2,\ 2),$$\ (3,\ 1),$$\ (4,\ 0)$ のうち $2a$${}+ b$ が $4$ の倍数になるのは $(0,\ 4)$，$(4,\ 0)$ です。

$a$${}+ b$${}= 13$ のとき、$(a,\ b)$${}= (4,\ 9),$$\ (5,\ 8),$$\ (6,\ 7),$$\ (7,\ 6),$$\ (8,\ 5),$$\ (9,\ 4)$ のうち $2a$${}+ b$ が $4$ の倍数になるのは $(7,\ 6)$ だけです（$2a$${}+ b$${}= 20$）。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}N = 6048,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ 6408,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ 6768}$ です。

$6$

割り算をすると $\dfrac{5}{13}$${}= 0.384615384615\cdots$${}= 0.\dot{3}8461\dot{5}$ で、循環節は $384615$ の $6$ けたです。

$100$${}= 6 \times 16$${}+ 4$ なので、小数第 $100$ 位は循環節の $4$ 番目の数字で、$\underline{6}$ です。

$(a,\ b)$${}= (7,\ 210),$$\ (14,\ 105),$$\ (21,\ 70),$$\ (35,\ 42)$

$a$，$b$ の最大公約数を $g$、最小公倍数を $l$ とすると $ab$${}= gl$ なので

$a$${}= 7a'$，$b$${}= 7b'$（$a'$，$b'$ は互いに素な自然数で $a'$${}< b'$）とおくと、$l$${}= 7a'b'$ なので

$30$ を2つの自然数の積に分ける組 $(a',\ b')$${}= (1,\ 30),$$\ (2,\ 15),$$\ (3,\ 10),$$\ (5,\ 6)$ は、どれも互いに素です。それぞれ $7$ 倍して

「互いに素」の条件を確かめないと、$a'b'$${}= 30$ で $a'$，$b'$ に公約数があるような組（この問題ではありません）を拾ってしまうことがあります。

(1) $1,$$\ 7$　(2) $8$ 個

(1) 「$a$ と $b$ の最大公約数」＝「$a$${}- kb$ と $b$ の最大公約数」を用いて、最大公約数を変えない組を順に作ります。

1つ目は $(3n + 4)$${}- (2n + 5)$${}= n$${}- 1$、2つ目は $(2n + 5)$${}- 2(n - 1)$${}= 7$ です。

よって求める最大公約数は「$n$${}- 1$ と $7$ の最大公約数」に等しく、$7$ は素数なので、その値は $\underline{1 \text{ または } 7}$ です（$n$${}= 2$ のとき $10$ と $9$ で $1$、$n$${}= 1$ のとき $7$ と $7$ で $7$ となり、どちらも実際に現れます）。

(2) 最大公約数が $7$ になるのは、$n$${}- 1$ が $7$ の倍数のとき（$n$${}- 1$${}= 0$ も含む）です。$n$${}= 7k$${}+ 1$（$k$ は $0$ 以上の整数）で

$k$${}= 0,$$\ 1,$$\ \ldots,$$\ 7$ の $\underline{8 \text{ 個}}$ です。

個数 $12$ 個，最大のもの $963$

求める自然数を $N$ とすると、整数 $x$，$y$ を用いて $N$${}= 7x$${}+ 4$${}= 11y$${}+ 6$ と表せます。よって

$x$${}= 5$，$y$${}= 3$ は $35$${}- 33$${}= 2$ を満たすので、辺ごとに引いて $7(x - 5)$${}= 11(y - 3)$ です。$7$ と $11$ は互いに素なので、$x$${}- 5$${}= 11t$（$t$ は整数）とおけて

$N$ が3けたなので $100$${}\leqq 77t$${}+ 39$${}\leqq 999$、つまり $61$${}\leqq 77t$${}\leqq 960$ です。$77 \times 1$${}= 77$，$77 \times 12$${}= 924$，$77 \times 13$${}= 1001$ より、$t$${}= 1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ 12$ です。

よって個数は $\underline{12 \text{ 個}}$、最大のものは $t$${}= 12$ のときの $77 \times 12$${}+ 39$${}= \underline{963}$ です。

（確かめ）$963$${}= 7 \times 137$${}+ 4$${}= 11 \times 87$${}+ 6$

対偶「$a$，$b$ の少なくとも一方が $3$ の倍数でないならば、$a^2$${}+ b^2$ は $3$ の倍数でない」を、平方数を $3$ で割った余りで示す。

方針　対偶を示します。

準備　整数 $n$ は、$k$ を整数として $n$${}= 3k$，$3k$${}\pm 1$ のいずれかで表せます。

• $n$${}= 3k$ のとき $n^2$${}= 3 \cdot 3k^2$ で、$3$ で割った余りは $0$
• $n$${}= 3k$${}\pm 1$ のとき $n^2$${}= 9k^2$${}\pm 6k$${}+ 1$${}= 3(3k^2 \pm 2k)$${}+ 1$ で、余りは $1$（複号同順）

つまり、$n^2$ を $3$ で割った余りは、$n$ が $3$ の倍数なら $0$、そうでなければ $1$ です。

証明　$a$，$b$ の少なくとも一方が $3$ の倍数でないとします。

• 一方だけが $3$ の倍数でないとき、$a^2$${}+ b^2$ を $3$ で割った余りは $0$${}+ 1$${}= 1$
• 両方とも $3$ の倍数でないとき、$a^2$${}+ b^2$ を $3$ で割った余りは $1$${}+ 1$${}= 2$

どちらの場合も $a^2$${}+ b^2$ は $3$ の倍数ではありません。対偶が真なので、もとの命題も真です。（証明終）

$(x,\ y)$${}= (-9,\ 0),$$\ (-3,\ -3),$$\ (-1,\ 4),$$\ (5,\ 1)$

$(x + 2)(2y - 1)$${}= 2xy$${}- x$${}+ 4y$${}- 2$ なので、方程式の両辺から $2$ を引いて

$x$${}+ 2$，$2y$${}- 1$ は整数で、積が $7$ なので、$7$ の約数の組を考えます。$2y$${}- 1$ は奇数ですが、$7$ の約数 $\pm 1$，$\pm 7$ はすべて奇数なので、どの組も除かれません。

よって $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(x,\ y) = (-9,\ 0),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (-3,\ -3),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (-1,\ 4),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (5,\ 1)}$ です。

$(x,\ y)$${}= (3,\ 9),$$\ (4,\ 6),$$\ (5,\ 5),$$\ (8,\ 4)$

両辺に $xy$ を掛けると $2y$${}+ 3x$${}= xy$、つまり $xy$${}- 3x$${}- 2y$${}= 0$ です。両辺に $6$ を足して

$x$，$y$ は自然数なので $x$${}- 2$${}\geqq -1$，$y$${}- 3$${}\geqq -2$ です。

• $x$${}- 2$，$y$${}- 3$ がともに負の場合：$x$${}- 2$${}= -1$ となり $y$${}- 3$${}= -6$ ですが、$y$${}- 3$${}\geqq -2$ に反します。
• 一方だけが負の場合：積が負になり、$6$ になりません。

したがって $x$${}- 2$，$y$${}- 3$ はともに正の約数の組です。

よって $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(x,\ y) = (3,\ 9),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (4,\ 6),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (5,\ 5),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (8,\ 4)}$ です。

$a$${}= \dfrac{5}{3},$$b$${}= \dfrac{5}{3}$

等式を整理すると

$a$${}- b$${}\neq 0$ と仮定すると $\sqrt{3}$${}= -\dfrac{2a + b - 5}{a - b}$ となります。$a$，$b$ は有理数なので右辺は有理数になり、$\sqrt{3}$ が無理数であることに反します。

よって $a$${}- b$${}= 0$ で、このとき $2a$${}+ b$${}- 5$${}= 0$ も成り立ちます。$a$${}= b$ を代入して $3a$${}= 5$ なので