方程式 $5x$ ${}- 8y$ ${}= 3$ の整数解をすべて求めなさい。

1a:T10d4,

$x$ ${}= 8t$ ${}- 1$ ， $y$ ${}= 5t$ ${}- 1$ （ $t$ は整数）

1b:T6710,

$x$ ${}= -1$ ， $y$ ${}= -1$ とすると $-5$ ${}+ 8$ ${}= 3$ なので、これが1組の解です。辺ごとに引くと

\displaystyle 5(x + 1)

$5$ と $8$ は互いに素なので、 $x$ ${}+ 1$ は $8$ の倍数です。 $x$ ${}+ 1$ ${}= 8t$ とおくと $40t$ ${}= 8(y + 1)$ より $y$ ${}+ 1$ ${}= 5t$ です。よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}x = 8t}

です。 $y$ の係数が負なので、 $x$ と $y$ は同じ向きに増えます。

1c:T7e9,

方程式 $12x$ ${}+ 18y$ ${}= 30$ の整数解をすべて求めなさい。

1d:T110f,

$x$ ${}= 3t$ ${}+ 1$ ， $y$ ${}= -2t$ ${}+ 1$ （ $t$ は整数）

1e:T5c7a,

$12$ と $18$ の最大公約数は $6$ で、 $30$ は $6$ の倍数なので解があります。両辺を $6$ で割ると

\displaystyle 2x

$x$ ${}= 1$ ， $y$ ${}= 1$ が1組の解です。辺ごとに引くと $2(x - 1)$ ${}= 3(1 - y)$ で、 $2$ と $3$ は互いに素なので $x$ ${}- 1$ ${}= 3t$ とおけて、 $1$ ${}- y$ ${}= 2t$ です。よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}x = 3t}

です。割らずに $12(x - 1)$ ${}= 18(1 - y)$ から進めると、「 $12$ と $18$ は互いに素」とは言えないので、先に最大公約数で割っておくのが大切です。

1f:Tfe8,

(1) 互除法を用いて、方程式 $31x$ ${}+ 23y$ ${}= 1$ の整数解を1組求めなさい。

(2) 方程式 $31x$ ${}+ 23y$ ${}= 1$ の整数解をすべて求めなさい。

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