袋の中に黒玉 $3$ 個と白玉 $5$ 個が入っています。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出すとき、取り出した黒玉の個数を $X$ とします。 $X$ の確率分布を表にまとめ、 $X$ の期待値を求めなさい。

1a:T4f4,

$\dfrac{9}{8}$

1b:Taeec,

$3$ 個の取り出し方は ${}_8\mathrm{C}_3$ ${}= 56$ 通りで、同様に確からしいです（玉はすべて区別して数えます）。

$X$ ${}= 0$ ：白玉 $3$ 個 ${}_5\mathrm{C}_3$ ${}= 10$ 通り
$X$ ${}= 1$ ：黒玉 $1$ 個・白玉 $2$ 個 ${}_3\mathrm{C}_1 \times {}_5\mathrm{C}_2$ ${}= 3 \times 10$ ${}= 30$ 通り
$X$ ${}= 2$ ：黒玉 $2$ 個・白玉 $1$ 個 ${}_3\mathrm{C}_2 \times {}_5\mathrm{C}_1$ ${}= 3 \times 5$ ${}= 15$ 通り
$X$ ${}= 3$ ：黒玉 $3$ 個 ${}_3\mathrm{C}_3$ ${}= 1$ 通り

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	計
確率	$\dfrac{10}{56}$	$\dfrac{30}{56}$	$\dfrac{15}{56}$	$\dfrac{1}{56}$	$1$

分子の合計は $10$ ${}+ 30$ ${}+ 15$ ${}+ 1$ ${}= 56$ です。

値と確率の分子の積の合計は

\displaystyle 0 \times 10

なので、期待値は

\displaystyle \frac{63}{56}

これは「取り出す個数 $3$ 」×「黒玉の割合 $\dfrac{3}{8}$ 」と同じ値です。玉を戻さない場合でもこうなる理由は、厳密定義のページで説明しています。

1c:T9e5,

硬貨を $4$ 枚同時に投げます。

(1) 表が出る枚数の期待値を求めなさい。

(2) 表が $4$ 枚なら $1600$ 円、ちょうど $3$ 枚なら $400$ 円、それ以外なら $0$ 円がもらえるとき、もらえる金額の期待値を求めなさい。

1d:T7d0d,

表裏の出方は $2^4$ ${}= 16$ 通りで、同様に確からしいです。表が $k$ 枚になるのは ${}_4\mathrm{C}_k$ 通りです。

表の枚数	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	計
確率	$\dfrac{1}{16}$	$\dfrac{4}{16}$	$\dfrac{6}{16}$	$\dfrac{4}{16}$	$\dfrac{1}{16}$	$1$

(1) 枚数と確率の分子の積の合計は

\displaystyle 0 \times 1

なので、期待値は

\displaystyle \frac{32}{16}

公式5 を使えば $4 \times \dfrac{1}{2}$ ${}= 2$ と、すぐに求まります。

(2)

\displaystyle 1600 \times \frac{1}{16}

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