赤玉 $4$ 個、白玉 $5$ 個、青玉 $3$ 個が入った袋から、 $2$ 個の玉を同時に取り出します。

(1) $2$ 個が同じ色である確率を求めなさい。

(2) $2$ 個が異なる色である確率を求めなさい。

19:T9f8,

(1) $\dfrac{19}{66}$ 　(2) $\dfrac{47}{66}$

1a:T6c3f,

$12$ 個の玉をすべて区別すると、取り出し方は ${}_{12}\mathrm{C}_2$ ${}= 66$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 「 $2$ 個とも赤」「 $2$ 個とも白」「 $2$ 個とも青」の3つの事象は、どの2つも同時には起こらないので互いに排反です。それぞれの取り出し方は

\displaystyle {}_4\mathrm{C}_2

なので、加法定理より

\displaystyle \frac{6}{66}

(2) 「異なる色」は「同じ色」の余事象なので

\displaystyle 1

直接数えると、赤白 $4 \times 5$ ${}= 20$ 、白青 $5 \times 3$ ${}= 15$ 、赤青 $4 \times 3$ ${}= 12$ で $47$ 通りとなり、一致します。

1b:T9f8,

(1) $\dfrac{11}{36}$ 　(2) $\dfrac{11}{12}$

1c:T6a1d,

目の出方は $6 \times 6$ ${}= 36$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 余事象は「どちらのさいころも $1$ 以外の目」で、その出方は $5 \times 5$ ${}= 25$ 通りです。

\displaystyle 1

「大が $1$ 」の $6$ 通りと「小が $1$ 」の $6$ 通りを足して $12$ 通りとすると、 $(1,\ 1)$ を2回数えてしまいます。公式3 で $\dfrac{6}{36}$ ${}+ \dfrac{6}{36}$ ${}- \dfrac{1}{36}$ ${}= \dfrac{11}{36}$ としても同じ答えです。

(2) 余事象は「和が $3$ 以下」です。和が $2$ になるのは $(1,\ 1)$ 、和が $3$ になるのは $(1,\ 2)$ ， $(2,\ 1)$ で、合わせて $3$ 通りです。

\displaystyle 1

1d:T19fc,

さいころを1個投げる試行で、「偶数の目が出る」事象を $A$ 、「 $3$ の倍数の目が出る」事象を $B$ 、「 $2$ でも $3$ でも割り切れない目が出る」事象を $C$ とします。

(1) 積事象 $A \cap B$ と和事象 $A \cup B$ を集合で表しなさい。

(2) $A$ ， $B$ ， $C$ のうち、互いに排反である2つの事象の組をすべて求めなさい。

(3) $P(A \cup B)$ を求めなさい。

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