目次 ／ 場合の数と確率 ／ 数学A

第5章　確率の基本

—— 起こりやすさがそろった結果を数えて、割合で表す ——

第4章までで、ものを並べる・選ぶときの数え方がそろいました。この章からは、その道具を使って「どのくらい起こりやすいか」を数で表す確率に入ります。まず試行と事象という言葉を決め、起こりやすさがそろった結果（同様に確からしい結果）の個数の割合として確率を定めます。見分けのつかないものも区別して数えること、分母と分子の数え方をそろえることが、この章でいちばん大切な約束です。最後に、くじ引きは何番目に引いても当たる確率が変わらないことを確かめます。

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未回答 25× 0○ 01か月定着 0

試行と事象

さいころを投げる、くじを引く、硬貨を投げる。どれも、やってみるまで結果が分かりません。確率を考える前に、こうした「やってみること」と「その結果」に名前をつけておきます。

公式1：試行と事象
  • 同じ条件のもとでくり返すことができ、その結果が偶然によって決まる実験や観察を試行という。
  • 試行の結果として起こる事柄を事象という。
  • ある試行で起こりうる結果全体の集合 UU で表される事象を全事象、それ以上分けられない1つの結果だけからなる事象を根元事象、決して起こらない事象を空事象といい、∅\varnothing で表す。

事象は、全事象 UU の部分集合として表すことができる。

さいころを1個投げる試行では、起こりうる結果は 11 から 66 の目なので、全事象は

U\displaystyle U={1, 2, 3, 4, 5, 6}\displaystyle {}= \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}

です。「偶数の目が出る」という事象 AA は AA={2, 4, 6}{}= \{2,\ 4,\ 6\}、「33 の目が出る」という根元事象は {3}\{3\}、「77 の目が出る」は決して起こらないので空事象 ∅\varnothing です。第1章で学んだ集合の言葉が、そのまま事象を表す言葉になります。

おみくじを思い浮かべてください。おみくじを引くことが試行、「大吉が出る」「吉以上が出る」が事象です。「吉以上」は「大吉」「中吉」「小吉」「吉」という結果をまとめたものなので、結果の集合（部分集合）として表せます。

偶然に結果が決まる実験が試行、その結果として起こる事柄が事象で、事象は起こりうる結果全体 UU の部分集合として表せるということです。

例題1：全事象と事象

11 から 1212 までの番号が1つずつ書かれた 1212 枚のカードから、1枚を引く試行を考えます。

(1) 全事象 UU を集合で表し、根元事象の個数を求めなさい。

(2) 「33 の倍数の番号を引く」という事象 AA を集合で表し、n(A)n(A) を求めなさい。

【解答】

(1) 起こりうる結果は 11 から 1212 の番号なので

U\displaystyle U={1, 2, 3, …, 12}\displaystyle {}= \{1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ 12\}

です。根元事象は {1}\{1\}，{2}\{2\}，…，{12}\{12\} で、12 個‾\underline{12 \text{ 個}} あります。

(2) 1212 以下の 33 の倍数を並べて

A\displaystyle A={3, 6, 9, 12}\displaystyle {}= \{3,\ 6,\ 9,\ 12\}

なので、n(A)n(A)=4‾{}= \underline{4} です。

確率の定義

さいころを投げるとき、11 の目も 66 の目も同じくらい出やすいと考えられます。このように、どの根元事象が起こることも同じ程度に期待できるとき、それらの根元事象は同様に確からしいといいます。確率は、この前提のもとで次のように定めます。

公式2：確率の定義

全事象 UU のどの根元事象も同様に確からしいとき、事象 AA の起こる確率 P(A)P(A) を

P(A)\displaystyle P(A)=n(A)n(U)\displaystyle {}= \frac{n(A)}{n(U)}

と定める。分子は事象 AA の起こる場合の数、分母は起こりうるすべての場合の数である。このとき

0\displaystyle 0≦P(A)\displaystyle {}\leqq P(A)≦1,\displaystyle {}\leqq 1,P(U)\displaystyle P(U)=1,\displaystyle {}= 1,P(∅)\displaystyle P(\varnothing)=0\displaystyle {}= 0

が成り立つ。

P は確率を表す英語 probability の頭文字です。AA は UU の部分集合なので 00≦n(A){}\leqq n(A)≦n(U){}\leqq n(U) で、確率はいつも 00 以上 11 以下になります。必ず起こる事象の確率が 11、決して起こらない事象の確率が 00 です。計算した確率が 11 を超えたり負になったりしたら、どこかで数え間違えています。

確率の計算は、結局のところ分母と分子の2つの場合の数を数えることです。第2章から第4章で学んだ樹形図、積の法則、順列、組合せがすべてここで使えます。

商店街の福引きで考えましょう。ガラガラの中に玉が 200200 個入っていて、そのうち赤玉が 1010 個なら、赤玉が出る確率は 10200\dfrac{10}{200}=120{}= \dfrac{1}{20} です。これは、どの玉も同じように出てくる（中でよく混ざっている）と考えてよいからです。玉の大きさがばらばらで、大きい玉ほど出やすいのなら、この割合は使えません。

2個のさいころを投げる試行では、大小を区別して (大, 小)(\text{大},\ \text{小}) の組で結果を表すと、6×66 \times 6=36{}= 36 通りの結果が同様に確からしくなります。図のようにマス目に並べると、条件に合う結果を数えやすくなります。

小の目 大の目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 色のマス（目の差が 2）は 8 個 → 確率 8/36 = 2/9

どの結果も同じくらい起こりやすいとき、確率は「AA が起こる場合の数」を「すべての場合の数」で割った割合で、いつも 00 以上 11 以下になるということです。

例題2：さいころ2個の確率

大小2個のさいころを同時に投げます。

(1) 出る目の差が 22 である確率を求めなさい。

(2) 出る目の積が 1212 である確率を求めなさい。

【解答】

目の出方は全部で 6×66 \times 6=36{}= 36 通りあり、これらは同様に確からしいです。

(1) 目の差が 22 になる (大, 小)(\text{大},\ \text{小}) の組は

(1, 3),\displaystyle (1,\ 3), (3, 1),\displaystyle \ (3,\ 1), (2, 4),\displaystyle \ (2,\ 4), (4, 2),\displaystyle \ (4,\ 2), (3, 5),\displaystyle \ (3,\ 5), (5, 3),\displaystyle \ (5,\ 3), (4, 6),\displaystyle \ (4,\ 6), (6, 4)\displaystyle \ (6,\ 4)

の 88 通りです（図の色つきのマス）。よって求める確率は

836\displaystyle \frac{8}{36}=29‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{9}}

(2) 積が 1212 になる組は

(2, 6),\displaystyle (2,\ 6), (6, 2),\displaystyle \ (6,\ 2), (3, 4),\displaystyle \ (3,\ 4), (4, 3)\displaystyle \ (4,\ 3)

の 44 通りです。1×121 \times 12 は 1212 の目がないので起こりません。よって求める確率は

436\displaystyle \frac{4}{36}=19‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{9}}

確率は約分して答えます。(2, 6)(2,\ 6) と (6, 2)(6,\ 2) は大小が入れかわっただけですが、大小のさいころを区別しているので別の結果として2回数えます。

見分けのつかないものも区別して数える

確率の計算でいちばん間違えやすいのは、「同様に確からしくない結果」を分母に数えてしまうことです。

硬貨を2枚投げたとき、結果は「2枚とも表」「表と裏が1枚ずつ」「2枚とも裏」の3通りです。では、「表と裏が1枚ずつ」の確率は 13\dfrac{1}{3} でしょうか。

2 枚を区別する（10 円玉, 100 円玉）と 4 通り：どれも 1/4 ずつ (表, 表) (表, 裏) (裏, 表) (裏, 裏) 1/4 1/4 1/4 1/4 まとめると 表 2 枚 表と裏が 1 枚ずつ 裏 2 枚 1/4 2/4 = 1/2 1/4 3 通りは起こりやすさがそろわないので、1/3 ずつではない 見分けがつかなくても区別して数える

2枚を 1010 円玉と 100100 円玉のように区別してみると、結果は (表, 表)(\text{表},\ \text{表})，(表, 裏)(\text{表},\ \text{裏})，(裏, 表)(\text{裏},\ \text{表})，(裏, 裏)(\text{裏},\ \text{裏}) の4通りで、こちらは同様に確からしいです。「表と裏が1枚ずつ」はこのうち2通りなので、確率は 24\dfrac{2}{4}=12{}= \dfrac{1}{2} です。3通りにまとめた数え方では、「表と裏が1枚ずつ」だけが2通り分の起こりやすさを持っていて、3つの結果の起こりやすさがそろっていません。

公式3：区別して数える

同じ色の玉、同じ種類の硬貨など、見た目で区別できないものも、すべて区別して数える。

区別した結果は同様に確からしいので、公式2 の分母と分子をその数え方で数えれば、正しい確率が求められる。

袋に赤玉 44 個と白玉 33 個が入っているときは、赤玉に 赤1\text{赤}_1，赤2\text{赤}_2，赤3\text{赤}_3，赤4\text{赤}_4、白玉に 白1\text{白}_1，白2\text{白}_2，白3\text{白}_3 と番号をつけたつもりで、77 個の異なる玉として数えます。実際の玉に番号がなくても、玉が 77 個あることに変わりはないからです。

双子に名札をつける場面を想像してください。見た目がそっくりな双子でも、2人は別の人です。「どちらか1人が日直になる」起こり方は、名札で見分ければ2通りあります。見分けられないからといって1通りと数えると、双子の日直になりやすさを半分に見積もってしまいます。

見分けのつかないものでも別のものとして数えると、結果の起こりやすさがそろい、公式2 がそのまま使えるということです。

例題3：区別して数える

(1) 2枚の硬貨を同時に投げるとき、表と裏が1枚ずつ出る確率を求めなさい。

(2) 赤玉 44 個と白玉 33 個が入った袋から、33 個の玉を同時に取り出すとき、赤玉が 22 個、白玉が 11 個である確率を求めなさい。

【解答】

(1) 2枚の硬貨を区別すると、表裏の出方は 2×22 \times 2=4{}= 4 通りで、これらは同様に確からしいです。表と裏が1枚ずつになるのは (表, 裏)(\text{表},\ \text{裏})，(裏, 表)(\text{裏},\ \text{表}) の2通りなので

24\displaystyle \frac{2}{4}=12‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}}

(2) 77 個の玉をすべて区別します。77 個から 33 個を取り出す方法は

7C3\displaystyle {}_7\mathrm{C}_3=7×6×53×2×1\displaystyle {}= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=35 通り\displaystyle {}= 35 \text{ 通り}

で、これらは同様に確からしいです。赤玉 44 個から 22 個を選ぶ方法は 4C2{}_4\mathrm{C}_2=6{}= 6 通り、そのそれぞれに対して白玉 33 個から 11 個を選ぶ方法が 3C1{}_3\mathrm{C}_1=3{}= 3 通りずつあるので、赤玉 22 個・白玉 11 個の取り出し方は 6×36 \times 3=18{}= 18 通りです。よって求める確率は

1835‾\underline{\frac{18}{35}}

取り出した結果を「赤赤赤」「赤赤白」「赤白白」「白白白」の4通りと考えて 14\dfrac{1}{4} とするのは誤りです。この4通りは起こりやすさがそろっていません。

分母と分子の数え方をそろえる

区別して数えたうえで、もう1つ気をつけることがあります。分母を「並べ方」で数えたなら分子も「並べ方」で、分母を「選び方」で数えたなら分子も「選び方」で数えることです。

公式4：分母と分子の数え方をそろえる

確率を求めるときは、分母の n(U)n(U) と分子の n(A)n(A) を同じ数え方で数える。

  • 順番を区別して数える（順列）なら、分母も分子も順列で数える。
  • 順番を区別しないで数える（組合せ）なら、分母も分子も組合せで数える。

どちらの数え方でも、同じ確率が得られる。

例題3 (2) を、玉を1個ずつ順に取り出して並べる数え方でやり直してみます。分母は 77 個から 33 個を取り出して並べる 7P3{}_7\mathrm{P}_3=210{}= 210 通りです。分子は、赤赤白・赤白赤・白赤赤の3つの並び方それぞれに 4×3×34 \times 3 \times 3=36{}= 36 通りずつあるので 3×363 \times 36=108{}= 108 通りです。108210\dfrac{108}{210}=1835{}= \dfrac{18}{35} となり、組合せで数えたときと一致します。どちらも「組合せ1つにつき 3!3!=6{}= 6 通り」を分母と分子に同じようにかけているだけだからです。

ところが、分母を 7C3{}_7\mathrm{C}_3=35{}= 35 通り（選び方）、分子を 108108 通り（並べ方）のように混ぜると、確率が 11 を超えてしまいます。

料理の分量で考えると分かりやすいでしょう。砂糖と小麦粉の割合を求めるとき、砂糖をグラム、小麦粉をカップで量って割っても、意味のある数にはなりません。単位をそろえてはじめて割合が比べられます。場合の数でいう「単位」が、並べ方で数えるか選び方で数えるかです。

分母と分子は、並べ方なら並べ方、選び方なら選び方で数え、単位をそろえてから割るということです。

例題4：順列・組合せを使う確率

男子 33 人と女子 33 人がいます。

(1) 66 人がくじで順番を決めて1列に並ぶとき、女子 33 人が続いて並ぶ確率を求めなさい。

(2) 66 人の中からくじで 22 人の代表を選ぶとき、22 人とも女子である確率を求めなさい。

【解答】

(1) 並ぶ順番を区別するので、分母も分子も順列で数えます。66 人の並び方は 6!6!=720{}= 720 通りです。

女子 33 人をひとまとめにして1人分と考えると、男子 33 人とあわせた 44 人分の並び方が 4!4!=24{}= 24 通り、そのそれぞれに対してまとまりの中の女子の並び方が 3!3!=6{}= 6 通りずつあります。女子が続いて並ぶ並び方は 24×624 \times 6=144{}= 144 通りなので

144720\displaystyle \frac{144}{720}=15‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{5}}

(2) 代表 22 人には順番がないので、分母も分子も組合せで数えます。66 人から 22 人を選ぶ方法は 6C2{}_6\mathrm{C}_2=15{}= 15 通り、女子 33 人から 22 人を選ぶ方法は 3C2{}_3\mathrm{C}_2=3{}= 3 通りなので

315\displaystyle \frac{3}{15}=15‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{5}}

(2) を「代表を1人目、2人目と順に選ぶ」と考えて、分母 6P2{}_6\mathrm{P}_2=30{}= 30 通り、分子 3P2{}_3\mathrm{P}_2=6{}= 6 通りとしても、630\dfrac{6}{30}=15{}= \dfrac{1}{5} で同じ答えになります。

くじ引きは引く順番によらない

当たりの入ったくじを何人かで順に引くとき、「先に引いたほうが有利」「残り物には福がある」と、どちらの話も聞きます。確率で確かめてみましょう。

公式5：くじ引きの公平性

nn 本のうち当たりが kk 本入ったくじを、何人かが1本ずつ順に引く（引いたくじはもとに戻さない）とき、何番目に引く人も、当たる確率は kn\dfrac{k}{n} で等しい。

1010 本のうち当たりが 33 本のくじを、AA，BB の順に1本ずつ引く場合で確かめます。くじを 1010 本とも区別すると、AA と BB の引き方は、1010 本から 22 本を取り出して並べる 10P2{}_{10}\mathrm{P}_2=90{}= 90 通りで、同様に確からしいです。

BB が当たるのは、BB が当たりの 33 本のどれかを引き、AA がそれ以外の 99 本のどれかを引く場合なので 3×93 \times 9=27{}= 27 通りです。よって BB が当たる確率は 2790\dfrac{27}{90}=310{}= \dfrac{3}{10} で、AA が当たる確率 310\dfrac{3}{10} と同じです。

数えるときに「BB から先に決める」のがコツです。AA から決めると、AA が当たったかどうかで BB の候補の数が変わり、場合分けが必要になります。例題5 では、あえてその場合分けで数えて、同じ答えになることを確かめます。

席替えのくじを思い出してください。先に引いた人が窓際の席を取ってしまうと、後の人には残っていないかもしれません。でも、後の人から見れば「前の人が窓際を取らずに残してくれる」場合もあります。この2つの事情がちょうど打ち消し合って、引く前の時点ではどの順番でも窓際になる確率は同じです。

戻さずに順に引くくじでは、何番目に引いても当たる確率は「当たりの本数 ÷ 全体の本数」で変わらないということです。

例題5：くじ引きの順番

1010 本のうち当たりが 33 本入ったくじがあります。AA，BB の2人がこの順に1本ずつくじを引きます。引いたくじはもとに戻しません。BB が当たる確率を求めなさい。

【解答】

1010 本のくじをすべて区別します。AA，BB の引き方は 10P2{}_{10}\mathrm{P}_2=10×9{}= 10 \times 9=90{}= 90 通りで、これらは同様に確からしいです。

BB が当たる引き方を、AA が当たるかどうかで分けて数えます。

  • AA が当たり、BB も当たる：AA は当たり 33 本のどれか、BB は残りの当たり 22 本のどれかなので 3×23 \times 2=6{}= 6 通り
  • AA がはずれ、BB が当たる：AA ははずれ 77 本のどれか、BB は当たり 33 本のどれかなので 7×37 \times 3=21{}= 21 通り

合わせて 66+21{}+ 21=27{}= 27 通りなので、BB が当たる確率は

2790\displaystyle \frac{27}{90}=310‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{10}}

AA が当たる確率も 310\dfrac{3}{10} なので、先に引いても後に引いても当たりやすさは同じです。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

さいころを1個投げるとき、44 以下の目が出る確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

23‾\underline{\dfrac{2}{3}}（44 以下の目は 44 通りなので 46\dfrac{4}{6}）

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問2

2枚の硬貨を同時に投げるとき、2枚とも裏が出る確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

14‾\underline{\dfrac{1}{4}}（2枚を区別すると出方は 44 通りで、2枚とも裏は 11 通り）

自己採点：
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問3

11 から 2020 までの番号が1つずつ書かれた 2020 枚のカードから1枚を引くとき、44 の倍数の番号を引く確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

14‾\underline{\dfrac{1}{4}}（44 の倍数は 44，88，1212，1616，2020 の 55 枚なので 520\dfrac{5}{20}）

自己採点：
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問4

赤玉 33 個と白玉 55 個が入った袋から玉を1個取り出すとき、赤玉である確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

38‾\underline{\dfrac{3}{8}}（玉を区別すると取り出し方は 88 通りで、赤玉は 33 通り）

自己採点：
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問5

大小2個のさいころを同時に投げるとき、同じ目が出る確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

16‾\underline{\dfrac{1}{6}}（3636 通りのうち (1, 1)(1,\ 1) から (6, 6)(6,\ 6) の 66 通り）

自己採点：
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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

1010 円玉、5050 円玉、100100 円玉の3枚の硬貨を同時に投げます。

(1) 全事象の根元事象の個数を求めなさい。

(2) 表がちょうど1枚出る確率を求めなさい。

(3) 表が2枚以上出る確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 88 個　(2) 38\dfrac{3}{8}　(3) 12\dfrac{1}{2}

解説

表を H、裏を T とし、(10 円, 50 円, 100 円)(10 \text{ 円},\ 50 \text{ 円},\ 100 \text{ 円}) の順に書きます。

(1) 3枚それぞれに表と裏の2通りがあるので、積の法則より 2×2×22 \times 2 \times 2=8{}= 8 通りです。全事象は

U={\displaystyle U = \{HHH, HHT, HTH, HTT,\displaystyle \mathrm{HHH},\ \mathrm{HHT},\ \mathrm{HTH},\ \mathrm{HTT},THH, THT, TTH, TTT}\displaystyle \mathrm{THH},\ \mathrm{THT},\ \mathrm{TTH},\ \mathrm{TTT}\}

で、根元事象は 8 個‾\underline{8 \text{ 個}} です。これらは同様に確からしいです。

(2) 表がちょうど1枚の事象は {HTT, THT, TTH}\{\mathrm{HTT},\ \mathrm{THT},\ \mathrm{TTH}\} の 33 個の結果からなるので

38‾\underline{\frac{3}{8}}

表の1枚がどの硬貨かで3通りあることに注意します。

(3) 表が2枚以上の事象は、表が2枚の {HHT, HTH, THH}\{\mathrm{HHT},\ \mathrm{HTH},\ \mathrm{THH}\} と、3枚の {HHH}\{\mathrm{HHH}\} をあわせた 44 個の結果からなるので

48\displaystyle \frac{4}{8}=12‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}}
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問2　★

大小2個のさいころを同時に投げます。

(1) 出る目の和が 99 である確率を求めなさい。

(2) 大のさいころの目が小のさいころの目より大きい確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 19\dfrac{1}{9}　(2) 512\dfrac{5}{12}

解説

目の出方は 6×66 \times 6=36{}= 36 通りで、これらは同様に確からしいです。出方を (大, 小)(\text{大},\ \text{小}) で表します。

(1) 和が 99 になるのは

(3, 6),\displaystyle (3,\ 6), (4, 5),\displaystyle \ (4,\ 5), (5, 4),\displaystyle \ (5,\ 4), (6, 3)\displaystyle \ (6,\ 3)

の 44 通りなので

436\displaystyle \frac{4}{36}=19‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{9}}

(2) 大の目で場合分けして、小の目の候補を数えます。

大の目112233445566
小の目の候補なし111, 21,\ 21∼31 \sim 31∼41 \sim 41∼51 \sim 5
個数001122334455

合計 00+1{}+ 1+2{}+ 2+3{}+ 3+4{}+ 4+5{}+ 5=15{}= 15 通りなので

1536\displaystyle \frac{15}{36}=512‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{12}}

36 通りのうち、同じ目の 66 通りを除いた 3030 通りは「大が大きい」と「小が大きい」に半分ずつ分かれる、と考えても 1515 通りが得られます。

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問3　★

11 から 5050 までの整数が1つずつ書かれた 5050 枚のカードから1枚を引きます。

(1) 66 の倍数を引く確率を求めなさい。

(2) 33 の倍数でも 44 の倍数でもない数を引く確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 425\dfrac{4}{25}　(2) 1325\dfrac{13}{25}

解説

引き方は 5050 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 50÷650 \div 6=8{}= 8 余り 22 より、66 の倍数は 88 個です。

850\displaystyle \frac{8}{50}=425‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{25}}

(2) 33 の倍数の集合を AA、44 の倍数の集合を BB とします。第1章の方法で個数を数えます。

  • 50÷350 \div 3=16{}= 16 余り 22 より n(A)n(A)=16{}= 16
  • 50÷450 \div 4=12{}= 12 余り 22 より n(B)n(B)=12{}= 12
  • A∩BA \cap B は 33 と 44 の最小公倍数 1212 の倍数で、50÷1250 \div 12=4{}= 4 余り 22 より n(A∩B)n(A \cap B)=4{}= 4
n(A∪B)\displaystyle n(A \cup B)=16\displaystyle {}= 16+12\displaystyle {}+ 12−4\displaystyle {}- 4=24\displaystyle {}= 24

「33 の倍数でも 44 の倍数でもない」数は A‾∩B‾\overline{A} \cap \overline{B} で、その個数は 5050−24{}- 24=26{}= 26 です。よって

2650\displaystyle \frac{26}{50}=1325‾\displaystyle {}= \underline{\frac{13}{25}}
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問4　★

赤玉 55 個と白玉 44 個が入った袋から、22 個の玉を同時に取り出します。

(1) 22 個とも赤玉である確率を求めなさい。

(2) 赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 518\dfrac{5}{18}　(2) 59\dfrac{5}{9}

解説

99 個の玉をすべて区別すると、22 個の取り出し方は

9C2\displaystyle {}_9\mathrm{C}_2=9×82×1\displaystyle {}= \frac{9 \times 8}{2 \times 1}=36 通り\displaystyle {}= 36 \text{ 通り}

で、これらは同様に確からしいです。

(1) 赤玉 55 個から 22 個を選ぶ方法は 5C2{}_5\mathrm{C}_2=10{}= 10 通りなので

1036\displaystyle \frac{10}{36}=518‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{18}}

(2) 赤玉 55 個から 11 個、白玉 44 個から 11 個を選ぶので、積の法則より 5×45 \times 4=20{}= 20 通りです。

2036\displaystyle \frac{20}{36}=59‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{9}}

白玉が 22 個の場合は 4C2{}_4\mathrm{C}_2=6{}= 6 通りで、1010+20{}+ 20+6{}+ 6=36{}= 36 と全体に戻ることも確かめられます。

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問5　★

AA，BB，CC，DD，EE の 55 人が、くじで順番を決めて1列に並びます。

(1) AA が左端に並ぶ確率を求めなさい。

(2) AA と BB が隣り合う確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 15\dfrac{1}{5}　(2) 25\dfrac{2}{5}

解説

55 人の並び方は 5!5!=120{}= 120 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) AA を左端に固定すると、残り 44 人の並び方が 4!4!=24{}= 24 通りです。

24120\displaystyle \frac{24}{120}=15‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{5}}

AA がどの位置に来るかだけに注目すれば、55 か所が同じように起こりやすいので 15\dfrac{1}{5} と考えることもできます。

(2) AA と BB をひとまとめにして1人分とすると、44 人分の並び方が 4!4!=24{}= 24 通り、そのそれぞれに対してまとまりの中の AA，BB の並び方が 22 通りずつあります。隣り合う並び方は 24×224 \times 2=48{}= 48 通りなので

48120\displaystyle \frac{48}{120}=25‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{5}}
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問6　★

ハート・ダイヤ・クラブ・スペードの 44 種類のマークそれぞれに、11 から 1313 までの数が1枚ずつ書かれた 5252 枚のカードがあります。この中から1枚を引きます。

(1) ハートのカードを引く確率を求めなさい。

(2) 33 の倍数が書かれたカードを引く確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 14\dfrac{1}{4}　(2) 413\dfrac{4}{13}

解説

引き方は 5252 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) ハートのカードは 1313 枚なので

1352\displaystyle \frac{13}{52}=14‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{4}}

(2) 11 から 1313 までの 33 の倍数は 33，66，99，1212 の 44 個です。それぞれの数について、44 種類のマークのカードがあるので、積の法則より 4×44 \times 4=16{}= 16 枚です。

1652\displaystyle \frac{16}{52}=413‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{13}}

（マークに関係なく、数だけに注目して 413\dfrac{4}{13} と考えることもできます。）

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問7　★

袋に赤玉 22 個と白玉 22 個が入っています。この袋から 22 個の玉を同時に取り出します。

(1) 赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めなさい。

(2) 「取り出した玉の色は、赤赤・赤白・白白の 33 通りなので、赤玉と白玉が1個ずつである確率は 13\dfrac{1}{3} である」という考え方が誤りである理由を示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 23\dfrac{2}{3}　(2) 赤赤・赤白・白白の 33 通りは同様に確からしくないから（赤白は 44 通り、赤赤と白白は 11 通りずつ）

解説

(1) 玉を 赤1\text{赤}_1，赤2\text{赤}_2，白1\text{白}_1，白2\text{白}_2 と区別します。22 個の取り出し方は 4C2{}_4\mathrm{C}_2=6{}= 6 通りで、これらは同様に確からしいです。

{赤1, 赤2},\displaystyle \{\text{赤}_1,\ \text{赤}_2\}, {赤1, 白1},\displaystyle \ \{\text{赤}_1,\ \text{白}_1\}, {赤1, 白2},\displaystyle \ \{\text{赤}_1,\ \text{白}_2\}, {赤2, 白1},\displaystyle \ \{\text{赤}_2,\ \text{白}_1\}, {赤2, 白2},\displaystyle \ \{\text{赤}_2,\ \text{白}_2\}, {白1, 白2}\displaystyle \ \{\text{白}_1,\ \text{白}_2\}

赤玉と白玉が1個ずつになるのは、赤玉の選び方 22 通りと白玉の選び方 22 通りの積で 44 通りです。

46\displaystyle \frac{4}{6}=23‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{3}}

(2) 確率を「場合の数の割合」として求めてよいのは、数えた結果がどれも同様に確からしいときだけです。区別して数えた 66 通りのうち、赤赤は 11 通り、赤白は 44 通り、白白は 11 通りにあたります。赤白は赤赤の 44 倍起こりやすいので、33 通りの起こりやすさはそろっていません。そのため、33 通りを分母にして 13\dfrac{1}{3} とするのは誤りです。

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問8　★

AA，BB，CC の 33 人が1回だけじゃんけんをします。どの人も、グー・チョキ・パーを同様に確からしく出すものとします。

(1) AA だけが勝つ確率を求めなさい。

(2) あいこになる確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 19\dfrac{1}{9}　(2) 13\dfrac{1}{3}

解説

33 人の手の出し方は 3×3×33 \times 3 \times 3=27{}= 27 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) AA だけが勝つとき、BB と CC は同じ手で負けます。AA が勝つ手の選び方が 33 通り（グー・チョキ・パーのどれで勝つか）あり、それが決まると BB，CC の手は1通りに決まります。

327\displaystyle \frac{3}{27}=19‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{9}}

(2) あいこになるのは、次の2つの場合です。

  • 33 人とも同じ手：33 通り
  • 33 人がすべて違う手：グー・チョキ・パーを 33 人に割りふるので 3!3!=6{}= 6 通り

合わせて 33+6{}+ 6=9{}= 9 通りなので

927\displaystyle \frac{9}{27}=13‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{3}}

「33 人とも同じ」だけを数えて 327\dfrac{3}{27} としないように注意します。

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問9　★★

赤玉 44 個、白玉 33 個、青玉 22 個が入った袋から、33 個の玉を同時に取り出します。

(1) 33 色の玉が1個ずつである確率を求めなさい。

(2) 33 個とも同じ色である確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 27\dfrac{2}{7}　(2) 584\dfrac{5}{84}

解説

99 個の玉をすべて区別すると、33 個の取り出し方は

9C3\displaystyle {}_9\mathrm{C}_3=9×8×73×2×1\displaystyle {}= \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}=84 通り\displaystyle {}= 84 \text{ 通り}

で、これらは同様に確からしいです。

(1) 赤・白・青から1個ずつ選ぶので、積の法則より 4×3×24 \times 3 \times 2=24{}= 24 通りです。

2484\displaystyle \frac{24}{84}=27‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{7}}

(2) 同じ色の玉が 33 個以上あるのは赤と白だけです。

  • 33 個とも赤：4C3{}_4\mathrm{C}_3=4{}= 4 通り
  • 33 個とも白：3C3{}_3\mathrm{C}_3=1{}= 1 通り

青玉は 22 個しかないので、33 個とも青にはなりません。合わせて 44+1{}+ 1=5{}= 5 通りなので

584‾\underline{\frac{5}{84}}
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問10　★★

男子 55 人と女子 33 人が、くじで順番を決めて1列に並びます。

(1) 女子どうしが隣り合わない確率を求めなさい。

(2) 両端がどちらも女子である確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 514\dfrac{5}{14}　(2) 328\dfrac{3}{28}

解説

88 人の並び方は 8!8!=40320{}= 40320 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) まず男子 55 人を並べます。並び方は 5!5!=120{}= 120 通りです。男子の間と両端にできる 66 か所のすき間から、女子 33 人が入る場所を1人ずつ選んで並べると、女子どうしは隣り合いません。その方法は 6P3{}_6\mathrm{P}_3=6×5×4{}= 6 \times 5 \times 4=120{}= 120 通りです。

120×12040320\displaystyle \frac{120 \times 120}{40320}=1440040320\displaystyle {}= \frac{14400}{40320}=514‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{14}}

(2) 左端の女子の選び方が 33 通り、右端の女子の選び方が残りの 22 通り、間の 66 人の並び方が 6!6!=720{}= 720 通りです。

3×2×72040320\displaystyle \frac{3 \times 2 \times 720}{40320}=432040320\displaystyle {}= \frac{4320}{40320}=328‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{28}}

大きな数の約分が大変なときは、8!8!=8×7×6!{}= 8 \times 7 \times 6! と書いて 3×2×6!8×7×6!\dfrac{3 \times 2 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!}=656{}= \dfrac{6}{56} のように約分すると楽です。

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問11　★★

AA，BB，CC，DD，EE，FF の 66 人が、くじで席を決めて円形のテーブルに等間隔に座ります。

(1) AA と BB が向かい合って座る確率を求めなさい。

(2) AA と BB が隣り合って座る確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 15\dfrac{1}{5}　(2) 25\dfrac{2}{5}

解説

AA の席を基準に固定して考えます。残り 55 人の座り方は 5!5!=120{}= 120 通り（円順列 (6−1)!(6 - 1)!）で、これらは同様に確からしいです。

(1) AA の正面の席に BB が座り、残り 44 人が 44 席に座るので 4!4!=24{}= 24 通りです。

24120\displaystyle \frac{24}{120}=15‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{5}}

(2) BB は AA の右隣か左隣の 22 通り、残り 44 人の座り方が 4!4!=24{}= 24 通りなので、2×242 \times 24=48{}= 48 通りです。

48120\displaystyle \frac{48}{120}=25‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{5}}

BB の座る席だけに注目すると、AA 以外の 55 席が同じように起こりやすく、向かいは 11 席、隣は 22 席なので、15\dfrac{1}{5}，25\dfrac{2}{5} とすぐに求めることもできます。

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問12　★★

11，22，33，44，55，66 の数字が1つずつ書かれた 66 枚のカードから、33 枚を順に取り出して左から並べ、33 桁の整数を作ります。

(1) できた整数が偶数である確率を求めなさい。

(2) できた整数が 33 の倍数である確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 12\dfrac{1}{2}　(2) 25\dfrac{2}{5}

解説

33 桁の整数の作り方は 6P3{}_6\mathrm{P}_3=6×5×4{}= 6 \times 5 \times 4=120{}= 120 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 一の位を 22，44，66 の 33 通りから先に決め、残り 55 枚から十の位、44 枚から百の位を決めます。

3×5×4120\displaystyle \frac{3 \times 5 \times 4}{120}=60120\displaystyle {}= \frac{60}{120}=12‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}}

(2) 33 の倍数になるのは、各位の数の和が 33 の倍数のときです。11 から 66 を 33 で割った余りで分けると

  • 余り 00：33，66
  • 余り 11：11，44
  • 余り 22：22，55

33 個の数の余りの和が 33 の倍数になるのは、「33 個とも同じ余り」か「余りが 00，11，22 の1個ずつ」のときです。どのグループも 22 個しかないので前者は起こらず、後者の選び方は 2×2×22 \times 2 \times 2=8{}= 8 通りです。選んだ 33 枚の並べ方はそれぞれ 3!3!=6{}= 6 通りなので、33 の倍数は 8×68 \times 6=48{}= 48 個です。

48120\displaystyle \frac{48}{120}=25‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{5}}

並べ方の 3!3! をかけ忘れて 8120\dfrac{8}{120} とすると、分母（並べ方）と分子（選び方）の数え方がそろわなくなります。分母も選び方にして 86C3\dfrac{8}{{}_6\mathrm{C}_3}=820{}= \dfrac{8}{20}=25{}= \dfrac{2}{5} としてもかまいません。

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問13　★★

正八角形の 88 個の頂点から、33 個を同時に選んで三角形を作ります。

(1) 直角三角形ができる確率を求めなさい。

(2) 正八角形と 22 辺を共有する三角形ができる確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 37\dfrac{3}{7}　(2) 17\dfrac{1}{7}

解説

33 個の頂点の選び方は 8C3{}_8\mathrm{C}_3=56{}= 56 通りで、これらは同様に確からしいです。どの 33 個の頂点も一直線上にないので、どの選び方でも三角形ができます。

(1) 正八角形の頂点はすべて1つの円（外接円）の周上にあります。円周上の 33 点でできる三角形が直角三角形になるのは、22 点が直径の両端になるときです（円周角の定理）。

直径の両端になる頂点の組は、向かい合う頂点の組で 8÷28 \div 2=4{}= 4 組あります。そのそれぞれに対して、残りの頂点の選び方が 88−2{}- 2=6{}= 6 通りずつあるので、4×64 \times 6=24{}= 24 通りです。

2456\displaystyle \frac{24}{56}=37‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{7}}

(2) 正八角形と 22 辺を共有するのは、33 個の頂点が連続して並ぶときです。連続する 33 頂点の組は、まん中の頂点を選べば決まるので 88 通りです。

856\displaystyle \frac{8}{56}=17‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{7}}

33 辺すべてを共有する三角形は作れない（33 頂点が連続すると、両端の頂点を結ぶ線分は対角線になる）ので、「ちょうど 22 辺」と「少なくとも 22 辺」は同じ意味になります。

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問14　★★

1212 本のうち当たりが 44 本入ったくじがあります。AA，BB，CC の 33 人がこの順に1本ずつくじを引きます。引いたくじはもとに戻しません。

(1) CC が当たる確率を求めなさい。

(2) AA と BB がはずれ、CC が当たる確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 13\dfrac{1}{3}　(2) 28165\dfrac{28}{165}

解説

1212 本のくじをすべて区別します。33 人の引き方は 12P3{}_{12}\mathrm{P}_3=12×11×10{}= 12 \times 11 \times 10=1320{}= 1320 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) CC から先に決めます。CC が当たりの 44 本のどれかを引き、AA が残り 1111 本、BB がさらに残り 1010 本のどれかを引くので、4×11×104 \times 11 \times 10=440{}= 440 通りです。

4401320\displaystyle \frac{440}{1320}=13‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{3}}

AA が当たる確率 412\dfrac{4}{12}=13{}= \dfrac{1}{3} と同じで、公式5 のとおり引く順番によりません。

(2) AA ははずれ 88 本のどれか、BB は残りのはずれ 77 本のどれか、CC は当たり 44 本のどれかなので、8×7×48 \times 7 \times 4=224{}= 224 通りです。

2241320\displaystyle \frac{224}{1320}=28165‾\displaystyle {}= \underline{\frac{28}{165}}

(1) の 13\dfrac{1}{3} は、(2) の場合を含む「AA，BB の当たりはずれの4つの場合」をすべて合わせたものです。

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問15　★★

大中小3個のさいころを同時に投げます。

(1) 33 個の目がすべて異なる確率を求めなさい。

(2) 出る目の最大値が 44 である確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 59\dfrac{5}{9}　(2) 37216\dfrac{37}{216}

解説

目の出方は 636^3=216{}= 216 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 大の目が 66 通り、中の目は大と違う 55 通り、小の目は大・中と違う 44 通りなので、6P3{}_6\mathrm{P}_3=120{}= 120 通りです。

120216\displaystyle \frac{120}{216}=59‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{9}}

(2) 「最大値が 44」は、「33 個とも 44 以下」のうち「33 個とも 33 以下」ではないものです。

  • 33 個とも 44 以下：434^3=64{}= 64 通り
  • 33 個とも 33 以下：333^3=27{}= 27 通り

「33 個とも 33 以下」は「33 個とも 44 以下」に含まれるので、最大値が 44 になるのは 6464−27{}- 27=37{}= 37 通りです。

37216‾\underline{\frac{37}{216}}

「44 の目が少なくとも1つ出て、ほかは 44 以下」と考えて 44 が何個出るかで場合分けしても、2727+9{}+ 9+1{}+ 1=37{}= 37 通りになります（44 が1個：3×323 \times 3^2=27{}= 27、2個：3×33 \times 3=9{}= 9、3個：11）。

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問16　★★

赤玉 33 個、白玉 22 個、青玉 11 個の合計 66 個の玉を、でたらめに1列に並べます。

(1) 両端がどちらも赤玉である確率を求めなさい。

(2) 白玉 22 個が隣り合う確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 15\dfrac{1}{5}　(2) 13\dfrac{1}{3}

解説

66 個の玉をすべて区別すると、並べ方は 6!6!=720{}= 720 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 左端の赤玉の選び方が 33 通り、右端の赤玉が残りの 22 通り、間の 44 個の並べ方が 4!4!=24{}= 24 通りなので、3×2×243 \times 2 \times 24=144{}= 144 通りです。

144720\displaystyle \frac{144}{720}=15‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{5}}

(2) 白玉 22 個をひとまとめにすると、55 個分の並べ方が 5!5!=120{}= 120 通り、まとまりの中の白玉の並べ方が 22 通りなので、120×2120 \times 2=240{}= 240 通りです。

240720\displaystyle \frac{240}{720}=13‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{3}}

別解（同じものを含む順列で数える）　色だけを見た並べ方は 6!3! 2! 1!\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}=60{}= 60 通りです。色の並べ方1つにつき、区別した並べ方はどれもちょうど 3! 2! 1!3!\,2!\,1!=12{}= 12 通りずつあるので、色の並べ方 6060 通りも同様に確からしいとみなせます。

  • (1) 両端が赤で、間に赤・白・白・青を並べる：4!2!\dfrac{4!}{2!}=12{}= 12 通り → 1260\dfrac{12}{60}=15{}= \dfrac{1}{5}
  • (2) 白白をまとめ、赤・赤・赤・[白白]・青を並べる：5!3!\dfrac{5!}{3!}=20{}= 20 通り → 2060\dfrac{20}{60}=13{}= \dfrac{1}{3}

まとめてよいのは、どのまとまりにも同じ個数ずつ入っているときだけです。j07 の「赤赤・赤白・白白」はまとまりの大きさがそろわないので、まとめてはいけませんでした。

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問17　★★★

AA，BB，CC，DD の 44 人が、1個ずつプレゼントを持ち寄りました。44 個のプレゼントを集めて、でたらめに1人に1個ずつ配り直します。

(1) 44 人のうち、だれも自分の持ってきたプレゼントを受け取らない確率を求めなさい。

(2) ちょうど1人だけが自分の持ってきたプレゼントを受け取る確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 38\dfrac{3}{8}　(2) 13\dfrac{1}{3}

解説

AA，BB，CC，DD が持ってきたプレゼントをそれぞれ aa，bb，cc，dd とします。配り方は aa，bb，cc，dd の 4!4!=24{}= 24 通りの並べ方（AA，BB，CC，DD の順に受け取るものを並べる）で、これらは同様に確からしいです。

(1) AA が bb を受け取る場合を数えます。

  • BB が aa を受け取るとき：CC，DD は cc，dd を自分のものでないように受け取るので、CC が dd、DD が cc の 11 通り
  • BB が cc を受け取るとき：残りは aa，dd。DD は dd を受け取れないので DD が aa、CC が dd の 11 通り
  • BB が dd を受け取るとき：残りは aa，cc。CC は cc を受け取れないので CC が aa、DD が cc の 11 通り

AA が bb を受け取る配り方は 33 通りです。AA が cc や dd を受け取る場合も、プレゼントの名前を入れかえれば同じ数え方になるので 33 通りずつあり、合わせて 3×33 \times 3=9{}= 9 通りです。

924\displaystyle \frac{9}{24}=38‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{8}}

別解（包除原理）　AA が自分のものを受け取る配り方の集合を XAX_A などとすると、n(XA)n(X_A)=3!{}= 3!=6{}= 6、22 人が自分のものを受け取るのは 2!2!=2{}= 2、33 人なら 11、44 人なら 11 です。

n(XA∪XB∪XC∪XD)\displaystyle n(X_A \cup X_B \cup X_C \cup X_D)=4×6\displaystyle {}= 4 \times 6−4C2×2\displaystyle {}- {}_4\mathrm{C}_2 \times 2+4C3×1\displaystyle {}+ {}_4\mathrm{C}_3 \times 1−1\displaystyle {}- 1=24\displaystyle {}= 24−12\displaystyle {}- 12+4\displaystyle {}+ 4−1\displaystyle {}- 1=15\displaystyle {}= 15

だれも自分のものを受け取らないのは 2424−15{}- 15=9{}= 9 通りです。

(2) 自分のものを受け取る1人の選び方が 44 通りです。たとえば AA だけが aa を受け取るとき、残りの BB，CC，DD は3人とも自分のものを受け取りません。33 人でだれも自分のものを受け取らない配り方は、BB→c{}\to c，CC→d{}\to d，DD→b{}\to b と BB→d{}\to d，CC→b{}\to b，DD→c{}\to c の 22 通りです。

4×224\displaystyle \frac{4 \times 2}{24}=824\displaystyle {}= \frac{8}{24}=13‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{3}}

ちょうど 22 人が自分のものを受け取るのは 4C2×1{}_4\mathrm{C}_2 \times 1=6{}= 6 通り、33 人以上は 44 人全員の 11 通り（33 人だけ自分のものということはない）なので、99+8{}+ 8+6{}+ 6+1{}+ 1=24{}= 24 と全体に戻ります。

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問18　★★★

44 人が、それぞれ AA，BB，CC の 33 つの部屋のどれか1つを、同様に確からしく選んで入ります。

(1) 空き部屋がない確率を求めなさい。

(2) 空き部屋がちょうど1つである確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 49\dfrac{4}{9}　(2) 1427\dfrac{14}{27}

解説

44 人の部屋の選び方は、重複順列で 343^4=81{}= 81 通りで、これらは同様に確からしいです。

(2) を先に求めます。空き部屋になる1部屋の選び方が 33 通りです。たとえば CC が空き部屋のとき、44 人は AA，BB のどちらかに入り、しかも AA，BB のどちらも空いていません。AA，BB の2部屋への入り方 242^4=16{}= 16 通りから、全員が AA の 11 通りと全員が BB の 11 通りを除いて 1414 通りです。

3×1481\displaystyle \frac{3 \times 14}{81}=4281\displaystyle {}= \frac{42}{81}=1427‾\displaystyle {}= \underline{\frac{14}{27}}

(1) 空き部屋が 22 つになるのは、44 人全員が同じ部屋に入る場合で 33 通りです。空き部屋が 33 つになることはありません。空き部屋がないのは

81\displaystyle 81−42\displaystyle {}- 42−3\displaystyle {}- 3=36 通り\displaystyle {}= 36 \text{ 通り}

なので

3681\displaystyle \frac{36}{81}=49‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{9}}

確かめ　空き部屋がないとき、44 人は「22 人・11 人・11 人」に分かれます。22 人になる部屋の選び方が 33 通り、その部屋に入る 22 人の選び方が 4C2{}_4\mathrm{C}_2=6{}= 6 通り、残り 22 人の残り 22 部屋への入り方が 2!2!=2{}= 2 通りで、3×6×23 \times 6 \times 2=36{}= 36 通りと一致します。

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問19　★★★

大小2個のさいころを同時に投げ、大のさいころの出た目を aa、小のさいころの出た目を bb とします。xx の二次方程式 x2x^2+ax{}+ ax+b{}+ b=0{}= 0 が実数解をもつ確率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1936\dfrac{19}{36}

解説

目の出方は 3636 通りで、これらは同様に確からしいです。

二次方程式 x2x^2+ax{}+ ax+b{}+ b=0{}= 0 が実数解をもつ条件は、判別式 DD=a2{}= a^2−4b{}- 4b が DD≧0{}\geqq 0 となること、つまり

b\displaystyle b≦a24\displaystyle {}\leqq \frac{a^2}{4}

です。aa で場合分けして、条件を満たす bb（11≦b{}\leqq b≦6{}\leqq 6 の整数）を数えます。

aa112233445566
a24\dfrac{a^2}{4}0.250.25112.252.25446.256.2599
bb の個数001122446666

aa=5{}= 5，66 のときは、bb は 11 から 66 のどれでもよいので 66 個です。合計は 00+1{}+ 1+2{}+ 2+4{}+ 4+6{}+ 6+6{}+ 6=19{}= 19 通りなので

1936‾\underline{\frac{19}{36}}

aa=2{}= 2，bb=1{}= 1 や aa=4{}= 4，bb=4{}= 4 のように DD=0{}= 0（重解）になる場合も、実数解をもつので数に入ります。

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問20　★★★

nn 本のうち当たりが kk 本（11≦k{}\leqq k≦n{}\leqq n）入ったくじを、nn 人が1人1本ずつ順に引きます。引いたくじはもとに戻しません。rr 番目（11≦r{}\leqq r≦n{}\leqq n）に引く人が当たる確率は、rr によらず kn\dfrac{k}{n} であることを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

nn 本のくじを区別すると、nn 人の引き方は n!n! 通りで同様に確からしい。rr 番目の人が当たるのは、その人の引く当たりくじが kk 通り、残り nn−1{}- 1 人の引き方が (n−1)!(n - 1)! 通りなので k×(n−1)!k \times (n - 1)! 通り。確率は k×(n−1)!n!\dfrac{k \times (n - 1)!}{n!}=kn{}= \dfrac{k}{n} で、rr によらない。

解説

証明　nn 本のくじをすべて区別します。nn 人が 11 番目から順に全部のくじを引き終えたときの結果は、nn 本のくじを1列に並べた順列と1対1に対応し、全部で n!n! 通りあります。どのくじも同じように引かれるので、これらの n!n! 通りは同様に確からしいです。

rr 番目の人が当たる引き方を数えます。rr 番目の人が引くくじを先に決めると、当たりくじ kk 本のどれかなので kk 通りです。そのそれぞれに対して、残りの nn−1{}- 1 人が残りの nn−1{}- 1 本を引く引き方が (n−1)!(n - 1)! 通りずつあります。積の法則より、rr 番目の人が当たる引き方は k×(n−1)!k \times (n - 1)! 通りです。

よって、rr 番目の人が当たる確率は

k×(n−1)!n!\displaystyle \frac{k \times (n - 1)!}{n!}=k×(n−1)!n×(n−1)!\displaystyle {}= \frac{k \times (n - 1)!}{n \times (n - 1)!}=kn\displaystyle {}= \frac{k}{n}

であり、これは rr を含まないので、何番目に引いても当たる確率は kn\dfrac{k}{n} で等しくなります。（証明終）

補足　実際には rr 番目の人までで引くのをやめても、確率は変わりません。nn 人全員が引き終えるまで続けたと考えても、rr 番目の人が引くくじは同じだからです。例題5 や j14 のように途中までの人数で数えても、この証明のように全員で数えても、同じ答えになります。

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数学小話コーナー

ガリレオと3個のさいころ

17 世紀のイタリアでは、3個のさいころを投げて目の和を当てる賭けが遊ばれていました。賭けをする人たちの間には、1つの疑問があったといいます。

和が 99 になる目の組は、次の 66 種類です。

1\displaystyle 1+2\displaystyle {}+2+6,\displaystyle {}+6,1\displaystyle 1+3\displaystyle {}+3+5,\displaystyle {}+5,1\displaystyle 1+4\displaystyle {}+4+4,\displaystyle {}+4,2\displaystyle 2+2\displaystyle {}+2+5,\displaystyle {}+5,2\displaystyle 2+3\displaystyle {}+3+4,\displaystyle {}+4,3\displaystyle 3+3\displaystyle {}+3+3\displaystyle {}+3

和が 1010 になる目の組も、やはり 66 種類です。

1\displaystyle 1+3\displaystyle {}+3+6,\displaystyle {}+6,1\displaystyle 1+4\displaystyle {}+4+5,\displaystyle {}+5,2\displaystyle 2+2\displaystyle {}+2+6,\displaystyle {}+6,2\displaystyle 2+3\displaystyle {}+3+5,\displaystyle {}+5,2\displaystyle 2+4\displaystyle {}+4+4,\displaystyle {}+4,3\displaystyle 3+3\displaystyle {}+3+4\displaystyle {}+4

組の数が同じなら、99 と 1010 は同じくらい出るはずです。ところが、長年賭けを続けてきた人たちの実感では、1010 のほうが少しだけよく出る。これはなぜか――という相談が、天文学者として知られるガリレオ・ガリレイのもとに持ち込まれました（依頼したのはトスカーナ大公だったとされます ※諸説あり）。

ガリレオの答えは、この章の公式3 そのものでした。3個のさいころを区別すると、目の出方は 636^3=216{}= 216 通りで、こちらが同様に確からしい結果です。11+2{}+2+6{}+6 のように3つの目がすべて違う組は、どのさいころにどの目が出るかで 3!3!=6{}= 6 通り、11+4{}+4+4{}+4 のように2つが同じ組は 33 通り、33+3{}+3+3{}+3 は 11 通りにあたります。

  • 和が 99：66+6{}+ 6+3{}+ 3+3{}+ 3+6{}+ 6+1{}+ 1=25{}= 25 通り
  • 和が 1010：66+6{}+ 6+3{}+ 3+6{}+ 6+3{}+ 3+3{}+ 3=27{}= 27 通り

確率にすると 25216\dfrac{25}{216}≒0.116{}\fallingdotseq 0.116 と 27216\dfrac{27}{216}=0.125{}= 0.125 です。差は 11 ポイントにも満たないので、何百回、何千回と賭けてきた人でなければ気づかなかったでしょう。ガリレオはこの考察を短い文章にまとめています（書かれた年は 1613〜1623 年ごろとされ、はっきりしません ※諸説あり）。

豆知識

3個のさいころの和でいちばん出やすいのは、1010 と 1111 で、どちらも 2727 通りです。和の分布は 10.510.5 を中心に左右対称で、和が 33 と 1818 はどちらも 11 通りしかありません。

大数学者ダランベールの勘違い

ジャン・ル・ロン・ダランベールは、18 世紀フランスを代表する数学者・物理学者です。弦の振動を表す方程式を研究し、ディドロとともに『百科全書』の編集にもたずさわりました。そのダランベールが、確率ではよく知られた勘違いを残しています。

1754 年ごろ、『百科全書』の「表か裏か」という項目で、彼は次の問題を考えました（※項目の細かな内容や、どこまで本気で主張したかには議論があります）。

硬貨を2回まで投げて、少なくとも1回表が出れば勝ち。勝つ確率はいくらか。

ダランベールの考えはこうです。1回目に表が出たら、そこで勝ちが決まるので2回目は投げない。すると結果は「表」「裏→表」「裏→裏」の3通りで、そのうち勝ちは2通り。だから確率は 23\dfrac{2}{3} である――。

今の私たちは、どこがおかしいか分かります。1回目が表のときも、2回目を投げたことにして区別すれば、結果は「表表」「表裏」「裏表」「裏裏」の4通りで、これが同様に確からしい結果です。「表」で止めた1通りは、実は「表表」と「表裏」の2通り分の起こりやすさを持っています。正しい確率は 34\dfrac{3}{4} です。

2回目を実際に投げるかどうかは、勝ち負けにも確率にも関係ありません。途中でやめる試行でも、最後まで続けたと考えて区別して数えれば、結果の起こりやすさがそろいます。j20 の補足で「全員が引き終えるまで続けたと考えてよい」と書いたのと、同じ考え方です。

豆知識

「宝くじは当たるか外れるかの2通りだから、当たる確率は 12\dfrac{1}{2}」という冗談があります。笑い話ですが、ダランベールの勘違いと根は同じで、「起こりやすさのそろわない結果を1つずつ数えている」ところに誤りがあります。

くるぶしの骨のさいころ

確率の定義は「同様に確からしい」という前提の上に立っています。この前提は、実は道具の形に支えられています。

立方体のさいころが広まる前、古代の地中海世界などでは、羊やヤギのかかとの骨（距骨、ギリシャ語でアストラガロス）が、さいころのように投げて使われていました（※地域や時代については諸説あります）。この骨は細長いでこぼこの形をしていて、止まったときに上を向く面は、ほぼ4通りに決まります。

ところが、この4つの面は同じようには出ません。広くて平らな面は上になりやすく、細い面はなかなか上になりません。骨を実際に投げた実験では、出やすい面と出にくい面で数倍の差がついたと報告されています（※骨の形によって大きく変わります）。4通りの結果があっても、それぞれの確率は 14\dfrac{1}{4} ではないのです。

このような道具では、「場合の数の割合」で確率を求めることはできません。起こりやすさを知るには、何度も投げて出た回数の割合を調べるしかありません。この「回数の割合で確率を見積もる」考え方は、統計の分野で詳しく扱います。

立方体のさいころは、形の対称性のおかげで、どの面も同じように出ると考えられます。6つの面を入れかえても形が変わらないので、特定の面だけが出やすくなる理由がないからです。

豆知識

ふつうのさいころは、目の数だけ面にくぼみが彫られているので、66 の面は 11 の面よりほんの少し軽くなります。そのため、ごくわずかに 66 の目が出やすいという説があります（※差はとても小さく、実験の結果もさまざまです）。カジノで使われるさいころは、角をとがらせ、くぼみを本体と同じくらいの重さの塗料で埋めて、このかたよりを小さくしているといわれます。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。本文では、確率を「同様に確からしい結果の個数の割合」として導入しました。ここでは試行の結果を集合として定め直し、確率の基本性質を証明します。さらに、起こりやすさがそろわない場合にも使える「確率分布」の考え方を紹介し、本文の「区別して数える」「くじは順番によらない」という2つの約束に証明をつけます。

標本空間と事象

定義1：標本空間と事象

ある試行で起こりうる結果全体の集合 UU を、その試行の標本空間という。本ページでは UU は空でない有限集合とする。

UU の部分集合を事象という。とくに、UU 自身を全事象、空集合 ∅\varnothing を空事象、11 個の要素 ω\omega だけからなる部分集合 {ω}\{\omega\} を根元事象という。

試行の結果が ω\omega であり、ω\omega∈A{}\in A であるとき、「事象 AA が起こった」という。

本文の「全事象」は、この標本空間 UU を事象として見たものです。事象を集合として扱うので、第1章の n(A)n(A) や包除原理、第2章から第4章の数え方がそのまま事象に使えます。

標本空間は、1つの試行に対して1通りに決まるものではありません。硬貨を2枚投げる試行では、表の枚数に注目して {0, 1, 2}\{0,\ 1,\ 2\} を標本空間としても、集合としては何の問題もありません。どの標本空間を選ぶかで変わるのは、次の定義2 の前提（同様に確からしいかどうか）が成り立つかどうかです。

確率の定義と基本性質

定義2：同様に確からしい場合の確率

標本空間 UU のすべての根元事象が同じ程度に起こると期待できるとき、それらは同様に確からしいという。このとき、事象 AA の確率を

P(A)\displaystyle P(A)=n(A)n(U)\displaystyle {}= \frac{n(A)}{n(U)}

で定める。

「同じ程度に起こると期待できる」かどうかは、数学の中では決められません。さいころの形の対称性や、くじがよく混ぜてあることなど、試行についての仮定として定義の外から与えられます。この定義は、ラプラスが著書『確率の哲学的試論』（1814）で整理したことから、確率の古典的定義と呼ばれることがあります。

定理1：確率の基本性質

定義2 の確率について、次が成り立つ。

(1) 任意の事象 AA に対して 00≦P(A){}\leqq P(A)≦1{}\leqq 1

(2) P(U)P(U)=1{}= 1，P(∅)P(\varnothing)=0{}= 0

(3) AA⊂B{}\subset B ならば P(A)P(A)≦P(B){}\leqq P(B)

証明　(1) AA⊂U{}\subset U だから 00≦n(A){}\leqq n(A)≦n(U){}\leqq n(U) である。n(U)n(U)>0{}> 0 で割って 00≦P(A){}\leqq P(A)≦1{}\leqq 1 を得る。

(2) P(U)P(U)=n(U)n(U){}= \dfrac{n(U)}{n(U)}=1{}= 1，P(∅)P(\varnothing)=n(∅)n(U){}= \dfrac{n(\varnothing)}{n(U)}=0n(U){}= \dfrac{0}{n(U)}=0{}= 0 である。

(3) AA⊂B{}\subset B のとき、BB は交わらない2つの集合 AA と B∩A‾B \cap \overline{A} の和集合だから、第1章の定理1 より n(B)n(B)=n(A){}= n(A)+n(B∩A‾){}+ n(B \cap \overline{A})≧n(A){}\geqq n(A) である。両辺を n(U)n(U) で割ればよい。（証明終）

(3) の証明で使った「交わらない集合に分けて個数を足す」考え方は、第6章で確率の加法定理 P(A∪B)P(A \cup B)=P(A){}= P(A)+P(B){}+ P(B)（AA と BB が同時に起こらないとき）として、あらためて登場します。

確率分布

根元事象の起こりやすさがそろわない場合にも、確率を扱えるように定義を広げておきます。

定義3：有限の確率分布

有限集合 UU の各要素 ω\omega に、次の2つの条件を満たす実数 p(ω)p(\omega) を対応させたものを、UU 上の確率分布という。

p(ω)\displaystyle p(\omega)≧0\displaystyle {}\geqq 0(ω∈U),\displaystyle (\omega \in U),∑ω∈Up(ω)\displaystyle \sum_{\omega \in U} p(\omega)=1\displaystyle {}= 1

このとき、事象 AA の確率を、AA に属する要素の p(ω)p(\omega) の和

P(A)\displaystyle P(A)=∑ω∈Ap(ω)\displaystyle {}= \sum_{\omega \in A} p(\omega)(ただし P(∅)=0)\displaystyle (\text{ただし } P(\varnothing) = 0)

で定める。

すべての ω\omega について p(ω)p(\omega)=1n(U){}= \dfrac{1}{n(U)} とおくと、P(A)P(A)=n(A)×1n(U){}= n(A) \times \dfrac{1}{n(U)} となり、定義2 に戻ります。定義2 は、定義3 のうち「どの根元事象にも同じ重みを与えた」特別な場合です。

小話で紹介した距骨のように面の出やすさがそろわない道具でも、定義3 なら確率を表せます。ただし、p(ω)p(\omega) の値そのものは数えて求めることができず、実験などから見積もる必要があります。

定義3 の確率も定理1 の性質をすべて満たします（p(ω)p(\omega)≧0{}\geqq 0 の和なので負にならず、UU 全体の和が 11 だからです）。現代の確率論は、このような性質を出発点（公理）として確率を定めます。これは 1933 年にコルモゴロフが示した考え方で、無限個の結果をもつ試行にも使えるように作られています。

区別して数える理由

本文の公式3 では、見分けのつかないものも区別して数えました。区別した標本空間の結果を「見えるもの」にまとめる操作を、写像として表します。

定理2：まとめた結果の確率

UU を同様に確からしい標本空間、VV を有限集合とし、写像 f:Uf : U→V{}\to V が与えられているとする（f(ω)f(\omega) は、結果 ω\omega の「見え方」を表す）。vv∈V{}\in V に対し、f(ω)f(\omega)=v{}= v となる ω\omega 全体の集合を UvU_v とする。

(1) 見え方が vv になる確率は n(Uv)n(U)\dfrac{n(U_v)}{n(U)} である。

(2) ff の値として現れる vv のすべてについて n(Uv)n(U_v) が同じ値 mm であれば、値として現れる vv 全体の集合 V′V' の要素は同様に確からしく、V′V' の部分集合 BB に対して、見え方が BB に属する確率は n(B)n(V′)\dfrac{n(B)}{n(V')} に等しい。

証明　(1) 見え方が vv になる事象は UvU_v そのものなので、定義2 より確率は n(Uv)n(U)\dfrac{n(U_v)}{n(U)} である。

(2) vv が V′V' 全体を動くとき、集合 UvU_v は互いに交わらず、それらの和集合は UU である。どの UvU_v も要素が mm 個だから、第1章の定理1 をくり返し使って n(U)n(U)=m×n(V′){}= m \times n(V') を得る。したがって、各 vv∈V′{}\in V' について

n(Uv)n(U)\displaystyle \frac{n(U_v)}{n(U)}=mm×n(V′)\displaystyle {}= \frac{m}{m \times n(V')}=1n(V′)\displaystyle {}= \frac{1}{n(V')}

となり、どの vv も同じ確率をもつ。また、見え方が BB に属する事象は、vv∈B{}\in B についての UvU_v の和集合だから、その要素の個数は m×n(B)m \times n(B) で、確率は m×n(B)m×n(V′)\dfrac{m \times n(B)}{m \times n(V')}=n(B)n(V′){}= \dfrac{n(B)}{n(V')} である。（証明終）

硬貨2枚の例では、UU の要素は (表, 表)(\text{表},\ \text{表})，(表, 裏)(\text{表},\ \text{裏})，(裏, 表)(\text{裏},\ \text{表})，(裏, 裏)(\text{裏},\ \text{裏}) の 44 個で、ff を「表の枚数」とすると、U0U_0，U1U_1，U2U_2 の要素の個数は 11，22，11 でそろいません。そのため (2) は使えず、(1) で P(表が1枚)P(\text{表が1枚})=24{}= \dfrac{2}{4} と計算しなければなりません。本文の 13\dfrac{1}{3} の誤りは、(2) の条件を確かめずに使ったことにあたります。

一方、j16 の別解では、66 個の玉を区別した並べ方 6!6!=720{}= 720 通りを「色の並び」にまとめました。第4章の公式4 で見たとおり、同じ色どうしの入れかえを考えると、どの色の並びにも区別した並べ方がちょうど 3! 2! 1!3!\,2!\,1!=12{}= 12 通りずつ対応するので、(2) が使え、色の並び 6060 通りを分母にしてよかったのです。「区別して数える」は、いつでも安全な方法であり、「まとめて数える」は定理2 (2) の条件を確かめたときだけ許される近道です。

くじ引きの公平性

定理3：くじ引きの公平性

nn 本のうち当たりが kk 本のくじを、nn 人が 11 番目から順に1本ずつ引く（戻さない）。11≦r{}\leqq r≦n{}\leqq n に対し、rr 番目の人が当たる事象を ArA_r とすると

P(A1)\displaystyle P(A_1)=P(A2)\displaystyle {}= P(A_2)=⋯\displaystyle {}= \cdots=P(An)\displaystyle {}= P(A_n)=kn\displaystyle {}= \frac{k}{n}

である。

証明　くじに 11 から nn の番号をつけて区別し、当たりくじの番号の集合を WW（n(W)n(W)=k{}= k）とする。結果は、ii 番目の人が引いたくじの番号を xix_i とした順列 (x1, x2, …, xn)(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n) で表され、標本空間 UU は {1, …, n}\{1,\ \ldots,\ n\} のすべての並べ方からなる。n(U)n(U)=n!{}= n! であり、これらは同様に確からしい。

ArA_r は xrx_r∈W{}\in W となる順列の集合である。A1A_1 から ArA_r への写像 gg を、11 番目と rr 番目の成分を入れかえる操作

g(x1, …, xr, …, xn)\displaystyle g(x_1,\ \ldots,\ x_r,\ \ldots,\ x_n)=(xr, …, x1, …, xn)\displaystyle {}= (x_r,\ \ldots,\ x_1,\ \ldots,\ x_n)

で定める（rr=1{}= 1 のときは何もしない）。x1x_1∈W{}\in W ならば、入れかえた後の rr 番目の成分は x1x_1∈W{}\in W だから、gg は確かに A1A_1 の要素を ArA_r の要素にうつす。同じ入れかえをもう一度行うと元に戻るので、ArA_r から A1A_1 への同じ操作が gg の逆の対応になっている。したがって A1A_1 と ArA_r は1対1に対応し、n(Ar)n(A_r)=n(A1){}= n(A_1) である。

A1A_1 の要素の個数は、x1x_1 を WW から選ぶ kk 通りと、残りの nn−1{}- 1 個の並べ方 (n−1)!(n - 1)! 通りの積で k×(n−1)!k \times (n - 1)! である。よって

P(Ar)\displaystyle P(A_r)=n(Ar)n!\displaystyle {}= \frac{n(A_r)}{n!}=k×(n−1)!n!\displaystyle {}= \frac{k \times (n - 1)!}{n!}=kn\displaystyle {}= \frac{k}{n}

である。（証明終）

j20 では ArA_r の要素を直接数えましたが、この証明は「11 番目の人と rr 番目の人の立場を入れかえても、全体の様子は何も変わらない」という対称性をそのまま式にしたものです。本文の席替えの例え（先に取られる不利と、残してもらえる有利が打ち消し合う）を、場合分けなしで説明したことになります。

途中で引くのをやめる場合も、残りの人が引き続けたと考えて標本空間を広げればこの定理に帰着します（小話のダランベールの勘違いと同じ考え方）。第8章の条件付き確率では、「AA が当たったと分かったあとで BB が当たる確率」のように、途中の情報を使うと確率が変わることを見ます。

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