第2章　分数関数と方程式・不等式

分数方程式——分母を払って、最後に分母を確かめる

$\dfrac{2}{x - 1}$${}= x$ のように、分母に $x$ を含む方程式を分数方程式といいます。解き方の基本は、両辺に分母を掛けて分母を消し（「分母を払う」といいます）、ふつうの整式の方程式にすることです。

$\displaystyle \frac{2}{x - 1}$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}\longrightarrow\quad 2$$\displaystyle {}= x(x - 1)$

ただし、ここで 1 つ気をつけることがあります。もとの方程式では $x$${}= 1$ を代入できません（分母が $0$ になる）。ところが、分母を払ったあとの式 $2$${}= x(x - 1)$ には、そんな制限がありません。つまり分母を払うと、もとの方程式にとっては「立ち入り禁止」だった $x$ まで、解の候補に入ってくることがあります。

たとえば $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$${}= 2$ で分母を払うと $x^2$${}- 1$${}= 2(x - 1)$，すなわち $x^2$${}- 2x$${}+ 1$${}= 0$ となり、$x$${}= 1$ が出てきます。しかし $x$${}= 1$ はもとの式の分母を $0$ にするので、解ではありません。この方程式は解なしです。このように、式を変形する途中で紛れこむ、もとの方程式を満たさない解を無縁解（むえんかい）といいます。

公式1：分数方程式の解き方

1. 分母を $0$ にする $x$ を確認する（これらの $x$ は解になれない）
2. 両辺に分母（分母が複数あるときは、それらの最小公倍数）を掛けて、整式の方程式にする
3. 整式の方程式を解き、1. で確認した $x$ があれば除く

手順 3 の「除く」を忘れないために、手順 1 を最初にやっておくのがコツです。分母が $x$${}- 1$ と $x(x - 1)$ のように複数あるときは、全部をまとめて払える $x(x - 1)$ を掛けます。

採用試験を思い浮かべてください。書類選考では、応募者全員の書類を同じ形式にそろえて（分母を払って）比べます。けれども、選考を通った人がいても、最後に「そもそも応募資格（分母が $0$ でない）を満たしているか」を確かめなければ採用はできません。資格の条件を最初に書き出しておけば、最後の確認で見落としません。

分数方程式は、分母を払って整式の方程式にして解き、最後に「分母を $0$ にする解」を除けばよいということです。

例題1：分数方程式

次の方程式の解を求めなさい。

(1) $\dfrac{2}{x - 1}$${}= x$

(2) $\dfrac{x + 5}{x - 1}$${}= \dfrac{6}{x^2 - x}$

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【解答】

(1) 分母が $0$ にならないのは $x$${}\neq 1$ のとき。両辺に $x$${}- 1$ を掛けると

$\displaystyle 2$$\displaystyle {}= x(x - 1),$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (x - 2)(x + 1)$$\displaystyle {}= 0$

$x$${}= 2,$${}\ -1$ はどちらも $x$${}\neq 1$ を満たすので $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = -1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 2}$

(2) $x^2$${}- x$${}= x(x - 1)$ なので、分母が $0$ にならないのは $x$${}\neq 0$ かつ $x$${}\neq 1$ のとき。両辺に $x(x - 1)$ を掛けると

$\displaystyle x(x + 5)$$\displaystyle {}= 6,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 5x$$\displaystyle {}- 6$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (x + 6)(x - 1)$$\displaystyle {}= 0$

$x$${}= -6,$$\ 1$ のうち、$x$${}= 1$ は分母を $0$ にするので除きます。よって $\underline{x = -6}$

確かめ：$x$${}= -6$ のとき、左辺 $= \dfrac{-1}{-7}$${}= \dfrac{1}{7}$，右辺 $= \dfrac{6}{36 + 6}$${}= \dfrac{1}{7}$ で一致します。

方程式の解とグラフの共有点——解は交点の $x$ 座標

方程式 $f(x)$${}= g(x)$ の実数解は、2 つのグラフ $y$${}= f(x)$ と $y$${}= g(x)$ の共有点の $x$ 座標です。二次関数の分野で、二次方程式の解を放物線と $x$ 軸の共有点として見たのと同じ考え方です。

例題1(1) の $\dfrac{2}{x - 1}$${}= x$ なら、第1章で描いた $y$${}= \dfrac{2}{x - 1}$（漸近線 $x$${}= 1$，$y$${}= 0$）と、直線 $y$${}= x$ の交わり方を見ます。図のとおり、2 つのグラフは $x$${}= -1$ と $x$${}= 2$ の 2 か所で交わっていて、例題1(1) の答えと合っています。

公式2：方程式の解とグラフの共有点

方程式 $f(x)$${}= g(x)$ の実数解は、$y$${}= f(x)$ と $y$${}= g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標である。とくに、共有点の個数と実数解の個数は等しい。

グラフを描いておくと、式で解く前に「解はいくつあるか」「だいたいどのあたりか」が分かります。式で解いた答えがグラフの見通しと食い違ったら、どこかで計算を間違えている合図です。

2 本の鉄道路線を地図に描くと、乗りかえができる駅は、線路と線路が交わるところにしかありません。「2 路線が交わる駅を全部挙げなさい」という問いは、地図の上で交点を探す問いです。分数方程式も、曲線と直線という 2 本の路線の「乗りかえ駅」を探していると考えられます。ただし、分数関数の路線は漸近線のところで途切れているので、そこに駅はありません。

分数方程式を解くことは、分数関数のグラフともう 1 つのグラフとの交点を探すことで、解の個数は交点の個数と同じだということです。

例題2：グラフと直線の共有点

関数 $y$${}= \dfrac{2}{x - 1}$ のグラフについて

(1) 直線 $y$${}= x$ との共有点の座標を求めなさい。

(2) 直線 $y$${}= -x$${}+ 1$ との共有点があるかどうかを調べ、あればその座標を求めなさい。

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【解答】

(1) 例題1(1) より、共有点の $x$ 座標は $-1,$$\ 2$。$y$${}= x$ なので $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(-1,\ -1),}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (2,\ 2)}$

(2) $\dfrac{2}{x - 1}$${}= -x$${}+ 1$ とします（$x$${}\neq 1$）。両辺に $x$${}- 1$ を掛けると

$\displaystyle 2$$\displaystyle {}= (x - 1)(-x + 1)$$\displaystyle {}= -(x - 1)^2,$$\displaystyle (x - 1)^2$$\displaystyle {}= -2$

$(x - 1)^2$${}\geqq 0$ なので、これを満たす実数 $x$ はありません。よって $\underline{\text{共有点はない}}$

直線 $y$${}= -x$${}+ 1$ は、漸近線の交点 $(1,\ 0)$ を通る右下がりの直線です。$k$${}= 2$${}> 0$ の曲線は十字の右上と左下にあるので、十字の左上と右下へ抜けていくこの直線とは出会いません。

分数不等式をグラフで解く——上にある範囲を読む

$\dfrac{2}{x - 1}$${}> x$ のように、分母に $x$ を含む不等式を分数不等式といいます。グラフで考えると、この不等式の解は「曲線 $y$${}= \dfrac{2}{x - 1}$ が直線 $y$${}= x$ より上にある $x$ の範囲」です。

図1で読みとってみます。曲線と直線の上下が入れかわる候補は、交点の $x$${}= -1,$$\ 2$ と、曲線が途切れる漸近線の $x$${}= 1$ の 3 か所です。この 3 つで数直線を 4 つの範囲に分けて、それぞれで上下を見ます。

たとえば $x$${}= 0$ では、曲線上は $y$${}= -2$、直線上は $y$${}= 0$ なので直線が上です。こうして解は $x$${}< -1,$$1$${}< x$${}< 2$ と分かります（図1の緑の太線）。

公式3：分数不等式をグラフで解く

不等式 $f(x)$${}> g(x)$ の解は、$y$${}= f(x)$ のグラフが $y$${}= g(x)$ のグラフより上にある $x$ の範囲である。分数関数では、上下が入れかわりうるのは

• 2 つのグラフの共有点
• 分数関数のグラフが途切れる漸近線 $x$${}= p$

だけなので、これらの $x$ で区切った範囲ごとに上下を調べればよい。漸近線の $x$${}= p$ は、解に含まれることはない。

「$\geqq$」の不等式なら共有点の $x$ も解に入りますが、漸近線の $x$${}= p$ はいつでも除きます。その $x$ では、そもそも分数関数の値がないからです。

マラソンで 2 人の選手の順位が入れかわるのは、並んだ瞬間か、コースがトンネルに入って見えなくなったあとです。沿道から見ている限り、並ぶこともトンネルもない区間では、前を走る人はずっと前にいます。分数不等式の上下も、交点（並んだ瞬間）と漸近線（トンネル）のところでしか入れかわりません。だから、区切った範囲の中で 1 か所だけ調べれば、その範囲全体の上下が分かります。

分数不等式は、共有点と漸近線で数直線を区切り、範囲ごとに曲線が上か下かを読めば解けるということです。

例題3：グラフを使って不等式を解く

図1を使って、次の不等式の解を求めなさい。

(1) $\dfrac{2}{x - 1}$${}> x$

(2) $\dfrac{2}{x - 1}$${}\leqq x$

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【解答】

共有点の $x$ 座標は $-1,$$\ 2$（例題2）、漸近線は $x$${}= 1$ です。

(1) 曲線が直線より上にあるのは $x$${}< -1$ と $1$${}< x$${}< 2$ の範囲なので

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x < -1,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 1 < x < 2}$

(2) 曲線が直線より下にあるか、共有点になる範囲です。共有点の $x$${}= -1,$$\ 2$ は含み、漸近線の $x$${}= 1$ は含みません。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}-1 \leqq x < 1,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\ 2 \leqq x}$

(1) と (2) の解を合わせると、$x$${}= 1$ を除く実数全体になります。$x$${}= 1$ はどちらの不等式でも考えられない値です。

分数不等式を式で解く——分母の 2 乗を掛ける

グラフで見通しが立ったら、式でも解けるようにしておきます。まず、やってはいけない解き方から見ましょう。

$\dfrac{2}{x - 1}$${}> x$ の両辺に $x$${}- 1$ を掛けて $2$${}> x(x - 1)$ とすると、$x^2$${}- x$${}- 2$${}< 0$ より $-1$${}< x$${}< 2$ になってしまいます。これは例題3の答えと違います。不等式の両辺に負の数を掛けると不等号の向きが変わるのに、$x$${}- 1$ の符号を確かめずに掛けたのが原因です（第1章 実践 j17 で予告した注意です）。

正しく解く方法は 2 つあります。

方法1（場合分け）　$x$${}- 1$${}> 0$ と $x$${}- 1$${}< 0$ に分けて掛けます。

• $x$${}> 1$ のとき：$2$${}> x(x - 1)$ より $-1$${}< x$${}< 2$。$x$${}> 1$ と合わせて $1$${}< x$${}< 2$
• $x$${}< 1$ のとき：向きが変わって $2$${}< x(x - 1)$ より $x$${}< -1,$$2$${}< x$。$x$${}< 1$ と合わせて $x$${}< -1$

方法2（分母の 2 乗を掛ける）　$(x - 1)^2$ は $x$${}\neq 1$ でいつも正なので、向きを気にせず掛けられます。

$\displaystyle 2(x - 1)$$\displaystyle {}> x(x - 1)^2$

右辺へまとめて $x$${}- 1$ でくくると

$\displaystyle (x - 1)\{x(x - 1) - 2\}$$\displaystyle {}< 0,$$\displaystyle (x - 1)(x - 2)(x + 1)$$\displaystyle {}< 0$

3 つの 1 次式の積の符号は、それぞれの符号を表にすると分かります。

積が負になるのは $x$${}< -1,$$1$${}< x$${}< 2$ で、グラフで読んだ答えと一致します。

公式4：分数不等式を式で解く

1. すべてを左辺に移して通分し、$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$${}> 0$（または $< 0$，$\geqq 0$，$\leqq 0$）の形にする
2. 両辺に $Q(x)^2\ (> 0)$ を掛けて、下の $(\bigstar)$ のように積の不等式に言いかえる
3. $P(x)Q(x)$ を 1 次式の積に因数分解し、符号の表で符号を調べる。積の符号は、因数の符号が変わる $x$ でしか変わらない

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$$\displaystyle {}> 0$$\displaystyle {}\iff P(x)Q(x)$$\displaystyle {}> 0,$$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$$\displaystyle {}\geqq 0$$\displaystyle {}\iff P(x)Q(x)$$\displaystyle {}\geqq 0 \ \text{かつ}\ Q(x)$$\displaystyle {}\neq 0$$\displaystyle (\bigstar)$

$(\bigstar)$ の「$\geqq$」のほうに「かつ $Q(x)$${}\neq 0$」がついているのは、$P(x)Q(x)$${}= 0$ には $Q(x)$${}= 0$ の場合も入ってしまうからです。等号つきの不等式では、分子が $0$ になる $x$ は解に含め、分母が $0$ になる $x$ は除きます。

符号の表は、どの因数も「$x$ が大きいほうでは $+$」なので、いちばん右の範囲の積は必ず $+$ です。同じ因数が重ならなければ、区切りの $x$ を 1 つ左へまたぐたびに、符号が $+$ と $-$ で交互に入れかわります。

分数不等式を式で解くときは、1 つの分数にまとめて $\dfrac{P}{Q}$${}> 0$ を $PQ$${}> 0$ に言いかえ、1 次式の積の符号を表で調べればよいということです。

例題4：分数不等式を式で解く

次の不等式の解を求めなさい。

(1) $\dfrac{2}{x - 1}$${}> x$

(2) $\dfrac{x + 4}{x - 2}$${}\leqq 3$

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【解答】

(1) 上の方法2のとおり、両辺に $(x - 1)^2\ (> 0)$ を掛けて整理すると

$\displaystyle (x + 1)(x - 1)(x - 2)$$\displaystyle {}< 0$

符号の表より $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x < -1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 1 < x < 2}$

(2) 右辺を移項して通分します。

$\displaystyle \frac{x + 4}{x - 2}$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= \frac{x + 4 - 3(x - 2)}{x - 2}$$\displaystyle {}= \frac{-2x + 10}{x - 2}$$\displaystyle {}\leqq 0$

両辺に $-\dfrac{1}{2}$ を掛けて（向きが変わる）$\dfrac{x - 5}{x - 2}$${}\geqq 0$。公式4 より

$\displaystyle (x - 5)(x - 2)$$\displaystyle {}\geqq 0$$\displaystyle \text{かつ}$$\displaystyle x$$\displaystyle {}\neq 2$

$(x - 5)(x - 2)$${}\geqq 0$ は $x$${}\leqq 2,$$5$${}\leqq x$ で、ここから $x$${}= 2$ を除いて

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}x < 2,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\ 5 \leqq x}$

$x$${}= 5$ では左辺 $= \dfrac{9}{3}$${}= 3$ となって等号が成り立つので含み、$x$${}= 2$ は分母が $0$ なので含みません。

共有点の個数——直線を動かして数える

最後に、文字 $k$ を含む方程式の実数解の個数を調べます。$\dfrac{1}{x - 2}$${}= -x$${}+ k$ の実数解の個数は、曲線 $y$${}= \dfrac{1}{x - 2}$ と直線 $y$${}= -x$${}+ k$ の共有点の個数です。$k$ を変えると、直線は傾き $-1$ のまま上下に平行移動します。

図のように、直線を下から上へずらしていくと、共有点は 2 個 → 1 個（接する）→ 0 個 → 1 個（接する）→ 2 個と変わります。境目の「接する」ときの $k$ は、分母を払った 2 次方程式の判別式で求められます。

公式5：分数関数のグラフと直線の共有点の個数

$y$${}= \dfrac{k'}{x - p}$${}+ q$ のグラフと直線 $y$${}= mx$${}+ n$（$m$${}\neq 0$）の共有点の個数は、分母を払った 2 次方程式

$\displaystyle k'$$\displaystyle {}= (x - p)(mx + n - q)$

の実数解の個数に等しい。この 2 次方程式は $x$${}= p$ を解にもたない（代入すると左辺 $k'$${}\neq 0$，右辺 $0$）ので、判別式 $D$ について

• $D$${}> 0$ なら共有点は 2 個、$D$${}= 0$ なら 1 個（接する）、$D$${}< 0$ なら 0 個

公式1では「分母を $0$ にする解を除く」必要がありましたが、$y$${}= \dfrac{k'}{x - p}$${}+ q$ の形の曲線と直線なら、分母を払った方程式が $x$${}= p$ を解にもつことはありません。だから判別式だけで個数が決まります（ここでは、曲線の式の $k$ と区別するため、曲線の係数を $k'$ と書きました）。

机の上の曲線に、定規を当てて平行にすべらせる場面を想像してください。定規が曲線を 2 か所で横切っていたのが、ある位置でかすめるように 1 点で触れ、そこを越えると離れます。この「かすめる瞬間」を判別式 $D$${}= 0$ がとらえます。

文字を含む方程式の解の個数は、グラフと動く直線の共有点の個数として数え、接する境目を判別式 $D$${}= 0$ で求めればよいということです。

例題5：実数解の個数

$k$ を定数とします。方程式 $\dfrac{1}{x - 2}$${}= -x$${}+ k$ の異なる実数解の個数を、$k$ の値によって場合分けして求めなさい。

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【解答】

$x$${}\neq 2$ として両辺に $x$${}- 2$ を掛けると

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}= (x - 2)(-x + k),$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- (k + 2)x$$\displaystyle {}+ 2k$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle \cdots\cdots (\ast)$

$x$${}= 2$ を $(\ast)$ の左辺に代入すると $4$${}- 2(k + 2)$${}+ 2k$${}+ 1$${}= 1$${}\neq 0$ なので、$(\ast)$ は $x$${}= 2$ を解にもちません。よって、もとの方程式の実数解の個数は $(\ast)$ の実数解の個数に等しくなります。$(\ast)$ の判別式を $D$ とすると

$\displaystyle D$$\displaystyle {}= (k + 2)^2$$\displaystyle {}- 4(2k + 1)$$\displaystyle {}= k^2$$\displaystyle {}- 4k$$\displaystyle {}= k(k - 4)$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k < 0,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}\ 4 < k \ \text{のとき}\ 2 \text{ 個}},$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k = 0,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}\ 4 \ \text{のとき}\ 1 \text{ 個}},$$\displaystyle \underline{0 < k < 4 \ \text{のとき}\ 0 \text{ 個}}$

$k$${}= 0$ のとき $(\ast)$ は $(x - 1)^2$${}= 0$ で接点は $(1,\ -1)$、$k$${}= 4$ のとき $(\ast)$ は $(x - 3)^2$${}= 0$ で接点は $(3,\ 1)$ です。2 つの接点は、漸近線の交点 $(2,\ 0)$ について対称な位置にあります（第1章 公式5）。

この章のまとめ——3 段の手順

次の第3章では、$y$${}= \sqrt{x}$ のような根号を含む関数（無理関数）のグラフを、この分野の「基本形 → 平行移動」の手順で描きます。第4章では、そのグラフを使って無理方程式・無理不等式を解き、この章と同じ 3 段の手順をくり返します。