(1) $x$ ${}= \sin\theta$ ， $y$ ${}= \cos^2\theta$

(2) $x$ ${}= t$ ${}+ \dfrac{1}{t}$ ， $y$ ${}= t$ ${}- \dfrac{1}{t}$ （ $t$ ${}> 0$ ）

媒介変数 $\theta$ ， $t$ で表された上の (1)(2) の図形が、それぞれどのような図形か求めなさい。

1b:T1f51,

(1) 放物線 $y$ ${}= 1$ ${}- x^2$ の $-1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 1$ の部分　(2) 双曲線 $x^2$ ${}- y^2$ ${}= 4$ の $x$ ${}> 0$ の部分

1c:Te3be,

(1) $\cos^2\theta$ ${}= 1$ ${}- \sin^2\theta$ より $y$ ${}= 1$ ${}- x^2$ です。 $x$ ${}= \sin\theta$ のとりうる値は $-1$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 1$ で、この範囲の $x$ にはそれを $\sin\theta$ とする $\theta$ があるので

\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.1199em}\text{放物線 } y = 1}

です。

(2) 2つの式を2乗して引くと

\displaystyle x^2

です。 $t$ ${}> 0$ なので $x$ ${}= t$ ${}+ \dfrac{1}{t}$ ${}> 0$ です。

逆に、双曲線 $x^2$ ${}- y^2$ ${}= 4$ 上で $x$ ${}> 0$ の点をとります。 $(x + y)(x - y)$ ${}= 4$ より $x$ ${}+ y$ と $x$ ${}- y$ は同符号で、和 $2x$ が正なので、どちらも正です。 $t$ ${}= \dfrac{x + y}{2}$ とおくと $t$ ${}> 0$ で、 $\dfrac{1}{t}$ ${}= \dfrac{2}{x + y}$ ${}= \dfrac{x - y}{2}$ なので、 $t$ ${}+ \dfrac{1}{t}$ ${}= x$ ， $t$ ${}- \dfrac{1}{t}$ ${}= y$ となります。よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}\text{双曲線 } x^2}

です。 $x$ ${}> 0$ の枝の全体を、過不足なく表しています。

学習完了テスト