目次／複素数平面と二次曲線／数学C

第6章　楕円

—— 「2つの焦点からの距離の和」が一定な点の集まり ——

第5章では、1つの点と1本の直線からの距離が等しい点の集まりとして、放物線を学びました。この章では、比べる相手を2つの点に取りかえ、2つの定点（**焦点**）からの距離の**和**が一定な点の集まりを考えます。これが**楕円**です。定義から標準形 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ を導き、焦点・長軸・短軸を式から読み取る方法、楕円が「円を一方向に縮めた形」であること、焦点までの距離を $x$ 座標だけで表す方法、そして2つの円に接する円の中心が楕円を描くことを学びます。つぶれ具合を表す**離心率**も、ここで正式に登場します。

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基1 基2 基3 基4 基5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 25× 0○ 01か月定着 0

楕円の定義

第4章では、2点からの距離が「等しい」点の集まり（垂直二等分線）と、距離の「比」が一定な点の集まり（アポロニウスの円）を調べました。第5章では、比べる相手の片方を直線に取りかえて、放物線を得ました。この章では、ふたたび2つの点を相手にして、2つの距離の和が一定になる点の集まりを考えます。

公式1：楕円の定義

平面上の異なる2点 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ と、 $\mathrm{FF'}$ より大きい正の定数 $2a$ がある。 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ からの距離の和が $2a$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を楕円という。すなわち

\displaystyle \mathrm{PF}

を満たす点 $\mathrm{P}$ の集まりである。

2点 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ を楕円の焦点、線分 $\mathrm{FF'}$ の中点を楕円の中心という。
直線 $\mathrm{FF'}$ と楕円の2つの交点を結ぶ線分を長軸、中心を通り長軸に垂直な直線と楕円の2つの交点を結ぶ線分を短軸という。長軸・短軸の両端の4点を楕円の頂点という。

$2a$ ${}> \mathrm{FF'}$ という条件がないと、どうなるでしょうか。三角形の2辺の和は残りの1辺より長いので、どんな点 $\mathrm{P}$ でも $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}\geqq \mathrm{FF'}$ です。 $2a$ ${}= \mathrm{FF'}$ なら条件を満たすのは線分 $\mathrm{FF'}$ 上の点だけで、 $2a$ ${}< \mathrm{FF'}$ なら条件を満たす点はありません。曲線として広がりをもつのは、 $2a$ が $\mathrm{FF'}$ より長いときだけです。

長軸の長さは $2a$ です。長軸の両端を $\mathrm{A}$ （ $\mathrm{F}$ の側）、 $\mathrm{A'}$ （ $\mathrm{F'}$ の側）とすると、図形は線分 $\mathrm{FF'}$ の垂直二等分線に関して対称なので $\mathrm{A'F'}$ ${}= \mathrm{AF}$ です。長軸には $\mathrm{A'}$ ， $\mathrm{F'}$ ， $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{A}$ の順に点が並ぶので

\displaystyle \mathrm{AA'}

となります。

庭に楕円の花壇を作る方法があります。地面に杭を2本打ち、長さ $2a$ のひもの両端をそれぞれの杭に結びます。棒の先でひもをぴんと張りながら、杭のまわりを1周させると、棒の先は楕円を描きます。棒の先から2本の杭までの距離の和は、いつもひもの長さ $2a$ だからです。杭が焦点、ひもの長さが長軸の長さです。杭の間をひもより長くすると、ひもは張れません。これが $2a$ ${}> \mathrm{FF'}$ という条件です。

楕円とは、2つの焦点からの距離の和が一定（長軸の長さ $2a$ ）になる点の集まりだということです。

例題1：定義から楕円の方程式を求める

2点 $\mathrm{F}(2,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-2,\ 0)$ からの距離の和が $6$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡の方程式を求めなさい。

【解答】

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とします。条件は

\displaystyle \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}

です。根号が2つあるので、片方を右辺へ移してから2乗します。

\displaystyle \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}

両辺を2乗すると

\displaystyle (x - 2)^2

です。 $(x - 2)^2$ ${}- (x + 2)^2$ ${}= -8x$ なので、整理して $12\sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$ ${}= 8x$ ${}+ 36$ 、両辺を $4$ で割って

\displaystyle 3\sqrt{(x + 2)^2 + y^2}

です。もう一度2乗すると、 $9(x^2 + 4x + 4 + y^2)$ ${}= 4x^2$ ${}+ 36x$ ${}+ 81$ となり、 $5x^2$ ${}+ 9y^2$ ${}= 45$ です。両辺を $45$ で割って

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{9}}

です。

（逆の確認）2乗した式を元に戻すには、2乗する前の両辺が $0$ 以上であることが必要です。この曲線上では $x^2$ ${}\leqq 9$ より $-3$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$ なので、 $2x$ ${}+ 9$ ${}> 0$ です。また $\sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$ ${}= \dfrac{2x + 9}{3}$ ${}\leqq 5$ ${}< 6$ なので、 $6$ ${}- \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$ ${}> 0$ です。よって変形はすべて逆にたどれて、この曲線上の点はどれも条件を満たします。

（確かめ） $x$ 軸との交点 $(3,\ 0)$ では、 $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= 1$ ${}+ 5$ ${}= 6$ です。 $y$ 軸との交点 $\left(0,\ \sqrt{5}\right)$ では、 $\mathrm{PF}$ ${}= \mathrm{PF'}$ ${}= \sqrt{4 + 5}$ ${}= 3$ で、和は $6$ です。

楕円の標準形

例題1 の計算を、文字で行います。 $a$ ${}> c$ ${}> 0$ として、焦点を $\mathrm{F}(c,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-c,\ 0)$ 、距離の和を $2a$ とします。例題1 と同じく、根号を1つ移して2乗することを2回くり返すと

\displaystyle a\sqrt{(x + c)^2 + y^2}

となります。 $a$ ${}> c$ なので $a^2$ ${}- c^2$ ${}> 0$ です。そこで $b$ ${}= \sqrt{a^2 - c^2}$ （ $b$ ${}> 0$ ）とおくと、 $b^2x^2$ ${}+ a^2y^2$ ${}= a^2b^2$ で、両辺を $a^2b^2$ で割って次の式が得られます（2乗しても同値であることは、厳密定義のページで確かめます）。

公式2：楕円の標準形（焦点が x 軸上）

$a$ ${}> b$ ${}> 0$ とする。楕円

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}

について

焦点は $\mathrm{F}\left(\sqrt{a^2 - b^2},\ 0\right)$ ， $\mathrm{F'}\left(-\sqrt{a^2 - b^2},\ 0\right)$
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は $2a$
中心は原点、頂点は $(\pm a,\ 0)$ ， $(0,\ \pm b)$ 、長軸の長さは $2a$ 、短軸の長さは $2b$

である。これを楕円の標準形という。以下、 $c$ ${}= \sqrt{a^2 - b^2}$ と書くことが多い。

$x$ 軸との交点は $y$ ${}= 0$ として $x$ ${}= \pm a$ 、 $y$ 軸との交点は $x$ ${}= 0$ として $y$ ${}= \pm b$ です。 $a$ ${}> b$ なので、 $x$ 軸上の線分（長さ $2a$ ）が長軸、 $y$ 軸上の線分（長さ $2b$ ）が短軸です。式の $x$ を $-x$ に、 $y$ を $-y$ に取りかえても式は変わらないので、楕円は $x$ 軸・ $y$ 軸・原点のそれぞれに関して対称です。

$a$ ， $b$ ， $c$ の関係 $a^2$ ${}= b^2$ ${}+ c^2$ は、図で見ると覚えやすくなります。短軸の端 $\mathrm{B}(0,\ b)$ は2つの焦点から等しい距離にあり、その和が $2a$ なので、 $\mathrm{BF}$ ${}= \mathrm{BF'}$ ${}= a$ です。すると $\triangle\mathrm{BOF}$ は、斜辺 $a$ 、ほかの2辺 $b$ ， $c$ の直角三角形になります。

物干しロープを思い浮かべてください。長さ $2a$ のロープの両端を、間隔 $2c$ の2本の柱に結び、真ん中にハンガーを1本かけて下へ引くと、ロープは左右 $a$ ずつの二等辺三角形になります。ハンガーが下がった深さが $b$ で、 $b$ ${}= \sqrt{a^2 - c^2}$ です。ロープに余裕がある（ $a$ が $c$ に比べて大きい）ほど深く下がり、楕円は丸みを帯びます。ロープがぴんと張っている（ $a$ が $c$ に近い）と、ほとんど下がらず、楕円は細長くつぶれます。

$\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）は、焦点 $(\pm c,\ 0)$ 、長軸 $2a$ 、短軸 $2b$ の楕円で、 $c^2$ ${}= a^2$ ${}- b^2$ が $a$ ， $b$ ， $c$ をつなぐということです。

例題2：標準形と焦点・長軸・短軸

(1) 楕円 $4x^2$ ${}+ 25y^2$ ${}= 100$ の焦点の座標と、長軸・短軸の長さを求めなさい。

(2) 2点 $(4,\ 0)$ ， $(-4,\ 0)$ を焦点とし、点 $(0,\ 3)$ を通る楕円の方程式を求めなさい。

【解答】

(1) 両辺を $100$ で割ると $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ です。 $a$ ${}= 5$ ， $b$ ${}= 2$ で、 $c$ ${}= \sqrt{25 - 4}$ ${}= \sqrt{21}$ です。よって $\underline{\text{焦点 } \left(\sqrt{21},\ 0\right)\text{，}\left(-\sqrt{21},\ 0\right)}$ ， $\underline{\text{長軸の長さ } 10}$ ， $\underline{\text{短軸の長さ } 4}$ です。右辺を $1$ にそろえてから $a$ ， $b$ を読むのがコツです。

(2) 焦点が $x$ 軸上にあり、原点に関して対称なので、方程式は $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）とおけます。点 $(0,\ 3)$ は $y$ 軸上の頂点なので $b$ ${}= 3$ で、 $c$ ${}= 4$ より $a^2$ ${}= b^2$ ${}+ c^2$ ${}= 25$ です。よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{25}}

です。（確かめ）点 $(0,\ 3)$ から2つの焦点までの距離は、どちらも $\sqrt{16 + 9}$ ${}= 5$ で、和 $10$ は長軸の長さ $2a$ に一致します。

焦点が y 軸上にある楕円

$x$ と $y$ の役割を入れかえると、焦点が $y$ 軸上にある、縦長の楕円が得られます。

公式3：焦点が y 軸上にある楕円

$b$ ${}> a$ ${}> 0$ とする。楕円

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}

の焦点は $\left(0,\ \sqrt{b^2 - a^2}\right)$ ， $\left(0,\ -\sqrt{b^2 - a^2}\right)$ で、楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は $2b$ である。長軸は $y$ 軸上にあってその長さは $2b$ 、短軸は $x$ 軸上にあってその長さは $2a$ である。

公式2・公式3 をまとめると、標準形の楕円は次の手順で読み取れます。

右辺を $1$ にそろえ、 $x^2$ と $y^2$ の分母を比べる。
分母の大きいほうの座標軸の上に、長軸と焦点がある。
中心から焦点までの距離は $\sqrt{(\text{大きい分母}) - (\text{小さい分母})}$ 。

スマートフォンの画面は、縦に持っても横に持っても同じ画面です。変わるのは、長い辺がどちらを向いているかだけです。楕円も同じで、分母の大小が入れかわると、形はそのままで、長軸が $x$ 軸の向きから $y$ 軸の向きへ回ります。焦点はいつも長い辺の側、つまり長軸の上に乗っています。

標準形の楕円は、分母の大きいほうの座標軸の上に長軸と焦点があり、焦点までの距離は分母の差の平方根だということです。

例題3：焦点が y 軸上にある楕円

(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{5}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ の焦点の座標と、長軸・短軸の長さを求めなさい。

(2) 2点 $(0,\ 1)$ ， $(0,\ -1)$ を焦点とし、短軸の長さが $2\sqrt{3}$ である楕円の方程式を求めなさい。

【解答】

(1) 分母は $y^2$ のほうが大きいので、焦点は $y$ 軸上にあります。 $\sqrt{9 - 5}$ ${}= 2$ なので $\underline{\text{焦点 } (0,\ 2)\text{，}(0,\ -2)}$ ， $\underline{\text{長軸の長さ } 6}$ ， $\underline{\text{短軸の長さ } 2\sqrt{5}}$ です。

(2) 焦点が $y$ 軸上にあるので、方程式は $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $b$ ${}> a$ ${}> 0$ ）とおけます。短軸は $x$ 軸上にあって長さ $2a$ なので $a$ ${}= \sqrt{3}$ です。焦点までの距離が $1$ なので、 $b^2$ ${}- a^2$ ${}= 1$ より $b^2$ ${}= 4$ です。よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{3}}

です。（確かめ） $x$ 軸上の頂点 $\left(\sqrt{3},\ 0\right)$ から2つの焦点までの距離は、どちらも $\sqrt{3 + 1}$ ${}= 2$ で、和 $4$ は長軸の長さ $2b$ に一致します。

円を縮めると楕円になる

楕円の式 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ は、 $a$ ${}= b$ のとき円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= a^2$ になります。このとき $c$ ${}= 0$ で、2つの焦点は中心で重なります。円は、楕円の特別な場合です。逆に、円を一方向に縮めると楕円が得られます。

公式4：円の縮小と楕円の面積

$a$ ${}> 0$ ， $b$ ${}> 0$ とする。

① 円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= a^2$ を、 $x$ 軸をもとにして $y$ 軸方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍すると、楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ になる。

② 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ で囲まれた部分の面積は $\pi ab$ である。

「 $x$ 軸をもとにして $y$ 軸方向に $k$ 倍する」とは、各点 $(s,\ t)$ を点 $(s,\ kt)$ に移すことです。 $x$ 座標はそのままで、 $x$ 軸からの高さだけが $k$ 倍になります。

①は次のように確かめます。円上の点 $\mathrm{Q}(s,\ t)$ が移る先を $\mathrm{P}(x,\ y)$ とすると、 $x$ ${}= s$ ， $y$ ${}= \dfrac{b}{a}t$ です。 $s$ ${}= x$ ， $t$ ${}= \dfrac{a}{b}y$ を $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= a^2$ に代入して

\displaystyle x^2

です。 $b$ ${}< a$ なら縮小、 $b$ ${}> a$ なら拡大です。

②は、図形を $y$ 軸方向に $k$ 倍すると面積も $k$ 倍になることから分かります。図形を縦に細長い長方形の集まりで近似すると、どの長方形も幅はそのままで高さだけが $k$ 倍になるからです（きちんとした証明は、微分積分の分野で学ぶ積分の考え方を使います）。半径 $a$ の円の面積 $\pi a^2$ を $\dfrac{b}{a}$ 倍して、 $\pi a^2 \times \dfrac{b}{a}$ ${}= \pi ab$ です。円の面積 $\pi r^2$ の $r^2$ が、楕円では「長いほうの半径 × 短いほうの半径」に置きかわったと覚えられます。

円い池を真上から見ると円ですが、少し離れた場所から斜めに見ると、横幅はほとんど変わらないまま、奥行きの方向だけが縮んで見えます。池が楕円に見えるのはこのためです。見る角度を低くするほど縮み方が大きくなり、細長い楕円になります。

楕円は円を一方向に縮めた（または伸ばした）形で、面積は円の $\pi r^2$ の代わりに $\pi ab$ になるということです。

例題4：円から楕円を作る

円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 25$ 上の点 $\mathrm{Q}$ から $x$ 軸に垂線 $\mathrm{QH}$ を下ろし、線分 $\mathrm{QH}$ の中点を $\mathrm{P}$ とします（ $\mathrm{Q}$ が $x$ 軸上にあるときは、 $\mathrm{P}$ ${}= \mathrm{Q}$ とします）。 $\mathrm{Q}$ が円上を動くとき、 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めなさい。また、その軌跡で囲まれた部分の面積を求めなさい。

【解答】

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ とすると、 $\mathrm{H}(s,\ 0)$ で、中点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ は $x$ ${}= s$ ， $y$ ${}= \dfrac{t}{2}$ です（ $t$ ${}= 0$ のときも $\mathrm{P}$ ${}= \mathrm{Q}$ でこの式に合います）。 $s$ ${}= x$ ， $t$ ${}= 2y$ を $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 25$ に代入して

\displaystyle x^2

です。逆に、この楕円上の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ に対して $\mathrm{Q}(x,\ 2y)$ は円上にあり、 $\mathrm{P}$ はその $\mathrm{QH}$ の中点です。よって軌跡は

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\text{楕円 } \frac{x^2}{25}}

です。これは円を $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍したもので、 $a$ ${}= 5$ ， $b$ ${}= \dfrac{5}{2}$ の楕円です。面積は公式4 ② より

\displaystyle \pi \times 5 \times \frac{5}{2}

です。円の面積 $25\pi$ のちょうど半分になっています。

焦点までの距離と離心率

放物線では、焦点までの距離を $x$ 座標の式に置きかえられました（第5章公式4）。楕円でも同じことができます。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）上の点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ について、2つの距離の2乗の差を計算すると

\displaystyle \mathrm{PF'}^2

です。左辺を $(\mathrm{PF'} + \mathrm{PF})(\mathrm{PF'} - \mathrm{PF})$ と因数分解し、 $\mathrm{PF'}$ ${}+ \mathrm{PF}$ ${}= 2a$ を使うと、 $\mathrm{PF'}$ ${}- \mathrm{PF}$ ${}= \dfrac{2c}{a}x_1$ です。和と差が分かったので、2つの距離が求まります。

公式5：焦点までの距離と離心率

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）の焦点を $\mathrm{F}(c,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-c,\ 0)$ （ $c$ ${}= \sqrt{a^2 - b^2}$ ）とし、 $e$ ${}= \dfrac{c}{a}$ とおく。 $e$ をこの楕円の離心率という（ $0$ ${}< e$ ${}< 1$ ）。

① 楕円上の点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ について

\displaystyle \mathrm{PF}

② $\mathrm{PF}$ は、 $\mathrm{P}$ が $(a,\ 0)$ のとき最小値 $a$ ${}- c$ 、 $(-a,\ 0)$ のとき最大値 $a$ ${}+ c$ をとる。

②は、①で $x_1$ が $-a$ ${}\leqq x_1$ ${}\leqq a$ を動くとき、 $a$ ${}- ex_1$ が $x_1$ について減少することから分かります。焦点にいちばん近い点と遠い点は、どちらも長軸の端です。

離心率 $e$ は、楕円のつぶれ具合を表す数です。 $\dfrac{b}{a}$ ${}= \sqrt{1 - e^2}$ なので、 $e$ が $0$ に近いほど $b$ は $a$ に近く、円に近い楕円になります。 $e$ が $1$ に近いほど $b$ は $a$ に比べて小さく、細長い楕円になります。第5章の厳密定義のページで紹介した「 $e$ ${}< 1$ が楕円、 $e$ ${}= 1$ が放物線」の $e$ が、この数です。放物線は $e$ がいつも $1$ なので形が1通り（どれも相似）でしたが、楕円は $e$ の値によって形が変わります（二次関数第1章の小話で予告したことです）。

砂時計では、上の砂と下の砂を合わせた量はいつも同じで、片方が減ったぶんだけもう片方が増えます。 $\mathrm{PF}$ と $\mathrm{PF'}$ も、合計は $2a$ のまま、点 $\mathrm{P}$ が右へ動くと $\mathrm{PF}$ が減り、同じだけ $\mathrm{PF'}$ が増えます。しかもその増え減りは、 $x$ 座標の変化の $e$ 倍という、一定の割合で進みます。

楕円上の点から焦点までの距離は $a$ ${}\mp ex_1$ と $x$ 座標の1次式で書け、離心率 $e$ ${}= \dfrac{c}{a}$ が楕円のつぶれ具合を表すということです。

例題5：焦点までの距離

楕円 $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{8}$ ${}= 1$ の焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$ 、負のものを $\mathrm{F'}$ とします。

(1) この楕円の離心率を求めなさい。

(2) 楕円上の点 $\mathrm{P}$ で、 $\mathrm{PF}$ ${}= \dfrac{5}{2}$ となるものの座標を、すべて求めなさい。

(3) 楕円上の点 $\mathrm{P}$ が $x$ 軸上にないとき、 $\triangle\mathrm{PFF'}$ の周の長さを求めなさい。

【解答】

$a$ ${}= 3$ ， $b$ ${}= 2\sqrt{2}$ ， $c$ ${}= \sqrt{9 - 8}$ ${}= 1$ で、 $\mathrm{F}(1,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-1,\ 0)$ です。

(1) $e$ ${}= \dfrac{c}{a}$ ${}= \underline{\dfrac{1}{3}}$ です。

(2) $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ とすると、公式5 ① より $\mathrm{PF}$ ${}= 3$ ${}- \dfrac{1}{3}x_1$ です。 $3$ ${}- \dfrac{1}{3}x_1$ ${}= \dfrac{5}{2}$ から $x_1$ ${}= \dfrac{3}{2}$ です。これを楕円の式に代入すると

\displaystyle \frac{y_1^2}{8}

なので、 $y_1$ ${}= \pm\sqrt{6}$ です。よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\mathrm{P}\left(\frac{3}{2},\ \sqrt{6}\right),}

です。（確かめ） $\mathrm{PF}^2$ ${}= \left(\dfrac{3}{2} - 1\right)^2$ ${}+ 6$ ${}= \dfrac{1}{4}$ ${}+ 6$ ${}= \dfrac{25}{4}$ で、 $\mathrm{PF}$ ${}= \dfrac{5}{2}$ です。

(3) $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= 2a$ ${}= 6$ 、 $\mathrm{FF'}$ ${}= 2c$ ${}= 2$ なので、周の長さは $\underline{8}$ です。 $\mathrm{P}$ がどこにあっても、周の長さは変わりません。

楕円になる軌跡

公式1 を逆向きに使うと、「距離の和が一定」の形に言いかえられる条件から、楕円を見つけられます。円に接する円の中心は、その代表例です。

公式6：楕円になる軌跡

① 円 $C$ （中心 $\mathrm{F'}$ 、半径 $R$ ）の内部に、 $\mathrm{F'}$ と異なる点 $\mathrm{F}$ があるとする。 $\mathrm{F}$ を通り、 $C$ に内接する円の中心の軌跡は、 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ を焦点とし、長軸の長さが $R$ の楕円である。

② 円 $C_1$ （中心 $\mathrm{F}$ 、半径 $r_1$ ）が円 $C_2$ （中心 $\mathrm{F'}$ 、半径 $r_2$ ）の内部にあるとする（ $\mathrm{F}$ ${}\neq \mathrm{F'}$ ）。 $C_1$ に外接し、 $C_2$ に内接する円の中心の軌跡は、 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ を焦点とし、長軸の長さが $r_1$ ${}+ r_2$ の楕円である。

①は、求める円の中心を $\mathrm{P}$ 、半径を $r$ とすると、「 $\mathrm{F}$ を通る」が $\mathrm{PF}$ ${}= r$ 、「 $C$ に内接する」が $\mathrm{PF'}$ ${}= R$ ${}- r$ です。足すと $r$ が消えて、 $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= R$ になります。

②も同じで、外接が $\mathrm{PF}$ ${}= r$ ${}+ r_1$ 、内接が $\mathrm{PF'}$ ${}= r_2$ ${}- r$ なので、足すと $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= r_1$ ${}+ r_2$ です。第5章公式5 では「距離が等しい」形に言いかえましたが、ここでは2つの条件を足して半径を消すのがポイントです。

円い水槽の中に、太い円柱が1本、中心からずれた位置に立っているとします。水槽の壁と柱の間でシャボン玉をふくらませ、壁にも柱にも触れる大きさにします。場所を変えると、すき間の広い所では大きく、狭い所では小さくなりますが、シャボン玉の中心は1本の楕円の上を回ります。壁に近づいたぶんだけ柱から遠ざかる、という関係が、「距離の和が一定」の正体です。

2つの接する条件を足して半径を消し、「2定点からの距離の和が一定」の形になれば、その軌跡は楕円だということです。

例題6：円に内接する円の中心の軌跡

点 $\mathrm{A}(3,\ 0)$ を通り、円 $C : (x + 3)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 100$ に内接する円の中心 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めなさい。

【解答】

円 $C$ の中心を $\mathrm{B}(-3,\ 0)$ とします。 $\mathrm{AB}$ ${}= 6$ ${}< 10$ なので、 $\mathrm{A}$ は $C$ の内部にあります。求める円の半径を $r$ とすると、 $\mathrm{A}$ を通ることから $\mathrm{PA}$ ${}= r$ 、 $C$ に内接することから $\mathrm{PB}$ ${}= 10$ ${}- r$ （ $0$ ${}< r$ ${}< 10$ ）です。足すと

\displaystyle \mathrm{PA}

なので、 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}(3,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(-3,\ 0)$ を焦点とし、長軸の長さが $10$ の楕円上にあります。 $a$ ${}= 5$ ， $c$ ${}= 3$ より $b^2$ ${}= 25$ ${}- 9$ ${}= 16$ で、方程式は $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ です。

逆に、この楕円上の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ をとり、 $r$ ${}= \mathrm{PA}$ とおきます。公式5 ① より $r$ ${}= 5$ ${}- \dfrac{3}{5}x$ で、 $-5$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 5$ から $2$ ${}\leqq r$ ${}\leqq 8$ なので $0$ ${}< r$ ${}< 10$ です。また $\mathrm{PB}$ ${}= 10$ ${}- \mathrm{PA}$ ${}= 10$ ${}- r$ なので、 $\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円は、 $\mathrm{A}$ を通り $C$ に内接します。よって、軌跡は

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\text{楕円 } \frac{x^2}{25}}

です。

この章のまとめ

楕円	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > b > 0$ ）	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $b > a > 0$ ）
焦点	$\left(\pm\sqrt{a^2 - b^2},\ 0\right)$	$\left(0,\ \pm\sqrt{b^2 - a^2}\right)$
長軸（長さ）	$x$ 軸上（ $2a$ ）	$y$ 軸上（ $2b$ ）
短軸（長さ）	$y$ 軸上（ $2b$ ）	$x$ 軸上（ $2a$ ）
距離の和	$2a$	$2b$

調べたいこと	使う道具
焦点までの距離（ $a > b > 0$ ）	$\mathrm{PF} = a - ex_1$ ， $\mathrm{PF'} = a + ex_1$ （ $e = \dfrac{c}{a}$ ）
焦点を2つ含む三角形の周	$\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a$
面積	$\pi ab$ （円を一方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍）
円に接する円の中心の軌跡	2つの条件を足して半径を消す

ここまでに出てきた「距離の条件で決まる図形」を並べると、次のようになります。

条件	図形	章
2点からの距離が等しい	垂直二等分線	第4章
2点からの距離の比が一定（ $1$ 以外）	アポロニウスの円	第4章
点からの距離 $=$ 直線からの距離	放物線	第5章
2点からの距離の和が一定	楕円	第6章
2点からの距離の差が一定	双曲線	第7章

次の第7章では、最後の行、2つの焦点からの距離の差が一定な点の集まりを学びます。式は楕円の標準形の $+$ が $-$ に変わっただけの $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}- \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ ですが、曲線は2つに分かれ、遠くでは2本の直線にどこまでも近づいていく、楕円とはまったく違う姿をしています。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ の焦点の座標と、長軸・短軸の長さを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

焦点 $(4,\ 0)$ ， $(-4,\ 0)$ ，長軸の長さ $10$ ，短軸の長さ $6$ （ $c$ ${}= \sqrt{25 - 9}$ ${}= 4$ ）

自己採点：

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問2

楕円 $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ の焦点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\left(0,\ 2\sqrt{3}\right)$ ， $\left(0,\ -2\sqrt{3}\right)$ （分母は $y^2$ のほうが大きいので $y$ 軸上、 $\sqrt{16 - 4}$ ${}= 2\sqrt{3}$ ）

自己採点：

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問3

2点 $(3,\ 0)$ ， $(-3,\ 0)$ を焦点とし、長軸の長さが $10$ である楕円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}= 5$ ， $b^2$ ${}= 25$ ${}- 9$ ${}= 16$ ）

自己採点：

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問4

楕円 $\dfrac{x^2}{36}$ ${}+ \dfrac{y^2}{20}$ ${}= 1$ 上の点 $\mathrm{P}$ と、この楕円の2つの焦点 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ について、 $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$12$ （長軸の長さ $2a$ ${}= 2 \times 6$ ）

自己採点：

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問5

円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 4$ を、 $x$ 軸をもとにして $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍して得られる楕円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ （ $(s,\ t)$ が $\left(s,\ \dfrac{t}{2}\right)$ に移るので、 $s$ ${}= x$ ， $t$ ${}= 2y$ を代入）

自己採点：

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{7}$ ${}= 1$ 　(2) $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{25}$ ${}= 1$ 　(3) $4x^2$ ${}+ 9y^2$ ${}= 36$ 　(4) $x^2$ ${}+ 3y^2$ ${}= 3$

上の (1)〜(4) の楕円について、焦点の座標と、長軸・短軸の長さを、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) 焦点 $(3,\ 0)$ ， $(-3,\ 0)$ ，長軸 $8$ ，短軸 $2\sqrt{7}$ 　(2) 焦点 $(0,\ 4)$ ， $(0,\ -4)$ ，長軸 $10$ ，短軸 $6$ 　(3) 焦点 $\left(\sqrt{5},\ 0\right)$ ， $\left(-\sqrt{5},\ 0\right)$ ，長軸 $6$ ，短軸 $4$ 　(4) 焦点 $\left(\sqrt{2},\ 0\right)$ ， $\left(-\sqrt{2},\ 0\right)$ ，長軸 $2\sqrt{3}$ ，短軸 $2$

解説

右辺を $1$ にそろえ、分母の大きいほうの軸に長軸と焦点がある、と読みます。

(1) $a^2$ ${}= 16$ ， $b^2$ ${}= 7$ で、 $x^2$ の分母が大きいので焦点は $x$ 軸上です。 $\sqrt{16 - 7}$ ${}= 3$ より $\underline{\text{焦点 } (3,\ 0)\text{，}(-3,\ 0)}$ 、長軸の長さは $2 \times 4$ ${}= \underline{8}$ 、短軸の長さは $\underline{2\sqrt{7}}$ です。

(2) $y^2$ の分母が大きいので焦点は $y$ 軸上です。 $\sqrt{25 - 9}$ ${}= 4$ より $\underline{\text{焦点 } (0,\ 4)\text{，}(0,\ -4)}$ 、長軸（ $y$ 軸上）の長さは $2 \times 5$ ${}= \underline{10}$ 、短軸の長さは $2 \times 3$ ${}= \underline{6}$ です。

(3) 両辺を $36$ で割ると $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ です。 $\sqrt{9 - 4}$ ${}= \sqrt{5}$ より $\underline{\text{焦点 } \left(\sqrt{5},\ 0\right)\text{，}\left(-\sqrt{5},\ 0\right)}$ 、長軸の長さは $\underline{6}$ 、短軸の長さは $\underline{4}$ です。

(4) 両辺を $3$ で割ると $\dfrac{x^2}{3}$ ${}+ \dfrac{y^2}{1}$ ${}= 1$ です。 $\sqrt{3 - 1}$ ${}= \sqrt{2}$ より $\underline{\text{焦点 } \left(\sqrt{2},\ 0\right)\text{，}\left(-\sqrt{2},\ 0\right)}$ 、長軸の長さは $\underline{2\sqrt{3}}$ 、短軸の長さは $2 \times 1$ ${}= \underline{2}$ です。

(4) の $y^2$ は、分母が $1$ の分数 $\dfrac{y^2}{1}$ と見ると、 $b$ ${}= 1$ が読み取りやすくなります。

自己採点：

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問2　★

(1) 2点 $(1,\ 0)$ ， $(-1,\ 0)$ を焦点とし、焦点からの距離の和が $4$ である楕円

(2) 2点 $(0,\ 2)$ ， $(0,\ -2)$ を焦点とし、短軸の長さが $2$ である楕円

(3) 中心が原点、焦点が $x$ 軸上にあり、長軸の長さが $8$ で、点 $(2,\ 3)$ を通る楕円

上の (1)〜(3) の楕円の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ \dfrac{y^2}{3}$ ${}= 1$ 　(2) $x^2$ ${}+ \dfrac{y^2}{5}$ ${}= 1$ 　(3) $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{12}$ ${}= 1$

解説

(1) 焦点が $x$ 軸上なので $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）とおけます。距離の和 $2a$ ${}= 4$ より $a$ ${}= 2$ 、 $c$ ${}= 1$ より $b^2$ ${}= a^2$ ${}- c^2$ ${}= 3$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{x^2}{4}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{3} = 1}$ です。

(2) 焦点が $y$ 軸上なので $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $b$ ${}> a$ ${}> 0$ ）とおけます。短軸は $x$ 軸上にあり、その長さ $2a$ ${}= 2$ より $a$ ${}= 1$ です。焦点までの距離 $2$ から $b^2$ ${}- a^2$ ${}= 4$ で、 $b^2$ ${}= 5$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}x^2}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{5} = 1}$ です。

(3) $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）とおくと、 $2a$ ${}= 8$ より $a$ ${}= 4$ です。点 $(2,\ 3)$ を代入して

\displaystyle \frac{4}{16}

です。 $b^2$ ${}= 12$ ${}< 16$ ${}= a^2$ で、焦点はたしかに $x$ 軸上にあります。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{x^2}{16}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{12} = 1}$ です。

（確かめ）(3) の焦点は $(\pm 2,\ 0)$ で、点 $(2,\ 3)$ からの距離は $3$ と $\sqrt{16 + 9}$ ${}= 5$ 、和は $8$ で長軸の長さに一致します。

自己採点：

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問3　★

2点 $\mathrm{F}(0,\ 3)$ ， $\mathrm{F'}(0,\ -3)$ からの距離の和が $10$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡の方程式を、定義に従って計算することで求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{25}$ ${}= 1$

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とすると、条件は $\sqrt{x^2 + (y - 3)^2}$ ${}+ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$ ${}= 10$ です。片方を右辺へ移して

\displaystyle \sqrt{x^2 + (y - 3)^2}

両辺を2乗すると

\displaystyle x^2

です。 $(y - 3)^2$ ${}- (y + 3)^2$ ${}= -12y$ なので、 $20\sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$ ${}= 12y$ ${}+ 100$ 、両辺を $4$ で割って

\displaystyle 5\sqrt{x^2 + (y + 3)^2}

です。もう一度2乗すると $25(x^2 + y^2 + 6y + 9)$ ${}= 9y^2$ ${}+ 150y$ ${}+ 625$ で、整理して $25x^2$ ${}+ 16y^2$ ${}= 400$ です。両辺を $400$ で割って

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{16}}

です。

（逆の確認）この曲線上では $-5$ ${}\leqq y$ ${}\leqq 5$ なので $3y$ ${}+ 25$ ${}> 0$ で、 $\sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$ ${}= \dfrac{3y + 25}{5}$ ${}\leqq 8$ ${}< 10$ です。2乗する前の両辺はどちらも $0$ 以上なので、変形は逆にたどれます。

公式3 で $a$ ${}= 4$ ， $b$ ${}= 5$ とすると、焦点は $\left(0,\ \pm\sqrt{25 - 16}\right)$ ${}= (0,\ \pm 3)$ 、距離の和は $2b$ ${}= 10$ で、条件と一致しています。

自己採点：

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問4　★

中心が原点で、焦点が座標軸上にある楕円が、2点 $(4,\ 1)$ ， $(2,\ 2)$ を通ります。この楕円の方程式と、焦点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\dfrac{x^2}{20}$ ${}+ \dfrac{y^2}{5}$ ${}= 1$ ，焦点 $\left(\sqrt{15},\ 0\right)$ ， $\left(-\sqrt{15},\ 0\right)$

解説

焦点が $x$ 軸上か $y$ 軸上かは、まだ分かりません。どちらの場合も方程式は $\dfrac{x^2}{p}$ ${}+ \dfrac{y^2}{q}$ ${}= 1$ （ $p$ ${}> 0$ ， $q$ ${}> 0$ ， $p$ ${}\neq q$ ）の形なので、 $A$ ${}= \dfrac{1}{p}$ ， $B$ ${}= \dfrac{1}{q}$ とおいて $Ax^2$ ${}+ By^2$ ${}= 1$ とします。2点を代入して

\displaystyle 16A

です。1つ目から $B$ ${}= 1$ ${}- 16A$ を2つ目に代入すると、 $4A$ ${}+ 4$ ${}- 64A$ ${}= 1$ より $A$ ${}= \dfrac{1}{20}$ 、 $B$ ${}= 1$ ${}- \dfrac{16}{20}$ ${}= \dfrac{1}{5}$ です。

よって方程式は $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{x^2}{20}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{5} = 1}$ です。 $20$ ${}> 5$ なので焦点は $x$ 軸上にあり、 $\sqrt{20 - 5}$ ${}= \sqrt{15}$ より $\underline{\text{焦点 } \left(\sqrt{15},\ 0\right)\text{，}\left(-\sqrt{15},\ 0\right)}$ です。

$A$ ， $B$ とおくと、分母の文字のまま解くより連立1次方程式として楽に解けます。長軸の向きは、答えが出てから分母の大小で決めればよいのです。

自己採点：

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問5　★

(1) 円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ を、 $x$ 軸をもとにして $y$ 軸方向に $\dfrac{2}{3}$ 倍する。

(2) 円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 4$ を、 $y$ 軸をもとにして $x$ 軸方向に $\dfrac{3}{2}$ 倍する。

上の (1)(2) の操作で得られる曲線の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ 　(2) $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ （どちらも同じ楕円）

解説

(1) 円上の点 $(s,\ t)$ は $\left(s,\ \dfrac{2}{3}t\right)$ に移ります。移った先を $(x,\ y)$ とすると $s$ ${}= x$ ， $t$ ${}= \dfrac{3}{2}y$ で、 $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 9$ に代入して

\displaystyle x^2

です。公式4 ① で $a$ ${}= 3$ ， $b$ ${}= 2$ の場合です。

(2) 円上の点 $(s,\ t)$ は $\left(\dfrac{3}{2}s,\ t\right)$ に移ります。 $s$ ${}= \dfrac{2}{3}x$ ， $t$ ${}= y$ を $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 4$ に代入して

\displaystyle \frac{4}{9}x^2

です。

半径 $3$ の円を縦に縮めても、半径 $2$ の円を横に伸ばしても、同じ楕円になります。どちらも「横の半径 $3$ 、縦の半径 $2$ 」にそろえる操作だからです。

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問6　★

(1) $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ 　(2) $2x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 8$

上の (1)(2) の楕円で囲まれた部分の面積を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $12\pi$ 　(2) $4\sqrt{2}\,\pi$

解説

公式4 ② の $\pi ab$ を使います。 $a$ ， $b$ は、 $x$ 方向・ $y$ 方向の半径（長軸・短軸の長さの半分）です。

(1) $a$ ${}= 4$ ， $b$ ${}= 3$ なので、 $\pi \times 4 \times 3$ ${}= \underline{12\pi}$ です。

(2) 両辺を $8$ で割ると $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ \dfrac{y^2}{8}$ ${}= 1$ です。 $a$ ${}= 2$ ， $b$ ${}= 2\sqrt{2}$ なので、 $\pi \times 2 \times 2\sqrt{2}$ ${}= \underline{4\sqrt{2}\,\pi}$ です。

(2) は焦点が $y$ 軸上の縦長の楕円ですが、面積の式は向きに関係なく「2つの半径の積 × $\pi$ 」です。

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問7　★

楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ の焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$ 、負のものを $\mathrm{F'}$ とします。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標が $\dfrac{10}{3}$ のとき、 $\mathrm{PF}$ と $\mathrm{PF'}$ を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\mathrm{PF}$ ${}= 3$ ， $\mathrm{PF'}$ ${}= 7$

解説

$a$ ${}= 5$ ， $c$ ${}= \sqrt{25 - 16}$ ${}= 3$ で、離心率は $e$ ${}= \dfrac{3}{5}$ です。公式5 ① より

\displaystyle \mathrm{PF}

です。

（確かめ） $y$ 座標は $\dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ ${}- \dfrac{1}{25} \cdot \dfrac{100}{9}$ ${}= \dfrac{5}{9}$ より $y^2$ ${}= \dfrac{80}{9}$ です。 $\mathrm{F}(3,\ 0)$ との距離は $\sqrt{\left(\dfrac{10}{3} - 3\right)^2 + \dfrac{80}{9}}$ ${}= \sqrt{\dfrac{1}{9} + \dfrac{80}{9}}$ ${}= 3$ で、一致します。

$y$ 座標を求めなくても答えが出るのが、公式5 の強みです。

自己採点：

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問8　★

楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{7}$ ${}= 1$ の焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$ 、負のものを $\mathrm{F'}$ とします。 $\mathrm{F'}$ を通り $x$ 軸と異なる直線が、この楕円と2点 $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ で交わるとき、 $\triangle\mathrm{ABF}$ の周の長さを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$16$

解説

$a$ ${}= 4$ です。 $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ は楕円上の点なので

\displaystyle \mathrm{AF}

です。 $\mathrm{F'}$ は楕円の内部の点なので、直線と楕円の2つの交点 $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ の間にあり、 $\mathrm{AB}$ ${}= \mathrm{AF'}$ ${}+ \mathrm{BF'}$ です。よって周の長さは

\displaystyle \mathrm{AB}

です。

直線の傾きをどう変えても、周の長さは $4a$ のままです。弦 $\mathrm{AB}$ を、焦点 $\mathrm{F'}$ のところで2本の「ひも」に分けて考えるのがコツです。

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問9　★★

楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ 上の点 $\mathrm{P}$ と、点 $\mathrm{F}(4,\ 0)$ の距離の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの $\mathrm{P}$ の座標をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\mathrm{P}(-5,\ 0)$ のとき最大値 $9$ ， $\mathrm{P}(5,\ 0)$ のとき最小値 $1$

解説

$a$ ${}= 5$ ， $c$ ${}= \sqrt{25 - 9}$ ${}= 4$ なので、 $\mathrm{F}(4,\ 0)$ はこの楕円の焦点で、離心率は $e$ ${}= \dfrac{4}{5}$ です。 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ とすると、公式5 ① より

\displaystyle \mathrm{PF}

です。これは $x_1$ の1次式で、 $x_1$ が大きいほど小さくなります。

$x_1$ ${}= -5$ のとき最大で、 $5$ ${}+ 4$ ${}= 9$ 。このとき $y_1$ ${}= 0$ です。
$x_1$ ${}= 5$ のとき最小で、 $5$ ${}- 4$ ${}= 1$ 。このとき $y_1$ ${}= 0$ です。

よって $\underline{\mathrm{P}(-5,\ 0) \text{ のとき最大値 } 9}$ ， $\underline{\mathrm{P}(5,\ 0) \text{ のとき最小値 } 1}$ です。

$\mathrm{PF}^2$ ${}= (x_1 - 4)^2$ ${}+ y_1^2$ に $y_1^2$ ${}= 9$ ${}- \dfrac{9}{25}x_1^2$ を代入して平方完成しても解けますが、 $\mathrm{F}$ が焦点だと気づけば、公式5 ② の $a$ ${}\pm c$ がそのまま答えです。

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問10　★★

楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ の焦点を $\mathrm{F}(4,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-4,\ 0)$ とします。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{PF}$ ${}\perp \mathrm{PF'}$ を満たすとき、次の問いに答えます。

(1) $\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}$ と、 $\triangle\mathrm{PFF'}$ の面積を求めなさい。

(2) $\mathrm{P}$ が第1象限にあるとき、 $\mathrm{P}$ の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}$ ${}= 18$ ，面積 $9$ 　(2) $\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4},\ \dfrac{9}{4}\right)$

解説

(1) $\mathrm{PF}$ ${}= m$ ， $\mathrm{PF'}$ ${}= n$ とおきます。楕円の定義から $m$ ${}+ n$ ${}= 10$ 、 $\angle\mathrm{FPF'}$ が直角なので三平方の定理から $m^2$ ${}+ n^2$ ${}= \mathrm{FF'}^2$ ${}= 64$ です。

\displaystyle 2mn

より $\underline{\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'} = 18}$ です。直角をはさむ2辺の積の半分が面積なので、 $\triangle\mathrm{PFF'}$ の面積は $\underline{9}$ です。

(2) $\mathrm{P}(x,\ y)$ （ $x$ ${}> 0$ ， $y$ ${}> 0$ ）とします。 $\triangle\mathrm{PFF'}$ の面積を、底辺 $\mathrm{FF'}$ ${}= 8$ 、高さ $y$ で表すと $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot y$ ${}= 9$ なので $y$ ${}= \dfrac{9}{4}$ です。楕円の式に代入して

\displaystyle \frac{x^2}{25}

なので、 $x$ ${}= \dfrac{5\sqrt{7}}{4}$ です。よって $\underline{\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4},\ \dfrac{9}{4}\right)}$ です。

（確かめ） $\angle\mathrm{FPF'}$ が直角なら、 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{FF'}$ を直径とする円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 16$ の上にあります。 $\dfrac{175}{16}$ ${}+ \dfrac{81}{16}$ ${}= \dfrac{256}{16}$ ${}= 16$ で成り立ちます。また公式5 より $\mathrm{PF}$ ${}= 5$ ${}- \sqrt{7}$ ， $\mathrm{PF'}$ ${}= 5$ ${}+ \sqrt{7}$ で、積は $25$ ${}- 7$ ${}= 18$ です。

(1) の面積 $9$ は、ちょうど $b^2$ に等しくなっています。一般に、焦点を見込む角が直角になる点では、 $\triangle\mathrm{PFF'}$ の面積は $\dfrac{(2a)^2 - (2c)^2}{4}$ ${}= b^2$ です。

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問11　★★

円 $C_1 : (x + 2)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ に外接し、円 $C_2 : (x - 2)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 49$ に内接する円の中心 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{12}$ ${}= 1$

解説

$C_1$ の中心を $\mathrm{A}(-2,\ 0)$ （半径 $1$ ）、 $C_2$ の中心を $\mathrm{B}(2,\ 0)$ （半径 $7$ ）とします。 $\mathrm{AB}$ ${}+ 1$ ${}= 5$ ${}< 7$ なので、 $C_1$ は $C_2$ の内部にあります。

求める円の半径を $r$ とすると、 $C_1$ に外接することから $\mathrm{PA}$ ${}= r$ ${}+ 1$ 、 $C_2$ に内接することから $\mathrm{PB}$ ${}= 7$ ${}- r$ （ $0$ ${}< r$ ${}< 7$ ）です。足して $r$ を消すと

\displaystyle \mathrm{PA}

です。 $\mathrm{P}$ は、 $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ を焦点とし長軸の長さが $8$ の楕円上にあります。 $a$ ${}= 4$ ， $c$ ${}= 2$ より $b^2$ ${}= 16$ ${}- 4$ ${}= 12$ で、方程式は $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{12}$ ${}= 1$ です。

逆に、この楕円上の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ をとります。離心率は $e$ ${}= \dfrac{1}{2}$ で、公式5 ① より $\mathrm{PB}$ ${}= 4$ ${}- \dfrac{x}{2}$ ， $\mathrm{PA}$ ${}= 4$ ${}+ \dfrac{x}{2}$ です。 $r$ ${}= 7$ ${}- \mathrm{PB}$ ${}= 3$ ${}+ \dfrac{x}{2}$ とおくと、 $-4$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 4$ より $1$ ${}\leqq r$ ${}\leqq 5$ で $0$ ${}< r$ ${}< 7$ です。そして $\mathrm{PA}$ ${}= 4$ ${}+ \dfrac{x}{2}$ ${}= r$ ${}+ 1$ も成り立ちます。よって $\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円は、 $C_1$ に外接し $C_2$ に内接します。

以上より、軌跡は $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\text{楕円 } \dfrac{x^2}{16}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{12} = 1}$ です。長軸の長さ $8$ は、2つの円の半径の和 $1$ ${}+ 7$ になっています（公式6 ②）。

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問12　★★

円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 16$ 上の点 $\mathrm{Q}$ から $x$ 軸に垂線 $\mathrm{QH}$ を下ろし、線分 $\mathrm{QH}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\mathrm{P}$ とします（ $\mathrm{Q}$ が $x$ 軸上にあるときは、 $\mathrm{P}$ ${}= \mathrm{Q}$ とします）。 $\mathrm{Q}$ が円上を動くとき、 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めなさい。また、その焦点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ ，焦点 $\left(\sqrt{7},\ 0\right)$ ， $\left(-\sqrt{7},\ 0\right)$

解説

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ とすると $\mathrm{H}(s,\ 0)$ です。 $\mathrm{QH}$ を $1 : 3$ に内分する点は

\displaystyle \mathrm{P}

です（ $t$ ${}= 0$ のときも $\mathrm{P}$ ${}= \mathrm{Q}$ で、この式に合います）。 $\mathrm{P}(x,\ y)$ とすると $s$ ${}= x$ ， $t$ ${}= \dfrac{4}{3}y$ で、 $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 16$ に代入して

\displaystyle x^2

です。逆に、この楕円上の点 $(x,\ y)$ に対して $\mathrm{Q}\left(x,\ \dfrac{4}{3}y\right)$ は円上にあり、 $\mathrm{P}$ はその $\mathrm{QH}$ を $1 : 3$ に内分する点です。

よって軌跡は $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\text{楕円 } \dfrac{x^2}{16}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{9} = 1}$ で、 $\sqrt{16 - 9}$ ${}= \sqrt{7}$ より $\underline{\text{焦点 } \left(\sqrt{7},\ 0\right)\text{，}\left(-\sqrt{7},\ 0\right)}$ です。

$\mathrm{Q}$ から見て $\dfrac{1}{4}$ だけ $\mathrm{H}$ に近づくので、高さは $\dfrac{3}{4}$ 倍です。円を $y$ 軸方向に $\dfrac{3}{4}$ 倍した楕円（公式4 ①）になっています。

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問13　★★

$a$ ${}> b$ ${}> 0$ とします。楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ の2つの焦点と、点 $\mathrm{B}(0,\ b)$ が正三角形の頂点になっています。

(1) この楕円の離心率 $e$ と、 $\dfrac{b}{a}$ の値を求めなさい。

(2) さらに長軸の長さが $8$ のとき、この楕円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $e$ ${}= \dfrac{1}{2}$ ， $\dfrac{b}{a}$ ${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 　(2) $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{12}$ ${}= 1$

解説

(1) 焦点を $\mathrm{F}(c,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-c,\ 0)$ とします。 $\mathrm{B}$ は短軸の端なので、 $\mathrm{BF}$ ${}= \mathrm{BF'}$ ${}= a$ です（2つの距離が等しく、和が $2a$ ）。一方 $\mathrm{FF'}$ ${}= 2c$ です。正三角形なので $a$ ${}= 2c$ で

\displaystyle e

です。 $b^2$ ${}= a^2$ ${}- c^2$ ${}= a^2$ ${}- \dfrac{a^2}{4}$ ${}= \dfrac{3}{4}a^2$ なので、 $\dfrac{b}{a}$ ${}= \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ です。

(2) $2a$ ${}= 8$ より $a$ ${}= 4$ 、(1) より $b$ ${}= 2\sqrt{3}$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{x^2}{16}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{12} = 1}$ です。

（確かめ） $c$ ${}= 2$ で、 $\mathrm{F}(2,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-2,\ 0)$ ， $\mathrm{B}\left(0,\ 2\sqrt{3}\right)$ の3辺はどれも $4$ です。

$\triangle\mathrm{BOF}$ は、 $\angle\mathrm{BFO}$ ${}= \dfrac{\pi}{3}$ の直角三角形です。一般に、この角を $\alpha$ とすると $e$ ${}= \dfrac{c}{a}$ ${}= \cos\alpha$ で、離心率は「短軸の端から焦点を見下ろす角度」で決まります。形（つぶれ具合）が $e$ だけで決まることの、1つの表れです。

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問14　★★

楕円 $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ 上の点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{A}(0,\ -1)$ の距離の最大値と、そのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\mathrm{P}\left(\pm\dfrac{4\sqrt{2}}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)$ のとき最大値 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とすると $x^2$ ${}= 4$ ${}- 4y^2$ で、 $y$ の範囲は $-1$ ${}\leqq y$ ${}\leqq 1$ です。

\displaystyle \mathrm{PA}^2

です。平方完成すると

\displaystyle \mathrm{PA}^2

で、 $y$ ${}= \dfrac{1}{3}$ は $-1$ ${}\leqq y$ ${}\leqq 1$ に含まれるので、 $y$ ${}= \dfrac{1}{3}$ のとき $\mathrm{PA}^2$ は最大値 $\dfrac{16}{3}$ をとります。このとき $x^2$ ${}= 4$ ${}- \dfrac{4}{9}$ ${}= \dfrac{32}{9}$ より $x$ ${}= \pm\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$ です。

$\mathrm{PA}$ ${}\geqq 0$ なので、 $\mathrm{PA}^2$ が最大のとき $\mathrm{PA}$ も最大です。 $\sqrt{\dfrac{16}{3}}$ ${}= \dfrac{4}{\sqrt{3}}$ ${}= \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ より、 $\underline{\mathrm{P}\left(\pm\dfrac{4\sqrt{2}}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)}$ のとき $\underline{\text{最大値 } \dfrac{4\sqrt{3}}{3}}$ です。

$\mathrm{A}$ は楕円の頂点なので、いちばん遠い点は反対側の頂点 $(0,\ 1)$ （距離 $2$ ）だと思いがちですが、 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ ${}\fallingdotseq 2.31$ のほうが大きくなります。横に広い楕円では、斜め上の点のほうが遠いのです。 $x^2$ を消して $y$ だけの式にするとき、 $y$ の範囲を忘れないことが大切です。

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問15　★★

複素数平面上の点 $z$ ${}= x$ ${}+ yi$ （ $x$ ， $y$ は実数）を、座標平面の点 $(x,\ y)$ と同じものとみます。

(1) $|z - 2|$ ${}+ |z + 2|$ ${}= 6$ を満たす点 $z$ 全体が表す図形の方程式を求めなさい。また、(1) の図形上の点 $z$ について、 $|z|$ の最大値と最小値を求めなさい。

(2) $|z - 3i|$ ${}+ |z + 3i|$ ${}= 10$ を満たす点 $z$ 全体が表す図形の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{5}$ ${}= 1$ ， $|z|$ の最大値 $3$ （ $z$ ${}= \pm 3$ ），最小値 $\sqrt{5}$ （ $z$ ${}= \pm\sqrt{5}\,i$ ）　(2) 楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{25}$ ${}= 1$

解説

$|z - \alpha|$ は、点 $z$ と点 $\alpha$ の距離です（第1章公式6）。

(1) 条件は「点 $2$ と点 $-2$ からの距離の和が $6$ 」です。点 $2$ ， $-2$ は座標平面の $(2,\ 0)$ ， $(-2,\ 0)$ で、その距離 $4$ は $6$ より小さいので、図形は楕円です。 $a$ ${}= 3$ ， $c$ ${}= 2$ より $b^2$ ${}= 9$ ${}- 4$ ${}= 5$ で、 $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{x^2}{9}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{5} = 1}$ です（例題1 と同じ楕円です）。

この楕円上の点では $y^2$ ${}= 5$ ${}- \dfrac{5}{9}x^2$ なので

\displaystyle |z|^2

です。 $x^2$ は $0$ から $9$ まで動くので、 $|z|^2$ は $5$ から $9$ まで動きます。よって $|z|$ の $\underline{\text{最大値 } 3\ (z = \pm 3)}$ ， $\underline{\text{最小値 } \sqrt{5}\ \left(z = \pm\sqrt{5}\,i\right)}$ です。中心からいちばん遠いのは長軸の端、いちばん近いのは短軸の端です。

(2) 条件は「点 $3i$ と点 $-3i$ からの距離の和が $10$ 」です。焦点は $(0,\ 3)$ ， $(0,\ -3)$ で、 $y$ 軸上にあります。公式3 で $b$ ${}= 5$ ， $b^2$ ${}- a^2$ ${}= 9$ より $a^2$ ${}= 16$ で、 $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{x^2}{16}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{y^2}{25} = 1}$ です（j03 と同じ楕円です）。

複素数の絶対値の式を見たら、「どの点からの距離か」を読み取るのが第4章からの方針です。距離の和が一定なら楕円、と見抜ければ、式を2乗して計算する必要はありません。

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問16　★★

楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{12}$ ${}= 1$ の焦点を $\mathrm{F}(2,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-2,\ 0)$ とします。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ で、 $\mathrm{PF}$ ${}= 2\,\mathrm{PF'}$ となるものの座標を、すべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\left(-\dfrac{8}{3},\ \dfrac{2\sqrt{15}}{3}\right)$ ， $\left(-\dfrac{8}{3},\ -\dfrac{2\sqrt{15}}{3}\right)$

解説

$\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= 8$ と $\mathrm{PF}$ ${}= 2\,\mathrm{PF'}$ から、 $3\,\mathrm{PF'}$ ${}= 8$ で $\mathrm{PF'}$ ${}= \dfrac{8}{3}$ です。

離心率は $e$ ${}= \dfrac{2}{4}$ ${}= \dfrac{1}{2}$ なので、 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ とすると公式5 ① より $\mathrm{PF'}$ ${}= 4$ ${}+ \dfrac{1}{2}x_1$ です。

\displaystyle 4

これは $-4$ ${}\leqq x_1$ ${}\leqq 4$ を満たします。楕円の式に代入して

\displaystyle \frac{y_1^2}{12}

なので、 $y_1$ ${}= \pm\sqrt{\dfrac{20}{3}}$ ${}= \pm\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$ です。よって

\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\mathrm{P}\left(-\frac{8}{3},\ \frac{2\sqrt{15}}{3}\right),}

です。

（確かめ） $\mathrm{PF}^2$ ${}= \left(-\dfrac{8}{3} - 2\right)^2$ ${}+ \dfrac{20}{3}$ ${}= \dfrac{196}{9}$ ${}+ \dfrac{60}{9}$ ${}= \dfrac{256}{9}$ で $\mathrm{PF}$ ${}= \dfrac{16}{3}$ ${}= 2 \cdot \dfrac{8}{3}$ です。

$\mathrm{F'}$ に近い点なので、 $x$ 座標が負になるのは納得のいく結果です。

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問17　★★★

楕円 $\dfrac{x^2}{9}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ に内接し、各辺が座標軸に平行な長方形を考えます。この長方形の面積の最大値と、そのときの長方形の第1象限にある頂点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

頂点 $\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2}\right)$ のとき最大値 $12$

解説

楕円は $x$ 軸・ $y$ 軸に関して対称なので、長方形の第1象限の頂点を $(x,\ y)$ （ $x$ ${}> 0$ ， $y$ ${}> 0$ ）とすると、4つの頂点は $(\pm x,\ \pm y)$ で、面積は $S$ ${}= 2x \cdot 2y$ ${}= 4xy$ です。

$(x,\ y)$ は楕円上にあるので $y^2$ ${}= 4\left(1 - \dfrac{x^2}{9}\right)$ ${}= \dfrac{4}{9}(9 - x^2)$ で、 $0$ ${}< x$ ${}< 3$ です。 $S$ ${}> 0$ なので、 $S^2$ の最大を考えます。

\displaystyle S^2

$X$ ${}= x^2$ （ $0$ ${}< X$ ${}< 9$ ）とおくと

\displaystyle X(9 - X)

なので、 $X$ ${}= \dfrac{9}{2}$ のとき最大値 $\dfrac{81}{4}$ をとります。このとき $S^2$ ${}= \dfrac{64}{9} \cdot \dfrac{81}{4}$ ${}= 144$ で、 $S$ ${}= 12$ です。

$x$ ${}= \sqrt{\dfrac{9}{2}}$ ${}= \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ， $y^2$ ${}= \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{2}$ ${}= 2$ より $y$ ${}= \sqrt{2}$ です。よって $\underline{\text{頂点 } \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2}\right)}$ のとき $\underline{\text{最大値 } 12}$ です。

別の見方（公式4）　この楕円は、円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ を $y$ 軸方向に $\dfrac{2}{3}$ 倍したものです。辺が座標軸に平行な長方形は、この操作で辺が座標軸に平行な長方形に移り、面積は $\dfrac{2}{3}$ 倍になります。円に内接する長方形で面積が最大なのは正方形で、その面積は、対角線（直径 $6$ ）から $\dfrac{6 \times 6}{2}$ ${}= 18$ です。よって楕円では $18 \times \dfrac{2}{3}$ ${}= 12$ です。正方形の頂点 $\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},\ \dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)$ の $y$ 座標を $\dfrac{2}{3}$ 倍すると $\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2}\right)$ で、上の答えと一致します。一般の楕円では、最大値は $2ab$ です。

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問18　★★★

複素数平面上の点 $u$ ${}+ vi$ （ $u$ ， $v$ は実数）を、座標平面の点 $(u,\ v)$ と同じものとみます。点 $z$ が円 $|z|$ ${}= 2$ 上を動くとき、 $w$ ${}= z$ ${}+ \dfrac{1}{z}$ とします。

(1) $z$ ${}= 2(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表すとき、 $w$ の実部と虚部を、それぞれ $\theta$ を用いて表しなさい。

(2) 点 $w$ は、楕円 $\dfrac{4u^2}{25}$ ${}+ \dfrac{4v^2}{9}$ ${}= 1$ の全体を描くことを示しなさい。

(3) (2) の楕円の2つの焦点を表す複素数を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) 実部 $\dfrac{5}{2}\cos\theta$ ，虚部 $\dfrac{3}{2}\sin\theta$ 　(2) $\cos^2\theta$ ${}+ \sin^2\theta$ ${}= 1$ で楕円上にあることと、楕円上の各点に対応する $\theta$ があることを示す　(3) $2$ ， $-2$

解説

(1) 第3章公式2（ド・モアブルの定理の $n$ ${}= -1$ の場合）より $\dfrac{1}{z}$ ${}= \dfrac{1}{2}(\cos\theta - i\sin\theta)$ なので

\displaystyle w

です。よって $\underline{\text{実部 } \dfrac{5}{2}\cos\theta\text{，虚部 } \dfrac{3}{2}\sin\theta}$ です。

(2) 求める楕円を $E$ とします。

点 $w$ が $E$ 上にあること　 $u$ ${}= \dfrac{5}{2}\cos\theta$ ， $v$ ${}= \dfrac{3}{2}\sin\theta$ より $\dfrac{2u}{5}$ ${}= \cos\theta$ ， $\dfrac{2v}{3}$ ${}= \sin\theta$ なので

\displaystyle \frac{4u^2}{25}

です。

$E$ の点がすべて現れること　 $E$ 上の任意の点 $(u,\ v)$ をとると、 $\left(\dfrac{2u}{5}\right)^2$ ${}+ \left(\dfrac{2v}{3}\right)^2$ ${}= 1$ なので、点 $\left(\dfrac{2u}{5},\ \dfrac{2v}{3}\right)$ は単位円上にあります。よって $\cos\theta$ ${}= \dfrac{2u}{5}$ ， $\sin\theta$ ${}= \dfrac{2v}{3}$ を満たす $\theta$ があり、 $z$ ${}= 2(\cos\theta + i\sin\theta)$ は $|z|$ ${}= 2$ を満たし、(1) よりこの $z$ に対する $w$ が点 $(u,\ v)$ です。

以上より、点 $w$ は楕円 $E$ の全体を描きます。（証明終）

(3) $E$ は $\dfrac{u^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}$ ${}+ \dfrac{v^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}$ ${}= 1$ で、 $\dfrac{5}{2}$ ${}> \dfrac{3}{2}$ なので焦点は実軸上にあります。

\displaystyle \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{9}{4}}

より、焦点を表す複素数は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}\ -2}$ です。

$E$ 上の点は $|w - 2|$ ${}+ |w + 2|$ ${}= 5$ を満たすことになります（長軸の長さ $2 \times \dfrac{5}{2}$ ${}= 5$ ）。 $|z|$ ${}= 2$ の円の代わりに $|z|$ ${}= r$ （ $r$ ${}> 1$ ）の円を使っても、 $w$ ${}= z$ ${}+ \dfrac{1}{z}$ が描く楕円の焦点は、いつも $\pm 2$ です（半径は $r$ ${}+ \dfrac{1}{r}$ と $r$ ${}- \dfrac{1}{r}$ で、その2乗の差が $4$ ）。この変換は、飛行機の翼の断面を調べる道具としても使われてきました。

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問19　★★★

楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ の焦点を $\mathrm{F}(3,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-3,\ 0)$ とし、点 $\mathrm{A}(1,\ 2)$ をとります。楕円上の点 $\mathrm{P}$ について、 $\mathrm{PA}$ ${}+ \mathrm{PF}$ の最大値と最小値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

最大値 $10$ ${}+ 2\sqrt{5}$ ，最小値 $10$ ${}- 2\sqrt{5}$

解説

$\dfrac{1}{25}$ ${}+ \dfrac{4}{16}$ ${}< 1$ なので、 $\mathrm{A}$ は楕円の内部の点です。

楕円の定義から $\mathrm{PF}$ ${}= 10$ ${}- \mathrm{PF'}$ なので

\displaystyle \mathrm{PA}

です。 $\mathrm{PA}$ ${}- \mathrm{PF'}$ の最大・最小を調べます。 $\mathrm{AF'}$ ${}= \sqrt{(1 + 3)^2 + 2^2}$ ${}= 2\sqrt{5}$ です。3点 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{F'}$ について、2辺の差は残りの1辺以下（一直線上に並ぶ場合も含む）なので

\displaystyle -2\sqrt{5}

です。

最大　 $\mathrm{PA}$ ${}- \mathrm{PF'}$ ${}= 2\sqrt{5}$ 、すなわち $\mathrm{PA}$ ${}= \mathrm{PF'}$ ${}+ \mathrm{F'A}$ となるのは、 $\mathrm{F'}$ が線分 $\mathrm{PA}$ 上にあるときです。 $\mathrm{A}$ から $\mathrm{F'}$ の向きに延ばした半直線は、 $\mathrm{F'}$ の先で楕円と交わるので、その交点を $\mathrm{P}$ とすればこの等号が成り立ちます。

最小　 $\mathrm{PA}$ ${}- \mathrm{PF'}$ ${}= -2\sqrt{5}$ 、すなわち $\mathrm{PF'}$ ${}= \mathrm{PA}$ ${}+ \mathrm{AF'}$ となるのは、 $\mathrm{A}$ が線分 $\mathrm{PF'}$ 上にあるときです。 $\mathrm{F'}$ から $\mathrm{A}$ の向きに延ばした半直線は、 $\mathrm{A}$ が楕円の内部にあるので、 $\mathrm{A}$ の先で楕円と交わります。その交点を $\mathrm{P}$ とすればこの等号が成り立ちます。

よって $\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}\text{最大値 } 10}$ $\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}+ 2\sqrt{5}\text{，最小値 } 10}$ $\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}- 2\sqrt{5}}$ です。

$\mathrm{PF}$ を、もう1つの焦点までの距離 $\mathrm{PF'}$ に取りかえるのがポイントです。そのままでは「 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{F}$ の2点への距離の和」で見通しがききませんが、取りかえると「2点への距離の差」になり、三角形の辺の関係が使えます。第5章例題4 で $\mathrm{PF}$ を準線までの距離に置きかえたのと同じ発想です（このときの $\mathrm{P}$ の座標は、直線と楕円の交点として第8章の方法で求められます）。

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問20　★★★

$a$ ${}> b$ ${}> 0$ とし、楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ の2つの焦点を $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ 、原点を $\mathrm{O}$ とします。この楕円上の点 $\mathrm{P}$ について

$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}$ ${}+ \mathrm{OP}^2$ ${}= a^2$ ${}+ b^2$

が成り立つことを示しなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}$ ${}= a^2$ ${}- e^2x_1^2$ と $\mathrm{OP}^2$ ${}= x_1^2$ ${}+ b^2$ ${}- \dfrac{b^2}{a^2}x_1^2$ を足し、 $a^2$ ${}- b^2$ ${}= c^2$ で $x_1^2$ の項が消えることを示す

解説

$c$ ${}= \sqrt{a^2 - b^2}$ ， $e$ ${}= \dfrac{c}{a}$ とし、 $\mathrm{F}(c,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-c,\ 0)$ ， $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ とします。公式5 ① より

\displaystyle \mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}

です。また、 $\mathrm{P}$ は楕円上にあるので $y_1^2$ ${}= b^2$ ${}- \dfrac{b^2}{a^2}x_1^2$ で

\displaystyle \mathrm{OP}^2

です。2つを足すと、 $x_1^2$ の項が打ち消し合って

\displaystyle \mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}

となります。（証明終）

（確かめ） $\mathrm{P}$ が長軸の端 $(a,\ 0)$ なら $(a - c)(a + c)$ ${}+ a^2$ ${}= 2a^2$ ${}- c^2$ ${}= a^2$ ${}+ b^2$ 、短軸の端 $(0,\ b)$ なら $a \cdot a$ ${}+ b^2$ ${}= a^2$ ${}+ b^2$ で、どちらも成り立ちます。

$\mathrm{P}$ が中心から遠ざかって $\mathrm{OP}^2$ が増えると、ちょうど同じだけ $\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF'}$ が減るということです。 $\mathrm{O}$ は $\mathrm{FF'}$ の中点なので、中線定理（第1章の厳密定義） $\mathrm{PF}^2$ ${}+ \mathrm{PF'}^2$ ${}= 2(\mathrm{OP}^2 + c^2)$ と組み合わせて、 $(\mathrm{PF} + \mathrm{PF'})^2$ ${}= 4a^2$ から示すこともできます。

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数学小話コーナー

円錐の中の2つの球——ダンデリンの証明

第5章の小話で、楕円は円錐を斜めの平面で切ったときの切り口に現れる、と紹介しました。一方、この章では楕円を「2つの焦点からの距離の和が一定な点の集まり」と定義しました。同じ「楕円」という名前がついていますが、この2つが本当に同じ曲線だと、どうすれば分かるでしょうか。

古代ギリシャのアポロニウスは、円錐の切り口として楕円を調べ、焦点にあたる点の性質も知っていました。けれども、2つの見方を一目で結びつける説明が見つかったのは、それから2000年ほどたった1822年のことです。ベルギーの数学者ダンデリンが、円錐の中に球を2つ入れるという、見事なアイデアを発表しました。

2つの球を入れる

頂点を上にして置いた円錐を、斜めの平面で切ったとします。切り口の曲線を $K$ とします。

円錐の内側にぴったりはまり、しかも切る平面に接する球を、平面の上側と下側に1つずつ入れます。小さな球が平面の上に、大きな球が平面の下に入る形です。
上の球は平面と1点 $\mathrm{F}$ で接し、円錐の側面とは1つの円 $C_1$ に沿って接します。下の球も同じように、平面と1点 $\mathrm{F'}$ で、側面とは円 $C_2$ に沿って接します。

$K$ 上の点 $\mathrm{P}$ を1つとり、円錐の頂点と $\mathrm{P}$ を通る直線（母線）が、 $C_1$ ， $C_2$ と交わる点を $\mathrm{Q}_1$ ， $\mathrm{Q}_2$ とします。

ここで使うのは、「球の外の点から球に引いた接線の長さは、どの向きに引いても等しい」という性質です（円の接線の長さが等しいのと同じ理由です）。 $\mathrm{PF}$ は平面の上で上の球に接する線分、 $\mathrm{PQ}_1$ は母線に沿って上の球に接する線分なので

\displaystyle \mathrm{PF}

です。したがって

\displaystyle \mathrm{PF}

となります。 $\mathrm{Q}_1\mathrm{Q}_2$ は、2つの円 $C_1$ ， $C_2$ の間にはさまれた母線の長さで、 $\mathrm{P}$ をどこにとっても同じです。つまり、切り口 $K$ は「 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ からの距離の和が一定」な曲線、すなわち公式1 の楕円です。しかも、2つの球が平面に触れる点が、そのまま焦点になっていたのです。

このような球は「ダンデリンの球」と呼ばれています。同じ方法で、放物線（球は1つ）や双曲線（2つの球が頂点の両側に入る）も説明できます。

豆知識

懐中電灯を壁に向けると、光の当たる部分は、光の円錐を壁の平面で切った切り口になります。まっすぐ向ければ円、少し傾ければ楕円、さらに傾けていくと片側が開いて、放物線や双曲線の形に変わります。暗い部屋で試すと、二次曲線の仲間が1本の懐中電灯から次々に現れます。

また、ダンデリンの球が円錐に接する円 $C_1$ を含む平面と、切る平面との交わりの直線は、楕円の準線になっています。第5章の厳密定義のページで紹介した「焦点までの距離 $=$ 離心率 $\times$ 準線までの距離」という性質も、この図から導けます（この章の厳密定義のページで、式を使って確かめます）。

地球が太陽にいちばん近づくのは1月

惑星は、太陽を1つの焦点とする楕円の上を回っています。17世紀の初めに、ケプラーが火星の観測記録をもとに見いだした法則です（ケプラーの第1法則）。もう1つの焦点には何もありません。

地球の軌道も楕円です。長軸の長さの半分 $a$ は約1億4960万 km、離心率 $e$ は約 $0.0167$ です。公式5 ② によると、太陽（焦点）にいちばん近い点と遠い点は長軸の両端で、その距離は $a$ ${}- c$ と $a$ ${}+ c$ です。 $c$ ${}= ae$ を計算すると約250万 km なので

いちばん近い点（近日点）：約1億4710万 km
いちばん遠い点（遠日点）：約1億5210万 km

となります。地球が近日点を通るのは毎年1月の初め、遠日点を通るのは7月の初めです。日本が冬のころに、地球は太陽にいちばん近づいているのです。

季節を決めているのは、太陽との距離ではなく、地球の自転軸の傾き（約 $23.4^\circ$ ）です。それでも距離の違いは無視できません。太陽から届く光の強さは距離の2乗に反比例するので、1月の光は7月より $\left(\dfrac{1.521}{1.471}\right)^2$ ${}\fallingdotseq 1.07$ 倍、およそ7%強くなります。南半球では、ちょうど夏に太陽が近くなります。

ほとんど円なのに、太陽は真ん中にない

$\dfrac{b}{a}$ ${}= \sqrt{1 - e^2}$ に $e$ ${}= 0.0167$ を入れると、 $\dfrac{b}{a}$ ${}\fallingdotseq 0.99986$ です。長軸が $20$ cm になるように紙に地球の軌道を描くと、短軸との差はわずか $0.03$ mm ほどで、目で見てもまったく円と区別がつきません。

ところが焦点の位置は、中心から $c$ ${}= ae$ 、つまり $10$ cm $\times\, 0.0167$ ${}\fallingdotseq 1.7$ mm もずれています。形はほとんど円なのに、太陽は中心から目に見えるほどずれた所にあるのです。 $b$ は $e$ の2乗の程度でしか縮まないのに、 $c$ は $e$ そのものに比例して動くからです。

豆知識

ケプラーの第2法則によると、惑星は太陽に近いところほど速く動きます。そのため、地球が近日点側を通る「秋分から春分まで」は、「春分から秋分まで」より1週間ほど短くなります。北半球では、秋と冬を合わせた期間のほうが、春と夏を合わせた期間より短いのです。

離心率が $1$ に近い、とても細長い楕円を回る天体もあります。ハレー彗星（統計の分野の小話にも登場しました）の離心率は約 $0.967$ で、太陽にいちばん近づくときは地球の軌道より内側（約0.6天文単位）まで来ますが、いちばん遠いときは海王星の軌道より外側（約35天文単位）まで離れます。1天文単位は、地球と太陽の平均距離（約1億5000万 km）です。

部屋のすみのささやきが、反対側で聞こえる

床の形が楕円の部屋や、天井が楕円を回した形（回転楕円面）のドームでは、不思議なことが起こります。一方の焦点の位置でささやいた声が、部屋の反対側、もう一方の焦点の位置にいる人には、はっきり聞こえるのです。間にいる人には、ほとんど聞こえません。このような部屋は「ささやきの回廊」と呼ばれます。

秘密は、楕円の反射の性質にあります。一方の焦点 $\mathrm{F}$ から出た音や光は、楕円の壁のどこで跳ね返っても、必ずもう一方の焦点 $\mathrm{F'}$ を通ります（証明は厳密定義のページで行います）。しかも、 $\mathrm{F}$ から壁の点 $\mathrm{P}$ を経て $\mathrm{F'}$ に届く道のりは $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= 2a$ で、どの点で跳ね返っても同じです。第5章の小話のパラボラアンテナと同じく、あらゆる向きに出た音が、そろって同時に $\mathrm{F'}$ に着くので、強め合って大きく聞こえるのです。

アメリカの連邦議会議事堂には、かつて下院の議場だった「国立彫像ホール」という部屋があり、天井のドームが音を集めることで知られています。大統領を務めたあとに下院議員となったジョン・クインシー・アダムズが、この部屋が議場だったころ、自分の席の位置を利用して反対派のひそひそ話を聞いていた、という話が伝わっています（※伝説で、事実かどうかは確かめられていません）。

楕円のビリヤード

楕円形のビリヤード台で、一方の焦点に置いた球を、どの向きでもよいので打ってみます。球はクッションで跳ね返ると、もう一方の焦点を通ります。そのまま進んで再び跳ね返ると、また最初の焦点を通ります。焦点を通った球は、何度跳ね返っても焦点を交互に通り続け、跳ね返るたびに、その道すじは長軸にどんどん近づいていきます。

豆知識

この性質は、医療にも使われています。体外衝撃波結石破砕術は、腎臓などにできた結石を、体を切らずに砕く治療法です。回転楕円面の形をした反射鏡の一方の焦点で衝撃波を発生させ、もう一方の焦点に結石が来るように体の位置を合わせます。衝撃波は反射鏡で跳ね返って結石の1点に集まるので、途中の体の組織を傷つけにくく、結石だけを細かく砕けるのです。1980年にドイツで、初めて患者の治療に使われました。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。本文では、定義から標準形を導くときに2回2乗しましたが、逆向き（標準形の点が定義を満たすこと）は例題1 の数値の場合しか確かめませんでした。また、公式5 の $\mathrm{PF}$ ${}= a$ ${}- ex_1$ は、定義を満たす点についてしか示していません。ここでは、標準形と定義が同値であることを一気に示し、そのうえで「楕円の内側・外側」を距離の和で言いかえます。それを使って、小話3 のささやきの回廊の仕組みである反射の性質を証明し、最後に準線と離心率、楕円の形が離心率だけで決まることを確かめます。

定義と標準形の同値性

定義1：楕円

平面上の異なる2点 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ と、 $2a$ ${}> \mathrm{FF'}$ を満たす正の数 $a$ に対して、集合

\{\,\mathrm{P} \mid \mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a\,\}

を、 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ を焦点とする楕円という。 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ を結ぶ線分の中点を中心、 $e$ ${}= \dfrac{\mathrm{FF'}}{2a}$ を離心率という。

$2a$ ${}> \mathrm{FF'}$ なので $0$ ${}< e$ ${}< 1$ です。座標は、中心を原点、焦点を $\mathrm{F}(c,\ 0)$ ， $\mathrm{F'}(-c,\ 0)$ （ $0$ ${}< c$ ${}< a$ ）にとります。このとき $e$ ${}= \dfrac{c}{a}$ です。以下この節と次の節では、 $b$ ${}= \sqrt{a^2 - c^2}$ ， $u(x,\ y)$ ${}= \dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ とおき、定義1 の楕円を $E$ と書きます。

定理1：標準形との同値性と焦点までの距離

点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ について

\displaystyle \mathrm{PF}

が成り立つ。さらに、このとき $\mathrm{PF}$ ${}= a$ ${}- ex$ ， $\mathrm{PF'}$ ${}= a$ ${}+ ex$ である。

証明　（ $\Longleftarrow$ ） $u(x,\ y)$ ${}= 1$ とすると、 $y^2$ ${}= b^2$ ${}- \dfrac{b^2}{a^2}x^2$ かつ $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}\leqq 1$ より $|x|$ ${}\leqq a$ である。 $b^2$ ${}= a^2$ ${}- c^2$ を用いると

\displaystyle \mathrm{PF}^2

である。 $|ex|$ ${}\leqq e \cdot a$ ${}< a$ より $a$ ${}- ex$ ${}> 0$ なので、 $\mathrm{PF}$ ${}= a$ ${}- ex$ である。 $c$ を $-c$ に取りかえた同じ計算で $\mathrm{PF'}$ ${}= a$ ${}+ ex$ となり、 $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= 2a$ を得る。

（ $\Longrightarrow$ ） $\mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ ${}= 2a$ とする。 $\mathrm{PF'}^2$ ${}- \mathrm{PF}^2$ ${}= 4cx$ の左辺を因数分解して $2a(\mathrm{PF'} - \mathrm{PF})$ ${}= 4cx$ 、よって $\mathrm{PF'}$ ${}- \mathrm{PF}$ ${}= 2ex$ である。和と差から $\mathrm{PF}$ ${}= a$ ${}- ex$ で、両辺を2乗して上の計算を逆にたどると

\displaystyle x^2

となる。（証明終）

本文の「根号を移して2回2乗する」方法では、2乗する前の両辺が $0$ 以上であることを毎回確かめる必要がありました。定理1 の証明では、 $\mathrm{PF}^2$ が $(a - ex)^2$ という完全平方になることを見抜いて、その手間を省いています。 $\mathrm{PF}$ が $x$ の1次式になるという公式5 は、楕円の式の「隠れた完全平方」だったのです。

楕円の内部と外部

図形と方程式第7章では、円の内部・外部を不等式で表しました。同じように、不等式 $u(x,\ y)$ ${}< 1$ の表す領域を楕円の内部、 $u(x,\ y)$ ${}> 1$ の表す領域を楕円の外部といいます。これを距離の和で言いかえます。

定理2：内部・外部と距離の和

点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ について、 $s$ ${}= \mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ とすると

\displaystyle s

が成り立つ。

証明　 $s$ ${}> 0$ である。 $\mathrm{PF'}^2$ ${}- \mathrm{PF}^2$ ${}= 4cx$ より $\mathrm{PF'}$ ${}- \mathrm{PF}$ ${}= \dfrac{4cx}{s}$ なので、 $\mathrm{PF'}$ ${}= \dfrac{1}{2}\left(s + \dfrac{4cx}{s}\right)$ である。両辺を2乗すると

\displaystyle \frac{s^2}{4}

となり、 $T$ ${}= \dfrac{s^2}{4}$ とおいて $2cx$ を両辺から引くと

\displaystyle T

を得る。

次に、 $\mathrm{PF}$ ${}\geqq |x - c|$ ， $\mathrm{PF'}$ ${}\geqq |x + c|$ と $|x - c|$ ${}+ |x + c|$ ${}\geqq 2\max(|x|,\ c)$ より $s$ ${}\geqq 2\max(|x|,\ c)$ なので、 $T$ ${}\geqq \max(x^2,\ c^2)$ ${}\geqq c|x|$ である。関数 $g(t)$ ${}= t$ ${}+ \dfrac{c^2x^2}{t}$ は、 $t$ ${}\geqq c|x|$ ， $t$ ${}> 0$ の範囲で増加する。実際、その範囲の $t_1$ ${}< t_2$ に対して

\displaystyle g(t_2)

である（ $t_1 t_2$ ${}> c^2x^2$ による。 $x$ ${}= 0$ なら $g(t)$ ${}= t$ で明らか）。

(i) $a^2$ ${}\geqq c|x|$ のとき。 $T$ と $a^2$ はともに $g$ が増加する範囲にあるので

\displaystyle s

である（最後は $(*)$ による）。右端の不等式は $\dfrac{a^2 - c^2}{a^2}x^2$ ${}+ y^2$ ${}< a^2$ ${}- c^2$ 、すなわち $u(x,\ y)$ ${}< 1$ と同値である。不等号の向きを逆にしても同じ議論が成り立つ。

(ii) $a^2$ ${}< c|x|$ のとき。 $T$ ${}\geqq c|x|$ ${}> a^2$ より $s$ ${}> 2a$ である。一方、 $|x|$ ${}> \dfrac{a^2}{c}$ ${}> a$ より $u(x,\ y)$ ${}\geqq \dfrac{x^2}{a^2}$ ${}> 1$ である。よって、この場合も2つの同値関係は成り立つ。（証明終）

証明の中の $(*)$ で $s$ ${}= 2a$ とおくと、定理1 がもう一度得られます。定理2 は、「杭とひも」の作図で、ひもを張ったときの棒の先が境目、ひもがたるむ位置が内部、ひもが届かない位置が外部、という直感を、式で裏づけたものです。

楕円の内部は、次の意味で「へこみのない」図形です。

定理3：直線と楕円の共有点

直線 $m$ が楕円 $E$ とただ1点 $\mathrm{P}$ だけを共有するとき、 $m$ 上の $\mathrm{P}$ 以外の点は、すべて $E$ の外部にある。

証明　 $m$ 上に $\mathrm{P}$ と異なる点 $\mathrm{Q}(x_0,\ y_0)$ があって、 $u(x_0,\ y_0)$ ${}\leqq 1$ であったとする。 $u(x_0,\ y_0)$ ${}= 1$ なら $\mathrm{Q}$ も共有点となり、仮定に反する。 $u(x_0,\ y_0)$ ${}< 1$ とする。 $m$ の向きを表す $\vec{v}$ ${}= (p,\ q)$ ${}\neq \vec{0}$ をとり、 $m$ 上の点を $(x_0 + tp,\ y_0 + tq)$ と表すと

\displaystyle u(x_0 + tp,\ y_0 + tq)

（ $k$ は定数）となる。 $t^2$ の係数は正、定数項は負なので、この $t$ の2次方程式は正の解と負の解を1つずつもつ。すなわち $m$ と $E$ の共有点は2個以上あり、仮定に反する。（証明終）

第8章では、楕円とただ1点を共有する直線を接線として学びます（放物線とちがって、楕円では「軸に平行な直線」の例外がありません）。定理3 は、接線が楕円の内部を通らないことを言っています。

反射の性質

定理4：楕円の反射の性質

楕円 $E$ 上の点 $\mathrm{P}$ を通り、 $E$ と $\mathrm{P}$ だけを共有する直線を $m$ とする。直線 $\mathrm{PF}$ を $m$ に関して折り返した直線は、 $\mathrm{F'}$ を通る。すなわち、 $\mathrm{PF}$ ， $\mathrm{PF'}$ が $m$ となす角は等しい。

証明　 $u(\pm c,\ 0)$ ${}= e^2$ ${}< 1$ なので、 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ は $E$ の内部にあり、定理3 より $m$ 上にない。また、線分 $\mathrm{FF'}$ 上の点 $(x,\ 0)$ （ $|x|$ ${}\leqq c$ ）も $u$ ${}< 1$ で内部にあるので、線分 $\mathrm{FF'}$ は $m$ と交わらない。よって $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ は $m$ に関して同じ側にある。

$\mathrm{F}$ を $m$ に関して折り返した点を $\mathrm{G}$ とする。 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{F'}$ は $m$ に関して反対側にあるので、線分 $\mathrm{GF'}$ は $m$ とある点 $\mathrm{R}$ で交わる。 $m$ 上の任意の点 $\mathrm{Q}$ について $\mathrm{QF}$ ${}= \mathrm{QG}$ だから

\displaystyle \mathrm{QF}

である。つまり、 $m$ 上で $\mathrm{QF}$ ${}+ \mathrm{QF'}$ を最小にする点の1つが $\mathrm{R}$ である。

一方、定理3 と定理2 より、 $m$ 上の $\mathrm{P}$ 以外の点 $\mathrm{Q}$ では $\mathrm{QF}$ ${}+ \mathrm{QF'}$ ${}> 2a$ ${}= \mathrm{PF}$ ${}+ \mathrm{PF'}$ である。よって $m$ 上で $\mathrm{QF}$ ${}+ \mathrm{QF'}$ を最小にする点は $\mathrm{P}$ だけであり、 $\mathrm{R}$ ${}= \mathrm{P}$ である。

したがって $\mathrm{G}$ ， $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{F'}$ はこの順に一直線上にある。直線 $\mathrm{PF}$ を $m$ に関して折り返した直線は直線 $\mathrm{PG}$ であり、これは $\mathrm{F'}$ を通る。（証明終）

証明の中心は、「直線 $m$ 上で、2点 $\mathrm{F}$ ， $\mathrm{F'}$ までの距離の和がいちばん小さい点を探す」という、ヘロンの最短経路の問題です（図形と方程式第3章で、直線に関して対称な点を使って $\mathrm{AP}$ ${}+ \mathrm{PB}$ の最小値を求めた問題と同じ形です）。楕円の外側では距離の和が $2a$ より大きい（定理2）ので、 $m$ に沿って動くと、距離の和は $\mathrm{P}$ でいちばん小さくなります。そして光は、反射するとき、いちばん短い道すじを選びます。

反射の法則（入射角 $=$ 反射角）によると、 $\mathrm{F}$ から出て $\mathrm{P}$ で反射した光は、直線 $\mathrm{PF}$ を鏡の面 $m$ に関して折り返した向きに進みます。定理4 より、その光は $\mathrm{F'}$ に届きます。

準線と離心率

第5章の厳密定義のページで、「 $\mathrm{PF}$ ${}= e \cdot d(\mathrm{P},\ \ell)$ で $e$ ${}< 1$ のとき楕円になる」と紹介しました。その準線 $\ell$ が、楕円のどこにあるかを確かめます。

定理5：楕円の準線

$0$ ${}< e$ ${}< 1$ とし、直線 $\ell : x$ ${}= \dfrac{a}{e}$ とする（ $\dfrac{a}{e}$ ${}= \dfrac{a^2}{c}$ ）。点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ について

\displaystyle \mathrm{PF}

が成り立つ。 $\ell$ を、焦点 $\mathrm{F}$ に対応する楕円の準線という。

証明　両辺は $0$ 以上なので、2乗しても同値である。 $d(\mathrm{P},\ \ell)$ ${}= \left|x - \dfrac{a}{e}\right|$ より

\displaystyle \mathrm{PF}^2

である。 $ae$ ${}= c$ より $-2cx$ は両辺で消え、 $(1 - e^2)x^2$ ${}+ y^2$ ${}= a^2$ ${}- c^2$ となる。 $1$ ${}- e^2$ ${}= \dfrac{a^2 - c^2}{a^2}$ ${}= \dfrac{b^2}{a^2}$ なので、これは $u(x,\ y)$ ${}= 1$ と同値である。（証明終）

定理1 の $\mathrm{PF}$ ${}= a$ ${}- ex$ ${}= e\left(\dfrac{a}{e} - x\right)$ を見ると、定理5 は「 $a$ ${}- ex$ を $e$ でくくっただけ」とも言えます。楕円上では $x$ ${}\leqq a$ ${}< \dfrac{a}{e}$ なので、準線は楕円の外側にあり、楕円と交わりません。 $\mathrm{F'}$ に対応する準線は $x$ ${}= -\dfrac{a}{e}$ です。

楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ なら、 $e$ ${}= \dfrac{3}{5}$ で、準線は $x$ ${}= \dfrac{25}{3}$ と $x$ ${}= -\dfrac{25}{3}$ です。本文 j07 の点 $\mathrm{P}$ （ $x$ ${}= \dfrac{10}{3}$ ）では、 $\mathrm{PF}$ ${}= 3$ 、準線までの距離は $\dfrac{25}{3}$ ${}- \dfrac{10}{3}$ ${}= 5$ で、たしかに $3$ ${}= \dfrac{3}{5} \times 5$ です。

楕円の形は離心率で決まる

二次関数第1章の小話では、「放物線はどれも相似だが、楕円はつぶれ具合で形が変わる」と予告しました。その「つぶれ具合」の正体が離心率です。

定理6：楕円の相似

2つの楕円は、離心率が等しいとき、またそのときに限り相似である。

証明（等しいとき相似であること）　楕円を平行移動・回転して、中心を原点、焦点を $x$ 軸上に置くと、標準形 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）になります。移動と回転は形を変えないので、標準形どうしで比べれば十分です。

2つの楕円 $E_1 : \dfrac{x^2}{a_1^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b_1^2}$ ${}= 1$ ， $E_2 : \dfrac{x^2}{a_2^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b_2^2}$ ${}= 1$ の離心率が等しいとします。 $\dfrac{b}{a}$ ${}= \sqrt{1 - e^2}$ なので、 $\dfrac{b_1}{a_1}$ ${}= \dfrac{b_2}{a_2}$ です。 $k$ ${}= \dfrac{a_2}{a_1}$ とおくと $kb_1$ ${}= b_2$ です。原点を中心に $E_1$ を $k$ 倍に拡大すると、点 $(x,\ y)$ は $(X,\ Y)$ ${}= (kx,\ ky)$ に移り

\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}

となるので、 $E_1$ は $E_2$ に重なります。

逆の考え方（概略）　楕円上の点と中心の距離は、本文 j15 と同じ計算で $\mathrm{OP}^2$ ${}= b^2$ ${}+ e^2x^2$ となり、最大値が $a$ 、最小値が $b$ です。相似な図形の移しかえでは、対称の中心は対称の中心に移り、すべての長さが同じ比で変わるので、「中心からの最大距離と最小距離の比」 $\dfrac{b}{a}$ は変わりません。よって相似な楕円では $\dfrac{b}{a}$ 、したがって $e$ が等しくなります。

円は $a$ ${}= b$ 、 $e$ ${}= 0$ の場合で、円どうしはいつも相似です。放物線は、第5章定理3 のとおりどれも相似で、離心率はいつも $1$ でした。楕円は $0$ ${}< e$ ${}< 1$ の範囲に無数の形があり、 $e$ を $0$ に近づけると円に、 $1$ に近づけると細長くつぶれた形に近づきます。二次曲線の形の違いは、結局のところ離心率という1つの数で整理できるのです。第7章の双曲線は、 $e$ ${}> 1$ の側を受けもちます。

この章の学習が終わったら

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第6章 楕円

楕円の定義

楕円の標準形

焦点が y 軸上にある楕円

円を縮めると楕円になる

焦点までの距離と離心率

楕円になる軌跡

この章のまとめ

基礎確認問題（全5問）

実践問題（全20問）

数学小話コーナー

厳密定義（発展）

定義と標準形の同値性

楕円の内部と外部

反射の性質

準線と離心率

楕円の形は離心率で決まる

第6章　楕円