目次 ／ 微分積分 ／ 数学III

第11章　いろいろな関数の微分

—— 積・商・合成の微分と、三角関数・指数関数・対数関数の導関数 ——

数学IIでは、多項式しか微分できませんでした。この章では、微分できる関数の仲間を一気に増やします。まず、関数どうしの積・商、関数の中に関数が入った**合成関数**の微分法を学び、第10章 例題8 で予告したとおり、$(x^n)' = nx^{n-1}$ を分数や負の数の $n$ にまで広げます。続いて、第10章の $\dfrac{\sin\theta}{\theta} \to 1$ を鍵に三角関数を微分します。後半では、自然対数の底 **$e$**（$= 2.718\cdots$）という特別な数を導入し、指数関数・対数関数の導関数を求めます。最後に、2回・3回と続けて微分する高次導関数と、$y = f(x)$ の形に解けていない曲線の微分を扱います。

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積と商の微分

第10章 例題8 で、yy=x{}= \sqrt{x} を定義に従って微分し、dydx\dfrac{dy}{dx}=12x{}= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} を得ました。毎回このように定義から計算するのは大変です。この章では、どんな関数でも組み立て方さえわかれば導関数が求められるように、計算の規則をそろえていきます。最初は、2つの関数の積と商です。

数学IIでは、(x2+1)(3x−2)(x^2 + 1)(3x - 2) のような積は展開してから微分しました。展開できない xsin⁡xx\sin x のような積や、分数の形の関数を扱うには、次の公式が必要です。

公式1：積・商の微分法

f(x)f(x)，g(x)g(x) が微分可能なとき

{f(x)g(x)}′\displaystyle \{f(x)g(x)\}'=f′(x)g(x)\displaystyle {}= f'(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle {}+ f(x)g'(x){1g(x)}′\displaystyle \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=−g′(x){g(x)}2,\displaystyle {}= -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2},{f(x)g(x)}′\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle {}= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

積のわけ　hh≠0{}\neq 0 として、f(x+h)g(x+h)f(x + h)g(x + h)−f(x)g(x){}- f(x)g(x) に f(x)g(x+h)f(x)g(x + h) を引いて足すと

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h\displaystyle \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}=f(x+h)−f(x)h g(x+h)\displaystyle {}= \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\,g(x + h)+f(x) g(x+h)−g(x)h\displaystyle {}+ f(x)\,\frac{g(x + h) - g(x)}{h}

hh→0{}\to 0 のとき、微分可能な関数は連続なので（第1章 厳密定義）g(x+h)g(x + h)→g(x){}\to g(x) となり、右辺は f′(x)g(x)f'(x)g(x)+f(x)g′(x){}+ f(x)g'(x) に近づきます。

  • 積の公式は「前を微分して後ろはそのまま ＋ 前はそのままで後ろを微分」と覚えます。
  • 商の公式は、分子の引き算の順番（f′gf'g−fg′{}- fg'）に注意します。分母は gg の2乗です。
  • nn が正の整数のとき、(1xn)′\left(\dfrac{1}{x^n}\right)'=−nxn−1x2n{}= -\dfrac{nx^{n-1}}{x^{2n}}=−nxn+1{}= -\dfrac{n}{x^{n+1}}，つまり (x−n)′(x^{-n})'=−nx−n−1{}= -nx^{-n-1} です。これで (xn)′(x^n)'=nxn−1{}= nx^{n-1} が、nn が負の整数でも成り立つとわかります。

お店の1日の売上は「単価 × 客数」です。値上げで単価が上がり、同時に客数も増えたとき、売上の増え方には2つの原因があります。単価の上がった分に今の客数を掛けたものと、客数の増えた分に今の単価を掛けたものです。積の微分法の2つの項は、この「どちらの変化から来た増え方か」を分けて足したものです。

積の導関数は「片方ずつ微分して、残りはそのまま」の2項の和になり、商の導関数は分子が f′gf'g−fg′{}- fg'，分母が g2g^2 になるということです。

例題1：積・商の微分

次の関数を微分しなさい。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=(x2+1)(3x−2)\displaystyle {}= (x^2 + 1)(3x - 2)(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=2x−1x2+1\displaystyle {}= \frac{2x - 1}{x^2 + 1}(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=1x3\displaystyle {}= \frac{1}{x^3}

【解答】

(1) 積の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=(x2+1)′(3x−2)\displaystyle {}= (x^2 + 1)'(3x - 2)+(x2+1)(3x−2)′\displaystyle {}+ (x^2 + 1)(3x - 2)'=2x(3x−2)\displaystyle {}= 2x(3x - 2)+3(x2+1)\displaystyle {}+ 3(x^2 + 1)=9x2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}9x^2}−4x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 4x}+3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 3}

(2) 商の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=2(x2+1)−(2x−1)⋅2x(x2+1)2\displaystyle {}= \frac{2(x^2 + 1) - (2x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}=2x2+2−4x2+2x(x2+1)2\displaystyle {}= \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}=−2x2+2x+2(x2+1)2‾\displaystyle {}= \underline{\frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}}

(3) yy=x−3{}= x^{-3} なので

y′\displaystyle y'=−3x−4\displaystyle {}= -3x^{-4}=−3x4‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{3}{x^4}}

※ (1) は展開してから微分しても同じ答えになります。確かめてみましょう。

合成関数の微分

yy=(2x+3)5{}= (2x + 3)^5 は、展開すれば微分できますが、5乗の展開は大変です。この関数は「uu=2x{}= 2x+3{}+ 3 を作り、それを5乗する」という2段階の組み立てになっています。このように、関数の中に関数が入ったものを合成関数といいます。

公式2：合成関数の微分法

yy=f(u){}= f(u)，uu=g(x){}= g(x) がともに微分可能なとき、yy=f(g(x)){}= f(g(x)) は xx で微分可能で

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=dydu⋅dudx\displaystyle {}= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}すなわち\displaystyle \text{すなわち}{f(g(x))}′\displaystyle \{f(g(x))\}'=f′(g(x)) g′(x)\displaystyle {}= f'(g(x))\,g'(x)

わけ　xx の増える量 Δx\Delta x に対して、uu が Δu\Delta u，yy が Δy\Delta y 増えるとすると、Δu\Delta u≠0{}\neq 0 なら

ΔyΔx\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=ΔyΔu⋅ΔuΔx\displaystyle {}= \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}

Δx\Delta x→0{}\to 0 のとき Δu\Delta u→0{}\to 0 なので、右辺は dydu⋅dudx\dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} に近づきます（Δu\Delta u=0{}= 0 となる場合の扱いは厳密定義の定理2）。

  • 「外側を微分して（中身はそのまま）、中身の微分を掛ける」と覚えます。
  • よく使う形：{(ax+b)n}′\{(ax + b)^n\}'=na(ax+b)n−1{}= na(ax + b)^{n-1}，[{g(x)}n]′[\{g(x)\}^n]'=n{g(x)}n−1g′(x){}= n\{g(x)\}^{n-1}g'(x)
  • 第10章 公式8で「dydx\dfrac{dy}{dx} は割り算ではない」と説明しましたが、この公式は dudu を約分するように見える形になっています。これが dydx\dfrac{dy}{dx} という記号の便利なところです。

3つの歯車がかみ合っているとします。歯車 A が1回転すると B が3回転し、B が1回転すると C が2回転するなら、A が1回転したとき C は 3×23 \times 2=6{}= 6 回転します。xx が uu を動かし、uu が yy を動かすとき、yy の変化の速さは、途中の歯車ごとの倍率を掛け合わせたものになります。

合成関数の導関数は、外側の関数の導関数と中身の導関数の積であり、歯車の倍率のように変化の倍率を掛け合わせればよいということです。

例題2：合成関数の微分

次の関数を微分しなさい。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=(2x+3)5\displaystyle {}= (2x + 3)^5(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=(x2−x+1)3\displaystyle {}= (x^2 - x + 1)^3(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=1(x2+1)2\displaystyle {}= \frac{1}{(x^2 + 1)^2}

【解答】

(1) uu=2x{}= 2x+3{}+ 3 とおくと yy=u5{}= u^5 です。

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=dydu⋅dudx\displaystyle {}= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}=5u4⋅2\displaystyle {}= 5u^4 \cdot 2=10(2x+3)4‾\displaystyle {}= \underline{10(2x + 3)^4}

(2) 中身 x2x^2−x{}- x+1{}+ 1 の導関数は 2x2x−1{}- 1 なので

y′\displaystyle y'=3(x2−x+1)2⋅(2x−1)\displaystyle {}= 3(x^2 - x + 1)^2 \cdot (2x - 1)=3(2x−1)(x2−x+1)2‾\displaystyle {}= \underline{3(2x - 1)(x^2 - x + 1)^2}

(3) yy=(x2+1)−2{}= (x^2 + 1)^{-2} と見ます。

y′\displaystyle y'=−2(x2+1)−3⋅2x\displaystyle {}= -2(x^2 + 1)^{-3} \cdot 2x=−4x(x2+1)3‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{4x}{(x^2 + 1)^3}}

※ 第7章 j10 で、(x+a)n(x + a)^n の不定積分を (x+a)n+1n+1\dfrac{(x + a)^{n+1}}{n + 1}+C{}+ C としてよいと説明しました。その根拠が、中身の微分が 11 になるこの公式です。

逆関数の微分と x の r 乗

yy=x3{}= \sqrt[3]{x} は、「3乗すると xx になる数」です。yy を直接微分するのは難しくても、xx=y3{}= y^3 という逆向きの関係なら簡単に微分できます。

yy=f(x){}= f(x) を xx について解いた関係 xx=g(y){}= g(y) で、xx と yy の役割を入れかえたものを逆関数といいます（yy=x3{}= x^3 の逆関数は yy=x3{}= \sqrt[3]{x}，yy=10x{}= 10^x の逆関数は yy=log⁡10x{}= \log_{10} x）。

公式3：逆関数の微分法と x^r の導関数
dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=1dxdy\displaystyle {}= \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}}(dxdy≠0)\displaystyle \left(\frac{dx}{dy} \neq 0\right)

xx=g(y){}= g(y) の両辺を xx で微分すると、左辺は 11，右辺は合成関数の微分法から dxdy⋅dydx\dfrac{dx}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} なので、この式が得られます。

これを使うと、rr が有理数（分数）のとき、xx>0{}> 0 で

(xr)′\displaystyle (x^r)'=rxr−1\displaystyle {}= rx^{r-1}

が成り立ちます。

  • yy=x1n{}= x^{\frac{1}{n}}（nn は正の整数）のとき、xx=yn{}= y^n から dxdy\dfrac{dx}{dy}=nyn−1{}= ny^{n-1} なので
dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=1nyn−1\displaystyle {}= \frac{1}{ny^{n-1}}=1n x−n−1n\displaystyle {}= \frac{1}{n}\,x^{-\frac{n-1}{n}}=1n x1n−1\displaystyle {}= \frac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n} - 1}
  • xmnx^{\frac{m}{n}}=(x1n)m{}= \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m と見て合成関数の微分法を使えば、一般の有理数 rr=mn{}= \dfrac{m}{n} でも成り立ちます。
  • 根号は x\sqrt{x}=x12{}= x^{\frac{1}{2}}，1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x−12{}= x^{-\frac{1}{2}} のように指数の形に直してから微分します。

マラソンのランナーは、速さを「時速 12 km」ではなく、「1 km あたり 5 分」のように言うことがあります。時速 12 km は1時間に 12 km 進むことなので、1 km 進むのにかかる時間は 112\dfrac{1}{12} 時間、つまり 5 分です。どちらも同じ走りを表していて、一方がわかれば逆数でもう一方がわかります。dydx\dfrac{dy}{dx}（xx が1増えるときの yy の増え方）と dxdy\dfrac{dx}{dy}（yy が1増えるときの xx の増え方）も、このように逆数の関係です。

逆関数の導関数は、もとの向きの導関数の逆数で求められ、これを使うと (xr)′(x^r)'=rxr−1{}= rx^{r-1} が分数の rr でも成り立つということです。

例題3：根号を含む関数の微分

次の関数を微分しなさい。ただし (1)，(3) は xx>0{}> 0 とする。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=x23\displaystyle {}= \sqrt[3]{x^2}(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=x2+1\displaystyle {}= \sqrt{x^2 + 1}(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=1x\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{x}}

【解答】

(1) yy=x23{}= x^{\frac{2}{3}} なので

y′\displaystyle y'=23x−13\displaystyle {}= \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=23x3‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}}

(2) yy=(x2+1)12{}= (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} と見て、合成関数の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=12(x2+1)−12⋅2x\displaystyle {}= \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x=xx2+1‾\displaystyle {}= \underline{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}

(3) yy=x−12{}= x^{-\frac{1}{2}} なので

y′\displaystyle y'=−12x−32\displaystyle {}= -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=−12xx‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2x\sqrt{x}}}

※ 第10章 例題8 の (x)′(\sqrt{x})'=12x{}= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} は、rr=12{}= \dfrac{1}{2} の場合です。定義から苦労して求めた結果が、公式1行で出るようになりました。

三角関数の微分

三角比と三角関数の分野 第5章の小話で、「ラジアンで測ると、sin⁡\sin を微分したとき係数なしでぴったり cos⁡\cos になる」と予告しました。いよいよその計算をします。道具は、三角関数 第12章の和積の公式と、第10章 公式6の lim⁡θ→0sin⁡θθ\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\displaystyle {}= 1 です。

公式4：三角関数の導関数

xx をラジアンで測るとき

(sin⁡x)′\displaystyle (\sin x)'=cos⁡x,\displaystyle {}= \cos x,(cos⁡x)′\displaystyle (\cos x)'=−sin⁡x,\displaystyle {}= -\sin x,(tan⁡x)′\displaystyle (\tan x)'=1cos⁡2x\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2 x}

sin⁡x\sin x のわけ　和積の公式 sin⁡A\sin A−sin⁡B{}- \sin B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2{}= 2\cos\dfrac{A + B}{2}\sin\dfrac{A - B}{2} で AA=x{}= x+h{}+ h，BB=x{}= x とすると

sin⁡(x+h)−sin⁡xh\displaystyle \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}=2cos⁡(x+h2)sin⁡h2h\displaystyle {}= \frac{2\cos\left(x + \dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}=cos⁡(x+h2)⋅sin⁡h2h2\displaystyle {}= \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}

hh→0{}\to 0 のとき、cos⁡(x+h2)\cos\left(x + \dfrac{h}{2}\right)→cos⁡x{}\to \cos x，sin⁡(h/2)h/2\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}→1{}\to 1 なので、(sin⁡x)′(\sin x)'=cos⁡x{}= \cos x です。cos⁡x\cos x も cos⁡A\cos A−cos⁡B{}- \cos B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2{}= -2\sin\dfrac{A + B}{2}\sin\dfrac{A - B}{2} を使って同じように求められます。

  • (tan⁡x)′(\tan x)' は、tan⁡x\tan x=sin⁡xcos⁡x{}= \dfrac{\sin x}{\cos x} に商の微分法を使うと cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x\dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}=1cos⁡2x{}= \dfrac{1}{\cos^2 x} です。
  • (cos⁡x)′(\cos x)' だけマイナスが付きます。sin⁡3x\sin 3x のように中身があるときは、合成関数の微分法で中身の微分を掛けます（(sin⁡3x)′(\sin 3x)'=3cos⁡3x{}= 3\cos 3x）。

自転車をこいでいるとき、ペダルの高さに注目してみましょう。ペダルは円を描いて回るので、その高さは sin⁡\sin の形で上がり下がりします。ペダルがいちばん上やいちばん下にある瞬間、ペダルは真横に動いていて、高さは変わっていません。逆に、ペダルが真横（前か後ろ）に来た瞬間は、真上や真下に向かって動くので、高さがいちばん速く変わります。高さが sin⁡\sin のとき、高さの変化の速さは「頂上と底で 00，真ん中で最大」になり、これがちょうど cos⁡\cos の形です。

ラジアンで測ると、sin⁡\sin の導関数は cos⁡\cos，cos⁡\cos の導関数は −sin⁡-\sin になり、その根拠は sin⁡θθ\dfrac{\sin\theta}{\theta}→1{}\to 1 だということです。

例題4：三角関数の微分

次の関数を微分しなさい。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=sin⁡3x\displaystyle {}= \sin 3x(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=cos⁡2x\displaystyle {}= \cos^2 x(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=xsin⁡x\displaystyle {}= x\sin x+cos⁡x\displaystyle {}+ \cos x

【解答】

(1) 中身 3x3x の微分 33 を掛けます。

y′\displaystyle y'=cos⁡3x⋅3\displaystyle {}= \cos 3x \cdot 3=3cos⁡3x‾\displaystyle {}= \underline{3\cos 3x}

(2) yy=(cos⁡x)2{}= (\cos x)^2 と見て、合成関数の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=2cos⁡x⋅(−sin⁡x)\displaystyle {}= 2\cos x \cdot (-\sin x)=−2sin⁡xcos⁡x\displaystyle {}= -2\sin x\cos x=−sin⁡2x‾\displaystyle {}= \underline{-\sin 2x}

(3) xsin⁡xx\sin x には積の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=(1⋅sin⁡x+xcos⁡x)\displaystyle {}= (1 \cdot \sin x + x\cos x)+(−sin⁡x)\displaystyle {}+ (-\sin x)=xcos⁡x‾\displaystyle {}= \underline{x\cos x}

※ (3) は、sin⁡x\sin x の項がちょうど打ち消し合って、きれいな形になりました。逆に読むと「xcos⁡xx\cos x の原始関数は xsin⁡xx\sin x+cos⁡x{}+ \cos x」で、第14章の部分積分で再び出会います。

自然対数の底 e

次は指数関数 yy=ax{}= a^x の微分です。定義に従って計算してみると

ax+h−axh\displaystyle \frac{a^{x + h} - a^x}{h}=ax⋅ah−1h\displaystyle {}= a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}

となり、(ax)′(a^x)'=ax×(lim⁡h→0ah−1h){}= a^x \times \left(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right) です。最後のかっこは、yy=ax{}= a^x のグラフの点 (0, 1)(0,\ 1) における接線の傾きで、底 aa によって値が変わります。hh=0.001{}= 0.001 で計算すると、次のようになります。

底 aa2233
a0.001−10.001\dfrac{a^{0.001} - 1}{0.001}0.6934⋯0.6934\cdots1.0992⋯1.0992\cdots

底が 22 なら傾きは 11 より小さく、33 なら 11 より大きいので、22 と 33 の間に、傾きがちょうど 11 になる底があるはずです。その底を ee と書きます。底が ee なら、(ex)′(e^x)'=ex×1{}= e^x \times 1=ex{}= e^x となり、微分しても形が変わりません。

y x O 1 −1 (0, 1) y = 2x y = ex y = 3x y = x + 1 (0, 1) での接線の傾き 2x：約 0.69 ex：ちょうど 1 3x：約 1.10

yy=ex{}= e^x の点 (0, 1)(0,\ 1) での接線は yy=x{}= x+1{}+ 1 です。hh が 00 に近いとき ehe^h≒1{}\fallingdotseq 1+h{}+ h，両辺を 1h\dfrac{1}{h} 乗すると ee≒(1+h)1h{}\fallingdotseq (1 + h)^{\frac{1}{h}} となります。この「≒\fallingdotseq」を極限の等号にしたものが、ee の定義です。

公式5：自然対数の底 e と自然対数
e\displaystyle e=lim⁡h→0(1+h)1h\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}}=lim⁡n→∞(1+1n)n\displaystyle {}= \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n=2.71828⋯\displaystyle {}= 2.71828\cdots

ee を自然対数の底（ネイピア数）といいます。ee は無理数です。

nn(1+1n)n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n
1122
10102.5937⋯2.5937\cdots
1001002.7048⋯2.7048\cdots
100010002.7169⋯2.7169\cdots
10000100002.7181⋯2.7181\cdots

ee を底とする対数 log⁡ex\log_e x を自然対数といい、数学IIIでは底を省いて log⁡x\log x と書きます。

  • log⁡e\log e=1{}= 1，log⁡1\log 1=0{}= 0，elog⁡xe^{\log x}=x{}= x です。対数の性質（log⁡xy\log xy=log⁡x{}= \log x+log⁡y{}+ \log y など）は、指数・対数の分野で学んだものがそのまま使えます。
  • 常用対数は、これまでどおり log⁡10x\log_{10} x と底を書きます。log⁡ax\log_a x=log⁡xlog⁡a{}= \dfrac{\log x}{\log a}（底の変換公式）で、どの底の対数も自然対数で表せます。
  • lim⁡n→∞(1+2n)n\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n のような極限は、(1+h)1h(1 + h)^{\frac{1}{h}} の形を作って ee に結びつけます。

指数・対数の分野では、底が 1010 の常用対数を使って、大きな数の桁数を調べました。1010 という底は、私たちの指が10本で、10進法で数を書くという「人間の都合」で選ばれた数です。これに対して ee は、「(0, 1)(0,\ 1) での傾きがちょうど 11」という「微分の都合」で選ばれた数です。微分の世界では、ee を底にするのがいちばん式がすっきりします。名前に「自然」と付くのはそのためです。

ee の定義の式は、銀行の複利を思い浮かべると身近になります。年利 100%100\% の預金に 1 万円を預けると、1年後は 2 万円です。半年ごとに 50%50\% ずつ利息を付けると 1.521.5^2=2.25{}= 2.25 万円、毎月 10012%\dfrac{100}{12}\% ずつなら (1+112)12\left(1 + \dfrac{1}{12}\right)^{12}=2.613⋯{}= 2.613\cdots 万円、毎日なら (1+1365)365\left(1 + \dfrac{1}{365}\right)^{365}=2.714⋯{}= 2.714\cdots 万円と、細かく付けるほど増えます。ところが、どれほど細かくしても、2.718⋯2.718\cdots 万円、つまり ee 万円を超えることはありません。

ee は yy=ax{}= a^x の (0, 1)(0,\ 1) での傾きがちょうど 11 になる底で、(1+h)1h(1 + h)^{\frac{1}{h}} の極限として定まり、ee を底とする対数を自然対数 log⁡x\log x と書くということです。

例題5：e に関する極限

次の極限を求めなさい。

(1) lim⁡n→∞(1+2n)n\displaystyle \text{(1)}\ \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n(2) lim⁡x→0(1+3x)1x\displaystyle \text{(2)}\ \lim_{x \to 0}(1 + 3x)^{\frac{1}{x}}(3) lim⁡n→∞(1−1n)n\displaystyle \text{(3)}\ \lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n

【解答】

(1) hh=2n{}= \dfrac{2}{n} とおくと、nn→∞{}\to \infty のとき hh→+0{}\to +0 で、nn=2h{}= \dfrac{2}{h} です。

(1+2n)n\displaystyle \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n=(1+h)2h\displaystyle {}= (1 + h)^{\frac{2}{h}}={(1+h)1h}2\displaystyle {}= \left\{(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right\}^2⟶e2‾\displaystyle {}\longrightarrow \underline{e^2}

(2) hh=3x{}= 3x とおくと、xx→0{}\to 0 のとき hh→0{}\to 0 で、1x\dfrac{1}{x}=3h{}= \dfrac{3}{h} です。

(1+3x)1x\displaystyle (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}={(1+h)1h}3\displaystyle {}= \left\{(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right\}^3⟶e3‾\displaystyle {}\longrightarrow \underline{e^3}

(3) 11−1n{}- \dfrac{1}{n}=n−1n{}= \dfrac{n - 1}{n} なので、逆数にして mm=n{}= n−1{}- 1 とおくと

(1−1n)n\displaystyle \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n=1(nn−1)n\displaystyle {}= \frac{1}{\left(\dfrac{n}{n - 1}\right)^n}=1(1+1m)m(1+1m)\displaystyle {}= \frac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^m\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)}

nn→∞{}\to \infty のとき mm→∞{}\to \infty なので、極限は 1e⋅1\dfrac{1}{e \cdot 1}=1e‾{}= \underline{\dfrac{1}{e}} です。

※ (1) で「11+2n{}+ \dfrac{2}{n}→1{}\to 1 だから、11 を何乗しても 11」としてはいけません。底が 11 に近づくのと同時に、指数が ∞\infty に向かうので、1∞1^{\infty} の形は極限を調べないと値がわかりません。

対数関数の微分

ee の定義 lim⁡h→0(1+h)1h\displaystyle \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}}=e\displaystyle {}= e を使うと、対数関数がすぐに微分できます。

公式6：対数関数の導関数
(log⁡x)′\displaystyle (\log x)'=1x,\displaystyle {}= \frac{1}{x},(log⁡∣x∣)′\displaystyle (\log |x|)'=1x,\displaystyle {}= \frac{1}{x},(log⁡ax)′\displaystyle (\log_a x)'=1xlog⁡a\displaystyle {}= \frac{1}{x\log a}

わけ　xx>0{}> 0 とし、tt=hx{}= \dfrac{h}{x} とおくと、hh→0{}\to 0 のとき tt→0{}\to 0 で

log⁡(x+h)−log⁡xh\displaystyle \frac{\log(x + h) - \log x}{h}=1hlog⁡(1+hx)\displaystyle {}= \frac{1}{h}\log\left(1 + \frac{h}{x}\right)=1x⋅1tlog⁡(1+t)\displaystyle {}= \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{t}\log(1 + t)=1xlog⁡(1+t)1t\displaystyle {}= \frac{1}{x}\log(1 + t)^{\frac{1}{t}}

(1+t)1t(1 + t)^{\frac{1}{t}}→e{}\to e で、log⁡\log は連続なので（第10章 公式7）、右辺は 1xlog⁡e\dfrac{1}{x}\log e=1x{}= \dfrac{1}{x} に近づきます。

  • xx<0{}< 0 のとき、log⁡∣x∣\log|x|=log⁡(−x){}= \log(-x) を合成関数の微分法で微分すると −1−x\dfrac{-1}{-x}=1x{}= \dfrac{1}{x} なので、(log⁡∣x∣)′(\log|x|)'=1x{}= \dfrac{1}{x} は xx≠0{}\neq 0 のすべての xx で成り立ちます。
  • 合成関数の形では {log⁡∣f(x)∣}′\{\log|f(x)|\}'=f′(x)f(x){}= \dfrac{f'(x)}{f(x)}（中身の微分 ÷ 中身）です。
  • log⁡ax\log_a x=log⁡xlog⁡a{}= \dfrac{\log x}{\log a} なので、log⁡a\log a で割るだけです。自然対数なら log⁡e\log e=1{}= 1 で割るので、係数が付きません。

同じ 10 円の値上げでも、100 円のガムなら1割の値上げで大ごとですが、1000 円の本なら 1%1\% で、ほとんど気になりません。対数は「何倍になったか」を足し算で数える道具なので、同じだけ増えても、今の大きさ xx で割った「割合」の分しか増えません。(log⁡x)′(\log x)'=1x{}= \dfrac{1}{x} は、この「今の大きさで割る」ことを表しています。

自然対数の導関数は 1x\dfrac{1}{x} で、中身があるときは「中身の微分 ÷ 中身」になり、絶対値を付けても同じ形だということです。

例題6：対数関数の微分

次の関数を微分しなさい。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=log⁡(3x+1)\displaystyle {}= \log(3x + 1)(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=log⁡∣cos⁡x∣\displaystyle {}= \log|\cos x|(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=xlog⁡x\displaystyle {}= x\log x−x\displaystyle {}- x

【解答】

(1) 中身の微分 ÷ 中身 です。

y′\displaystyle y'=33x+1‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{3x + 1}}

(2) 中身 cos⁡x\cos x の導関数は −sin⁡x-\sin x なので

y′\displaystyle y'=−sin⁡xcos⁡x\displaystyle {}= \frac{-\sin x}{\cos x}=−tan⁡x‾\displaystyle {}= \underline{-\tan x}

(3) xlog⁡xx\log x に積の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=(1⋅log⁡x+x⋅1x)\displaystyle {}= \left(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}\right)−1\displaystyle {}- 1=log⁡x‾\displaystyle {}= \underline{\log x}

※ (3) を逆に読むと、log⁡x\log x の原始関数が xlog⁡xx\log x−x{}- x だとわかります。第14章の部分積分で、この結果を導きます。

指数関数の微分と対数微分法

ee は「(ex)′(e^x)'=ex{}= e^x となる底」として探したものでした。そのことを、逆関数の微分法で確かめます。

公式7：指数関数の導関数と対数微分法
(ex)′\displaystyle (e^x)'=ex,\displaystyle {}= e^x,(ax)′\displaystyle (a^x)'=axlog⁡a\displaystyle {}= a^x\log a

わけ　yy=ex{}= e^x のとき xx=log⁡y{}= \log y で、dxdy\dfrac{dx}{dy}=1y{}= \dfrac{1}{y} です。公式3より dydx\dfrac{dy}{dx}=y{}= y=ex{}= e^x。また、aa=elog⁡a{}= e^{\log a} なので axa^x=exlog⁡a{}= e^{x\log a} と書け、合成関数の微分法で (ax)′(a^x)'=exlog⁡a⋅log⁡a{}= e^{x\log a} \cdot \log a=axlog⁡a{}= a^x\log a です。

  • 自然対数の底 ee の節の表で、2x2^x の (0, 1)(0,\ 1) での傾きは 0.693⋯0.693\cdots でした。これは log⁡2\log 2=0.693⋯{}= 0.693\cdots そのものです。
  • 対数微分法：積・商・累乗が入り組んだ関数や、xxx^x のように底にも指数にも xx がある関数は、両辺の自然対数をとってから微分します。log⁡y\log y を xx で微分すると、合成関数の微分法で y′y\dfrac{y'}{y} になります。
  • 対数微分法を使うと、α\alpha がどんな実数でも、xx>0{}> 0 で (xα)′(x^\alpha)'=αxα−1{}= \alpha x^{\alpha - 1} が示せます（log⁡y\log y=αlog⁡x{}= \alpha\log x より y′y\dfrac{y'}{y}=αx{}= \dfrac{\alpha}{x}）。

雪の上で雪玉を転がすと、大きな雪玉ほど一度にたくさんの雪をくっつけて、どんどん速く大きくなります。「増える速さが、今の大きさに比例する」という増え方です。yy=ex{}= e^x は、その比例の係数がちょうど 11 の場合で、どの瞬間でも増える速さ（導関数）と今の大きさ（関数の値）が等しくなっています。

exe^x は微分しても exe^x のままで、ほかの底では log⁡a\log a が掛かり、複雑な積や xxx^x は両辺の対数をとってから微分すればよいということです。

例題7：指数関数の微分と対数微分法

次の関数を微分しなさい。ただし (3) は xx>0{}> 0 とする。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=e2x\displaystyle {}= e^{2x}(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=xe−x\displaystyle {}= xe^{-x}(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=xx\displaystyle {}= x^x

【解答】

(1) 中身 2x2x の微分 22 を掛けます。

y′\displaystyle y'=e2x⋅2\displaystyle {}= e^{2x} \cdot 2=2e2x‾\displaystyle {}= \underline{2e^{2x}}

(2) 積の微分法と、(e−x)′(e^{-x})'=e−x⋅(−1){}= e^{-x} \cdot (-1) を使います。

y′\displaystyle y'=1⋅e−x\displaystyle {}= 1 \cdot e^{-x}+x⋅(−e−x)\displaystyle {}+ x \cdot (-e^{-x})=(1−x)e−x‾\displaystyle {}= \underline{(1 - x)e^{-x}}

(3) xxx^x>0{}> 0 なので、両辺の自然対数をとると log⁡y\log y=xlog⁡x{}= x\log x。両辺を xx で微分すると

y′y\displaystyle \frac{y'}{y}=1⋅log⁡x\displaystyle {}= 1 \cdot \log x+x⋅1x\displaystyle {}+ x \cdot \frac{1}{x}=log⁡x\displaystyle {}= \log x+1\displaystyle {}+ 1

よって

y′\displaystyle y'=y(log⁡x+1)\displaystyle {}= y(\log x + 1)=xx(log⁡x+1)‾\displaystyle {}= \underline{x^x(\log x + 1)}

※ (3) を (xx)′(x^x)'=x⋅xx−1{}= x \cdot x^{x-1} や xxlog⁡xx^x\log x としてはいけません。前者は「指数が定数」、後者は「底が定数」のときの公式で、xxx^x はどちらでもありません。

高次導関数

導関数 f′(x)f'(x) も xx の関数なので、さらに微分できます。

公式8：高次導関数

yy=f(x){}= f(x) の導関数 f′(x)f'(x) をさらに微分したものを第2次導関数といい

y′′,\displaystyle y'',f′′(x),\displaystyle f''(x),d2ydx2,\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2},d2dx2f(x)\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x)

などと書きます。同じように第3次導関数 y′′′y'''，…，第 nn 次導関数 y(n)y^{(n)}，dnydxn\dfrac{d^ny}{dx^n} と続き、第2次以上をまとめて高次導関数といいます。

  • d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2} は「ddx\dfrac{d}{dx} を2回使った」ことを表す記号で、dx2dx^2 は (dx)2(dx)^2 の意味です。
  • 第 nn 次導関数を求めるときは、何回か微分して規則を見つけ、数学的帰納法（数列 第8章）で確かめます。
  • 例：(eax)(n)(e^{ax})^{(n)}=aneax{}= a^ne^{ax}，(sin⁡x)(n)(\sin x)^{(n)}=sin⁡(x+nπ2){}= \sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)（sin⁡\sin は1回微分するごとにグラフが π2\dfrac{\pi}{2} ずつ左へずれます）。

SNS のフォロワー数を思い浮かべてください。フォロワー数そのものが yy，1日あたりの増加数が y′y' です。では y′′y'' は何かというと、「増加数がどう変わっているか」、つまり人気の伸びが加速しているのか、失速しているのかを表します。増加数が毎日同じなら y′′y''=0{}= 0，日に日に増加数が増えていれば y′′y''>0{}> 0 です。第2次導関数は、変化の「勢いの変化」を見る道具で、第12章ではグラフの曲がり方を調べるのに使います。

導関数をくり返し微分したものが高次導関数で、第 nn 次導関数は規則を見つけて帰納法で確かめるということです。

例題8：高次導関数

(1) yy=xlog⁡x{}= x\log x の第2次導関数を求めなさい。

(2) yy=e−xsin⁡x{}= e^{-x}\sin x の第2次導関数を求めなさい。

(3) yy=1x{}= \dfrac{1}{x} の第 nn 次導関数を求めなさい。

【解答】

(1) y′y'=log⁡x{}= \log x+1{}+ 1 なので y′′y''=1x‾{}= \underline{\dfrac{1}{x}} です。

(2) 積の微分法を2回使います。

y′\displaystyle y'=−e−xsin⁡x\displaystyle {}= -e^{-x}\sin x+e−xcos⁡x\displaystyle {}+ e^{-x}\cos x=e−x(cos⁡x−sin⁡x)\displaystyle {}= e^{-x}(\cos x - \sin x)y′′\displaystyle y''=−e−x(cos⁡x−sin⁡x)\displaystyle {}= -e^{-x}(\cos x - \sin x)+e−x(−sin⁡x−cos⁡x)\displaystyle {}+ e^{-x}(-\sin x - \cos x)=−2e−xcos⁡x‾\displaystyle {}= \underline{-2e^{-x}\cos x}

(3) yy=x−1{}= x^{-1} を順に微分すると

y′\displaystyle y'=−x−2,\displaystyle {}= -x^{-2},y′′\displaystyle y''=2x−3,\displaystyle {}= 2x^{-3},y′′′\displaystyle y'''=−6x−4\displaystyle {}= -6x^{-4}=−3! x−4\displaystyle {}= -3!\,x^{-4}

となるので、y(n)y^{(n)}=(−1)nn! x−(n+1){}= (-1)^n n!\,x^{-(n+1)} と予想できます。nn=k{}= k で正しいとすると

y(k+1)\displaystyle y^{(k+1)}=(−1)kk!⋅{−(k+1)}x−(k+2)\displaystyle {}= (-1)^k k! \cdot \{-(k + 1)\}x^{-(k+2)}=(−1)k+1(k+1)! x−(k+2)\displaystyle {}= (-1)^{k+1}(k + 1)!\,x^{-(k+2)}

で nn=k{}= k+1{}+ 1 でも正しいので、数学的帰納法により

y(n)\displaystyle y^{(n)}=(−1)nn!xn+1‾\displaystyle {}= \underline{\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}}

※ (3) は、微分するたびに符号が入れかわり、係数が 1,1, 2,\ 2, 3,\ 3, …\ \ldots と掛かっていくので n!n! が現れます。

陰関数と媒介変数表示の微分

円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 は、yy について解くと yy=±25−x2{}= \pm\sqrt{25 - x^2} と2つに分かれてしまいます。このように、yy=f(x){}= f(x) の形に解けていない関係式で表された曲線でも、dydx\dfrac{dy}{dx} は求められます。

公式9：陰関数・媒介変数表示の関数の導関数

陰関数　xx と yy の関係式 F(x, y)F(x,\ y)=0{}= 0 で yy が xx の関数として定まっているとき、yy を「xx の関数」と見て、両辺をそのまま xx で微分します。y2y^2 のように yy を含む項は、合成関数の微分法で

ddxy2\displaystyle \frac{d}{dx}y^2=2y dydx\displaystyle {}= 2y\,\frac{dy}{dx}

となります。

媒介変数表示　xx=f(t){}= f(t)，yy=g(t){}= g(t) で表された曲線では

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=dydtdxdt\displaystyle {}= \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}(dxdt≠0)\displaystyle \left(\frac{dx}{dt} \neq 0\right)
  • 陰関数の導関数は、ふつう xx と yy の両方を含む式になります。点が与えられたら、xx，yy の値を代入して傾きを求めます。
  • tt のように、xx と yy の仲立ちをする文字を媒介変数といいます。dydx\dfrac{dy}{dx} は tt の式のままで答えてかまいません。
  • 媒介変数表示の式は、合成関数の微分法 dydt\dfrac{dy}{dt}=dydx⋅dxdt{}= \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} を、dydx\dfrac{dy}{dx} について解いたものです。

陰関数の微分は、つり合った天秤を思い浮かべるとわかりやすくなります。xx がどう動いても、左右の皿がいつもつり合っている（左辺＝右辺）なら、左の皿の重さの変化と右の皿の重さの変化も等しいはずです。だから、両辺を同時に微分してよいのです。

媒介変数表示は、空を飛ぶドローンの記録にたとえられます。時刻 tt ごとに「東へ毎秒 4 m，北へ毎秒 3 m」と記録されていれば、ドローンの進む向きの傾きは、北への速さ ÷ 東への速さ =34= \dfrac{3}{4} です。dydt÷dxdt\dfrac{dy}{dt} \div \dfrac{dx}{dt} は、この割り算そのものです。

yy について解けていない曲線は、yy を xx の関数と見て両辺を微分し、媒介変数表示の曲線は、yy の速さを xx の速さで割れば dydx\dfrac{dy}{dx} が求められるということです。

例題9：陰関数・媒介変数表示と接線

(1) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 上の点 (3, 4)(3,\ 4) における接線の方程式を求めなさい。

(2) 媒介変数 tt を用いて xx=2cos⁡t{}= 2\cos t，yy=sin⁡t{}= \sin t と表された曲線（楕円）について、tt=π4{}= \dfrac{\pi}{4} に対応する点における接線の方程式を求めなさい。

【解答】

(1) 両辺を xx で微分すると

2x\displaystyle 2x+2y dydx\displaystyle {}+ 2y\,\frac{dy}{dx}=0\displaystyle {}= 0より\displaystyle \text{より}dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=−xy\displaystyle {}= -\frac{x}{y}(y≠0)\displaystyle (y \neq 0)

点 (3, 4)(3,\ 4) での傾きは −34-\dfrac{3}{4} なので、接線は yy−4{}- 4=−34(x−3){}= -\dfrac{3}{4}(x - 3)，つまり

y=−34x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = -\frac{3}{4}x}+254‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{25}{4}}

(2) dxdt\dfrac{dx}{dt}=−2sin⁡t{}= -2\sin t，dydt\dfrac{dy}{dt}=cos⁡t{}= \cos t なので

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=cos⁡t−2sin⁡t\displaystyle {}= \frac{\cos t}{-2\sin t}

tt=π4{}= \dfrac{\pi}{4} のとき、点は (2, 22)\left(\sqrt{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)，傾きは 22−2\dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\sqrt{2}}=−12{}= -\dfrac{1}{2} です。接線は yy−22{}- \dfrac{\sqrt{2}}{2}=−12(x−2){}= -\dfrac{1}{2}(x - \sqrt{2})，つまり

y=−12x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = -\frac{1}{2}x}+2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \sqrt{2}}

※ (1) の傾き −34-\dfrac{3}{4} は、半径の傾き 43\dfrac{4}{3} と掛けて −1-1 になります。「円の接線は半径に垂直」という図形の性質と、微分の結果がぴったり合っています。

この章のまとめと第12章へ

この章で、数学IIIで出てくる関数はすべて微分できるようになりました。組み立ての規則（積・商・合成・逆関数）と、部品の導関数（xαx^\alpha，sin⁡x\sin x，cos⁡x\cos x，tan⁡x\tan x，exe^x，log⁡x\log x）の組み合わせで、どんな複雑な関数も微分できます。

関数導関数
xαx^\alphaαxα−1\alpha x^{\alpha - 1}
sin⁡x\sin x，cos⁡x\cos x，tan⁡x\tan xcos⁡x\cos x，−sin⁡x-\sin x，1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}
exe^x，axa^xexe^x，axlog⁡aa^x\log a
log⁡∣x∣\log\lvert x\rvert，log⁡a∣x∣\log_a\lvert x\rvert1x\dfrac{1}{x}，1xlog⁡a\dfrac{1}{x\log a}

次の第12章では、これらの道具で yy=xe−x{}= xe^{-x} や yy=log⁡xx{}= \dfrac{\log x}{x} のようなグラフの増減を調べ、第2次導関数を使ってグラフの曲がり方（凹凸）まで描き分けます。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

yy=1x2{}= \dfrac{1}{x^2} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

yy=x−2{}= x^{-2} なので y′y'=−2x−3{}= -2x^{-3}=−2x3‾{}= \underline{-\dfrac{2}{x^3}}

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問2

yy=(3x−1)4{}= (3x - 1)^4 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

中身の微分 33 を掛けて y′y'=4(3x−1)3⋅3{}= 4(3x - 1)^3 \cdot 3=12(3x−1)3‾{}= \underline{12(3x - 1)^3}

自己採点：
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問3

yy=cos⁡2x{}= \cos 2x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=−sin⁡2x⋅2{}= -\sin 2x \cdot 2=−2sin⁡2x‾{}= \underline{-2\sin 2x}

自己採点：
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問4

yy=e3x{}= e^{3x} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=e3x⋅3{}= e^{3x} \cdot 3=3e3x‾{}= \underline{3e^{3x}}

自己採点：
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問5

xx>0{}> 0 のとき、yy=log⁡2x{}= \log 2x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=22x{}= \dfrac{2}{2x}=1x‾{}= \underline{\dfrac{1}{x}}（log⁡2x\log 2x=log⁡2{}= \log 2+log⁡x{}+ \log x と考えても同じ）

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

yy=(x2+2)(x3−1){}= (x^2 + 2)(x^3 - 1) の導関数を、積の微分法を用いて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=5x4{}= 5x^4+6x2{}+ 6x^2−2x{}- 2x

解説

前を微分して後ろはそのまま ＋ 前はそのままで後ろを微分 です。

y′\displaystyle y'=2x(x3−1)\displaystyle {}= 2x(x^3 - 1)+(x2+2)⋅3x2\displaystyle {}+ (x^2 + 2) \cdot 3x^2=2x4\displaystyle {}= 2x^4−2x\displaystyle {}- 2x+3x4\displaystyle {}+ 3x^4+6x2\displaystyle {}+ 6x^2=5x4‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}5x^4}+6x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 6x^2}−2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 2x}

（展開して yy=x5{}= x^5+2x3{}+ 2x^3−x2{}- x^2−2{}- 2 を微分しても同じ答えになります。）

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問2　★

yy=x+1x−2{}= \dfrac{x + 1}{x - 2} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=−3(x−2)2{}= -\dfrac{3}{(x - 2)^2}

解説

商の微分法で、分子は「分子の微分 × 分母 − 分子 × 分母の微分」です。

y′\displaystyle y'=1⋅(x−2)−(x+1)⋅1(x−2)2\displaystyle {}= \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2}=−3(x−2)2‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{3}{(x - 2)^2}}
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問3　★

yy=(x2+3)4{}= (x^2 + 3)^4 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=8x(x2+3)3{}= 8x(x^2 + 3)^3

解説

外側（4乗）を微分して、中身 x2x^2+3{}+ 3 の微分 2x2x を掛けます。

y′\displaystyle y'=4(x2+3)3⋅2x\displaystyle {}= 4(x^2 + 3)^3 \cdot 2x=8x(x2+3)3‾\displaystyle {}= \underline{8x(x^2 + 3)^3}
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問4　★

yy=2x+5{}= \sqrt{2x + 5} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=12x+5{}= \dfrac{1}{\sqrt{2x + 5}}

解説

yy=(2x+5)12{}= (2x + 5)^{\frac{1}{2}} と指数の形に直します。

y′\displaystyle y'=12(2x+5)−12⋅2\displaystyle {}= \frac{1}{2}(2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2=12x+5‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{\sqrt{2x + 5}}}
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問5　★

yy=sin⁡2x{}= \sin^2 x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2sin⁡xcos⁡x{}= 2\sin x\cos x（=sin⁡2x= \sin 2x）

解説

yy=(sin⁡x)2{}= (\sin x)^2 と見て、合成関数の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=2sin⁡x⋅cos⁡x\displaystyle {}= 2\sin x \cdot \cos x=sin⁡2x‾\displaystyle {}= \underline{\sin 2x}

（2倍角の公式 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x=sin⁡2x{}= \sin 2x でまとめました。2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x のままでも正解です。例題4(2) の cos⁡2x\cos^2 x と符号が逆になっています。）

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問6　★

yy=tan⁡3x{}= \tan 3x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=3cos⁡23x{}= \dfrac{3}{\cos^2 3x}

解説

(tan⁡u)′(\tan u)'=1cos⁡2u{}= \dfrac{1}{\cos^2 u} に、中身 3x3x の微分 33 を掛けます。

y′\displaystyle y'=1cos⁡23x⋅3\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2 3x} \cdot 3=3cos⁡23x‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{\cos^2 3x}}
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問7　★

yy=e−x2{}= e^{-x^2} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=−2xe−x2{}= -2xe^{-x^2}

解説

(eu)′(e^u)'=eu{}= e^u に、中身 −x2-x^2 の微分 −2x-2x を掛けます。

y′\displaystyle y'=e−x2⋅(−2x)\displaystyle {}= e^{-x^2} \cdot (-2x)=−2xe−x2‾\displaystyle {}= \underline{-2xe^{-x^2}}

（第7章の小話で「e−x2e^{-x^2} の原始関数は式で書けない」と紹介した関数です。微分なら、このように簡単に計算できます。）

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問8　★

yy=log⁡(x2+1){}= \log(x^2 + 1) の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2xx2+1{}= \dfrac{2x}{x^2 + 1}

解説

x2x^2+1{}+ 1>0{}> 0 なので、そのまま「中身の微分 ÷ 中身」です。

y′\displaystyle y'=2xx2+1‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2x}{x^2 + 1}}
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問9　★★

微分係数の定義を用いて、極限 lim⁡x→0e3x−1x\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - 1}{x} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

33

解説

f(x)f(x)=e3x{}= e^{3x} とおくと f(0)f(0)=1{}= 1 なので、与えられた式は xx=0{}= 0 における微分係数の定義そのものです。

lim⁡x→0e3x−1x\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - 1}{x}=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle {}= \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=f′(0)\displaystyle {}= f'(0)

f′(x)f'(x)=3e3x{}= 3e^{3x} より f′(0)f'(0)=3{}= 3 なので、極限は 3‾\underline{3} です。

（「極限の式を、ある関数の微分係数と見る」のは、ee や log⁡\log を含む極限でよく使う方法です。同じように lim⁡x→0log⁡(1+x)x\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x}=(log⁡x)′∣x=1=1\displaystyle {}= (\log x)'\Big|_{x=1} = 1 もわかります。）

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問10　★★

yy=sin⁡x1+cos⁡x{}= \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=11+cos⁡x{}= \dfrac{1}{1 + \cos x}

解説

商の微分法を使います。分母は (1+cos⁡x)2(1 + \cos x)^2、分子は

cos⁡x(1+cos⁡x)\displaystyle \cos x(1 + \cos x)−sin⁡x⋅(−sin⁡x)\displaystyle {}- \sin x \cdot (-\sin x)=cos⁡x\displaystyle {}= \cos x+cos⁡2x\displaystyle {}+ \cos^2 x+sin⁡2x\displaystyle {}+ \sin^2 x

です。cos⁡2x\cos^2 x+sin⁡2x{}+ \sin^2 x=1{}= 1 なので、分子は 11+cos⁡x{}+ \cos x になり、1つ約分できます。

y′\displaystyle y'=1+cos⁡x(1+cos⁡x)2\displaystyle {}= \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2}=11+cos⁡x‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{1 + \cos x}}
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問11　★★

yy=log⁡∣x−1x+1∣{}= \log\left|\dfrac{x - 1}{x + 1}\right| の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2x2−1{}= \dfrac{2}{x^2 - 1}

解説

対数の性質で、商を差に分けてから微分すると楽です。

y\displaystyle y=log⁡∣x−1∣\displaystyle {}= \log|x - 1|−log⁡∣x+1∣\displaystyle {}- \log|x + 1|

(log⁡∣x∣)′(\log|x|)'=1x{}= \dfrac{1}{x} の形なので

y′\displaystyle y'=1x−1\displaystyle {}= \frac{1}{x - 1}−1x+1\displaystyle {}- \frac{1}{x + 1}=(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)\displaystyle {}= \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=2x2−1‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{x^2 - 1}}

（商の微分法を先に使うより、ずっと計算が短くなります。絶対値が付いていても、公式6のとおり微分の形は変わりません。）

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問12　★★

xx>1{}> 1 のとき、yy=(x+1)3(x−1)2{}= \dfrac{(x + 1)^3}{(x - 1)^2} の導関数を、対数微分法を用いて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=(x+1)2(x−5)(x−1)3{}= \dfrac{(x + 1)^2(x - 5)}{(x - 1)^3}

解説

xx>1{}> 1 で yy>0{}> 0 なので、両辺の自然対数をとります。

log⁡y\displaystyle \log y=3log⁡(x+1)\displaystyle {}= 3\log(x + 1)−2log⁡(x−1)\displaystyle {}- 2\log(x - 1)

両辺を xx で微分すると

y′y\displaystyle \frac{y'}{y}=3x+1\displaystyle {}= \frac{3}{x + 1}−2x−1\displaystyle {}- \frac{2}{x - 1}=3(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)\displaystyle {}= \frac{3(x - 1) - 2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}=x−5(x+1)(x−1)\displaystyle {}= \frac{x - 5}{(x + 1)(x - 1)}

よって

y′\displaystyle y'=(x+1)3(x−1)2⋅x−5(x+1)(x−1)\displaystyle {}= \frac{(x + 1)^3}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x - 5}{(x + 1)(x - 1)}=(x+1)2(x−5)(x−1)3‾\displaystyle {}= \underline{\frac{(x + 1)^2(x - 5)}{(x - 1)^3}}

（商の微分法で求めても同じ結果になります。xx>1{}> 1 でなくても、log⁡∣y∣\log|y| をとれば同じ計算ができます。）

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問13　★★

yy=x⋅2x{}= x \cdot 2^x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2x(1+xlog⁡2){}= 2^x(1 + x\log 2)

解説

(2x)′(2^x)'=2xlog⁡2{}= 2^x\log 2 と積の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=1⋅2x\displaystyle {}= 1 \cdot 2^x+x⋅2xlog⁡2\displaystyle {}+ x \cdot 2^x\log 2=2x(1+xlog⁡2)‾\displaystyle {}= \underline{2^x(1 + x\log 2)}

（log⁡2\log 2 は自然対数です。log⁡102\log_{10} 2=0.3010{}= 0.3010 と取り違えないようにしましょう。）

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問14　★★

曲線 yy=log⁡x{}= \log x の接線のうち、原点を通るものの方程式と、その接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

接線 yy=1ex{}= \dfrac{1}{e}x，接点 (e, 1)(e,\ 1)

解説

第3章と同じく、接点を (t, log⁡t)(t,\ \log t)（tt>0{}> 0）とおきます。y′y'=1x{}= \dfrac{1}{x} なので、接線は

y\displaystyle y−log⁡t\displaystyle {}- \log t=1t(x−t)\displaystyle {}= \frac{1}{t}(x - t)つまり\displaystyle \text{つまり}y\displaystyle y=1tx\displaystyle {}= \frac{1}{t}x−1\displaystyle {}- 1+log⁡t\displaystyle {}+ \log t

これが原点を通るので 00=−1{}= -1+log⁡t{}+ \log t，log⁡t\log t=1{}= 1 より tt=e{}= e です。

接線 y=1ex,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\text{接線}\ y = \frac{1}{e}x,}接点 (e, 1)‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \text{接点}\ (e,\ 1)}

（log⁡t\log t=1{}= 1 は「ee の何乗が tt か」が 11 ということなので、tt=e1{}= e^1=e{}= e です。）

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問15　★★

曲線 x2x^2−xy{}- xy+y2{}+ y^2=3{}= 3 上の点 (−1, 1)(-1,\ 1) における接線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

yy=x{}= x+2{}+ 2

解説

yy を xx の関数と見て、両辺を xx で微分します。xyxy には積の微分法を使うので (xy)′(xy)'=y{}= y+xy′{}+ xy' です。

2x\displaystyle 2x−(y+xy′)\displaystyle {}- (y + xy')+2yy′\displaystyle {}+ 2yy'=0\displaystyle {}= 0より\displaystyle \text{より}(2y−x)y′\displaystyle (2y - x)y'=y\displaystyle {}= y−2x\displaystyle {}- 2x

点 (−1, 1)(-1,\ 1) を代入すると (2+1)y′(2 + 1)y'=1{}= 1+2{}+ 2，y′y'=1{}= 1 です。接線は yy−1{}- 1=1⋅(x+1){}= 1 \cdot (x + 1)，つまり

y=x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}y = x}+2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}+ 2}

（y′y' を xx，yy の式 y−2x2y−x\dfrac{y - 2x}{2y - x} にしてから代入しても同じです。点の値を先に代入すると、計算が短くなります。）

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問16　★★

媒介変数 tt を用いて xx=t{}= t−sin⁡t{}- \sin t，yy=1{}= 1−cos⁡t{}- \cos t（00<t{}< t<2π{}< 2\pi）と表された曲線について、dydx\dfrac{dy}{dx} を tt の式で表し、tt=π2{}= \dfrac{\pi}{2} のときの値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

dydx\dfrac{dy}{dx}=sin⁡t1−cos⁡t{}= \dfrac{\sin t}{1 - \cos t}，tt=π2{}= \dfrac{\pi}{2} のとき 11

解説

dxdt\dfrac{dx}{dt}=1{}= 1−cos⁡t{}- \cos t，dydt\dfrac{dy}{dt}=sin⁡t{}= \sin t です。00<t{}< t<2π{}< 2\pi では 11−cos⁡t{}- \cos t≠0{}\neq 0 なので

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=dydtdxdt\displaystyle {}= \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=sin⁡t1−cos⁡t‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sin t}{1 - \cos t}}

tt=π2{}= \dfrac{\pi}{2} のとき 11−0\dfrac{1}{1 - 0}=1‾{}= \underline{1} です。

（この曲線は、半径 11 の円が xx 軸の上を転がるとき、円周上の1点が描くサイクロイドです。第10章の小話で、ホイヘンスが振り子時計に使った曲線として登場しました。）

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問17　★★★

yy=xex{}= xe^x の第 nn 次導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y(n)y^{(n)}=(x+n)ex{}= (x + n)e^x

解説

何回か微分して規則を探します。

y′\displaystyle y'=ex\displaystyle {}= e^x+xex\displaystyle {}+ xe^x=(x+1)ex,\displaystyle {}= (x + 1)e^x,y′′\displaystyle y''=ex\displaystyle {}= e^x+(x+1)ex\displaystyle {}+ (x + 1)e^x=(x+2)ex\displaystyle {}= (x + 2)e^x

1回微分するごとに、かっこの中が 11 ずつ増えるので、y(n)y^{(n)}=(x+n)ex{}= (x + n)e^x と予想できます。

[1] nn=1{}= 1 のとき、y′y'=(x+1)ex{}= (x + 1)e^x で成り立ちます。

[2] nn=k{}= k のとき y(k)y^{(k)}=(x+k)ex{}= (x + k)e^x が成り立つとすると

y(k+1)\displaystyle y^{(k+1)}={(x+k)ex}′\displaystyle {}= \{(x + k)e^x\}'=1⋅ex\displaystyle {}= 1 \cdot e^x+(x+k)ex\displaystyle {}+ (x + k)e^x={x+(k+1)}ex\displaystyle {}= \{x + (k + 1)\}e^x

で、nn=k{}= k+1{}+ 1 のときも成り立ちます。

[1]，[2] より、すべての自然数 nn について

y(n)\displaystyle y^{(n)}=(x+n)ex‾\displaystyle {}= \underline{(x + n)e^x}
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問18　★★★

yy=log⁡(x+x2+1){}= \log\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=1x2+1{}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

解説

x2+1\sqrt{x^2 + 1}>x2{}> \sqrt{x^2}=∣x∣{}= |x|≧−x{}\geqq -x なので、中身 xx+x2+1{}+ \sqrt{x^2 + 1} はつねに正です。

中身の導関数は、例題3(2) より

(x+x2+1)′\displaystyle \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)'=1\displaystyle {}= 1+xx2+1\displaystyle {}+ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}=x2+1+xx2+1\displaystyle {}= \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}

「中身の微分 ÷ 中身」なので、分子の x2+1\sqrt{x^2 + 1}+x{}+ x と中身がちょうど約分できます。

y′\displaystyle y'=x2+1+xx2+1⋅1x+x2+1\displaystyle {}= \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}=1x2+1‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}

（複雑な関数の導関数が、驚くほど簡単になりました。逆に読むと 1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} の原始関数がこの関数だとわかり、第14章以降の積分で役に立ちます。）

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問19　★★★

−π2-\dfrac{\pi}{2}≦x{}\leqq x≦π2{}\leqq \dfrac{\pi}{2} で定義された関数 yy=sin⁡x{}= \sin x の逆関数を yy=g(x){}= g(x) とする。−1-1<x{}< x<1{}< 1 のとき、g′(x)g'(x) を xx の式で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

g′(x)g'(x)=11−x2{}= \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

解説

yy=g(x){}= g(x) は xx=sin⁡y{}= \sin y（−π2-\dfrac{\pi}{2}≦y{}\leqq y≦π2{}\leqq \dfrac{\pi}{2}）と同じことです。−1-1<x{}< x<1{}< 1 のとき −π2-\dfrac{\pi}{2}<y{}< y<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で

dxdy\displaystyle \frac{dx}{dy}=cos⁡y\displaystyle {}= \cos y>0\displaystyle {}> 0

なので、逆関数の微分法より dydx\dfrac{dy}{dx}=1cos⁡y{}= \dfrac{1}{\cos y} です。これを xx で表します。cos⁡y\cos y>0{}> 0 なので

cos⁡y\displaystyle \cos y=1−sin⁡2y\displaystyle {}= \sqrt{1 - \sin^2 y}=1−x2\displaystyle {}= \sqrt{1 - x^2}

よって

g′(x)\displaystyle g'(x)=11−x2‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}

（cos⁡y\cos y の符号を決めるために、yy の範囲 −π2-\dfrac{\pi}{2}<y{}< y<π2{}< \dfrac{\pi}{2} が大切です。範囲を決めずに cos⁡y\cos y=±1−x2{}= \pm\sqrt{1 - x^2} としてしまうと、答えが1つに定まりません。）

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問20　★★★

(1) すべての実数 xx について、不等式 exe^x≧1{}\geqq 1+x{}+ x が成り立つことを示しなさい。

(2) (1) を用いて、xx>0{}> 0 のとき、不等式 log⁡x\log x≦x{}\leqq x−1{}- 1 が成り立つことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) f(x)f(x)=ex{}= e^x−1{}- 1−x{}- x の最小値が f(0)f(0)=0{}= 0 であることから示される（等号は xx=0{}= 0）。(2) (1) の xx に log⁡x\log x を代入して示される（等号は xx=1{}= 1）。

解説

(1) 第6章と同じく、差 f(x)f(x)=ex{}= e^x−(1+x){}- (1 + x) の最小値を調べます。f′(x)f'(x)=ex{}= e^x−1{}- 1 で、exe^x は増加関数なので、f′(x)f'(x)<0{}< 0  ⟺  x{}\iff x<0{}< 0，f′(x)f'(x)>0{}> 0  ⟺  x{}\iff x>0{}> 0 です。

xx⋯\cdots00⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-00++
f(x)f(x)↘\searrow極小 00↗\nearrow

f(x)f(x) は xx=0{}= 0 で最小値 f(0)f(0)=1{}= 1−1{}- 1−0{}- 0=0{}= 0 をとるので、すべての xx で f(x)f(x)≧0{}\geqq 0，つまり exe^x≧1{}\geqq 1+x{}+ x です。等号は xx=0{}= 0 のときに限り成り立ちます。（証明終）

(2) xx>0{}> 0 のとき log⁡x\log x は実数なので、(1) の不等式の xx に log⁡x\log x を代入できます。

elog⁡x\displaystyle e^{\log x}≧1\displaystyle {}\geqq 1+log⁡x\displaystyle {}+ \log x

elog⁡xe^{\log x}=x{}= x なので xx≧1{}\geqq 1+log⁡x{}+ \log x，つまり log⁡x\log x≦x{}\leqq x−1{}- 1 です。等号は log⁡x\log x=0{}= 0，つまり xx=1{}= 1 のときに限り成り立ちます。（証明終）

（(1) は、yy=ex{}= e^x のグラフが点 (0, 1)(0,\ 1) での接線 yy=x{}= x+1{}+ 1 より下に来ないこと、(2) は、yy=log⁡x{}= \log x のグラフが点 (1, 0)(1,\ 0) での接線 yy=x{}= x−1{}- 1 より上に来ないことを表しています。2つのグラフは直線 yy=x{}= x について対称なので、2つの不等式は同じことを別の側から見たものです。）

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数学小話コーナー

e に名前が付くまで

円周率 π\pi は古代から知られていましたが、ee が1つの数として意識されるようになったのは、ずっと後のことです。

指数・対数の分野 第4章の小話で、1614年にネイピアが対数表を作ったとき、11−10−7{}- 10^{-7} という 11 にごく近い数をくり返し掛けたことを紹介しました。実は、この数を 10710^7 回掛けた (1−10−7)107(1 - 10^{-7})^{10^7} は、例題5(3) の極限と同じ形で、ほぼ 1e\dfrac{1}{e} になります。ネイピア自身は ee という数を取り出していませんが、彼の表の奥には、はじめから ee が隠れていたのです。ee が「ネイピア数」と呼ばれるのは、このためです。

ee そのものの値に最初に迫ったのは、スイスのヤコブ・ベルヌーイだとされています。1683年、本文の「利息を細かく付ける」問題を考え、(1+1n)n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n が 22 と 33 の間のある数に近づくことを見抜きました。

この数に ee という文字を与えたのは、レオンハルト・オイラーです。1730年前後の原稿や手紙で ee を使い始め、1748年の著書『無限解析入門』で広く知られるようになりました。なぜ ee なのかについては、「exponential（指数の）の頭文字」「オイラー（Euler）の頭文字」「aa，bb，cc，dd がすでに別の意味で使われていたから」など諸説あり、本人は理由を書き残していません。オイラーは ee を小数点以下 23 桁まで計算し、さらに ee が無理数であることも示しました。

豆知識

ee=2.718281828459045⋯{}= 2.718281828459045\cdots には、「フナ一鉢二鉢一鉢二鉢、至極惜しい」という語呂合わせがあります（フナ＝2.72.7，一鉢＝1818，二鉢＝2828，…）。18281828 が2回くり返されるのは偶然で、その先に同じ規則が続くわけではありません。

電線が描く曲線 — カテナリー

電柱と電柱の間に張られた電線や、両手で端を持ったネックレスは、真ん中が少し垂れ下がった曲線を描きます。一見すると放物線のようですが、実は違う曲線で、カテナリー（懸垂線）と呼ばれます。ラテン語の catena（鎖）が語源です。

17世紀の初めにガリレオは、垂れ下がった鎖の形が放物線に近いと書き残しました（ガリレオがこれをどこまで放物線と同じものと考えていたかには、諸説あります）。本当の形が求められたのは1691年のことで、ヤコブ・ベルヌーイの出した懸賞問題に、ライプニッツ、ホイヘンス、ヨハン・ベルヌーイ（ヤコブの弟）の3人が答えを寄せました。その答えを今の記号で書くと

y\displaystyle y=a2(exa+e−xa)\displaystyle {}= \frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)

となります（aa は、ひもの張り具合で決まる正の定数）。重さがひも全体に均等にかかると、この形になるのです。exe^x と e−xe^{-x} を平均した形なので、この章で学んだ exe^x の導関数があれば、グラフの傾きもすぐに計算できます。

放物線は、橋の荷重のように「横方向に均等に」重さがかかる場合の形で、ひもの長さに沿って重さがかかる電線とは、条件が少し違います。電線の垂れ下がりが小さい間は、2つの曲線はほとんど区別がつきません。

豆知識

カテナリーを上下さかさまにすると、自分の重さを圧縮の力だけで支える、丈夫なアーチの形になります。アメリカのセントルイスにある高さ 192 m のゲートウェイ・アーチは、この形をもとに設計されています（根元が太いので、正確には少し変形したカテナリーです）。

プレゼント交換と 1/e

クラスでプレゼント交換をします。全員が1つずつプレゼントを持ち寄って箱に入れ、よく混ぜてから1つずつ引きます。このとき、「誰も自分のプレゼントを引かない」確率はどれくらいでしょうか。

人数が少ないときに数えてみます。2人なら、交換が起こる1通りだけで、確率は 12\dfrac{1}{2}。3人なら、全 66 通りのうち 22 通りで 13\dfrac{1}{3}。4人なら 924\dfrac{9}{24}=0.375{}= 0.375，5人なら 44120\dfrac{44}{120}=0.3666⋯{}= 0.3666\cdots です。人数が増えると、確率はある値のまわりで揺れながら落ち着いていきます。その行き先が

1e\displaystyle \frac{1}{e}=0.3678⋯\displaystyle {}= 0.3678\cdots

です。人数が 10 人でも 1000 人でも、確率はほとんど 36.8%36.8\% のまま変わりません。人数が増えると「自分のを引く」危険がある人も増えますが、1人あたりの危険は減るので、ちょうど打ち消し合うのです。この問題は、1708年にフランスのモンモールが、トランプを使った「一致の問題」として研究しました。

(1−1n)n\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n→1e{}\to \dfrac{1}{e}（例題5(3)）も、「nn 人それぞれが確率 1n\dfrac{1}{n} で自分のを引く」と大ざっぱに考えたときの「誰も引かない確率」で、同じ 1e\dfrac{1}{e} に近づきます。

豆知識

1e\dfrac{1}{e} は「秘書問題」にも現れます。nn 人の応募者と1人ずつ面接し、その場で採用か不採用かを決めなければならないとき、最初の約 37%37\%（1e\dfrac{1}{e} の割合）の人は見送って基準を作り、その後で「それまでの誰よりもよい人」が来たら採用する、という作戦をとると、最もよい人を選べる確率が約 37%37\% になり、これが最善だと知られています。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、本文の公式を正しく使えれば十分です。ここでは、本文で「わけ」を省いたり、ざっくり説明したりしたところ——ee がきちんと存在すること、合成関数の微分法の Δu\Delta u=0{}= 0 の問題、逆関数が微分できる条件——を補い、exe^x が「微分しても変わらない」ただ1つの関数であることを示します。

定義1：自然対数の底 e

数列 ana_n=(1+1n)n{}= \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n（nn=1,{}= 1, 2,\ 2, 3,\ 3, …\ \ldots）の極限を ee と定める。

e\displaystyle e=lim⁡n→∞(1+1n)n\displaystyle {}= \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

この定義は、極限が本当に存在するときにだけ意味をもちます。そこで、第10章 厳密定義の定理2（単調で有界な数列は収束する）を使って、収束することを示します。

定理1：(1 + 1/n)ⁿ は増加し、3 を超えない

数列 ana_n=(1+1n)n{}= \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n は増加で、すべての nn について 22≦an{}\leqq a_n<3{}< 3 である。したがって {an}\{a_n\} は収束し、その極限 ee は 22<e{}< e≦3{}\leqq 3 を満たす。

証明　二項定理で展開すると

an\displaystyle a_n=∑k=0nnCk1nk\displaystyle {}= \sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k\frac{1}{n^k}=1\displaystyle {}= 1+1\displaystyle {}+ 1+∑k=2n1k!(1−1n)\displaystyle {}+ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)×(1−2n)⋯(1−k−1n)\displaystyle \qquad \times \left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)

（nCk1nk{}_n\mathrm{C}_k\dfrac{1}{n^k}=1k!⋅nn⋅n−1n⋯n−k+1n{}= \dfrac{1}{k!} \cdot \dfrac{n}{n} \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdots \dfrac{n - k + 1}{n} を使った。）

増加であること　an+1a_{n+1} も同じように展開すると、各項のかっこ (1−jn)\left(1 - \dfrac{j}{n}\right) が、より大きい (1−jn+1)\left(1 - \dfrac{j}{n + 1}\right) に変わり、さらに kk=n{}= n+1{}+ 1 の正の項が1つ加わる。よって ana_n<an+1{}< a_{n+1} である。

3 を超えないこと　かっこはどれも 11 以下なので、kk≧2{}\geqq 2 で k!k!≧2k−1{}\geqq 2^{k-1} を使うと

an\displaystyle a_n≦1\displaystyle {}\leqq 1+1\displaystyle {}+ 1+12!\displaystyle {}+ \frac{1}{2!}+⋯\displaystyle {}+ \cdots+1n!\displaystyle {}+ \frac{1}{n!}≦1\displaystyle {}\leqq 1+1\displaystyle {}+ 1+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}+122\displaystyle {}+ \frac{1}{2^2}+⋯\displaystyle {}+ \cdots+12n−1\displaystyle {}+ \frac{1}{2^{n-1}}<1\displaystyle {}< 1+11−12\displaystyle {}+ \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}=3\displaystyle {}= 3

また a1a_1=2{}= 2 で増加なので ana_n≧2{}\geqq 2。第10章の定理2より {an}\{a_n\} は収束し、ee は 22<e{}< e≦3{}\leqq 3 を満たす（a2a_2=2.25{}= 2.25 で増加なので、ee>2{}> 2）。（証明終）

本文の公式5では、hh が整数の逆数に限らない lim⁡h→0(1+h)1h\displaystyle \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}}=e\displaystyle {}= e も使いました。hh→+0{}\to +0 の場合は、nn≦1h{}\leqq \dfrac{1}{h}<n{}< n+1{}+ 1 となる自然数 nn をとると

(1+1n+1)n\displaystyle \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^n<(1+h)1h\displaystyle {}< (1 + h)^{\frac{1}{h}}<(1+1n)n+1\displaystyle {}< \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}

で、両端はどちらも ee に近づくので、はさみうちの原理から示せます。hh→−0{}\to -0 の場合も、hh=−t1+t{}= -\dfrac{t}{1 + t} とおきかえると hh→+0{}\to +0 の場合に帰着できます（計算は略）。

定理2：合成関数の微分法

uu=g(x){}= g(x) が xx=a{}= a で微分可能で、yy=f(u){}= f(u) が uu=b{}= b=g(a){}= g(a) で微分可能ならば、yy=f(g(x)){}= f(g(x)) は xx=a{}= a で微分可能で、微分係数は f′(b) g′(a)f'(b)\,g'(a) である。

証明　本文の「わけ」では ΔyΔu\dfrac{\Delta y}{\Delta u} を使ったが、xx が aa の近くでも Δu\Delta u=g(x){}= g(x)−g(a){}- g(a)=0{}= 0 となることがある（たとえば gg が定数関数のとき）。そのときは Δu\Delta u で割れない。そこで、割り算を使わない関数

φ(u)\displaystyle \varphi(u)={f(u)−f(b)u−b(u≠b)f′(b)(u=b)\displaystyle {}= \begin{cases} \dfrac{f(u) - f(b)}{u - b} & (u \neq b) \\ f'(b) & (u = b) \end{cases}

を用意する。ff が bb で微分可能なので、φ\varphi は uu=b{}= b で連続である。この φ\varphi を使うと、uu=b{}= b の場合も含めて f(u)f(u)−f(b){}- f(b)=φ(u)(u−b){}= \varphi(u)(u - b) が成り立つ。uu=g(x){}= g(x) を代入して xx−a{}- a（≠0\neq 0）で割ると

f(g(x))−f(g(a))x−a\displaystyle \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}=φ(g(x))⋅g(x)−g(a)x−a\displaystyle {}= \varphi(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}

xx→a{}\to a のとき、gg は連続なので g(x)g(x)→b{}\to b，φ\varphi は bb で連続なので φ(g(x))\varphi(g(x))→f′(b){}\to f'(b)。右辺は f′(b) g′(a)f'(b)\,g'(a) に近づく。（証明終）

定理3：逆関数の微分法

f(x)f(x) がある区間で連続かつ増加（または減少）で、xx=a{}= a で微分可能かつ f′(a)f'(a)≠0{}\neq 0 ならば、逆関数 gg は bb=f(a){}= f(a) で微分可能で、g′(b)g'(b)=1f′(a){}= \dfrac{1}{f'(a)} である。（証明略）

条件 f′(a)f'(a)≠0{}\neq 0 は外せません。f(x)f(x)=x3{}= x^3 は増加関数ですが、f′(0)f'(0)=0{}= 0 です。その逆関数 g(x)g(x)=x3{}= \sqrt[3]{x} は、原点での接線が yy 軸（傾きが定まらない）になり、xx=0{}= 0 で微分可能ではありません。実際、本文の公式3で (x13)′(x^{\frac{1}{3}})'=13x−23{}= \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} は、xx=0{}= 0 で分母が 00 になります。グラフを直線 yy=x{}= x で折り返すと、傾き 00 の接線は傾きのない縦の接線に移る、と考えるとわかりやすいでしょう。

定理4：f'(x) = f(x) を満たす関数は Ceˣ だけ

すべての実数 xx で f′(x)f'(x)=f(x){}= f(x) を満たす関数 f(x)f(x) は、定数 CC を用いて f(x)f(x)=Cex{}= Ce^x と表される。

証明　g(x)g(x)=f(x)e−x{}= f(x)e^{-x} とおくと、積の微分法より

g′(x)\displaystyle g'(x)=f′(x)e−x\displaystyle {}= f'(x)e^{-x}−f(x)e−x\displaystyle {}- f(x)e^{-x}={f′(x)−f(x)}e−x\displaystyle {}= \{f'(x) - f(x)\}e^{-x}=0\displaystyle {}= 0

導関数がつねに 00 の関数は定数である（第4章 厳密定義、平均値の定理による）。g(x)g(x)=C{}= C とおくと f(x)f(x)=Cex{}= Ce^x である。（証明終）

CC=f(0){}= f(0) なので、「微分しても変わらず、xx=0{}= 0 で値が 11」という関数は exe^x ただ1つです。exe^x を、この性質で定義する立場もあります。本文の小話の雪玉のように「増える速さ ＝ 今の量」という法則は、放射性物質の減り方や人口の増え方などの自然現象にたびたび現れ、そのたびに ee が顔を出すのはこの定理のためです。

最後に、三角比と三角関数の分野 第5章 厳密定義で予告した「度で測ると sin⁡\sin の微分に π180\dfrac{\pi}{180} が付きまとう」ことを、合成関数の微分法で確かめます。xx 度はラジアンでは πx180\dfrac{\pi x}{180} なので、度で測った正弦を S(x)S(x)=sin⁡πx180{}= \sin\dfrac{\pi x}{180} とすると

S′(x)\displaystyle S'(x)=π180cos⁡πx180\displaystyle {}= \frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi x}{180}

となり、係数 π180\dfrac{\pi}{180} がどうしても残ります。ラジアンを使うのは、この係数を 11 にするためです。これは、指数関数の底を ee にすると (ax)′(a^x)'=axlog⁡a{}= a^x\log a の log⁡a\log a が 11 になるのと、まったく同じ発想です。

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