目次 ／ 図形と方程式 ／ 数学II

第5章　円と直線

—— 中心からの距離と半径を比べて、交わり方を見分ける ——

第4章では円を方程式で表しました。この章では、円と直線、円と円がどのように交わるかを調べます。円と直線の位置関係は、「中心と直線の距離を半径と比べる」方法と「連立して判別式を見る」方法の 2 通りで判定できます。そのうえで、円が直線から切り取る弦の長さ、円の接線の方程式（円周上の点から・円の外の点から）を求め、最後に 2 つの円の位置関係と、2 つの図形の交点を通る直線や円の求め方を学びます。

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円と直線の位置関係

円と直線の関係は、共有点（両方の図形に乗っている点）の個数で 3 通りに分かれます。共有点が 2 個なら「異なる 2 点で交わる」、1 個なら「接する」、0 個なら「共有点をもたない」といいます。接するときの直線を円の接線、共有点を接点といいます（第4章で座標軸に接する円を扱いました）。

どれにあたるかを調べる方法は 2 つあります。

1 つ目は、中心と直線の距離 dd を半径 rr と比べる方法です。中心から直線に垂線を下ろすと、垂線の足 H が直線上でいちばん中心に近い点です。dd<r{}< r なら H は円の内部にあり、直線は円を突き抜けるので 2 点で交わります。dd=r{}= r なら H がちょうど円周上にあって、ほかの点はすべて円の外にあるので、H だけが共有点です。dd>r{}> r なら直線全体が円の外にあります。dd は第3章 公式5（点と直線の距離）で計算できます。

2 つ目は、判別式を使う方法です。共有点の座標は、円と直線の方程式を連立した解です。直線の式から yy（または xx）を消去すると 2 次方程式ができ、その実数解の個数が共有点の個数になります。二次関数 第6章で放物線と直線の共有点を調べたのと同じ考え方です。

C d r A B H √(r² − d²) d < r 異なる 2 点で交わる C d = r 接点 d = r 接する C d d > r 共有点をもたない
公式1：円と直線の位置関係

半径 rr の円と直線 ℓ\ell について、中心と ℓ\ell の距離を dd、円と ℓ\ell の方程式から 1 文字を消去してできる 2 次方程式の判別式を DD とすると

位置関係距離で判定判別式で判定
異なる 2 点で交わるd<rd < rD>0D > 0
接するd=rd = rD=0D = 0
共有点をもたないd>rd > rD<0D < 0

2 つの方法には得意・不得意があります。位置関係だけを知りたいときは、距離の方法のほうが計算が軽く済みます。共有点の座標まで求めたいときは、どのみち連立するので判別式の方法が自然です。2 つの判定がいつも一致することは、厳密定義の定理2で確かめます。

庭のスプリンクラーを思い浮かべてください。水は、スプリンクラーから半径 rr の円の内側に届きます。庭の横をまっすぐな歩道が通っているとき、歩道が濡れるかどうかは、スプリンクラーから歩道までのいちばん短い距離 dd で決まります。dd が rr より短ければ歩道の一部が濡れ、ちょうど rr なら 1 点だけに水が届き、rr より長ければ歩道はまったく濡れません。

円と直線の位置関係は、中心と直線の距離 dd を半径 rr と比べるか、連立した 2 次方程式の判別式の符号を見るかの、どちらでも判定できるということです。

例題1：円と直線の共有点

(1) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 と直線 xx+2y{}+ 2y=5{}= 5 の共有点の座標を求めなさい。

(2) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 と直線 yy=x{}= x+k{}+ k の共有点の個数を、定数 kk の値によって分類して求めなさい。

【解答】

(1) 直線の式から xx=5{}= 5−2y{}- 2y として、円の式に代入します。

(5−2y)2\displaystyle (5 - 2y)^2+y2\displaystyle {}+ y^2=25\displaystyle {}= 25⟹5y2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 5y^2−20y\displaystyle {}- 20y=0\displaystyle {}= 0⟹5y(y−4)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 5y(y - 4)=0\displaystyle {}= 0

yy=0{}= 0 のとき xx=5{}= 5、yy=4{}= 4 のとき xx=−3{}= -3 です。よって、共有点は (−3, 4),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(-3,\ 4),} (5, 0)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (5,\ 0)} の 2 つです。

(2) 距離で判定する　直線を xx−y{}- y+k{}+ k=0{}= 0 と書くと、中心（原点）との距離は

d\displaystyle d=∣k∣12+(−1)2\displaystyle {}= \frac{\lvert k \rvert}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=∣k∣2\displaystyle {}= \frac{\lvert k \rvert}{\sqrt{2}}

です。半径は 22 なので、dd<2{}< 2 となるのは ∣k∣\lvert k \rvert<22{}< 2\sqrt{2} のときです。

判別式で判定する　yy=x{}= x+k{}+ k を円の式に代入して整理すると

2x2\displaystyle 2x^2+2kx\displaystyle {}+ 2kx+k2\displaystyle {}+ k^2−4\displaystyle {}- 4=0\displaystyle {}= 0

この 2 次方程式の判別式は

D4\displaystyle \frac{D}{4}=k2\displaystyle {}= k^2−2(k2−4)\displaystyle {}- 2(k^2 - 4)=8\displaystyle {}= 8−k2\displaystyle {}- k^2

です。DD>0{}> 0 となるのは k2k^2<8{}< 8、つまり ∣k∣\lvert k \rvert<22{}< 2\sqrt{2} のときで、距離の方法と同じ結果になります。

よって、共有点の個数は次のとおりです。

  • −22-2\sqrt{2}<k{}< k<22{}< 2\sqrt{2} のとき 2 個‾\underline{2\ \text{個}}
  • kk=±22{}= \pm 2\sqrt{2} のとき 1 個‾\underline{1\ \text{個}}
  • kk<−22{}< -2\sqrt{2}，222\sqrt{2}<k{}< k のとき 0 個‾\underline{0\ \text{個}}

kk を変えると直線は傾き 11 のまま上下に平行移動するので、円の上側と下側で 1 回ずつ接することが、図を描くと納得できます。

円が直線から切り取る弦

円と直線が 2 点 A，B で交わるとき、線分 AB を円の弦といいます。弦の長さは、座標を求めなくても計算できます。

中心 C から直線に下ろした垂線の足を H とすると、CA\mathrm{CA}=CB{}= \mathrm{CB}=r{}= r なので、三角形 CAB は二等辺三角形で、H は AB の中点です。直角三角形 CHA に三平方の定理を使うと

AH\displaystyle \mathrm{AH}=CA2−CH2\displaystyle {}= \sqrt{\mathrm{CA}^2 - \mathrm{CH}^2}=r2−d2\displaystyle {}= \sqrt{r^2 - d^2}

となり、弦の長さはその 2 倍です。第4章 j15 で、yy 軸が円から切り取る線分の長さを求めたときにも、この形が現れていました。

公式2：弦の長さ

半径 rr の円と直線が 2 点 A，B で交わるとき、中心と直線の距離を dd とすると

AB\displaystyle \mathrm{AB}=2r2−d2\displaystyle {}= 2\sqrt{r^2 - d^2}

中心から直線に下ろした垂線の足は、弦 AB の中点です。

丸いピザを、包丁でまっすぐ一度だけ切る場面を考えます。真ん中を通るように切れば、切り口の長さは直径です。端のほうへずらして切るほど、切り口は短くなり、ふちをかすめるように切ると、切り口はほとんど長さがありません。「中心から包丁の線までの距離 dd」が大きいほど「切り口の半分 r2−d2\sqrt{r^2 - d^2}」が小さくなる、というのが公式2の中身です。

弦の長さは、半径 rr と中心から直線までの距離 dd でつくる直角三角形から、2r2−d22\sqrt{r^2 - d^2} と求められるということです。

例題2：弦の長さ

円 C:x2C : x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x+2y{}+ 2y−4{}- 4=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) 直線 xx−y{}- y−1{}- 1=0{}= 0 が円 CC から切り取る弦の長さを求めなさい。

(2) 直線 yy=x{}= x+k{}+ k が円 CC から切り取る弦の長さが 44 となるように、定数 kk の値を定めなさい。

【解答】

平方完成すると (x−2)2(x - 2)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=9{}= 9 なので、中心は (2, −1)(2,\ -1)、半径は 33 です。

(1) 中心と直線の距離は

d\displaystyle d=∣2−(−1)−1∣12+(−1)2\displaystyle {}= \frac{\lvert 2 - (-1) - 1 \rvert}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=22\displaystyle {}= \frac{2}{\sqrt{2}}=2\displaystyle {}= \sqrt{2}

dd<3{}< 3 なので 2 点で交わり、弦の長さは 29−22\sqrt{9 - 2}=27‾{}= \underline{2\sqrt{7}} です。

(2) 直線を xx−y{}- y+k{}+ k=0{}= 0 と書くと、中心との距離は dd=∣2+1+k∣2{}= \dfrac{\lvert 2 + 1 + k \rvert}{\sqrt{2}}=∣k+3∣2{}= \dfrac{\lvert k + 3 \rvert}{\sqrt{2}} です。

弦の長さが 44 なので、公式2より 29−d22\sqrt{9 - d^2}=4{}= 4、つまり d2d^2=5{}= 5 です。

(k+3)22\displaystyle \frac{(k + 3)^2}{2}=5\displaystyle {}= 5⟹k\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad k+3\displaystyle {}+ 3=±10\displaystyle {}= \pm\sqrt{10}

よって k=−3‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}k = -3}−10,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}- \sqrt{10},} −3‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}\ -3}+10‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}+ \sqrt{10}} です。d2d^2=5{}= 5<9{}< 9 なので、どちらも実際に 2 点で交わっています。

円周上の点における接線

円の接線には、「接点を通る半径と垂直である」という性質があります（図形の性質 第5章）。これを座標で書くと、接線の方程式が求められます。

原点を中心とする円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 の上の点 P(x1, y1)\mathrm{P}(x_1,\ y_1) における接線は、P を通り、半径 OP に垂直な直線です。直線 OP は y1xy_1 x−x1y{}- x_1 y=0{}= 0 と書けるので、第3章 公式2（a1a2a_1 a_2+b1b2{}+ b_1 b_2=0{}= 0）より、OP に垂直な直線は x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=c{}= c の形に書けます（y1⋅x1y_1 \cdot x_1+(−x1)⋅y1{}+ (-x_1) \cdot y_1=0{}= 0）。これが P を通ることから

c\displaystyle c=x12\displaystyle {}= x_1^2+y12\displaystyle {}+ y_1^2=r2\displaystyle {}= r^2

です（P は円周上にあるので）。

この式は、円の方程式 x⋅xx \cdot x+y⋅y{}+ y \cdot y=r2{}= r^2 の「xx と yy の 1 つずつを接点の座標に置きかえた形」になっています。中心が (a, b)(a,\ b) の円でも、中心から見た座標 xx−a{}- a，yy−b{}- b で同じことが言えます。

公式3：円周上の点における接線

円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 上の点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) における接線の方程式は

x1x\displaystyle x_1 x+y1y\displaystyle {}+ y_1 y=r2\displaystyle {}= r^2

円 (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2 上の点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) における接線の方程式は

(x1−a)(x−a)\displaystyle (x_1 - a)(x - a)+(y1−b)(y−b)\displaystyle {}+ (y_1 - b)(y - b)=r2\displaystyle {}= r^2

どちらも、接点を通り、中心と接点を結ぶ半径に垂直な直線です。

傾き mm でおく方法では、接点が (r, 0)(r,\ 0) や (−r, 0)(-r,\ 0) のときの縦の接線 xx=±r{}= \pm r を表せません。公式3なら、x1x_1=r{}= r，y1y_1=0{}= 0 を入れると rxrx=r2{}= r^2、つまり xx=r{}= r となり、縦の接線もそのまま表せます。

自転車の車輪が平らな道を転がっているところを横から見ると、タイヤは道路に 1 点で触れています。その瞬間、車輪の中心と接地点を結ぶスポークは、道路に対してまっすぐ垂直に立っています。車輪が傾いた道を進んでも、接地点のスポークはその道に垂直です。公式3は、「接点へ向かう半径の向き (x1−a, y1−b)(x_1 - a,\ y_1 - b) に垂直で、接点を通る」道路の式を書いたものです。

円周上の点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) における接線は、円の式の x2x^2，y2y^2 の片方ずつを x1xx_1 x，y1yy_1 y に置きかえた x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=r2{}= r^2 で表せるということです。

例題3：円周上の点における接線

次の接線の方程式を求めなさい。

(1) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 上の点 (3, −4)(3,\ -4) における接線

(2) 円 (x+1)2(x + 1)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=10{}= 10 上の点 (2, 4)(2,\ 4) における接線

【解答】

(1) 公式3に x1x_1=3{}= 3，y1y_1=−4{}= -4 を代入して 3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}−4y=25‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 4y = 25} です。

(2) 点 (2, 4)(2,\ 4) が円周上にあることを確かめておきます。(2+1)2(2 + 1)^2+(4−3)2{}+ (4 - 3)^2=10{}= 10 で、確かに円周上です。

公式3の後半に aa=−1{}= -1，bb=3{}= 3，x1x_1=2{}= 2，y1y_1=4{}= 4 を代入すると

(2+1)(x+1)\displaystyle (2 + 1)(x + 1)+(4−3)(y−3)\displaystyle {}+ (4 - 3)(y - 3)=10\displaystyle {}= 10⟹3x\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 3x+y\displaystyle {}+ y=10\displaystyle {}= 10

よって 3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}+y=10‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ y = 10} です。

中心 (−1, 3)(-1,\ 3) と接点 (2, 4)(2,\ 4) を結ぶ半径の傾きは 13\dfrac{1}{3}、接線の傾きは −3-3 で、積が −1-1 になっていることも確かめられます。

円の外の点から引いた接線

円の外にある点 A からは、円に接線を 2 本引けます。求め方は 2 通りです。

1 つ目は、接点を (x1, y1)(x_1,\ y_1) とおく方法です。接線は公式3で表せるので、それが A を通るという式と、接点が円周上にあるという式を連立して、接点を求めます。

2 つ目は、傾きを mm とおく方法です。A を通る直線を yy−q{}- q=m(x−p){}= m(x - p) とおき、中心との距離が半径に等しい（または連立した 2 次方程式の判別式が 00）という条件から mm を求めます。

2 つ目の方法には落とし穴があります。第2章 公式5で見たように、yy−q{}- q=m(x−p){}= m(x - p) はどんな mm を選んでも縦の直線 xx=p{}= p を表せません。縦の接線があると、mm の方程式の解が 1 つしか出てこないので、縦の直線 xx=p{}= p が接線かどうかを別に調べる必要があります。

公式4：円の外の点から引いた接線

円の外の点 A(p, q)\mathrm{A}(p,\ q) から引いた接線は 2 本あり、次のどちらかで求めます。

  1. 接点を (x1, y1)(x_1,\ y_1) とおき、公式3の接線が A を通る条件と、接点が円周上にある条件を連立する。
  2. 接線を yy−q{}- q=m(x−p){}= m(x - p) とおき、「中心と直線の距離 == 半径」から mm を求める。このとき、縦の直線 xx=p{}= p が接線になるかを別に調べる。

円の内部の点からは接線を引けず、円周上の点からは 1 本だけ引けます。

地面に打った丸い杭にロープを掛けて、少し離れた場所から引っ張る場面を考えます。ロープが杭をかすめてまっすぐ伸びる向きは、杭の右側を通る向きと左側を通る向きの 2 通りあります。この 2 本のロープの線が、手元の点から杭（円）に引いた 2 本の接線です。手元が杭に近づくほど 2 本の間の角は開き、杭に触れるところまで来ると 1 本になります。

円の外の点から引ける接線は 2 本で、接点を文字でおくか傾きを文字でおいて求めます。傾きでおくときは、縦の接線を見落とさないように別に調べるということです。

例題4：円の外の点から引いた接線

点 A(2, 3)\mathrm{A}(2,\ 3) から円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 に引いた接線の方程式と、接点の座標を求めなさい。

【解答】

接点を (x1, y1)(x_1,\ y_1) とおくと、接線は x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=4{}= 4 です。これが A を通るので

2x1\displaystyle 2x_1+3y1\displaystyle {}+ 3y_1=4\displaystyle {}= 4⋯(i)\displaystyle \cdots (\mathrm{i})

また、接点は円周上にあるので x12x_1^2+y12{}+ y_1^2=4{}= 4⋯(ii)\cdots (\mathrm{ii}) です。

(i) より x1x_1=4−3y12{}= \dfrac{4 - 3y_1}{2} として (ii) に代入し、両辺を 4 倍すると

(4−3y1)2\displaystyle (4 - 3y_1)^2+4y12\displaystyle {}+ 4y_1^2=16\displaystyle {}= 16⟹13y12\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 13y_1^2−24y1\displaystyle {}- 24y_1=0\displaystyle {}= 0

よって y1y_1=0,{}= 0, 2413\ \dfrac{24}{13} です。

  • y1y_1=0{}= 0 のとき x1x_1=2{}= 2 で、接線は 2x2x=4{}= 4、つまり xx=2{}= 2
  • y1y_1=2413{}= \dfrac{24}{13} のとき x1x_1=−1013{}= -\dfrac{10}{13} で、接線は −1013x-\dfrac{10}{13}x+2413y{}+ \dfrac{24}{13}y=4{}= 4、両辺を 132\dfrac{13}{2} 倍して −5x-5x+12y{}+ 12y=26{}= 26

よって

x=2  (接点 (2, 0))，5x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}x = 2\ \ (\text{接点}\ (2,\ 0))，\qquad 5x}−12y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}{}- 12y}+26=0  (接点 (−1013, 2413))‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}{}+ 26 = 0\ \ \left(\text{接点}\ \left(-\frac{10}{13},\ \frac{24}{13}\right)\right)}

です。

別解（傾きでおく）　A を通る傾き mm の直線 yy−3{}- 3=m(x−2){}= m(x - 2)、つまり mxmx−y{}- y−2m{}- 2m+3{}+ 3=0{}= 0 が接する条件は、原点との距離が 22 になることです。

∣3−2m∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert 3 - 2m \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}=2\displaystyle {}= 2⟹9\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 9−12m\displaystyle {}- 12m+4m2\displaystyle {}+ 4m^2=4m2\displaystyle {}= 4m^2+4\displaystyle {}+ 4⟹m\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad m=512\displaystyle {}= \frac{5}{12}

m2m^2 の項が消えて、mm は 1 つしか求まりません。もう 1 本は、傾きをもたない縦の直線 xx=2{}= 2 です。原点との距離が 22 で半径に等しいので、xx=2{}= 2 も確かに接線です。mm=512{}= \dfrac{5}{12} の直線は yy−3{}- 3=512(x−2){}= \dfrac{5}{12}(x - 2) で、整理すると 5x5x−12y{}- 12y+26{}+ 26=0{}= 0 となり、本解と一致します。

x y O −2 A(2, 3) (2, 0) (−10/13, 24/13) x = 2 5x − 12y + 26 = 0 x² + y² = 4

2 つの円の位置関係

2 つの円の位置関係は、中心間の距離 dd と、2 つの半径 rr，r′r' で決まります。図形の性質 第5章で学んだ 5 通りの分類を、座標で使えるように整理します。

公式5：2 つの円の位置関係

半径 rr，r′r' の 2 円の中心間の距離を dd とすると（dd>0{}> 0）

位置関係条件共有点共通接線
互いに外部にある（離れている）d>r+r′d > r + r'0 個4 本
外接するd=r+r′d = r + r'1 個3 本
異なる 2 点で交わる∣r−r′∣<d<r+r′\lvert r - r' \rvert < d < r + r'2 個2 本
内接するd=∣r−r′∣d = \lvert r - r' \rvert1 個1 本
一方が他方の内部にあるd<∣r−r′∣d < \lvert r - r' \rvert0 個0 本
互いに外部 外接 2 点で交わる 内接 内部にある d > r + r′ d = r + r′ |r − r′| < d < r + r′ d = |r − r′| d < |r − r′| 共通接線 4 本 3 本 2 本 1 本 0 本

2 点で交わる条件 ∣r−r′∣\lvert r - r' \rvert<d{}< d<r{}< r+r′{}+ r' は、「dd，rr，r′r' を 3 辺とする三角形ができる条件」と同じ形です。実際、2 円が点 P で交わるとき、2 つの中心と P を結ぶと、3 辺が dd，rr，r′r' の三角形ができます。

机の上に 10 円玉と 500 円玉を置き、10 円玉を 500 円玉に向かってすべらせていくところを想像してください（重なってもよいものとします）。はじめは離れていて、やがて縁どうしが触れ（外接）、さらに進むと重なり合い（2 点で交わる）、10 円玉が 500 円玉の内側に収まって縁が内側で触れ（内接）、最後はすっぽり内側に入ります。この順に、中心どうしの距離 dd がだんだん小さくなっています。

2 つの円の位置関係は、中心間の距離 dd を、半径の和 rr+r′{}+ r' と半径の差 ∣r−r′∣\lvert r - r' \rvert の 2 つの値と比べれば決まるということです。

例題5：2 つの円の位置関係

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2=9{}= 9，(x−4)2(x - 4)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=r2{}= r^2（rr>0{}> 0）の位置関係が次のようになるときの、rr の値または値の範囲を求めなさい。

(1) 外接する　(2) 異なる 2 点で交わる　(3) 内接する

【解答】

中心は (0, 0)(0,\ 0) と (4, 3)(4,\ 3) なので、中心間の距離は dd=42+32{}= \sqrt{4^2 + 3^2}=5{}= 5 です。半径は 33 と rr です。

(1) dd=3{}= 3+r{}+ r より 55=3{}= 3+r{}+ r で、r=2‾\underline{r = 2} です。

(2) ∣r−3∣\lvert r - 3 \rvert<5{}< 5<r{}< r+3{}+ 3 を解きます。55<r{}< r+3{}+ 3 より rr>2{}> 2、∣r−3∣\lvert r - 3 \rvert<5{}< 5 より −2-2<r{}< r<8{}< 8 です。共通部分をとって 2<r<8‾\underline{2 < r < 8} です。

(3) ∣r−3∣\lvert r - 3 \rvert=5{}= 5 より rr=8,{}= 8, −2{}\ -2 で、rr>0{}> 0 から r=8‾\underline{r = 8} です。

(3) では、半径 33 の円が半径 88 の円の内側で接しています。半径 33 の円のほうが大きく、その内側に半径 rr の円が接する場合も考えられますが、それには dd=3{}= 3−r{}- r が必要で、dd=5{}= 5>3{}> 3 なので起こりません。

rr を 00 に近い値から大きくしていくと、共有点をもたない（00<r{}< r<2{}< 2）→ 外接 → 2 点で交わる → 内接 → 半径 33 の円を内部に含む（rr>8{}> 8）と変わります。

2 つの図形の交点を通る図形

第3章では、2 直線 ff=0{}= 0，gg=0{}= 0 の交点を通る直線を k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 とおきました。同じ考え方が、円どうしや、円と直線の組でも使えます。

2 つの円 f(x, y)f(x,\ y)=0{}= 0，g(x, y)g(x,\ y)=0{}= 0 が 2 点で交わるとします。交点では ff=0{}= 0 かつ gg=0{}= 0 なので、どんな定数 kk についても

k f(x, y)\displaystyle k\,f(x,\ y)+g(x, y)\displaystyle {}+ g(x,\ y)=0\displaystyle {}= 0

が成り立ちます。つまり、この方程式の表す図形は、必ず 2 つの交点を通ります。

円 ff=0{}= 0 と直線 hh=0{}= 0 が 2 点で交わるときも、ff+k h{}+ k\,h=0{}= 0 は、交点を通る円を表します（x2x^2，y2y^2 の係数は 11 のまま）。

公式6：2 つの図形の交点を通る図形

2 円 f(x, y)f(x,\ y)=0{}= 0，g(x, y)g(x,\ y)=0{}= 0（どちらも x2x^2，y2y^2 の係数を 11 にそろえた一般形）が 2 点で交わるとき

  • k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0（kk≠−1{}\neq -1）は、2 交点を通る円を表す
  • ff−g{}- g=0{}= 0 は、2 交点を通る直線（共通弦を含む直線）を表す

円 ff=0{}= 0 と直線 hh=0{}= 0 が 2 点で交わるとき、ff+k h{}+ k\,h=0{}= 0 は 2 交点を通る円を表す。

k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 の形では、ff=0{}= 0 自身は表せません。

2 人で遊びに行く日を決めるとき、2 人の予定表を重ねて、どちらも空いている日を探します。どちらも空いている日は、2 人の予定をどんな割合で合わせた表でも「空き」になっています。ff=0{}= 0 と gg=0{}= 0 の両方を満たす点は、ff と gg をどんな割合で混ぜた式 k fk\,f+g{}+ g でも 00 になる、というのが公式6の考え方です。

2 つの図形の交点を通る図形は、2 つの式を kk 倍して足した k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 で表せて、kk は通るもう 1 点などの条件で決まるということです。2 円の式をそのまま引くと、共通弦の直線になります。

例題6：2 円の交点を通る直線と円

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2−9{}- 9=0{}= 0，x2x^2+y2{}+ y^2+2x{}+ 2x+2y{}+ 2y−15{}- 15=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) 2 円の 2 つの交点を通る直線の方程式と、共通弦の長さを求めなさい。

(2) 2 円の 2 つの交点と、点 (4, 1)(4,\ 1) を通る円の方程式を求めなさい。

【解答】

2 円はそれぞれ中心 (0, 0)(0,\ 0)・半径 33、中心 (−1, −1)(-1,\ -1)・半径 17\sqrt{17} です。中心間の距離は 2\sqrt{2} で、17\sqrt{17}−3{}- 3<2{}< \sqrt{2}<17{}< \sqrt{17}+3{}+ 3 を満たすので、2 円は 2 点で交わります（17\sqrt{17}−3{}- 3≒1.12{}\fallingdotseq 1.12，2\sqrt{2}≒1.41{}\fallingdotseq 1.41）。

(1) 1 つ目の式から 2 つ目の式を引くと

(x2+y2−9)\displaystyle (x^2 + y^2 - 9)−(x2+y2+2x+2y−15)\displaystyle {}- (x^2 + y^2 + 2x + 2y - 15)=0\displaystyle {}= 0⟹−2x\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad -2x−2y\displaystyle {}- 2y+6\displaystyle {}+ 6=0\displaystyle {}= 0

よって、求める直線は x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}+y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}+ y}−3=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}- 3 = 0} です。

原点とこの直線の距離は 32\dfrac{3}{\sqrt{2}} なので、公式2より共通弦の長さは

29−92\displaystyle 2\sqrt{9 - \frac{9}{2}}=2⋅32\displaystyle {}= 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=32‾\displaystyle {}= \underline{3\sqrt{2}}

です。実際、交点は (3, 0)(3,\ 0)，(0, 3)(0,\ 3) で、その距離は 323\sqrt{2} です。

(2) 求める円を

k(x2+y2−9)\displaystyle k(x^2 + y^2 - 9)+(x2+y2+2x+2y−15)\displaystyle {}+ (x^2 + y^2 + 2x + 2y - 15)=0\displaystyle {}= 0

とおきます。点 (4, 1)(4,\ 1) を代入すると 8k8k+12{}+ 12=0{}= 0 で、kk=−32{}= -\dfrac{3}{2} です。これを代入して両辺を −2-2 倍すると

3(x2+y2−9)\displaystyle 3(x^2 + y^2 - 9)−2(x2+y2+2x+2y−15)\displaystyle {}- 2(x^2 + y^2 + 2x + 2y - 15)=0\displaystyle {}= 0⟹x2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−4x\displaystyle {}- 4x−4y\displaystyle {}- 4y+3\displaystyle {}+ 3=0\displaystyle {}= 0

よって x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2}−4x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4x}−4y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4y}+3=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 3 = 0} です。平方完成すると (x−2)2(x - 2)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=5{}= 5 で、(3, 0)(3,\ 0)，(0, 3)(0,\ 3)，(4, 1)(4,\ 1) のどれを代入しても成り立ちます。

点 (4, 1)(4,\ 1) が 1 つ目の円の上にあると、代入したとき kk の係数が 00 になり、kk が決まりません。その場合、求める円は 1 つ目の円そのもので、k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 の形では表せない円です。

この章では、円と直線の位置関係を距離と判別式の 2 通りで調べ、弦の長さ、接線、2 円の位置関係、交点を通る図形を扱いました。第6章では、「条件を満たす点の集まり」を方程式で表す軌跡を学びます。垂直二等分線や円が、軌跡として改めて登場します。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

円 x2x^2+y2{}+ y^2=9{}= 9 と直線 xx+y{}+ y=5{}= 5 の位置関係を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

共有点をもたない‾\underline{\text{共有点をもたない}}（中心との距離 52\dfrac{5}{\sqrt{2}}=522{}= \dfrac{5\sqrt{2}}{2}>3{}> 3）

自己採点：
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問2

円 x2x^2+y2{}+ y^2=8{}= 8 上の点 (2, −2)(2,\ -2) における接線の方程式を求めなさい。

答えを見る
答え

x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}−y=4‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}- y = 4}（2x2x−2y{}- 2y=8{}= 8 を 22 で割る）

自己採点：
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問3

円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 と直線 yy=x{}= x+2{}+ 2 の共有点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(−2, 0),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(-2,\ 0),} (0, 2)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (0,\ 2)}（代入して 2x22x^2+4x{}+ 4x=0{}= 0）

自己採点：
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問4

直線 3x3x+4y{}+ 4y−15{}- 15=0{}= 0 が円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 から切り取る弦の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

8‾\underline{8}（dd=155{}= \dfrac{15}{5}=3{}= 3 で 225−92\sqrt{25 - 9}）

自己採点：
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問5

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4，(x−6)2(x - 6)^2+(y−8)2{}+ (y - 8)^2=64{}= 64 の位置関係を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

外接する‾\underline{\text{外接する}}（中心間の距離 1010 が半径の和 22+8{}+ 8 に等しい）

自己採点：
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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) xx+2y{}+ 2y−9{}- 9=0{}= 0

(2) xx−y{}- y+1{}+ 1=0{}= 0

(3) 2x2x+y{}+ y+1{}+ 1=0{}= 0

円 (x−2)2(x - 2)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=5{}= 5 と、上の (1)〜(3) の直線の位置関係を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 接する　(2) 異なる 2 点で交わる　(3) 共有点をもたない

解説

中心 (2, 1)(2,\ 1) と各直線の距離 dd を、半径 5\sqrt{5} と比べます（公式1）。

(1) dd=∣2+2−9∣1+4{}= \dfrac{\lvert 2 + 2 - 9 \rvert}{\sqrt{1 + 4}}=55{}= \dfrac{5}{\sqrt{5}}=5{}= \sqrt{5} で、dd=r{}= r なので 接する‾\underline{\text{接する}}

(2) dd=∣2−1+1∣1+1{}= \dfrac{\lvert 2 - 1 + 1 \rvert}{\sqrt{1 + 1}}=22{}= \dfrac{2}{\sqrt{2}}=2{}= \sqrt{2} で、2\sqrt{2}<5{}< \sqrt{5} なので 異なる 2 点で交わる‾\underline{\text{異なる 2 点で交わる}}

(3) dd=∣4+1+1∣4+1{}= \dfrac{\lvert 4 + 1 + 1 \rvert}{\sqrt{4 + 1}}=65{}= \dfrac{6}{\sqrt{5}} です。5\sqrt{5}=55{}= \dfrac{5}{\sqrt{5}} なので dd>r{}> r で、共有点をもたない‾\underline{\text{共有点をもたない}}

分母がそろう形に直すと、根号を含む数どうしでも大小がすぐ比べられます。

自己採点：
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問2　★

円 x2x^2+y2{}+ y^2+4x{}+ 4x−2y{}- 2y=0{}= 0 と直線 yy=x{}= x+2{}+ 2 の共有点の座標と、その 2 点間の距離を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

共有点 (−3, −1)(-3,\ -1)，(0, 2)(0,\ 2)、距離 323\sqrt{2}

解説

yy=x{}= x+2{}+ 2 を円の式に代入します。

x2\displaystyle x^2+(x+2)2\displaystyle {}+ (x + 2)^2+4x\displaystyle {}+ 4x−2(x+2)\displaystyle {}- 2(x + 2)=0\displaystyle {}= 0⟹2x2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 2x^2+6x\displaystyle {}+ 6x=0\displaystyle {}= 0⟹2x(x+3)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 2x(x + 3)=0\displaystyle {}= 0

xx=0{}= 0 のとき yy=2{}= 2、xx=−3{}= -3 のとき yy=−1{}= -1 です。よって、共有点は (−3, −1),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(-3,\ -1),} (0, 2)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (0,\ 2)} です。

2 点間の距離は (0+3)2+(2+1)2\sqrt{(0 + 3)^2 + (2 + 1)^2}=32‾{}= \underline{3\sqrt{2}} です。

公式2で確かめると、円は (x+2)2(x + 2)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=5{}= 5、中心 (−2, 1)(-2,\ 1) と直線 xx−y{}- y+2{}+ 2=0{}= 0 の距離は ∣−2−1+2∣2\dfrac{\lvert -2 - 1 + 2 \rvert}{\sqrt{2}}=12{}= \dfrac{1}{\sqrt{2}} なので、弦の長さは 25−122\sqrt{5 - \dfrac{1}{2}}=2⋅32{}= 2 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}}=32{}= 3\sqrt{2} で一致します。

自己採点：
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問3　★

(1) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=13{}= 13 上の点 (−2, 3)(-2,\ 3) における接線

(2) 円 (x−3)2(x - 3)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=25{}= 25 上の点 (6, 2)(6,\ 2) における接線

上の (1)，(2) の接線の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) −2x-2x+3y{}+ 3y=13{}= 13　(2) 3x3x+4y{}+ 4y=26{}= 26

解説

公式3を使います。

(1) x1x_1=−2{}= -2，y1y_1=3{}= 3 を代入して −2x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}-2x}+3y=13‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3y = 13} です（2x2x−3y{}- 3y+13{}+ 13=0{}= 0 と書いても同じです）。

(2) (6−3)2(6 - 3)^2+(2+2)2{}+ (2 + 2)^2=25{}= 25 なので、点 (6, 2)(6,\ 2) は円周上にあります。aa=3{}= 3，bb=−2{}= -2 として

(6−3)(x−3)\displaystyle (6 - 3)(x - 3)+(2+2)(y+2)\displaystyle {}+ (2 + 2)(y + 2)=25\displaystyle {}= 25⟹3x\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 3x−9\displaystyle {}- 9+4y\displaystyle {}+ 4y+8\displaystyle {}+ 8=25\displaystyle {}= 25

よって 3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}+4y=26‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 4y = 26} です。

(2) の接線は、中心 (3, −2)(3,\ -2) から接点へ向かう向き (3, 4)(3,\ 4) が係数に現れていて、半径と垂直になっています。

自己採点：
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問4　★

直線 4x4x+3y{}+ 3y−1{}- 1=0{}= 0 が円 x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x+4y{}+ 4y−3{}- 3=0{}= 0 から切り取る弦の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

2152\sqrt{15}

解説

平方完成すると

(x−3)2\displaystyle (x - 3)^2+(y+2)2\displaystyle {}+ (y + 2)^2=3\displaystyle {}= 3+9\displaystyle {}+ 9+4\displaystyle {}+ 4=16\displaystyle {}= 16

なので、中心は (3, −2)(3,\ -2)、半径は 44 です。中心と直線の距離は

d\displaystyle d=∣4⋅3+3⋅(−2)−1∣42+32\displaystyle {}= \frac{\lvert 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) - 1 \rvert}{\sqrt{4^2 + 3^2}}=55\displaystyle {}= \frac{5}{5}=1\displaystyle {}= 1

です。dd<4{}< 4 なので 2 点で交わり、公式2より弦の長さは 216−12\sqrt{16 - 1}=215‾{}= \underline{2\sqrt{15}} です。

自己採点：
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問5　★

直線 xx+2y{}+ 2y=k{}= k が円 x2x^2+y2{}+ y^2=20{}= 20 に接するような定数 kk の値と、そのときの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

kk=−10{}= -10 のとき接点 (−2, −4)(-2,\ -4)，kk=10{}= 10 のとき接点 (2, 4)(2,\ 4)

解説

判別式で解く　xx=k{}= k−2y{}- 2y を円の式に代入すると

(k−2y)2\displaystyle (k - 2y)^2+y2\displaystyle {}+ y^2=20\displaystyle {}= 20⟹5y2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 5y^2−4ky\displaystyle {}- 4ky+k2\displaystyle {}+ k^2−20\displaystyle {}- 20=0\displaystyle {}= 0

接する条件は、この 2 次方程式が重解をもつことです。

D4\displaystyle \frac{D}{4}=4k2\displaystyle {}= 4k^2−5(k2−20)\displaystyle {}- 5(k^2 - 20)=100\displaystyle {}= 100−k2\displaystyle {}- k^2=0\displaystyle {}= 0

より kk=±10{}= \pm 10 です。重解は yy=2k5{}= \dfrac{2k}{5} なので

  • kk=−10{}= -10 のとき yy=−4{}= -4，xx=−10{}= -10+8{}+ 8=−2{}= -2
  • kk=10{}= 10 のとき yy=4{}= 4，xx=10{}= 10−8{}- 8=2{}= 2

よって、k=−10‾\underline{k = -10} のとき接点 (−2, −4)‾\underline{(-2,\ -4)}，k=10‾\underline{k = 10} のとき接点 (2, 4)‾\underline{(2,\ 4)} です。

距離で確かめる　原点と直線 xx+2y{}+ 2y−k{}- k=0{}= 0 の距離は ∣k∣5\dfrac{\lvert k \rvert}{\sqrt{5}} で、これが半径 252\sqrt{5} に等しいので ∣k∣\lvert k \rvert=10{}= 10 です。接点の座標まで必要なときは、判別式の方法のほうが一度に求まります。

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問6　★

(1) (x−4)2(x - 4)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=1{}= 1

(2) (x−1)2(x - 1)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=16{}= 16

(3) x2x^2+y2{}+ y^2−2x{}- 2x−2y{}- 2y−23{}- 23=0{}= 0

円 C:x2C : x^2+y2{}+ y^2−2x{}- 2x−4y{}- 4y+1{}+ 1=0{}= 0 と、上の (1)〜(3) の円の位置関係を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 外接する　(2) 異なる 2 点で交わる　(3) CC が (3) の円の内部にある

解説

円 CC は (x−1)2(x - 1)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=4{}= 4 で、中心 (1, 2)(1,\ 2)、半径 22 です。公式5を使います。

(1) 中心 (4, 2)(4,\ 2)、半径 11。中心間の距離は dd=3{}= 3 で、dd=2{}= 2+1{}+ 1 なので 外接する‾\underline{\text{外接する}}

(2) 中心 (1, −1)(1,\ -1)、半径 44。dd=3{}= 3 で、∣4−2∣\lvert 4 - 2 \rvert=2{}= 2<3{}< 3<6{}< 6=4{}= 4+2{}+ 2 なので 異なる 2 点で交わる‾\underline{\text{異なる 2 点で交わる}}

(3) 平方完成すると (x−1)2(x - 1)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=25{}= 25 で、中心 (1, 1)(1,\ 1)、半径 55。dd=1{}= 1 で、11<∣5−2∣{}< \lvert 5 - 2 \rvert=3{}= 3 なので、C が (3) の円の内部にある‾\underline{C\ \text{が (3) の円の内部にある}}

(1) と (2) はどちらも dd=3{}= 3 ですが、相手の半径が違うので位置関係が変わります。dd だけでなく、半径の和と差の両方と比べることが大切です。

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問7　★

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2=16{}= 16，x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x−6y{}- 6y+8{}+ 8=0{}= 0 の 2 つの交点を通る直線の方程式と、交点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

直線 xx+y{}+ y−4{}- 4=0{}= 0、交点 (0, 4)(0,\ 4)，(4, 0)(4,\ 0)

解説

1 つ目の式を x2x^2+y2{}+ y^2−16{}- 16=0{}= 0 と書き、2 つ目の式を引きます（公式6）。

(x2+y2−16)\displaystyle (x^2 + y^2 - 16)−(x2+y2−6x−6y+8)\displaystyle {}- (x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8)=0\displaystyle {}= 0⟹6x\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 6x+6y\displaystyle {}+ 6y−24\displaystyle {}- 24=0\displaystyle {}= 0

よって、交点を通る直線は x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}+y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}+ y}−4=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}- 4 = 0} です。

交点はこの直線と 1 つ目の円の共有点なので、yy=4{}= 4−x{}- x を x2x^2+y2{}+ y^2=16{}= 16 に代入して

x2\displaystyle x^2+(4−x)2\displaystyle {}+ (4 - x)^2=16\displaystyle {}= 16⟹2x2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 2x^2−8x\displaystyle {}- 8x=0\displaystyle {}= 0

xx=0,{}= 0, 4\ 4 で、交点は (0, 4),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(0,\ 4),} (4, 0)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (4,\ 0)} です。2 つ目の円に代入しても 1616−24{}- 24+8{}+ 8=0{}= 0 となり、確かに両方の円の上にあります。

2 円の式を連立するとき、そのまま引いて x2x^2，y2y^2 を消すのが、2 次の連立方程式を 1 次にするいちばんの近道です。

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問8　★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=17{}= 17 上の点 (1, 4)(1,\ 4) における接線と、xx 軸，yy 軸で囲まれる三角形の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

2898\dfrac{289}{8}

解説

公式3より、接線は xx+4y{}+ 4y=17{}= 17 です。

yy=0{}= 0 とすると xx=17{}= 17、xx=0{}= 0 とすると yy=174{}= \dfrac{17}{4} なので、xx 切片は 1717、yy 切片は 174\dfrac{17}{4} です。

三角形は直角三角形で、面積は

12⋅17⋅174\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot \frac{17}{4}=2898‾\displaystyle {}= \underline{\frac{289}{8}}

です。切片形 x17\dfrac{x}{17}+y17/4{}+ \dfrac{y}{17/4}=1{}= 1（第2章 公式4）に直して読み取ってもかまいません。

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問9　★★

点 (4, 3)(4,\ 3) から円 (x−1)2(x - 1)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=5{}= 5 に引いた接線の方程式と、接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

yy=2x{}= 2x−5{}- 5（接点 (3, 1)(3,\ 1)），xx+2y{}+ 2y−10{}- 10=0{}= 0（接点 (2, 4)(2,\ 4)）

解説

点 (4, 3)(4,\ 3) を円の式に代入すると 99+1{}+ 1−5{}- 5=5{}= 5>0{}> 0 なので、円の外部にあり、接線は 2 本です。

まず、縦の直線 xx=4{}= 4 は、中心 (1, 2)(1,\ 2) との距離が 33 で、半径 5\sqrt{5} と等しくないので接線ではありません。

そこで、接線を yy−3{}- 3=m(x−4){}= m(x - 4)、つまり mxmx−y{}- y−4m{}- 4m+3{}+ 3=0{}= 0 とおきます。中心との距離が 5\sqrt{5} なので

∣m−2−4m+3∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert m - 2 - 4m + 3 \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}=5\displaystyle {}= \sqrt{5}⟹(1−3m)2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (1 - 3m)^2=5(m2+1)\displaystyle {}= 5(m^2 + 1)

整理すると 4m24m^2−6m{}- 6m−4{}- 4=0{}= 0 です。両辺を 22 で割ると 2m22m^2−3m{}- 3m−2{}- 2=0{}= 0、つまり (m−2)(2m+1)(m - 2)(2m + 1)=0{}= 0 で、mm=−12,{}= -\dfrac{1}{2}, 2\ 2 です。

  • mm=2{}= 2 のとき yy=2x{}= 2x−5{}- 5
  • mm=−12{}= -\dfrac{1}{2} のとき yy−3{}- 3=−12(x−4){}= -\dfrac{1}{2}(x - 4) で、xx+2y{}+ 2y−10{}- 10=0{}= 0

接点は、中心から接線に下ろした垂線の足です。2x2x−y{}- y−5{}- 5=0{}= 0 に中心を代入した値は −5-5 なので、垂線の足は

(1, 2)\displaystyle (1,\ 2)−−522+12(2, −1)\displaystyle {}- \frac{-5}{2^2 + 1^2}(2,\ -1)=(3, 1)\displaystyle {}= (3,\ 1)

同様に、xx+2y{}+ 2y−10{}- 10=0{}= 0 に代入した値は −5-5 なので、(1, 2)(1,\ 2)−−55(1, 2){}- \dfrac{-5}{5}(1,\ 2)=(2, 4){}= (2,\ 4) です（第3章 j15 と同じ求め方）。

よって y=2x‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}y = 2x}−5 (接点 (3, 1))， x‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}- 5\ (\text{接点}\ (3,\ 1))，\ x}+2y‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}+ 2y}−10=0 (接点 (2, 4))‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}- 10 = 0\ (\text{接点}\ (2,\ 4))} です。接点が円周上にあること（44+1{}+ 1=5{}= 5，11+4{}+ 4=5{}= 5）も確かめておきましょう。

自己採点：
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問10　★★

点 (3, 6)(3,\ 6) を通り、円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 から長さ 88 の弦を切り取る直線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=3{}= 3，3x3x−4y{}- 4y+15{}+ 15=0{}= 0

解説

弦の長さが 88 なので、公式2より 225−d22\sqrt{25 - d^2}=8{}= 8、つまり中心（原点）と直線の距離は dd=3{}= 3 です。

縦の直線の場合　xx=3{}= 3 は原点との距離が 33 なので条件を満たします。

傾きをもつ場合　直線を yy−6{}- 6=m(x−3){}= m(x - 3)、つまり mxmx−y{}- y−3m{}- 3m+6{}+ 6=0{}= 0 とおくと

∣6−3m∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert 6 - 3m \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}=3\displaystyle {}= 3⟹36\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 36−36m\displaystyle {}- 36m+9m2\displaystyle {}+ 9m^2=9m2\displaystyle {}= 9m^2+9\displaystyle {}+ 9

m2m^2 の項が消えて mm=34{}= \dfrac{3}{4} だけが求まります。このとき yy−6{}- 6=34(x−3){}= \dfrac{3}{4}(x - 3) で、整理すると 3x3x−4y{}- 4y+15{}+ 15=0{}= 0 です。

よって x=3,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 3,}3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad 3x}−4y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 4y}+15=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 15 = 0} の 2 本です。

傾きでおいた式から解が 1 つしか出てこないときは、縦の直線がもう 1 つの答えになっていないかを疑いましょう（例題4と同じ落とし穴です）。

自己採点：
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問11　★★

直線 yy=m(x−2){}= m(x - 2) が円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 と共有点をもつような、定数 mm の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−33-\dfrac{\sqrt{3}}{3}≦m{}\leqq m≦33{}\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{3}

解説

「共有点をもつ」は、2 点で交わるか接するかなので、dd≦r{}\leqq r（DD≧0{}\geqq 0）が条件です。

距離で解く　直線は mxmx−y{}- y−2m{}- 2m=0{}= 0 なので、原点との距離は ∣2m∣m2+1\dfrac{\lvert 2m \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}} です。これが 11 以下なので

4m2\displaystyle 4m^2≦m2\displaystyle {}\leqq m^2+1\displaystyle {}+ 1⟹m2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad m^2≦13\displaystyle {}\leqq \frac{1}{3}

よって −33≦m≦33‾\underline{-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \leqq m \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{3}} です。

判別式で確かめる　代入すると (1+m2)x2(1 + m^2)x^2−4m2x{}- 4m^2 x+4m2{}+ 4m^2−1{}- 1=0{}= 0 で

D4\displaystyle \frac{D}{4}=4m4\displaystyle {}= 4m^4−(1+m2)(4m2−1)\displaystyle {}- (1 + m^2)(4m^2 - 1)=1\displaystyle {}= 1−3m2\displaystyle {}- 3m^2≧0\displaystyle {}\geqq 0

となり、同じ結果です。

直線はどれも点 (2, 0)(2,\ 0) を通ります。(2, 0)(2,\ 0) から原点までの距離は 22、半径は 11 なので、接線と xx 軸のなす角 θ\theta は sin⁡θ\sin\theta=12{}= \dfrac{1}{2} から 30∘30^\circ で、tan⁡30∘\tan 30^\circ=33{}= \dfrac{\sqrt{3}}{3} と一致します。

自己採点：
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問12　★★

円 (x−1)2(x - 1)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=9{}= 9 に接し、直線 4x4x+3y{}+ 3y=0{}= 0 に平行な直線の方程式と、そのときの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

4x4x+3y{}+ 3y−16{}- 16=0{}= 0（接点 (175, 45)\left(\dfrac{17}{5},\ \dfrac{4}{5}\right)），4x4x+3y{}+ 3y+14{}+ 14=0{}= 0（接点 (−75, −145)\left(-\dfrac{7}{5},\ -\dfrac{14}{5}\right)）

解説

4x4x+3y{}+ 3y=0{}= 0 に平行な直線は 4x4x+3y{}+ 3y+c{}+ c=0{}= 0 とおけます。中心 (1, −1)(1,\ -1) との距離が半径 33 に等しいので

∣4−3+c∣5\displaystyle \frac{\lvert 4 - 3 + c \rvert}{5}=3\displaystyle {}= 3⟹∣c+1∣\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \lvert c + 1 \rvert=15\displaystyle {}= 15

よって cc=−16,{}= -16, 14\ 14 です。

接点は中心から下ろした垂線の足です。中心を 4x4x+3y{}+ 3y+c{}+ c に代入した値は 11+c{}+ c なので、垂線の足は

(1, −1)\displaystyle (1,\ -1)−1+c25(4, 3)\displaystyle {}- \frac{1 + c}{25}(4,\ 3)
  • cc=−16{}= -16 のとき：(1, −1)(1,\ -1)+1525(4, 3){}+ \dfrac{15}{25}(4,\ 3)=(175, 45){}= \left(\dfrac{17}{5},\ \dfrac{4}{5}\right)
  • cc=14{}= 14 のとき：(1, −1)(1,\ -1)−1525(4, 3){}- \dfrac{15}{25}(4,\ 3)=(−75, −145){}= \left(-\dfrac{7}{5},\ -\dfrac{14}{5}\right)

よって、答えは次の 2 本です。

  • 接線 4x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}4x}+3y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3y}−16=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 16 = 0}，接点 (175, 45)‾\underline{\left(\dfrac{17}{5},\ \dfrac{4}{5}\right)}
  • 接線 4x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}4x}+3y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3y}+14=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 14 = 0}，接点 (−75, −145)‾\underline{\left(-\dfrac{7}{5},\ -\dfrac{14}{5}\right)}

2 つの接点の中点は (1, −1)(1,\ -1) で、2 接点は直径の両端になっています。平行な 2 本の接線は、中心をはさんで反対側にあるからです。

自己採点：
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問13　★★

点 P(4, 2)\mathrm{P}(4,\ 2) から円 x2x^2+y2{}+ y^2=10{}= 10 に 2 本の接線を引き、接点を A，B とします。直線 AB の方程式、A，B の座標、線分 PA の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

直線 AB は 2x2x+y{}+ y−5{}- 5=0{}= 0、A，B は (1, 3)(1,\ 3)，(3, −1)(3,\ -1)、PA\mathrm{PA}=10{}= \sqrt{10}

解説

接点を (x1, y1)(x_1,\ y_1) とすると、接線 x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=10{}= 10 が P を通るので

4x1\displaystyle 4x_1+2y1\displaystyle {}+ 2y_1=10\displaystyle {}= 10

が成り立ちます。これは A の座標も B の座標も満たす式なので、A，B はどちらも直線 4x4x+2y{}+ 2y=10{}= 10 の上にあります。異なる 2 点を通る直線はただ 1 つなので、直線 AB は 2x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2x}+y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ y}−5=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5 = 0} です。

A，B は、この直線と円の共有点です。yy=5{}= 5−2x{}- 2x を代入すると

x2\displaystyle x^2+(5−2x)2\displaystyle {}+ (5 - 2x)^2=10\displaystyle {}= 10⟹5x2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 5x^2−20x\displaystyle {}- 20x+15\displaystyle {}+ 15=0\displaystyle {}= 0⟹(x−1)(x−3)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (x - 1)(x - 3)=0\displaystyle {}= 0

よって、A，B は (1, 3),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(1,\ 3),} (3, −1)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (3,\ -1)} です。

接線の長さは、第4章 公式5の代入した値を使うと PA2\mathrm{PA}^2=OP2{}= \mathrm{OP}^2−r2{}- r^2=16{}= 16+4{}+ 4−10{}- 10=10{}= 10 なので、PA\mathrm{PA}=10‾{}= \underline{\sqrt{10}} です。(4−1)2(4 - 1)^2+(2−3)2{}+ (2 - 3)^2=10{}= 10 で、直接計算しても一致します。

「接点を文字でおき、同じ形の式を 2 つの接点が満たす」という見方をすると、2 次方程式を解かずに直線 AB が求まります。

自己採点：
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問14　★★

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1，x2x^2+y2{}+ y^2−10x{}- 10x−24y{}- 24y+k{}+ k=0{}= 0 が接するような定数 kk の値と、そのときの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

kk=−27{}= -27 のとき接点 (−513, −1213)\left(-\dfrac{5}{13},\ -\dfrac{12}{13}\right)，kk=25{}= 25 のとき接点 (513, 1213)\left(\dfrac{5}{13},\ \dfrac{12}{13}\right)

解説

2 つ目の式は (x−5)2(x - 5)^2+(y−12)2{}+ (y - 12)^2=169{}= 169−k{}- k なので、円を表すには kk<169{}< 169 で、中心 (5, 12)(5,\ 12)、半径 169−k\sqrt{169 - k} です。中心間の距離は 25+144\sqrt{25 + 144}=13{}= 13 です。

外接する場合　11+169−k{}+ \sqrt{169 - k}=13{}= 13 より 169−k\sqrt{169 - k}=12{}= 12 で、kk=25{}= 25 です。接点は、原点から中心 (5, 12)(5,\ 12) へ向かう向きに半径 11 だけ進んだ点で、(513, 1213)\left(\dfrac{5}{13},\ \dfrac{12}{13}\right) です。

内接する場合　∣169−k−1∣\lvert \sqrt{169 - k} - 1 \rvert=13{}= 13 より 169−k\sqrt{169 - k}=14{}= 14（−12-12 は不適）で、kk=−27{}= -27 です。このとき半径 11 の円が半径 1414 の円の内側で接し、接点は原点から中心と反対向きに 11 進んだ点 (−513, −1213)\left(-\dfrac{5}{13},\ -\dfrac{12}{13}\right) です。中心 (5, 12)(5,\ 12) からの距離が 1313+1{}+ 1=14{}= 14 になっていることが確かめられます。

よって、答えは次の 2 つです。

  • k=−27‾\underline{k = -27}，接点 (−513, −1213)‾\underline{\left(-\dfrac{5}{13},\ -\dfrac{12}{13}\right)}
  • k=25‾\underline{k = 25}，接点 (513, 1213)‾\underline{\left(\dfrac{5}{13},\ \dfrac{12}{13}\right)}

2 円が接するとき、接点は 2 つの中心を通る直線の上にあります。

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問15　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 と直線 xx+y{}+ y−1{}- 1=0{}= 0 の 2 つの交点と、点 (3, 1)(3,\ 1) を通る円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

x2x^2+y2{}+ y^2−2x{}- 2x−2y{}- 2y−2{}- 2=0{}= 0

解説

原点と直線の距離は 12\dfrac{1}{\sqrt{2}}<2{}< 2 なので、円と直線は 2 点で交わります。

公式6より、2 交点を通る円を

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−4\displaystyle {}- 4+k(x+y−1)\displaystyle {}+ k(x + y - 1)=0\displaystyle {}= 0

とおきます。点 (3, 1)(3,\ 1) を代入すると 66+3k{}+ 3k=0{}= 0 で、kk=−2{}= -2 です。よって

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−4\displaystyle {}- 4−2(x+y−1)\displaystyle {}- 2(x + y - 1)=0\displaystyle {}= 0⟹x2‾\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}x^2}+y2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}+ y^2}−2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 2x}−2y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 2y}−2=0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 2 = 0}

平方完成すると (x−1)2(x - 1)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=4{}= 4 で、中心 (1, 1)(1,\ 1)、半径 22 の円です。点 (3, 1)(3,\ 1) を代入すると 99+1{}+ 1−6{}- 6−2{}- 2−2{}- 2=0{}= 0 で、確かに通っています。

交点の座標は (1±72, 1∓72)\left(\dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2},\ \dfrac{1 \mp \sqrt{7}}{2}\right) と根号を含みますが、公式6を使えば交点を求めずに済みます。

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問16　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 上を点 P が動くとき、P と直線 3x3x+4y{}+ 4y−20{}- 20=0{}= 0 の距離の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの P の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

最大値 66（P(−65, −85)\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5},\ -\dfrac{8}{5}\right)），最小値 22（P(65, 85)\mathrm{P}\left(\dfrac{6}{5},\ \dfrac{8}{5}\right)）

解説

中心（原点）と直線の距離は dd=205{}= \dfrac{20}{5}=4{}= 4 で、半径 22 より大きいので、円と直線は共有点をもちません。

原点から直線に下ろした垂線を考えると、円周上の点と直線の距離は、垂線と円の交点のうち直線に近いほうで最小 dd−r{}- r、遠いほうで最大 dd+r{}+ r になります。

よって、最小値は 44−2{}- 2=2‾{}= \underline{2}、最大値は 44+2{}+ 2=6‾{}= \underline{6} です。

垂線は直線の係数の向き (3, 4)(3,\ 4) に沿っていて、原点を 3x3x+4y{}+ 4y−20{}- 20 に代入した値が負なので、原点から (3, 4)(3,\ 4) の向きに進むと直線に近づきます。この向きに 1 進むと xx が 35\dfrac{3}{5}、yy が 45\dfrac{4}{5} 増えるので

  • 最小のとき：P(65, 85)\mathrm{P}\left(\dfrac{6}{5},\ \dfrac{8}{5}\right)
  • 最大のとき：P(−65, −85)\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5},\ -\dfrac{8}{5}\right)

です。それぞれ直線との距離を公式で計算すると ∣18/5+32/5−20∣5\dfrac{\lvert 18/5 + 32/5 - 20 \rvert}{5}=2{}= 2，∣−18/5−32/5−20∣5\dfrac{\lvert -18/5 - 32/5 - 20 \rvert}{5}=6{}= 6 で一致します。

第4章 公式5の「点と円周上の点の距離」と同じく、最大・最小は中心を通る線の上で起こります。

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問17　★★★

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1，(x−5)2(x - 5)^2+y2{}+ y^2=16{}= 16 の共通接線の方程式を、すべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=1{}= 1，3x3x−4y{}- 4y+5{}+ 5=0{}= 0，3x3x+4y{}+ 4y+5{}+ 5=0{}= 0

解説

中心間の距離は 55、半径の和は 11+4{}+ 4=5{}= 5 なので、2 円は外接し、共通接線は 3 本です（公式5）。

縦の直線の場合　xx=p{}= p が両方の円に接する条件は、∣p∣\lvert p \rvert=1{}= 1 かつ ∣p−5∣\lvert p - 5 \rvert=4{}= 4 です。pp=1{}= 1 がこれを満たすので、xx=1{}= 1 は共通接線です（接点 (1, 0)(1,\ 0) で外接しているところの接線）。

傾きをもつ場合　接線を yy=mx{}= mx+n{}+ n、つまり mxmx−y{}- y+n{}+ n=0{}= 0 とおきます。2 つの中心との距離の条件は

∣n∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert n \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}=1\displaystyle {}= 1⋯(i),\displaystyle \cdots (\mathrm{i}),∣5m+n∣m2+1\displaystyle \frac{\lvert 5m + n \rvert}{\sqrt{m^2 + 1}}=4\displaystyle {}= 4⋯(ii)\displaystyle \cdots (\mathrm{ii})

(ii) を (i) で割ると ∣5m+n∣\lvert 5m + n \rvert=4∣n∣{}= 4\lvert n \rvert なので、5m5m+n{}+ n=±4n{}= \pm 4n です。

  • 5m5m+n{}+ n=4n{}= 4n のとき nn=53m{}= \dfrac{5}{3}m。(i) に入れると 259m2\dfrac{25}{9}m^2=m2{}= m^2+1{}+ 1 で m2m^2=916{}= \dfrac{9}{16}、mm=±34{}= \pm\dfrac{3}{4}，nn=±54{}= \pm\dfrac{5}{4}（複号同順）
  • 5m5m+n{}+ n=−4n{}= -4n のとき nn=−m{}= -m。(i) に入れると m2m^2=m2{}= m^2+1{}+ 1 となり、解はない

mm=34{}= \dfrac{3}{4}，nn=54{}= \dfrac{5}{4} から 3x3x−4y{}- 4y+5{}+ 5=0{}= 0、mm=−34{}= -\dfrac{3}{4}，nn=−54{}= -\dfrac{5}{4} から 3x3x+4y{}+ 4y+5{}+ 5=0{}= 0 です。

よって、共通接線は x=1,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 1,}3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad 3x}−4y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 4y}+5=0,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 5 = 0,}3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad 3x}+4y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 4y}+5=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 5 = 0} の 3 本です。

2 円の間を通る接線（2 つ目の場合）は、ちょうど縦の直線 xx=1{}= 1 だけでした。傾きでおいた計算で「解なし」となっても、縦の直線を調べ忘れると 1 本を落とします。

自己採点：
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問18　★★★

kk を定数とし、直線 ℓ:k(x+y−3)\ell : k(x + y - 3)+(x−y+1){}+ (x - y + 1)=0{}= 0 と、円 C:x2C : x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x−2y{}- 2y−20{}- 20=0{}= 0 があります。

(1) ℓ\ell は kk の値にかかわらず定点 A を通ります。A の座標を求めなさい。

(2) ℓ\ell が CC から切り取る弦の長さの最小値と、そのときの kk の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) A(1, 2)\mathrm{A}(1,\ 2)　(2) 最小値 2232\sqrt{23}（kk=0{}= 0）

解説

(1) xx+y{}+ y−3{}- 3=0{}= 0 かつ xx−y{}- y+1{}+ 1=0{}= 0 のとき、kk の値にかかわらず式が成り立ちます（第2章 公式5）。連立して解くと A(1, 2)‾\underline{\mathrm{A}(1,\ 2)} です。

(2) CC は (x−2)2(x - 2)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=25{}= 25 で、中心 M(2, 1)\mathrm{M}(2,\ 1)、半径 55 です。A を CC の式に代入すると 11+4{}+ 4−4{}- 4−4{}- 4−20{}- 20=−23{}= -23<0{}< 0 なので、A は円の内部にあり、A を通る直線はどれも CC と 2 点で交わります。

M と ℓ\ell の距離を dd とすると、弦の長さは 225−d22\sqrt{25 - d^2} なので、dd が大きいほど弦は短くなります。ℓ\ell は A を通るので、M から ℓ\ell に下ろした垂線の足を H とすると、直角三角形 MHA で

d\displaystyle d=MH\displaystyle {}= \mathrm{MH}≦MA\displaystyle {}\leqq \mathrm{MA}=(1−2)2+(2−1)2\displaystyle {}= \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 1)^2}=2\displaystyle {}= \sqrt{2}

です。等号は H が A と一致するとき、つまり ℓ\ell⊥MA{}\perp \mathrm{MA} のときに成り立ちます。このとき弦の長さは最小で、225−22\sqrt{25 - 2}=223‾{}= \underline{2\sqrt{23}} です。

MA の傾きは 2−11−2\dfrac{2 - 1}{1 - 2}=−1{}= -1 なので、ℓ\ell の傾きが 11 になる kk を求めます。ℓ\ell を整理すると

(k+1)x\displaystyle (k + 1)x+(k−1)y\displaystyle {}+ (k - 1)y−3k\displaystyle {}- 3k+1\displaystyle {}+ 1=0\displaystyle {}= 0

kk=1{}= 1 のとき ℓ\ell は縦の直線 xx=1{}= 1 で傾き 11 ではありません。kk≠1{}\neq 1 のとき傾きは −k+1k−1-\dfrac{k + 1}{k - 1} で、これが 11 になるのは −k-k−1{}- 1=k{}= k−1{}- 1、つまり k=0‾\underline{k = 0} のときです。このとき ℓ:x\ell : x−y{}- y+1{}+ 1=0{}= 0 で、確かに A を通り、傾きは 11 です。

なお、弦の長さが最大（直径 1010）になるのは ℓ\ell が中心 M を通るときで、それは直線 xx+y{}+ y−3{}- 3=0{}= 0 です。ところが、この直線は k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 の形では表せない ff=0{}= 0 そのものなので、ℓ\ell の弦の長さに最大値はありません。

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問19　★★★

2 円 x2x^2+y2{}+ y^2=20{}= 20，x2x^2+y2{}+ y^2−10x{}- 10x−10y{}- 10y+40{}+ 40=0{}= 0 の 2 つの交点を通る円のうち、半径が最小の円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x−6y{}- 6y+16{}+ 16=0{}= 0（(x−3)2(x - 3)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=2{}= 2）

解説

まず交点を求めます。2 式を引くと

(x2+y2−20)\displaystyle (x^2 + y^2 - 20)−(x2+y2−10x−10y+40)\displaystyle {}- (x^2 + y^2 - 10x - 10y + 40)=0\displaystyle {}= 0⟹x\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad x+y\displaystyle {}+ y−6\displaystyle {}- 6=0\displaystyle {}= 0

これを x2x^2+y2{}+ y^2=20{}= 20 に代入すると x2x^2−6x{}- 6x+8{}+ 8=0{}= 0 で、交点は P(2, 4)\mathrm{P}(2,\ 4)，Q(4, 2)\mathrm{Q}(4,\ 2) です。PQ\mathrm{PQ}=22{}= 2\sqrt{2} です。

P，Q を通る円では PQ は弦で、弦の長さは直径 2r2r 以下なので 222\sqrt{2}≦2r{}\leqq 2r、つまり rr≧2{}\geqq \sqrt{2} です。等号は PQ が直径のとき、つまり中心が PQ の中点 (3, 3)(3,\ 3) のときに成り立ちます。

よって、求める円は (x−3)2(x - 3)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=2{}= 2、展開して x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2}−6x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 6x}−6y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 6y}+16=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 16 = 0} です。

公式6で確かめる　2 交点を通る円を k(x2+y2−20)k(x^2 + y^2 - 20)+(x2+y2−10x−10y+40){}+ (x^2 + y^2 - 10x - 10y + 40)=0{}= 0（kk≠−1{}\neq -1）とおくと、kk+1{}+ 1 で割って

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−10k+1x\displaystyle {}- \frac{10}{k + 1}x−10k+1y\displaystyle {}- \frac{10}{k + 1}y+40−20kk+1\displaystyle {}+ \frac{40 - 20k}{k + 1}=0\displaystyle {}= 0

中心は (5k+1, 5k+1)\left(\dfrac{5}{k + 1},\ \dfrac{5}{k + 1}\right) です。これが共通弦 xx+y{}+ y−6{}- 6=0{}= 0 上にあるのは 10k+1\dfrac{10}{k + 1}=6{}= 6、つまり kk=23{}= \dfrac{2}{3} のときで、定数項は 40−40/35/3\dfrac{40 - 40/3}{5/3}=16{}= 16 となり、同じ円が得られます。

なお、1 つ目の円 x2x^2+y2{}+ y^2=20{}= 20（半径 252\sqrt{5}）は k fk\,f+g{}+ g の形では表せませんが、半径が 2\sqrt{2} より大きいので答えには影響しません。

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問20　★★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 と直線 xx+y{}+ y=4{}= 4 があります。直線上の点 P から円に 2 本の接線を引き、接点を A，B とします。P が直線上を動くとき、直線 AB はつねに定点を通ることを示し、その定点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

定点 (1, 1)(1,\ 1)

解説

原点と直線 xx+y{}+ y−4{}- 4=0{}= 0 の距離は 42\dfrac{4}{\sqrt{2}}=22{}= 2\sqrt{2}>2{}> 2 なので、直線上の点 P はすべて円の外部にあり、接線はいつも 2 本引けます。

P(t, 4−t)\mathrm{P}(t,\ 4 - t) とおきます。接点 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1) における接線 x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=4{}= 4 が P を通るので

tx1\displaystyle t x_1+(4−t)y1\displaystyle {}+ (4 - t) y_1=4\displaystyle {}= 4

が成り立ちます。B (x2, y2)(x_2,\ y_2) についても同じく tx2t x_2+(4−t)y2{}+ (4 - t) y_2=4{}= 4 です。したがって、A，B はどちらも直線

tx\displaystyle t x+(4−t)y\displaystyle {}+ (4 - t) y=4\displaystyle {}= 4⋯(∗)\displaystyle \cdots (\ast)

の上にあります（tt と 44−t{}- t は同時に 00 にならないので、(∗)(\ast) は直線です）。異なる 2 点 A，B を通る直線はただ 1 つなので、(∗)(\ast) が直線 AB です（j13 と同じ考え方）。

(∗)(\ast) を tt について整理すると

t(x−y)\displaystyle t(x - y)+(4y−4)\displaystyle {}+ (4y - 4)=0\displaystyle {}= 0

これが tt の値にかかわらず成り立つのは、xx−y{}- y=0{}= 0 かつ 4y4y−4{}- 4=0{}= 0、つまり xx=1{}= 1，yy=1{}= 1 のときです。

よって、直線 AB は P の位置によらず、定点 (1, 1)‾\underline{(1,\ 1)} を通ります。（証明終）

定点 (1, 1)(1,\ 1) は、原点から直線 xx+y{}+ y=4{}= 4 に下ろした垂線（yy=x{}= x）の上にあり、円の内部の点です。たとえば P(4, 0)\mathrm{P}(4,\ 0) のとき直線 AB は xx=1{}= 1、P(0, 4)\mathrm{P}(0,\ 4) のとき yy=1{}= 1 で、どちらも (1, 1)(1,\ 1) を通っています。

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数学小話コーナー

3 つの円で震央を探す

地震が起きると、揺れはまず小さくカタカタと始まり（初期微動）、少し遅れて大きな揺れ（主要動）がやってきます。速く伝わる P 波が先に届き、遅い S 波が後から届くからです。初期微動が続く時間は、震源から遠いほど長くなります。明治時代の地震学者・大森房吉は、震源までの距離 DD が初期微動の継続時間 TT にほぼ比例する、という関係を示しました（大森公式。1899 年ごろ ※比例定数は地域や深さによって違い、1 秒あたりおよそ 6〜8 km とされる）。

1 つの観測点からわかるのは「震源までの距離」だけで、方角はわかりません。地表で考えると、震央（震源の真上の点）は、観測点を中心とする半径 DD の円の上のどこかにあります。観測点を 3 つにすると、3 つの円が 1 点で交わるところが震央です。

たとえば、観測点を A(0, 0)\mathrm{A}(0,\ 0)，B(25, 0)\mathrm{B}(25,\ 0)，C(0, 24)\mathrm{C}(0,\ 24)（単位は km）に置き、それぞれで求めた距離が 1515，2020，1515 だったとします。3 つの円は

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2=225,\displaystyle {}= 225,(x−25)2\displaystyle (x - 25)^2+y2\displaystyle {}+ y^2=400,\displaystyle {}= 400,x2\displaystyle x^2+(y−24)2\displaystyle {}+ (y - 24)^2=225\displaystyle {}= 225

です。この連立方程式は、公式6と同じように 2 式ずつ引く と簡単になります。1 つ目から 2 つ目を引くと 50x50x−625{}- 625=−175{}= -175 で xx=9{}= 9、1 つ目から 3 つ目を引くと 48y48y−576{}- 576=0{}= 0 で yy=12{}= 12。震央は (9, 12)(9,\ 12) とわかります。2 次の連立方程式が、引き算だけで 1 次の連立方程式に変わるのがポイントです。

豆知識

実際の観測には誤差があるので、3 つの円はぴったり 1 点では交わらず、小さな三角形の形に重なることが多くなります。それでも、2 つずつ式を引いてできる 3 本の直線（共通弦の直線）は、3 つの中心が一直線上になければ、必ず 1 点で交わります。円の式を f1f_1，f2f_2，f3f_3 とすると、(f1−f3)(f_1 - f_3)−(f1−f2){}- (f_1 - f_2)=f2{}= f_2−f3{}- f_3 なので、2 本の直線の交点では 3 本目の式も 00 になるからです。この点は図形の性質 第5章の小話に出てきた「根心」で、誤差があっても震央の見当をつける目安になります。

アポロニウスの接触問題

古代ギリシャの数学者アポロニウス（紀元前 3 世紀ごろ）は、『円錐曲線論』で知られますが、『接触』という本も書いたと伝えられています。その中心にあったのが、次の問題です。

「3 つの円が与えられたとき、その 3 つすべてに接する円を作図せよ」

この本そのものは失われていて、内容は 4 世紀のパップスが書き残した紹介でしか知られていません（※どこまで解かれていたかは諸説ある）。パップスによると、アポロニウスは「円」の代わりに「点」や「直線」が混じる場合も含めて、組み合わせを 10 通りに分けて調べていたようです。点は半径 00 の円、直線は半径が限りなく大きな円と見ることができるからです。

3 つの円に接する円は、条件が合えば最大で 8 個あります。それぞれの円に「外側から接するか、内側から接するか」の 2 通りずつを選ぶと、2×2×22 \times 2 \times 2=8{}= 8 通りになるからです。16 世紀の末に、フランスのヴィエトがこの問題の作図法を示し、「アポロニウスの復元」とうたった本を出しました（※1600 年ごろ）。その後も、ニュートンをはじめ多くの数学者がこの問題に取り組んでいます。

座標を使うと、求める円の中心を (x, y)(x,\ y)、半径を ρ\rho とおき、「中心間の距離 == 半径の和（または差）」という公式5の条件を 3 本並べることになります。それぞれ 2 乗して引き算すると、x2x^2，y2y^2，ρ2\rho^2 がまとめて消えて、1 次式が 2 本残ります。震央を探す小話と同じ「引き算で 1 次にする」工夫が、ここでも働きます。

豆知識

10 通りのうち「2 点と 1 直線に接する円」は、第4章 例題4 (2) の「2 点 (1, 1)(1,\ 1)，(2, 2)(2,\ 2) を通り xx 軸に接する円」そのものです。あのとき答えが 2 つあったのは、この問題の解が一般に 2 個あるからです。

車がいちばん短く曲がる道——円弧と共通接線

車はその場で向きを変えられません。ハンドルをいっぱいに切っても、ある半径（最小回転半径）より小さな円を描いて曲がることはできないからです。では、「いまの位置と向き」から「目的の位置と向き」まで、前進だけでいちばん短く移動するには、どんな道を通ればよいでしょうか。

1957 年、アメリカの数学者デュビンスは、この問題の答えが意外に単純であることを示しました。最短の道は、「半径いっぱいの円弧 → まっすぐな線分 → 円弧」か「円弧 → 円弧 → 円弧」のどちらかの形になる、というものです（※円弧や線分の長さが 00 の場合も含む）。この道はデュビンス経路と呼ばれています。

「円弧 → 線分 → 円弧」の道では、スタート地点のそばに描いた回転円と、ゴール地点のそばに描いた回転円を、まっすぐな線分でつなぎます。この線分は、2 つの円の 共通接線 の一部です。どちらの円でも同じ向き（たとえば両方とも左回り）に曲がるときは共通外接線、途中で曲がる向きが変わるときは 2 円の間を横切る共通内接線を使います。回転円は左回り用と右回り用が 1 つずつあるので、スタートとゴールで 2 × 2 の組み合わせを作り、それぞれの共通接線の長さと円弧の長さを足して、いちばん短いものを選びます。

1990 年には、リーズとシェップが、バックも許した場合の最短経路を分類しました（※リーズ・シェップ経路）。自動運転の車や倉庫の搬送ロボットが駐車や方向転換の道筋を計画するときにも、この考え方が土台として使われています（※実際にはさらに滑らかな曲線に直して使うことが多い）。

豆知識

車のカタログには「最小回転半径」が載っています。軽自動車ではおよそ 4.5 m 前後、大きな車では 6 m に近いものもあります（※車種によって違う）。狭い道で U ターンできるかどうかは、道幅がこの半径の 2 倍ほどあるかで見当がつきます。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、本文の公式1〜6が使えれば十分です。「距離と判別式の判定は、なぜいつも一致するの？」「外の点から引ける接線は、なぜちょうど 2 本なの？」「k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 で、交点を通る円が全部表せるの？」が気になる人のために、根拠を紹介します。

この章では、第1〜4章の厳密定義（2 点間の距離、直線上の点の表し方 (x1+tu, y1+tv)(x_1 + tu,\ y_1 + tv)、一般形どうしの垂直条件 a1a2a_1 a_2+b1b2{}+ b_1 b_2=0{}= 0、円と標準形・一般形の対応、一直線上にない 3 点を通る円がただ 1 つであること、円と直線の共有点が 2 個以下であること）を前提にします。平行移動や座標軸の取りかえで距離が変わらないこと（第1章 定理2）も使います。

円と直線

定義1：共有点・接する・弦

円と直線の両方に属する点を、円と直線の共有点という。共有点がちょうど 2 個のとき円と直線は異なる 2 点で交わるといい、ちょうど 1 個のとき接するという。接するときの直線を円の接線、共有点を接点という。

円周上の異なる 2 点を結ぶ線分を、円の弦という。

共有点が 3 個以上になることはありません（第4章 定理4）。したがって、円と直線の関係は定義1の 2 つと「共有点をもたない」の 3 通りで尽くされています。

定理1：距離による分類と弦の長さ

中心 C、半径 rr の円と直線 ℓ\ell があり、C から ℓ\ell に下ろした垂線の足を H、dd=CH{}= \mathrm{CH} とする。ℓ\ell 上の点 P について

CP2\displaystyle \mathrm{CP}^2=d2\displaystyle {}= d^2+HP2\displaystyle {}+ \mathrm{HP}^2

が成り立つ。したがって、円と ℓ\ell の共有点は、dd<r{}< r のとき 2 個、dd=r{}= r のとき 1 個（H のみ）、dd>r{}> r のとき 0 個である。dd<r{}< r のとき、2 つの共有点 A，B の中点は H で、AB\mathrm{AB}=2r2−d2{}= 2\sqrt{r^2 - d^2} である。

証明　平行移動して C を原点にとる。ℓ\ell の方程式を axax+by{}+ by+c{}+ c=0{}= 0 とし、両辺を a2+b2\sqrt{a^2 + b^2} で割って a2a^2+b2{}+ b^2=1{}= 1 としておく。このとき dd=∣c∣{}= \lvert c \rvert で、H の座標は (−ac, −bc)(-ac,\ -bc) である（a(−ac)a(-ac)+b(−bc){}+ b(-bc)+c{}+ c=0{}= 0 より ℓ\ell 上にあり、原点と H を通る直線 bxbx−ay{}- ay=0{}= 0 は ℓ\ell に垂直）。

ℓ\ell の向きを (u, v)(u,\ v)=(−b, a){}= (-b,\ a) とすると、ℓ\ell 上の点はすべて P\mathrm{P}=(−ac−bt, −bc+at){}= (-ac - bt,\ -bc + at)（tt は実数）と表せ、HP\mathrm{HP}=∣t∣b2+a2{}= \lvert t \rvert\sqrt{b^2 + a^2}=∣t∣{}= \lvert t \rvert である。

CP2\displaystyle \mathrm{CP}^2=(ac+bt)2\displaystyle {}= (ac + bt)^2+(bc−at)2\displaystyle {}+ (bc - at)^2=(a2+b2)(c2+t2)\displaystyle {}= (a^2 + b^2)(c^2 + t^2)=d2\displaystyle {}= d^2+t2\displaystyle {}+ t^2

（2abct2abct の項は打ち消し合う）。よって P が円周上にある   ⟺  d2\iff d^2+t2{}+ t^2=r2{}= r^2  ⟺  t2{}\iff t^2=r2{}= r^2−d2{}- d^2 で、この tt の個数が共有点の個数である。dd<r{}< r のときの解は tt=±r2−d2{}= \pm\sqrt{r^2 - d^2} で、対応する 2 点は H から逆向きに同じ距離にあるので、H は AB の中点であり、AB\mathrm{AB}=2r2−d2{}= 2\sqrt{r^2 - d^2} である。（証明終）

CP2\mathrm{CP}^2=d2{}= d^2+HP2{}+ \mathrm{HP}^2 は三平方の定理そのものですが、座標で書くと「tt の 2 乗の係数が 11、1 乗の項がない」形になります。本文の「H が直線上でいちばん中心に近い」という説明は、tt=0{}= 0 のとき CP2\mathrm{CP}^2 が最小になる、という意味です。ベクトル 第6章の厳密定義では、同じ結果を内積で導いています。

定理2：判別式による判定との一致

円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 と直線 ℓ:ax\ell : ax+by{}+ by+c{}+ c=0{}= 0（bb≠0{}\neq 0）について、ℓ\ell の式から yy を消去してできる xx の 2 次方程式の判別式を DD、原点と ℓ\ell の距離を dd とすると

D4\displaystyle \frac{D}{4}=b2(a2+b2)(r2−d2)\displaystyle {}= b^2 (a^2 + b^2)(r^2 - d^2)

が成り立つ。したがって、DD と r2r^2−d2{}- d^2 の符号は一致する。

証明　yy=−ax+cb{}= -\dfrac{ax + c}{b} を代入して b2b^2 倍すると

(a2+b2)x2\displaystyle (a^2 + b^2)x^2+2acx\displaystyle {}+ 2acx+c2\displaystyle {}+ c^2−b2r2\displaystyle {}- b^2 r^2=0\displaystyle {}= 0

a2a^2+b2{}+ b^2>0{}> 0 なので、これは確かに 2 次方程式である。

D4\displaystyle \frac{D}{4}=a2c2\displaystyle {}= a^2 c^2−(a2+b2)(c2−b2r2)\displaystyle {}- (a^2 + b^2)(c^2 - b^2 r^2)=b2{(a2+b2)r2−c2}\displaystyle {}= b^2 \{ (a^2 + b^2) r^2 - c^2 \}

d2d^2=c2a2+b2{}= \dfrac{c^2}{a^2 + b^2} なので、c2c^2=(a2+b2)d2{}= (a^2 + b^2) d^2 を代入すると結論を得る。（証明終）

bb=0{}= 0 のとき（縦の直線）は xx を消去すれば同じ議論ができます。中心が原点でない円でも、yy を消去した 2 次方程式の実数解 xx と共有点は 1 対 1 に対応する（xx が決まれば ℓ\ell の式から yy が 1 つに決まる）ので、「DD>0{}> 0，=0= 0，<0< 0」と「共有点 2 個，1 個，0 個」が対応し、定理1の分類と一致します。

接線

定理3：円周上の点における接線

中心 C(a, b)\mathrm{C}(a,\ b)、半径 rr の円周上の点 P(x1, y1)\mathrm{P}(x_1,\ y_1) を通る直線 ℓ\ell が円に接するための必要十分条件は、ℓ\ell⊥CP{}\perp \mathrm{CP} である。したがって、P における接線はただ 1 本で、その方程式は

(x1−a)(x−a)\displaystyle (x_1 - a)(x - a)+(y1−b)(y−b)\displaystyle {}+ (y_1 - b)(y - b)=r2\displaystyle {}= r^2

である。

証明　C から ℓ\ell に下ろした垂線の足を H とする。P は ℓ\ell 上にあるので、定理1より r2r^2=CP2{}= \mathrm{CP}^2=d2{}= d^2+HP2{}+ \mathrm{HP}^2 である。よって

d\displaystyle d=r\displaystyle {}= r  ⟺  HP\displaystyle {}\iff \mathrm{HP}=0\displaystyle {}= 0  ⟺  H\displaystyle {}\iff \mathrm{H}=P\displaystyle {}= \mathrm{P}  ⟺  ℓ\displaystyle {}\iff \ell⊥CP\displaystyle {}\perp \mathrm{CP}

であり、定理1より dd=r{}= r は「接する」と同値である。

P を通り CP に垂直な直線はただ 1 本で、(x1−a, y1−b)(x_1 - a,\ y_1 - b)≠(0, 0){}\neq (0,\ 0) を係数にもつ

(x1−a)(x−x1)\displaystyle (x_1 - a)(x - x_1)+(y1−b)(y−y1)\displaystyle {}+ (y_1 - b)(y - y_1)=0\displaystyle {}= 0

がそれである（直線 CP は (y1−b)(x−a)(y_1 - b)(x - a)−(x1−a)(y−b){}- (x_1 - a)(y - b)=0{}= 0 と書け、第3章 定理2の条件 a1a2a_1 a_2+b1b2{}+ b_1 b_2=0{}= 0 を満たす）。xx−x1{}- x_1=(x−a){}= (x - a)−(x1−a){}- (x_1 - a)，yy−y1{}- y_1=(y−b){}= (y - b)−(y1−b){}- (y_1 - b) と書きかえ、(x1−a)2(x_1 - a)^2+(y1−b)2{}+ (y_1 - b)^2=r2{}= r^2 を使うと結論の式になる。（証明終）

図形の性質 第5章では「接線は接点を通る半径に垂直」を、背理法（垂線の足が別の点なら、もう 1 つ共有点ができる）で示しました。定理3の証明は、同じ事実を r2r^2=d2{}= d^2+HP2{}+ \mathrm{HP}^2 という 1 本の等式から読み取っています。

定義2：極線

円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 と、原点と異なる点 A(p, q)\mathrm{A}(p,\ q) に対して、直線

px\displaystyle px+qy\displaystyle {}+ qy=r2\displaystyle {}= r^2

を、この円に関する点 A の極線という。

定理4：外の点から引いた接線と極線

円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 と、原点と異なる点 A(p, q)\mathrm{A}(p,\ q) について、A を通る接線の接点は、A の極線と円の共有点に一致する。したがって

  • A が円の外部にあるとき、A を通る接線はちょうど 2 本あり、2 つの接点を通る直線は A の極線である
  • A が円周上にあるとき、A を通る接線は 1 本（A における接線）で、それは A の極線である
  • A が円の内部にあるとき、A を通る接線はない

また、A が外部にあるとき、接点を T とすると AT2\mathrm{AT}^2=p2{}= p^2+q2{}+ q^2−r2{}- r^2 である。

証明　円周上の点 T(x1, y1)\mathrm{T}(x_1,\ y_1) における接線 x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=r2{}= r^2（定理3）が A を通る条件は x1px_1 p+y1q{}+ y_1 q=r2{}= r^2、すなわち「T が A の極線上にある」ことである。よって、接点は極線と円の共有点と一致し、異なる接点における接線は異なる直線である（接線と円の共有点は接点 1 つだけなので）。

原点と極線の距離は δ\delta=r2p2+q2{}= \dfrac{r^2}{\sqrt{p^2 + q^2}} である。p2+q2\sqrt{p^2 + q^2}=OA{}= \mathrm{OA} なので

δ\displaystyle \delta<r\displaystyle {}< r  ⟺  OA\displaystyle {}\iff \mathrm{OA}>r,\displaystyle {}> r,δ\displaystyle \delta=r\displaystyle {}= r  ⟺  OA\displaystyle {}\iff \mathrm{OA}=r,\displaystyle {}= r,δ\displaystyle \delta>r\displaystyle {}> r  ⟺  OA\displaystyle {}\iff \mathrm{OA}<r\displaystyle {}< r

となり、定理1より、共有点（接点）の個数はそれぞれ 2，1，0 である。A が円周上にあるとき、極線 pxpx+qy{}+ qy=r2{}= r^2 は A における接線そのものである。

最後に、OT\mathrm{OT}⊥AT{}\perp \mathrm{AT}（定理3）なので、三平方の定理より AT2\mathrm{AT}^2=OA2{}= \mathrm{OA}^2−OT2{}- \mathrm{OT}^2=p2{}= p^2+q2{}+ q^2−r2{}- r^2 である。（証明終）

実践問題 j13 と j20 は、この定理の「2 つの接点を通る直線は極線」を使っています。AT2\mathrm{AT}^2=p2{}= p^2+q2{}+ q^2−r2{}- r^2 は、第4章 定理6の「代入した値 == 方べき」の、接線の長さによる言いかえです。原点以外の点と、原点を通らない直線を 1 対 1 に結びつけるこの対応は「極と極線」と呼ばれ、射影幾何学の入口にあたる考え方です。

2 つの円

定理5：2 円の共有点の個数

半径 rr，r′r' の 2 円の中心間の距離を ee（ee>0{}> 0）とすると、2 円の共有点の個数は

  • ∣r−r′∣\lvert r - r' \rvert<e{}< e<r{}< r+r′{}+ r' のとき 2 個
  • ee=r{}= r+r′{}+ r' または ee=∣r−r′∣{}= \lvert r - r' \rvert のとき 1 個
  • ee>r{}> r+r′{}+ r' または ee<∣r−r′∣{}< \lvert r - r' \rvert のとき 0 個

である。共有点が 1 個のとき、その点は 2 つの中心を通る直線上にある。

証明　座標軸を取りかえて、中心を (0, 0)(0,\ 0) と (e, 0)(e,\ 0) にとる。2 円は

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2=r2\displaystyle {}= r^2⋯(i),\displaystyle \cdots (\mathrm{i}),(x−e)2\displaystyle (x - e)^2+y2\displaystyle {}+ y^2=r′2\displaystyle {}= r'^2⋯(ii)\displaystyle \cdots (\mathrm{ii})

である。(i)−(ii) より 2ex2ex−e2{}- e^2=r2{}= r^2−r′2{}- r'^2 なので、連立方程式 (i)，(ii) は

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2=r2,\displaystyle {}= r^2,x\displaystyle x=x0\displaystyle {}= x_0(x0=e2+r2−r′22e)\displaystyle \left( x_0 = \frac{e^2 + r^2 - r'^2}{2e} \right)

と同値である。よって、共有点は円 (i) と縦の直線 xx=x0{}= x_0 の共有点で、定理1より、その個数は ∣x0∣\lvert x_0 \rvert<r{}< r のとき 2，∣x0∣\lvert x_0 \rvert=r{}= r のとき 1，∣x0∣\lvert x_0 \rvert>r{}> r のとき 0 である。∣x0∣\lvert x_0 \rvert=r{}= r のときの共有点は (x0, 0)(x_0,\ 0) で、xx 軸（2 つの中心を通る直線）上にある。

∣x0∣\lvert x_0 \rvert<r{}< r は −2er-2er<e2{}< e^2+r2{}+ r^2−r′2{}- r'^2<2er{}< 2er と同値で、これは

(e−r)2\displaystyle (e - r)^2<r′2\displaystyle {}< r'^2かつ\displaystyle \text{かつ}r′2\displaystyle r'^2<(e+r)2\displaystyle {}< (e + r)^2

すなわち ∣e−r∣\lvert e - r \rvert<r′{}< r' かつ r′r'<e{}< e+r{}+ r である。前者は rr−r′{}- r'<e{}< e<r{}< r+r′{}+ r'、後者は r′r'−r{}- r<e{}< e と同値なので、合わせて ∣r−r′∣\lvert r - r' \rvert<e{}< e<r{}< r+r′{}+ r' となる。不等号を等号に変えた場合も同じ変形で、∣x0∣\lvert x_0 \rvert=r{}= r  ⟺  e{}\iff e=r{}= r+r′{}+ r' または ee=∣r−r′∣{}= \lvert r - r' \rvert が得られる。残りの場合が 0 個である。（証明終）

ee=0{}= 0（同心円）のときは、(i)−(ii) が 00=r2{}= r^2−r′2{}- r'^2 となり、rr=r′{}= r' なら同じ円、rr≠r′{}\neq r' なら共有点はありません。定理5の証明で、2 つの円の式を引いてできた直線 xx=x0{}= x_0 は、図形の性質 第5章で紹介した根軸です。2 円が交わるときは、根軸が共通弦を含む直線になります。

2 円の条件が「ee，rr，r′r' を 3 辺とする三角形が存在する条件」と同じ形になるのは、共有点 (x0, y0)(x_0,\ y_0)（y0y_0≠0{}\neq 0）と 2 つの中心が、3 辺 rr，r′r'，ee の三角形をつくるからです。

交点を通る図形

定理6：2 円の交点を通る図形

x2x^2，y2y^2 の係数を 11 にそろえた 2 つの円 f(x, y)f(x,\ y)=0{}= 0，g(x, y)g(x,\ y)=0{}= 0 が、異なる 2 点 P，Q で交わるとする。

(1) kk≠−1{}\neq -1 のとき、k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 は P，Q を通る円を表す。kk=−1{}= -1 のとき、直線 PQ を表す。

(2) P，Q を通る円のうち、円 ff=0{}= 0 以外のものは、すべて k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0（kk≠−1{}\neq -1）の形にただ 1 通りに表せる。

証明　(1) P，Q で ff=g{}= g=0{}= 0 なので、k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 は P，Q を通る。kk≠−1{}\neq -1 のとき、両辺を kk+1{}+ 1 で割ると x2x^2+y2{}+ y^2+l′′x{}+ l''x+m′′y{}+ m''y+n′′{}+ n''=0{}= 0 の形になる。第4章 定理3より、この形の方程式が表すのは円・1 点・空集合のいずれかであり、2 点 P，Q を含むので円である。

kk=−1{}= -1 のとき、ff−g{}- g は xx，yy の一次式で、xx，yy の係数がともに 00 になるのは 2 円の中心が一致する場合だけである。中心が一致する 2 円は、同じ円か共有点のない円なので、2 点で交わることはない。よって ff−g{}- g=0{}= 0 は P，Q を通る直線、すなわち直線 PQ である。

(2) hh=0{}= 0 を、P，Q を通り ff=0{}= 0 と異なる円とする。異なる 2 円の共有点は 2 個以下（定理5）なので、円 hh=0{}= 0 上の P，Q 以外の点 R は、円 ff=0{}= 0 上にない。つまり f(R)f(\mathrm{R})≠0{}\neq 0 で、kk=−g(R)f(R){}= -\dfrac{g(\mathrm{R})}{f(\mathrm{R})} とおくと、k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 は P，Q，R を通る。

もし kk=−1{}= -1 なら、(1) より R は直線 PQ 上にあることになるが、円周上の異なる 3 点は一直線上にない（第4章 定理4）ので矛盾する。よって kk≠−1{}\neq -1 で、k fk\,f+g{}+ g=0{}= 0 は P，Q，R を通る円である。一直線上にない 3 点を通る円はただ 1 つなので、これは hh=0{}= 0 と一致する。

表し方がただ 1 通りであることを示す。kk，k′k'（≠−1\neq -1）で同じ円を表すとすると、第4章 定理2（一般形の一意性）より、kk+1{}+ 1，k′k'+1{}+ 1 で割った式が一致する。

(k′+1)(k f+g)\displaystyle (k' + 1)(k\,f + g)=(k+1)(k′ f+g)\displaystyle {}= (k + 1)(k'\,f + g)⟹(k−k′)(f−g)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (k - k')(f - g)=0\displaystyle {}= 0

ff−g{}- g は 00 でない一次式なので、kk=k′{}= k' である。（証明終）

円と直線 hh=0{}= 0 が 2 点で交わるときの ff+k h{}+ k\,h=0{}= 0 も、同じ方法で「交点を通る円はすべて（ただ 1 通りに）表せる」ことが示せます。このときは x2x^2，y2y^2 の係数が kk によらず 11 なので、表せない円はありません。

第2章 定理6・第3章 定理3で直線の束 λf\lambda f+μg{}+ \mu g=0{}= 0 を扱ったのと同じく、円の場合も λf\lambda f+μg{}+ \mu g=0{}= 0（λ\lambda，μ\mu は同時に 00 でない）とおけば、ff=0{}= 0 自身（μ\mu=0{}= 0）も含めて、P，Q を通る円と直線 PQ がすべて表せます。このような円の集まりを円束といいます。実践問題 j18 で「最大値が存在しない」ことが起きたのは、k fk\,f+g{}+ g の形が μ\mu=0{}= 0 の 1 つだけを取りこぼしているからです。

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