$\vec{a}$ ${}= (k,\ 1,\ 3)$ と $\vec{b}$ ${}= (k,\ -4,\ 1)$ が垂直になるように、実数 $k$ の値を定めなさい。

1a:T4be,

$k$ ${}= \pm 1$

1b:T83e1,

$\vec{a}$ ${}\perp \vec{b}$ となる条件は $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ${}= 0$ です（ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ は $y$ 成分が $0$ でないので $\vec{0}$ ではありません）。

\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}

よって $\underline{k = \pm 1}$ です。

確かめると、 $k$ ${}= 1$ のとき $(1,\ 1,\ 3) \cdot (1,\ -4,\ 1)$ ${}= 1$ ${}- 4$ ${}+ 3$ ${}= 0$ 、 $k$ ${}= -1$ のとき $(-1,\ 1,\ 3) \cdot (-1,\ -4,\ 1)$ ${}= 1$ ${}- 4$ ${}+ 3$ ${}= 0$ です。

1c:Tf22,

3 点 $\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$ ， $\mathrm{B}(3,\ 1,\ 5)$ ， $\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$ について、 $\angle \mathrm{BAC}$ の大きさと三角形 ABC の面積を求めなさい。

1d:Tbf7,

$\angle \mathrm{BAC}$ ${}= 135^\circ$ ，面積 $\dfrac{9}{2}$

1e:Tc4b2,

$\overrightarrow{AB}$ ${}= (1,\ 2,\ 2)$ ， $\overrightarrow{AC}$ ${}= (-3,\ 0,\ -3)$ なので

\displaystyle |\overrightarrow{AB}|

\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}

よって $\underline{\angle \mathrm{BAC} = 135^\circ}$ 。面積は公式3から

\displaystyle S

$\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 135^\circ$ ${}= \dfrac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ${}= \dfrac{9}{2}$ としても同じです。

学習完了テスト