第6章　ベクトル方程式

動く点と「ベクトル方程式」

第5章までは、交点や垂線の足のように、位置が 1 つに決まった点をベクトルで表してきました。この章では見方を変えて、ある条件を満たしながら動く点 P を考えます。P の位置ベクトル $\vec{p}$ が満たす式をベクトル方程式といい、その式を満たす点をすべて集めると、直線や円といった図形ができあがります。

基準点 O を 1 つ決め、点は第4章と同じく $\mathrm{P}(\vec{p})$，$\mathrm{A}(\vec{a})$ のように書きます。座標平面で考えるときは O を原点にとり、位置ベクトルの成分と点の座標を同じものとして扱います。

直線のベクトル方程式（方向ベクトル）

直線は「通る 1 点」と「延びる向き」が決まれば 1 本に決まります。点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、$\vec{0}$ でないベクトル $\vec{d}$ に平行な直線を考えましょう。P がこの直線上にあることは、$\overrightarrow{AP}$ が $\vec{d}$ と平行か $\vec{0}$ であること、つまり実数 $t$ を使って $\overrightarrow{AP}$${}= t\vec{d}$ と書けることと同じです（第1章の平行条件）。$\overrightarrow{AP}$${}= \vec{p}$${}- \vec{a}$ ですから、次の式が得られます。

公式1：直線のベクトル方程式と媒介変数表示

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、$\vec{d}\ (\neq \vec{0})$ に平行な直線のベクトル方程式は

$\displaystyle \vec{p}$$\displaystyle {}= \vec{a}$$\displaystyle {}+ t\vec{d}$$\displaystyle (t\ \text{は実数})$

$\vec{d}$ をこの直線の方向ベクトル、$t$ を媒介変数（パラメーター）という。

$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\vec{d}$${}= (l,\ m)$，$\mathrm{P}(x,\ y)$ とすると、成分で

$$\begin{cases} x = x_1 + lt \\ y = y_1 + mt \end{cases}$$

これを直線の媒介変数表示という。$t$ を消去すると

$\displaystyle m(x - x_1)$$\displaystyle {}- l(y - y_1)$$\displaystyle {}= 0$

$t$ を消去した式は、$(x - x_1,\ y - y_1)$${}= t(l,\ m)$ が「$(l,\ m)$ と平行（または $\vec{0}$）」という意味なので、第2章の平行条件「たすき掛けの差が $0$」をそのまま書いたものです。$t$ を $-\infty$ から $\infty$ まで動かすと、P は A を出発点に $\vec{d}$ の向きへも逆向きへも、どこまでも進みます。

空港の動く歩道に乗った人を思い浮かべてください。乗った地点が A、1 秒ごとに進む向きと距離が $\vec{d}$ です。$t$ 秒後の位置は $\vec{a}$${}+ t\vec{d}$ で、$t$${}= 3$ なら 3 秒後、$t$${}= -2$ なら「2 秒前にいた場所」を表します。媒介変数 $t$ は、この「時刻」のような役目をしています。

直線は「通る 1 点 $\vec{a}$ と向き $\vec{d}$」で $\vec{p}$${}= \vec{a}$${}+ t\vec{d}$ と表され、$t$ を 1 つ決めるごとに直線上の点が 1 つ決まるということです。

例題1：方向ベクトルで直線を表す

点 $\mathrm{A}(2,\ -1)$ を通り、$\vec{d}$${}= (3,\ 2)$ に平行な直線を $\ell$ とします。

(1) $\ell$ を媒介変数 $t$ を使って表しなさい。

(2) $t$ を消去して、$\ell$ を $x$，$y$ の方程式で表しなさい。

(3) 2 点 $(8,\ 3)$，$(5,\ 2)$ がそれぞれ $\ell$ 上にあるかどうかを調べなさい。

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【解答】

(1) 公式1から

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3t,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\qquad y = -1}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2t}$

(2) $x$${}- 2$${}= 3t$，$y$${}+ 1$${}= 2t$ です。$t$ を消すために 1 つ目を 2 倍、2 つ目を 3 倍すると、どちらも $6t$ になるので

$\displaystyle 2(x - 2)$$\displaystyle {}= 3(y + 1)$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 3y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 7 = 0}$

(3) $(8,\ 3)$ について、$x$${}= 8$ となるのは $t$${}= 2$ のときで、このとき $y$${}= -1$${}+ 4$${}= 3$ です。よって $(8,\ 3)$ は $\ell$ 上にあります。

$(5,\ 2)$ について、$x$${}= 5$ となるのは $t$${}= 1$ のときですが、このとき $y$${}= -1$${}+ 2$${}= 1$${}\neq 2$ です。よって $(5,\ 2)$ は $\ell$ 上にありません。

(2) の方程式に代入しても、$2 \cdot 8$${}- 3 \cdot 3$${}- 7$${}= 0$，$2 \cdot 5$${}- 3 \cdot 2$${}- 7$${}= -3$${}\neq 0$ で、同じ結論になります。

2 点を通る直線と線分

2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線は、方向ベクトルを $\vec{d}$${}= \vec{b}$${}- \vec{a}$ にとれば公式1で表せます。

$\displaystyle \vec{p}$$\displaystyle {}= \vec{a}$$\displaystyle {}+ t(\vec{b} - \vec{a})$$\displaystyle {}= (1 - t)\vec{a}$$\displaystyle {}+ t\vec{b}$

これは第4章の公式6「係数の和が $1$」と同じ式です。ただ、媒介変数 $t$ の値に注目すると、点の位置がよく分かります。$t$${}= 0$ のとき P は A、$t$${}= 1$ のとき P は B に重なります。

公式2：2 点を通る直線と線分

2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式は

$\displaystyle \vec{p}$$\displaystyle {}= (1 - t)\vec{a}$$\displaystyle {}+ t\vec{b}$$\displaystyle (t\ \text{は実数})$

$t$ の範囲によって、P のいる場所は次のようになる。

$t$ の範囲	P のいる場所
$0 \leqq t \leqq 1$	線分 AB 上
$t < 0$	A の外側（B と反対側）の延長上
$t > 1$	B の外側（A と反対側）の延長上

とくに、線分 AB は $\vec{p}$${}= (1 - t)\vec{a}$${}+ t\vec{b}\ \ (0 \leqq t \leqq 1)$ で表される。

$0$${}< t$${}< 1$ のとき、P は線分 AB を $t : (1 - t)$ に内分する点です（第4章の $\mathrm{AP} : \mathrm{PB}$${}= t : s$ で $s$${}= 1$${}- t$ とおいたもの）。

山のロープウェイで考えましょう。ふもとの駅が A、山頂の駅が B で、$t$ は「全体のうちどれだけ進んだか」の割合です。$t$${}= 0$ で出発、$t$${}= 1$ で到着、$t$${}= 0.5$ ならちょうど真ん中です。ゴンドラが実際にいられるのは $0$${}\leqq t$${}\leqq 1$ の間だけで、$t$${}= 1.2$ はケーブルを山の向こうまで延ばした架空の位置にあたります。

2 点を通る直線は $(1 - t)\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ で表され、媒介変数 $t$ を $0$ 以上 $1$ 以下に制限すると線分になるということです。

例題2：線分と座標軸の交点

2 点 $\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(5,\ -2)$ があります。

(1) 直線 AB を、$t$${}= 0$ のとき A、$t$${}= 1$ のとき B となる媒介変数 $t$ で表しなさい。

(2) 直線 AB を $x$，$y$ の方程式で表しなさい。

(3) 線分 AB と $x$ 軸の交点を求めなさい。また、直線 AB と $y$ 軸の交点を求め、それが線分 AB 上にあるかどうかを調べなさい。

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【解答】

(1) $\overrightarrow{AB}$${}= (4,\ -6)$ なので、公式2から

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 1}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 4t,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\qquad y = 4}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 6t}$

(2) 公式1の消去の式に $x_1$${}= 1$，$y_1$${}= 4$，$l$${}= 4$，$m$${}= -6$ を入れて

$\displaystyle -6(x - 1)$$\displaystyle {}- 4(y - 4)$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad -6x$$\displaystyle {}- 4y$$\displaystyle {}+ 22$$\displaystyle {}= 0$

両辺を $-2$ で割って $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2y}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 11 = 0}$。B を代入すると $15$${}- 4$${}- 11$${}= 0$ で、確かに通っています。

(3) $x$ 軸上では $y$${}= 0$ なので、$4$${}- 6t$${}= 0$ より $t$${}= \dfrac{2}{3}$。$0$${}\leqq t$${}\leqq 1$ を満たすので、交点は線分 AB 上にあります。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 4 \cdot \frac{2}{3}$$\displaystyle {}= \frac{11}{3}$

より、交点は $\underline{\left(\dfrac{11}{3},\ 0\right)}$ です（AB を $2 : 1$ に内分する点です）。

$y$ 軸上では $x$${}= 0$ なので、$1$${}+ 4t$${}= 0$ より $t$${}= -\dfrac{1}{4}$。このとき $y$${}= 4$${}+ \dfrac{6}{4}$${}= \dfrac{11}{2}$ で、交点は $\underline{\left(0,\ \dfrac{11}{2}\right)}$ です。$t$${}< 0$ なので、この点は線分 AB 上にはなく、A の外側の延長上にあります。

法線ベクトルと直線の方程式

直線は「延びる向き」の代わりに、「直線と垂直な向き」で決めることもできます。点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、$\vec{0}$ でないベクトル $\vec{n}$ に垂直な直線を考えます。P がこの直線上にあることは、$\overrightarrow{AP}$ が $\vec{n}$ と垂直か $\vec{0}$ であること、つまり内積が $0$ であることと同じです（第3章の垂直条件）。

公式3：法線ベクトルと直線

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、$\vec{n}\ (\neq \vec{0})$ に垂直な直線のベクトル方程式は

$\displaystyle \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})$$\displaystyle {}= 0$

$\vec{n}$ をこの直線の法線ベクトルという。$\vec{n}$${}= (a,\ b)$，$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$ とすると

$\displaystyle a(x - x_1)$$\displaystyle {}+ b(y - y_1)$$\displaystyle {}= 0$

逆に、$(a,\ b)$${}\neq (0,\ 0)$ のとき、方程式 $ax$${}+ by$${}+ c$${}= 0$ は $\vec{n}$${}= (a,\ b)$ を法線ベクトルとする直線を表す。方向ベクトルには $(-b,\ a)$ がとれる。

2 直線のなす角：2 直線の法線ベクトルを $\vec{n_1}$，$\vec{n_2}$ とすると、2 直線のなす角 $\theta\ (0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ)$ は

$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}$

2 直線 $a_1x$${}+ b_1y$${}+ c_1$${}= 0$，$a_2x$${}+ b_2y$${}+ c_2$${}= 0$ について

$\displaystyle \text{平行（一致を含む）}$$\displaystyle {}\iff a_1b_2$$\displaystyle {}- a_2b_1$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle \text{垂直}$$\displaystyle {}\iff a_1a_2$$\displaystyle {}+ b_1b_2$$\displaystyle {}= 0$

ここでの係数 $a$，$b$ は、位置ベクトルの $\vec{a}$，$\vec{b}$ とは別物です。$ax$${}+ by$${}+ c$${}= 0$ を展開して $a(x - x_1)$${}+ b(y - y_1)$${}= 0$ と見比べると、$c$${}= -(ax_1 + by_1)$ にあたります。直線の方程式の形については、図形と方程式の分野でも改めて扱います。

方向ベクトルが $(-b,\ a)$ になるのは、第3章で紹介した「成分を入れかえて一方の符号を変えると垂直になる」からです。また、2 直線のなす角を法線ベクトルで測ってよいのは、2 本の直線をそれぞれ $90^\circ$ 回すと法線になり、回しても 2 本の間の角は変わらないからです。法線ベクトルどうしのなす角が鈍角になったときは、直線どうしの角はその補角（$180^\circ$ から引いた角）なので、分子に絶対値を付けています。

「南向きの部屋」という言い方を思い出してください。窓のある壁そのものは東西に延びていますが、私たちは壁の延びる向きではなく、壁に垂直な「窓の正面の向き」で部屋の向きを言い表します。平面の直線も同じで、延びる向き（方向ベクトル）の代わりに、正面の向き（法線ベクトル）で伝えることができます。

直線は「通る 1 点と、直線に垂直な向き $\vec{n}$」でも決まり、$\vec{n}$${}= (a,\ b)$ なら方程式は $ax$${}+ by$${}+ c$${}= 0$ の形になって、$x$，$y$ の係数がそのまま法線ベクトルの成分になるということです。

例題3：法線ベクトルと 2 直線の関係

(1) 点 $\mathrm{A}(3,\ 1)$ を通り、$\vec{n}$${}= (2,\ -5)$ に垂直な直線の方程式を求めなさい。

(2) 2 直線 $x$${}- 2y$${}+ 3$${}= 0$，$3x$${}- y$${}- 1$${}= 0$ のなす角 $\theta\ (0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ)$ を求めなさい。

(3) 直線 $2x$${}+ ky$${}- 1$${}= 0$ が直線 $x$${}- 2y$${}+ 3$${}= 0$ と垂直になるときと、平行になるときの定数 $k$ の値をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

(1) 公式3から

$\displaystyle 2(x - 3)$$\displaystyle {}- 5(y - 1)$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 1 = 0}$

(2) 法線ベクトルは $\vec{n_1}$${}= (1,\ -2)$，$\vec{n_2}$${}= (3,\ -1)$ です。

$\displaystyle \vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$$\displaystyle {}= 3$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle |\vec{n_1}|$$\displaystyle {}= \sqrt{5},$$\displaystyle |\vec{n_2}|$$\displaystyle {}= \sqrt{10}$$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}$$\displaystyle {}= \frac{5}{5\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって $\underline{\theta = 45^\circ}$ です。

(3) 法線ベクトルは $(2,\ k)$ と $(1,\ -2)$ です。

垂直になるのは $2 \cdot 1$${}+ k \cdot (-2)$${}= 0$ のときで、$\underline{k = 1}$。

平行になるのは $2 \cdot (-2)$${}- k \cdot 1$${}= 0$ のときで、$\underline{k = -4}$。このとき直線は $2x$${}- 4y$${}- 1$${}= 0$ で、$x$${}- 2y$${}+ 3$${}= 0$ を 2 倍した $2x$${}- 4y$${}+ 6$${}= 0$ とは定数項が違うので、一致はしていません。

点と直線の距離

点 P から直線 $\ell$ までの距離とは、P から $\ell$ に下ろした垂線の足を H としたときの線分 PH の長さのことです。第5章の厳密定義で示したとおり、H は $\ell$ 上で P にいちばん近い点です。

この距離を、第3章の正射影を使って求めます。$\ell : ax$${}+ by$${}+ c$${}= 0$ 上に点 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$ を 1 つとり、$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$ とします。$\overrightarrow{HP}$ は法線ベクトル $\vec{n}$${}= (a,\ b)$ と平行なので、PH の長さは $\overrightarrow{AP}$ を $\vec{n}$ の向きに正射影した長さ $|\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta|$ に等しくなります（$\theta$ は $\overrightarrow{AP}$ と $\vec{n}$ のなす角）。

$\displaystyle \mathrm{PH}$$\displaystyle {}= \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|}$$\displaystyle {}= \frac{|a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

A は $\ell$ 上にあるので $ax_1$${}+ by_1$${}= -c$。分子は $|ax_0 + by_0 + c|$ になり、A の選び方によらない式が得られます。

公式4：点と直線の距離

点 $\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$ と直線 $ax$${}+ by$${}+ c$${}= 0$ の距離 $d$ は

$\displaystyle d$$\displaystyle {}= \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

P から直線に下ろした垂線の足 H は、$\vec{n}$${}= (a,\ b)$ として

$\displaystyle \overrightarrow{OH}$$\displaystyle {}= \overrightarrow{OP}$$\displaystyle {}- k\vec{n},$$\displaystyle k$$\displaystyle {}= \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$

垂線の足の式は、「H は P から $\vec{n}$ の向きに戻った点なので $\overrightarrow{OH}$${}= \overrightarrow{OP}$${}- k\vec{n}$ とおけ、H を直線の方程式に代入すると $ax_0$${}+ by_0$${}+ c$${}- k(a^2 + b^2)$${}= 0$」から出てきます。分子の $ax_0$${}+ by_0$${}+ c$ は、P の座標を直線の方程式の左辺に代入した値で、P が直線上にあれば $0$ になります。直線から離れるほど、その絶対値が大きくなるわけです。

部屋の壁から机までの距離を巻尺で測るとき、巻尺は壁に垂直に当てます。斜めに当てると長めの数字が出ますが、その数字に「巻尺と壁の垂直方向とのずれの角」の $\cos$ をかければ、正しい距離に直せます。公式4は、壁の上の好きな点 A から斜めに測った $\overrightarrow{AP}$ を、法線の向きに直す計算をしています。

点と直線の距離は、直線上の 1 点から点へのベクトルを法線ベクトルの向きに正射影した長さで、分子は点の座標を直線の式に代入した値の絶対値になるということです。

例題4：点と直線の距離・垂線の足

点 $\mathrm{P}(4,\ 3)$ と直線 $\ell : 3x$${}+ 4y$${}- 4$${}= 0$ があります。

(1) 点 P と直線 $\ell$ の距離を求めなさい。

(2) P から $\ell$ に下ろした垂線の足 H の座標を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式4から

$\displaystyle d$$\displaystyle {}= \frac{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$$\displaystyle {}= \frac{20}{5}$$\displaystyle {}= \underline{4}$

(2) $\vec{n}$${}= (3,\ 4)$ として $k$${}= \dfrac{20}{25}$${}= \dfrac{4}{5}$ なので

$\displaystyle \overrightarrow{OH}$$\displaystyle {}= (4,\ 3)$$\displaystyle {}- \frac{4}{5}(3,\ 4)$$\displaystyle {}= \left(4 - \frac{12}{5},\ 3 - \frac{16}{5}\right)$$\displaystyle {}= \left(\frac{8}{5},\ -\frac{1}{5}\right)$

よって $\underline{\mathrm{H}\left(\dfrac{8}{5},\ -\dfrac{1}{5}\right)}$ です。

確かめます。$3 \cdot \dfrac{8}{5}$${}+ 4 \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right)$${}- 4$${}= \dfrac{24 - 4 - 20}{5}$${}= 0$ で H は $\ell$ 上にあり、$|\overrightarrow{HP}|$${}= \dfrac{4}{5}|\vec{n}|$${}= \dfrac{4}{5} \cdot 5$${}= 4$ で (1) と一致します。

円のベクトル方程式

次は円です。点 $\mathrm{C}(\vec{c})$ を中心とする半径 $r$ の円は、「C からの距離が $r$ の点の集まり」なので、$|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$ と書けます。

円には、もう 1 つの見方があります。図形の性質 第4章で学んだとおり、線分 AB を直径とする円の上の点 P（A，B 以外）では $\angle \mathrm{APB}$${}= 90^\circ$ で、逆に $\angle \mathrm{APB}$${}= 90^\circ$ となる点 P は AB を直径とする円の上にあります。直角は内積 $0$ で表せるので、これもベクトル方程式になります。

公式5：円のベクトル方程式と接線

(1) 点 $\mathrm{C}(\vec{c})$ を中心とする半径 $r$ の円

$\displaystyle |\vec{p} - \vec{c}|$$\displaystyle {}= r$$\displaystyle \left(\text{2 乗して}\ (\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2\right)$

中心 $(a,\ b)$ の場合は、成分で $(x - a)^2$${}+ (y - b)^2$${}= r^2$ になる。

(2) 2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を直径の両端とする円

$\displaystyle (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b})$$\displaystyle {}= 0$

(3) 円 $|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$ 上の点 $\mathrm{P_0}(\vec{p_0})$ における接線

$\displaystyle (\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c})$$\displaystyle {}= r^2$

中心 $(a,\ b)$，$\mathrm{P_0}(x_0,\ y_0)$ の場合は $(x_0 - a)(x - a)$${}+ (y_0 - b)(y - b)$${}= r^2$。とくに中心が原点なら $x_0x$${}+ y_0y$${}= r^2$。

(2) の式は、P が A，B と異なるときは $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP}$${}= 0$、つまり $\angle \mathrm{APB}$${}= 90^\circ$ を表しています。P が A や B と重なるときも左辺は $0$ になるので、式は両端の 2 点も含めて円全体をちょうど表します。

(3) は、図形の性質 第5章の「接線は接点を通る半径に垂直」から出てきます。接線上の点 P について $(\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{p_0})$${}= 0$ です。$\vec{p}$${}- \vec{p_0}$${}= (\vec{p} - \vec{c})$${}- (\vec{p_0} - \vec{c})$ と分けて展開すると

$\displaystyle (\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c})$$\displaystyle {}- |\vec{p_0} - \vec{c}|^2$$\displaystyle {}= 0$

となり、$|\vec{p_0} - \vec{c}|$${}= r$ から (3) の式になります。$\vec{p}$ を $\vec{p_0}$ に置きかえると円の式 (1) に戻る、という形で覚えておくと便利です。

牧場で、杭にロープでつながれたヤギを想像してください。ロープの長さが $r$ なら、ヤギがロープをぴんと張ったまま歩ける道すじは、杭を中心とする半径 $r$ の円です。「杭からの距離がいつも $r$」という条件だけで道すじが決まる、それを式にしたのが $|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$ です。

円は「中心からの距離が $r$」なら $|\vec{p} - \vec{c}|$${}= r$、「直径に立つ角が直角」なら $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b})$${}= 0$ と表せ、接線は「半径と垂直」から $(\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c})$${}= r^2$ になるということです。

例題5：円の方程式と接線

(1) 中心 $(2,\ -1)$，半径 $3$ の円の方程式を求めなさい。

(2) 2 点 $\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$ を直径の両端とする円の方程式を求め、その中心と半径を求めなさい。

(3) 円 $(x - 1)^2$${}+ (y + 2)^2$${}= 10$ 上の点 $(2,\ 1)$ における接線の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式5 (1) から $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 2)^2}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 1)^2 = 9}$ です。

(2) $\vec{p}$${}- \vec{a}$${}= (x + 1,\ y - 2)$，$\vec{p}$${}- \vec{b}$${}= (x - 3,\ y - 4)$ なので、公式5 (2) から

$\displaystyle (x + 1)(x - 3)$$\displaystyle {}+ (y - 2)(y - 4)$$\displaystyle {}= 0$

展開すると $x^2$${}- 2x$${}- 3$${}+ y^2$${}- 6y$${}+ 8$${}= 0$。$x$，$y$ それぞれ平方完成して

$\displaystyle (x - 1)^2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}+ (y - 3)^2$$\displaystyle {}- 9$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x - 1)^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 3)^2 = 5}$

中心は $\underline{(1,\ 3)}$，半径は $\underline{\sqrt{5}}$ です。中心は AB の中点 $\left(\dfrac{-1 + 3}{2},\ \dfrac{2 + 4}{2}\right)$、半径は $\dfrac{\mathrm{AB}}{2}$${}= \dfrac{\sqrt{16 + 4}}{2}$${}= \sqrt{5}$ で、確かに合っています。

(3) 中心 $(1,\ -2)$，$r^2$${}= 10$，接点 $(2,\ 1)$ を公式5 (3) に入れて

$\displaystyle (2 - 1)(x - 1)$$\displaystyle {}+ (1 + 2)(y + 2)$$\displaystyle {}= 10$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad x$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}+ 3y$$\displaystyle {}+ 6$$\displaystyle {}= 10$

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3y}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5 = 0}$ です。接点 $(2,\ 1)$ を代入すると $2$${}+ 3$${}- 5$${}= 0$ で、確かに通っています。

点の存在範囲

最後に、三角形 OAB で $\overrightarrow{OP}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ と表したとき、係数 $s$，$t$ の条件から点 P の動ける範囲を読み取る方法を学びます。$\vec{a}$，$\vec{b}$ は 1次独立なので、$(s,\ t)$ の組と点 P は 1 対 1 に対応します。

公式6：点の存在範囲

三角形 OAB で $\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$，$\overrightarrow{OP}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ とする。

$s$，$t$ の条件	点 P の存在範囲
$s + t = 1$	直線 AB
$s + t = 1,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$	線分 AB
$s + t \leqq 1,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$	三角形 OAB の周と内部
$0 \leqq s \leqq 1,\ 0 \leqq t \leqq 1$	$\overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b}$ となる平行四辺形 OACB の周と内部

右辺を 1 にする：$s$${}+ t$${}= k\ (k > 0)$，$s$${}\geqq 0$，$t$${}\geqq 0$ のときは

$\displaystyle \overrightarrow{OP}$$\displaystyle {}= \frac{s}{k}(k\vec{a})$$\displaystyle {}+ \frac{t}{k}(k\vec{b}),$$\displaystyle \frac{s}{k}$$\displaystyle {}+ \frac{t}{k}$$\displaystyle {}= 1$

と書きかえると、P は $\overrightarrow{OA'}$${}= k\vec{a}$，$\overrightarrow{OB'}$${}= k\vec{b}$ となる線分 A$'$B$'$（AB と平行）の上にあると分かる。

$s$${}+ t$${}\leqq 1$ の範囲が三角形になるのは、$s$${}+ t$${}= k$ とおいて $k$ を $0$ から $1$ まで動かすと考えれば分かります。$k$${}= 0$ のとき P は O の 1 点、$k$ が増えると線分 A$'$B$'$ が AB と平行なまま O から遠ざかり、$k$${}= 1$ で辺 AB に重なります。この線分が通った跡が三角形 OAB の周と内部です。

平行四辺形のほうは、$s$ と $t$ を別々に動かします。$t$ を固定して $s$ を $0$ から $1$ まで動かすと、P は $\vec{a}$ と平行な長さ $|\vec{a}|$ の線分をえがき、その線分を $t$ で $\vec{b}$ の向きにずらしていくと、平行四辺形がぬりつぶされます。

1 万円の予算で、2 つの商品 A，B に使うお金を決める場面を考えてください。A に予算の $s$ 割、B に $t$ 割を使うとします。使い切るなら $s$${}+ t$${}= 1$ で、選べる組み合わせは「線」の上に並びます。使い残してもよいなら $s$${}+ t$${}\leqq 1$ になり、選べる組み合わせは「面」に広がります。さらに「それぞれ予算 1 万円まで」なら $0$${}\leqq s$${}\leqq 1$，$0$${}\leqq t$${}\leqq 1$ です。条件の形で、選べる範囲の形が決まります。

$\overrightarrow{OP}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ の点の範囲は、係数の和を $1$ にそろえる書きかえをすると、直線・線分・三角形・平行四辺形のどれになるかが読み取れるということです。

例題6：点の存在範囲

三角形 OAB の面積を $S$ とし、$\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$ とします。$\overrightarrow{OP}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ で表される点 P について、次の条件のもとで P が動く範囲を求めなさい。(2)(3) では、その範囲の面積も $S$ で表しなさい。

(1) $s$${}+ t$${}= 2,$$s$${}\geqq 0,$$t$${}\geqq 0$

(2) $2s$${}+ 3t$${}\leqq 6,$$s$${}\geqq 0,$$t$${}\geqq 0$

(3) $1$${}\leqq s$${}+ t$${}\leqq 2,$$s$${}\geqq 0,$$t$${}\geqq 0$

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【解答】

(1) $\dfrac{s}{2}$${}+ \dfrac{t}{2}$${}= 1$ と書きかえ、$\overrightarrow{OP}$${}= \dfrac{s}{2}(2\vec{a})$${}+ \dfrac{t}{2}(2\vec{b})$ とします。$\overrightarrow{OA'}$${}= 2\vec{a}$，$\overrightarrow{OB'}$${}= 2\vec{b}$ となる点 A$'$，B$'$ をとると、P の範囲は 線分 A$'$B$'$ です。

(2) 両辺を $6$ で割って $\dfrac{s}{3}$${}+ \dfrac{t}{2}$${}\leqq 1$。$s'$${}= \dfrac{s}{3}$，$t'$${}= \dfrac{t}{2}$ とおくと

$\displaystyle \overrightarrow{OP}$$\displaystyle {}= s'(3\vec{a})$$\displaystyle {}+ t'(2\vec{b}),$$\displaystyle s'$$\displaystyle {}+ t'$$\displaystyle {}\leqq 1,$$\displaystyle s'$$\displaystyle {}\geqq 0,$$\displaystyle t'$$\displaystyle {}\geqq 0$

$\overrightarrow{OA''}$${}= 3\vec{a}$，$\overrightarrow{OB''}$${}= 2\vec{b}$ となる点 A$''$，B$''$ をとると、P の範囲は 三角形 OA$''$B$''$ の周と内部 です。

三角形 OA$''$B$''$ は、三角形 OAB と $\angle \mathrm{O}$ が共通で、それをはさむ 2 辺が $3$ 倍と $2$ 倍なので、面積は $\underline{3 \times 2 \times S = 6S}$ です。

(3) $s$${}+ t$${}= k\ (1 \leqq k \leqq 2)$ とおくと、P は $k\vec{a}$，$k\vec{b}$ を結ぶ線分上にあります。$k$ を $1$ から $2$ まで動かすと、この線分は AB から A$'$B$'$ まで平行に動くので、P の範囲は 台形 ABB$'$A$'$ の周と内部 です（A$'$，B$'$ は (1) の点）。

面積は、三角形 OA$'$B$'$（面積 $2 \times 2 \times S$${}= 4S$）から三角形 OAB を除いて $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}4S}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}{}- S = 3S}$ です。

この章では、直線・円・領域を、動く点のベクトル $\vec{p}$ の式で表しました。ここまでで平面のベクトルは一区切りです。第7章からは舞台を空間に移し、成分が 3 つになったベクトルで、同じ考え方がどこまで通用するかを確かめていきます。