第2章　ベクトルの成分

基本ベクトルと成分

第1章では、矢印の図をかいてベクトルを計算しました。図は全体の様子をつかむのに便利ですが、長さや向きを図から正確に読み取るのは大変です。そこで、座標平面を用意して、ベクトルを数で表すことにします。

原点を O とし、$x$ 軸の正の向きの単位ベクトルを $\vec{e_1}$，$y$ 軸の正の向きの単位ベクトルを $\vec{e_2}$ とします。この 2 つを基本ベクトルといいます。$\vec{e_1}$ と $\vec{e_2}$ は零ベクトルでなく、平行でもないので 1次独立です。すると第1章の公式6により、平面上のどんなベクトル $\vec{a}$ も

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}= a_1\vec{e_1}$$\displaystyle {}+ a_2\vec{e_2}$

とただ 1 通りに表せます。この 2 つの実数 $a_1$，$a_2$ を並べて書いたものが、ベクトルの成分です。

公式1：基本ベクトルと成分表示

• $\vec{a}$${}= a_1\vec{e_1}$${}+ a_2\vec{e_2}$ のとき、$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$ と書き、これを $\vec{a}$ の成分表示といいます。$a_1$ を $x$ 成分，$a_2$ を $y$ 成分といいます。
• 基本ベクトルと零ベクトルは $\vec{e_1}$${}= (1,\ 0)$，$\vec{e_2}$${}= (0,\ 1)$，$\vec{0}$${}= (0,\ 0)$ です。
• $\vec{a}$ を始点が原点 O になるように置いたとき、終点 A の座標が $(a_1,\ a_2)$ です。つまり $\overrightarrow{OA}$${}= (a_1,\ a_2)$ です。
• 成分が等しいことと、ベクトルが等しいことは同じです。

$\displaystyle (a_1,\ a_2)$$\displaystyle {}= (b_1,\ b_2)$$\displaystyle {}\iff a_1$$\displaystyle {}= b_1\ \text{かつ}\ a_2$$\displaystyle {}= b_2$

最後の性質は、第1章の「係数を比べる」そのものです。$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$ は 1次独立なので、$a_1\vec{e_1}$${}+ a_2\vec{e_2}$${}= b_1\vec{e_1}$${}+ b_2\vec{e_2}$ なら係数どうしが等しくなります。

微分積分 第13章では、速度を $\vec{v}$${}= \left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)$ と「2 つの数の組」で書きました。あれがまさに速度ベクトルの成分表示です。

多くの 3D プリンターでは、ノズルを左右に動かすモーターと、前後に動かすモーターが別々についています。「左右に $+3$ mm、前後に $+2$ mm」という命令を受け取ると、2 つのモーターがそれぞれの向きに回り、ノズルは斜めに進みます。斜めの動きを、向きの決まった 2 つのモーターへの「数の命令」に分けて伝えているのです。成分表示は、この命令書にあたります。基本ベクトル $\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$ は、それぞれのモーターが 1 目盛りだけ動いたときの動きです。

成分表示とは、ベクトルを基本ベクトル $\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$ の「いくつ分」かの組 $(a_1,\ a_2)$ で表すことで、2 つのベクトルが等しいのは成分がそれぞれ等しいときだということです。

例題1：成分表示とベクトルの相等

(1) $\vec{a}$${}= (-2,\ 5)$ を、基本ベクトル $\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$ を使って表しなさい。

(2) $(2x - 1,\ y + 3)$${}= (5,\ -y + 1)$ が成り立つような $x$，$y$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1) $x$ 成分が $\vec{e_1}$ の係数、$y$ 成分が $\vec{e_2}$ の係数です。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.15em]{0em}{0.8640em}\vec{a} = -2\vec{e_1}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.15em]{0em}{0.8640em}{}+ 5\vec{e_2}}$

(2) $x$ 成分どうし、$y$ 成分どうしが等しいので

$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= -y$$\displaystyle {}+ 1$

1 つ目から $x$${}= 3$，2 つ目から $2y$${}= -2$ で $y$${}= -1$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 3,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad y = -1}$

ベクトルの大きさ

成分が分かれば、大きさは計算で求められます。$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$ を原点から置くと、終点は A$(a_1,\ a_2)$ です。O と点 $(a_1,\ 0)$ と A を結ぶと、横の辺が $|a_1|$，縦の辺が $|a_2|$ の直角三角形ができ、斜辺が $|\vec{a}|$ です。三平方の定理から次の公式が出てきます。

また、三角比と三角関数 第6章で、原点を中心とする半径 $r$ の円の上の点を $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ と表しました。これをベクトルの言葉で読み直すと、「大きさ $r$ で、$x$ 軸の正の向きから角 $\theta$ だけ回った向きのベクトル」の成分になります。

公式2：ベクトルの大きさ

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$ のとき

$\displaystyle |\vec{a}|$$\displaystyle {}= \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

大きさが $r$ で、$x$ 軸の正の向きから測った角が $\theta$ のベクトルの成分は

$$(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$$

$a_1$ や $a_2$ が負の数でも、2 乗すれば正になるので、公式はそのまま使えます。

テレビの「50 インチ」は、画面の横幅ではなく対角線の長さです。1 インチは約 2.54 cm なので、50 インチは約 127 cm。横長の画面（縦横の比が 9：16）なら、横が約 111 cm、縦が約 62 cm で、$\sqrt{111^2 + 62^2}$${}\fallingdotseq 127$ になります。横と縦の長さ（成分）から対角線（大きさ）を出すのは、公式2と同じ計算です。

ベクトルの大きさは成分を 2 乗して足した値の平方根で、逆に大きさと角が分かれば、成分は $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ と求められるということです。

例題2：大きさと、大きさ・角から求める成分

(1) $\vec{a}$${}= (3,\ -4)$ の大きさを求めなさい。

(2) 大きさが $4$ で、$x$ 軸の正の向きとなす角が $120^\circ$ のベクトル $\vec{b}$ を成分で表しなさい。ただし、角は $x$ 軸の正の向きから反時計回りに測るものとする。

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【解答】

(1)

$\displaystyle |\vec{a}|$$\displaystyle {}= \sqrt{3^2 + (-4)^2}$$\displaystyle {}= \sqrt{25}$$\displaystyle {}= \underline{5}$

(2) $\cos 120^\circ$${}= -\dfrac{1}{2}$，$\sin 120^\circ$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので

$\displaystyle \vec{b}$$\displaystyle {}= (4\cos 120^\circ,\ 4\sin 120^\circ)$$\displaystyle {}= \underline{(-2,\ 2\sqrt{3})}$

検算：$\sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2}$${}= \sqrt{4 + 12}$${}= 4$ で、大きさはたしかに $4$ です。

成分による演算

和・差・実数倍を、成分で計算してみます。$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ とすると、第1章の計算法則を使って

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}+ \vec{b}$$\displaystyle {}= (a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2})$$\displaystyle {}+ (b_1\vec{e_1} + b_2\vec{e_2})$$\displaystyle {}= (a_1 + b_1)\vec{e_1}$$\displaystyle {}+ (a_2 + b_2)\vec{e_2}$

となります。$\vec{e_1}$ の係数どうし、$\vec{e_2}$ の係数どうしをまとめただけです。実数倍も同じように計算できます。

公式3：成分による演算

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$，$k$，$l$ を実数とするとき

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}+ \vec{b}$$\displaystyle {}= (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2),$$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}- \vec{b}$$\displaystyle {}= (a_1 - b_1,\ a_2 - b_2)$$\displaystyle k\vec{a}$$\displaystyle {}= (ka_1,\ ka_2),$$\displaystyle k\vec{a}$$\displaystyle {}+ l\vec{b}$$\displaystyle {}= (ka_1 + lb_1,\ ka_2 + lb_2)$

成分に分けてしまえば、$x$ 成分は $x$ 成分どうし、$y$ 成分は $y$ 成分どうしで、ふつうの数の計算をするだけです。2 つの成分が混ざり合うことはありません。

3D プリンターの例に戻ります。「左右に $+3$、前後に $+2$」の命令のあとに「左右に $+1$、前後に $-4$」の命令が続けば、ノズルは全体で「左右に $+4$、前後に $-2$」動きます。左右のモーターは左右の数だけを、前後のモーターは前後の数だけを足していくので、成分ごとの足し算になるのです。同じ形を 2 倍の大きさで作りたければ、すべての命令の数を 2 倍にします。これが実数倍です。

成分で表したベクトルの和・差・実数倍は、$x$ 成分どうし、$y$ 成分どうしを別々に計算すればよいということです。

例題3：成分による計算

$\vec{a}$${}= (1,\ 3)$，$\vec{b}$${}= (2,\ -1)$ のとき、次のものを求めなさい。

(1) $3\vec{a}$${}- 2\vec{b}$ の成分

(2) $|\vec{a} + \vec{b}|$

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【解答】

(1)

$\displaystyle 3\vec{a}$$\displaystyle {}- 2\vec{b}$$\displaystyle {}= (3,\ 9)$$\displaystyle {}- (4,\ -2)$$\displaystyle {}= \underline{(-1,\ 11)}$

(2) まず和を成分で求めてから、大きさの公式を使います。

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}+ \vec{b}$$\displaystyle {}= (3,\ 2),$$\displaystyle |\vec{a} + \vec{b}|$$\displaystyle {}= \sqrt{3^2 + 2^2}$$\displaystyle {}= \underline{\sqrt{13}}$

$|\vec{a}|$${}+ |\vec{b}|$${}= \sqrt{10}$${}+ \sqrt{5}$ とは等しくありません。大きさは、和を先に計算してから求めます。

座標と成分

2 点 A$(a_1,\ a_2)$，B$(b_1,\ b_2)$ があるとき、$\overrightarrow{AB}$ の成分を求めます。第1章の「終点 − 始点」を使うと

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= \overrightarrow{OB}$$\displaystyle {}- \overrightarrow{OA}$$\displaystyle {}= (b_1,\ b_2)$$\displaystyle {}- (a_1,\ a_2)$

です。始点を原点 O にそろえると、各点へのベクトルの成分は点の座標そのものなので、座標の引き算で $\overrightarrow{AB}$ が求まります。

公式4：座標と成分・2 点間の距離

2 点 A$(a_1,\ a_2)$，B$(b_1,\ b_2)$ について

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2)$$\displaystyle AB$$\displaystyle {}= |\overrightarrow{AB}|$$\displaystyle {}= \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$

2 つ目の式は、2 点間の距離の公式になっています。

部屋の模様替えを方眼紙の見取り図で考えてみます。ソファを、窓ぎわの点 $(2,\ 5)$ から壁ぎわの点 $(6,\ 3)$ へ動かすなら、動かした量は $(6 - 2,\ 3 - 5)$${}= (4,\ -2)$，つまり「横へ 4 マス、縦へ $-2$ マス」です。見取り図のどこに原点を置いても、座標の差をとれば原点の位置は消えるので、この移動量は変わりません。

$\overrightarrow{AB}$ の成分は「終点 B の座標 − 始点 A の座標」で求められ、その大きさが 2 点 A，B の距離になるということです。

例題4：座標と成分、平行四辺形の頂点

3 点 A$(-1,\ 2)$，B$(3,\ 5)$，C$(5,\ 9)$ がある。

(1) $\overrightarrow{AB}$ の成分と大きさを求めなさい。

(2) 四角形 ABCD が平行四辺形になるように、点 D の座標を求めなさい。

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【解答】

(1)

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= (3 - (-1),\ 5 - 2)$$\displaystyle {}= \underline{(4,\ 3)},$$\displaystyle |\overrightarrow{AB}|$$\displaystyle {}= \sqrt{4^2 + 3^2}$$\displaystyle {}= \underline{5}$

(2) 四角形 ABCD が平行四辺形になるのは $\overrightarrow{AD}$${}= \overrightarrow{BC}$ のときです。D$(x,\ y)$ とおくと

$\displaystyle \overrightarrow{AD}$$\displaystyle {}= (x + 1,\ y - 2),$$\displaystyle \overrightarrow{BC}$$\displaystyle {}= (5 - 3,\ 9 - 5)$$\displaystyle {}= (2,\ 4)$

成分を比べて $x$${}+ 1$${}= 2$，$y$${}- 2$${}= 4$ より $x$${}= 1$，$y$${}= 6$。

$$\underline{\text{D}(1,\ 6)}$$

頂点を A，B，C，D の順に回ることに注意します。辺 AD と辺 BC が向かい合う辺で、向きも同じになります。

平行条件と単位ベクトル

第1章の公式5では、$\vec{a}$${}\parallel \vec{b}$ を「$\vec{b}$${}= k\vec{a}$ となる実数 $k$ がある」と表しました。これを成分で書くと

$\displaystyle b_1$$\displaystyle {}= ka_1,$$\displaystyle b_2$$\displaystyle {}= ka_2$

です。$x$ 成分も $y$ 成分も同じ $k$ 倍になっているので、成分の比が $a_1 : a_2$${}= b_1 : b_2$ とそろっています。比の式は内側どうし・外側どうしをかけて $a_1b_2$${}= a_2b_1$ と書きかえられます。

公式5：成分による平行条件と単位ベクトル

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$${}\neq \vec{0}$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$${}\neq \vec{0}$ のとき

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}\parallel \vec{b}$$\displaystyle {}\iff \vec{b}$$\displaystyle {}= k\vec{a}\ \text{となる実数}\ k\ \text{がある}$$\displaystyle {}\iff a_1b_2$$\displaystyle {}- a_2b_1$$\displaystyle {}= 0$

$\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトルは

$\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$\displaystyle {}= \left(\frac{a_1}{|\vec{a}|},\ \frac{a_2}{|\vec{a}|}\right)$

$a_1b_2$${}- a_2b_1$${}= 0$ の形にしておくと、成分に $0$ が含まれていても割り算をせずに判定できます。たとえば $(0,\ 3)$ と $(0,\ -5)$ は、どちらも $y$ 軸に平行です。$0 \times (-5)$${}- 3 \times 0$${}= 0$ で、条件を満たしています。この形から $\vec{b}$${}= k\vec{a}$ の $k$ が見つかる理由は、厳密定義のページで確かめます。

スマホで撮った写真を思い浮かべてください。縦横の比が $4 : 3$ の写真（横 4000 ピクセル・縦 3000 ピクセル）を、横 800・縦 600 に縮めても、同じ形のまま小さくなるだけです。$4000 \times 600$${}- 3000 \times 800$${}= 0$ で、2 つを「ベクトル」とみなせば平行です。一方、横 1920・縦 1080 の画像は、$4000 \times 1080$${}- 3000 \times 1920$${}= -1440000$${}\neq 0$ なので形が違います。比がそろっているかどうかを、たすき掛けの差で確かめているのです。

成分で表したベクトルが平行になるのは成分の比がそろうときで、$a_1b_2$${}- a_2b_1$${}= 0$ で判定でき、単位ベクトルは各成分を大きさで割れば得られるということです。

例題5：平行条件と単位ベクトル

$\vec{a}$${}= (4,\ -6)$ とする。

(1) $\vec{b}$${}= (x,\ 3)$ が $\vec{a}$ と平行になるような $x$ の値を求めなさい。

(2) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトルを成分で表しなさい。

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【解答】

(1) 平行条件 $a_1b_2$${}- a_2b_1$${}= 0$ より

$\displaystyle 4 \times 3$$\displaystyle {}- (-6) \times x$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 12$$\displaystyle {}+ 6x$$\displaystyle {}= 0$$$\underline{x = -2}$$

このとき $\vec{b}$${}= (-2,\ 3)$${}= -\dfrac{1}{2}\vec{a}$ で、$\vec{a}$ と逆向きです。

(2) $|\vec{a}|$${}= \sqrt{16 + 36}$${}= \sqrt{52}$${}= 2\sqrt{13}$ なので

$\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$\displaystyle {}= \left(\frac{4}{2\sqrt{13}},\ \frac{-6}{2\sqrt{13}}\right)$$\displaystyle {}= \underline{\left(\frac{2\sqrt{13}}{13},\ -\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)}$

分母は有理化しておきます。

成分で分解する

第1章の公式6で、1次独立な $\vec{a}$，$\vec{b}$ を使えば、どのベクトル $\vec{c}$ も $\vec{c}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ とただ 1 通りに表せることを学びました。第1章では図形の性質を使って $s$，$t$ を探しましたが、成分が分かっていれば計算だけで求められます。

公式6：成分によるベクトルの分解

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ が 1次独立（零ベクトルでなく平行でない）のとき、$\vec{c}$${}= (c_1,\ c_2)$ を $\vec{c}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ と表す実数 $s$，$t$ は、連立方程式

$$\begin{cases} a_1 s + b_1 t = c_1 \\ a_2 s + b_2 t = c_2 \end{cases}$$

の解として、ただ 1 組求まります。

$s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}= (a_1s + b_1t,\ a_2s + b_2t)$ を $(c_1,\ c_2)$ と比べれば、この連立方程式が出てきます。

ミックスナッツを量り売りしている店を考えます。袋 A にはアーモンド 20 g とくるみ 10 g、袋 B にはアーモンド 10 g とくるみ 30 g が入っています。アーモンド 70 g・くるみ 60 g にしたいとき、袋 A を $s$ 袋、袋 B を $t$ 袋買うとすると、10 g を 1 として

$\displaystyle s(2,\ 1)$$\displaystyle {}+ t(1,\ 3)$$\displaystyle {}= (7,\ 6)$

です。$2s$${}+ t$${}= 7$，$s$${}+ 3t$${}= 6$ を解くと $s$${}= 3$，$t$${}= 1$。袋 A を 3 袋、袋 B を 1 袋買えばちょうどそろいます。もし 2 つの袋の中身の比が同じ（平行）だったら、何袋買っても比は変わらず、好きな組み合わせは作れません。1次独立が必要なのはこのためです。

1次独立な 2 つのベクトルで $\vec{c}$ を分解するときは、$s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}= \vec{c}$ を成分ごとに書いて、$s$，$t$ の連立方程式を解けばよいということです。

例題6：成分によるベクトルの分解

$\vec{a}$${}= (1,\ 2)$，$\vec{b}$${}= (3,\ -1)$ のとき、$\vec{c}$${}= (7,\ 0)$ を $s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ の形で表しなさい。

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【解答】

$1 \times (-1)$${}- 2 \times 3$${}= -7$${}\neq 0$ なので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でなく、1次独立です。$s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}= (s + 3t,\ 2s - t)$ なので、成分を比べて

$\displaystyle s$$\displaystyle {}+ 3t$$\displaystyle {}= 7,$$\displaystyle 2s$$\displaystyle {}- t$$\displaystyle {}= 0$

2 つ目の式から $t$${}= 2s$。1 つ目に代入すると $7s$${}= 7$ より $s$${}= 1$，$t$${}= 2$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0607em}\vec{c} = \vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0607em}{}+ 2\vec{b}}$

検算：$(1,\ 2)$${}+ (6,\ -2)$${}= (7,\ 0)$ です。

第3章では、2 つのベクトルの「内積」という新しい計算を学びます。まず「なす角」を使って定義し、そのあと成分を使うと $a_1b_1$${}+ a_2b_2$ という簡単な式で計算できることを確かめます。この章の成分表示が、そこでも活躍します。