第6章　確率変数と確率分布

データから「これから出る値」へ

第1〜5章では、テストの得点や通学時間のように、すでに集めたデータを整理しました。平均値や分散は、表に並んだ値から計算できました。

この章で相手にするのは、これから行う試行で決まる値です。さいころを投げる前に「出る目」は分かりませんが、「どの目がどれだけの確率で出るか」は分かっています。場合の数と確率の分野（第9章）では、こうした値について「値 × 確率」を足して期待値を求めました。この章では、その考え方に記号を付けて整理し、第3章の分散・標準偏差を確率の世界に持ちこみます。

確率変数と確率分布

赤玉 $3$ 個と白玉 $2$ 個が入った袋から、玉を同時に $2$ 個取り出します。取り出した赤玉の個数を $X$ とすると、$X$ は $0$，$1$，$2$ のどれかになり、それぞれの値になる確率が決まっています。このように、試行の結果によって値が決まり、しかも各値をとる確率が決まっている変数を考えます。

公式1：確率変数と確率分布

試行の結果によって値が定まり、その値をとる確率が定まっている変数 $X$ を確率変数という。$X$ のとりうる値が $x_1$，$x_2$，…，$x_n$ で、それぞれの値をとる確率が $p_1$，$p_2$，…，$p_n$ のとき、次の表を $X$ の確率分布（または単に分布）という。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

ここで $p_1$${}\geqq 0$，$p_2$${}\geqq 0$，…，$p_n$${}\geqq 0$，$p_1$${}+ p_2$${}+ \cdots$${}+ p_n$${}= 1$ である。

$X$ が値 $a$ をとる確率を $P(X = a)$、$X$ が $a$ 以上 $b$ 以下の値をとる確率を $P(a \leqq X \leqq b)$ と書く。

確率変数は、ふつう $X$，$Y$，$Z$ のような大文字で表し、そのとる値は $x_1$ や $a$ のような小文字で表します。

テストの採点にたとえると分かりやすいでしょう。答案そのものは文字や図の集まりで、足したり平均したりできません。けれども採点すると、1枚ごとに点数という数が付きます。確率変数は、試行の結果（玉の取り出し方や、さいころの目の出方）という「答案」に、決まったルールで数を付ける採点係です。数が付いたおかげで、平均やばらつきを計算できるようになります。

確率変数とは試行の結果に数を割り当てたもので、とりうる値と確率を並べた表が確率分布だということです。

例題1：赤玉の個数の確率分布

赤玉 $3$ 個と白玉 $2$ 個が入った袋から、玉を同時に $2$ 個取り出します。取り出した赤玉の個数を $X$ とするとき、$X$ の確率分布と、確率 $P(1 \leqq X \leqq 2)$ を求めなさい。

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【解答】

$5$ 個から $2$ 個を取り出す方法は ${}_5\mathrm{C}_2$${}= 10$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

• $X$${}= 0$（白 $2$ 個）：${}_2\mathrm{C}_2$${}= 1$ 通り
• $X$${}= 1$（赤 $1$ 個・白 $1$ 個）：${}_3\mathrm{C}_1 \times {}_2\mathrm{C}_1$${}= 6$ 通り
• $X$${}= 2$（赤 $2$ 個）：${}_3\mathrm{C}_2$${}= 3$ 通り

よって、$X$ の確率分布は次のとおりです。

$X$	$0$	$1$	$2$	計
$P$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{6}{10}$	$\dfrac{3}{10}$	$1$

また

$\displaystyle P(1 \leqq X \leqq 2)$$\displaystyle {}= P(X = 1)$$\displaystyle {}+ P(X = 2)$$\displaystyle {}= \frac{6}{10}$$\displaystyle {}+ \frac{3}{10}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{10}}$

余事象を使って $1$${}- P(X = 0)$${}= 1$${}- \dfrac{1}{10}$ と求めることもできます。

確率変数の期待値

場合の数と確率の分野（第9章）で学んだ期待値を、記号を使って書き直します。

公式2：期待値（平均）

確率変数 $X$ の確率分布が公式1 の表で与えられるとき

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= x_1 p_1$$\displaystyle {}+ x_2 p_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ x_n p_n$$\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{n} x_k p_k$

を $X$ の期待値または平均という。$E(X)$ を $m$ で表すことも多い。

$E$ は期待値を意味する英語 expectation の頭文字です。

第1章の公式2 で、度数分布表から平均値を $\overline{x}$${}= \dfrac{1}{n}(x_1 f_1 + \cdots + x_r f_r)$ と求めました。これは $x_1 \times \dfrac{f_1}{n}$${}+ \cdots$${}+ x_r \times \dfrac{f_r}{n}$ と書き直せて、相対度数 $\dfrac{f_k}{n}$ で重みをつけて足す形です。公式2 は、この相対度数を確率 $p_k$ に置きかえたものになっています。

名簿からくじで1人を選ぶ場面を考えると、2つがぴったり重なります。クラス全員の身長の表があり、くじで1人を選んでその人の身長を $X$ とします。身長が $x_k$ の人が $f_k$ 人いれば $P(X = x_k)$${}= \dfrac{f_k}{n}$ なので、$X$ の期待値はクラスの身長の平均値と一致します。「データの平均値」は「データからでたらめに1つ選んだ値の期待値」と言いかえられるわけです。

期待値 $E(X)$ は「値 × 確率」の合計で、データの平均値の相対度数を確率に置きかえたものだということです。

例題2：期待値を求める

(1) 例題1 の確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めなさい。

(2) ある学年の $20$ 人のきょうだいの人数（本人を含む）を調べたところ、次の表のようになりました。この $20$ 人からくじで $1$ 人を選び、その人のきょうだいの人数を $Y$ とします。

きょうだいの人数	1	2	3	4	計
人数	6	9	4	1	20

$Y$ の期待値 $E(Y)$ を求めなさい。

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【解答】

(1)

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= 0 \times \frac{1}{10}$$\displaystyle {}+ 1 \times \frac{6}{10}$$\displaystyle {}+ 2 \times \frac{3}{10}$$\displaystyle {}= \frac{12}{10}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{6}{5}}$

(2) $Y$ の確率分布は、人数を $20$ で割った相対度数そのものです。

$\displaystyle E(Y)$$\displaystyle {}= 1 \times \frac{6}{20}$$\displaystyle {}+ 2 \times \frac{9}{20}$$\displaystyle {}+ 3 \times \frac{4}{20}$$\displaystyle {}+ 4 \times \frac{1}{20}$$\displaystyle {}= \frac{40}{20}$$\displaystyle {}= \underline{2}$

これは $20$ 人のきょうだいの人数の平均値 $\dfrac{6 + 18 + 12 + 4}{20}$${}= 2$ と同じ値です。

分散と標準偏差

場合の数と確率の分野（第9章 公式3）では、「期待値は平均の見込みを表すが、ぶれの大きさまでは表さない」ことに触れました。そのぶれを数で表します。

ある駅から学校まで、2つのバスの路線 A、B があります。所要時間を $X$ 分、$Y$ 分とすると、確率分布は次のとおりです。

どちらも期待値は $20$ 分です。けれども、遅刻できない日に乗るなら、多くの人は路線 A を選ぶでしょう。路線 B は $6$ 分も遅れることがあるからです。平均の見込みが同じでも、期待値のまわりへの散らばり方が違います。第3章と同じように、「期待値からのずれの 2 乗」の期待値で散らばりを測ります。

公式3：分散と標準偏差

確率変数 $X$ の期待値を $m$ とするとき

$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= (x_1 - m)^2 p_1$$\displaystyle {}+ (x_2 - m)^2 p_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ (x_n - m)^2 p_n$$\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{n} (x_k - m)^2 p_k$

を $X$ の分散といい、その正の平方根

$\displaystyle \sigma(X)$$\displaystyle {}= \sqrt{V(X)}$

を $X$ の標準偏差という。分散は次の式でも求められる。

$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= E(X^2)$$\displaystyle {}- \{E(X)\}^2$

ここで $E(X^2)$${}= x_1^2 p_1$${}+ x_2^2 p_2$${}+ \cdots$${}+ x_n^2 p_n$ である。

$V$ は分散を意味する variance の頭文字です。標準偏差は $X$ と同じ単位（ここでは「分」）になります。

2 つ目の式は、第3章の公式3 $s^2$${}= \overline{x^2}$${}- \left(\overline{x}\right)^2$ と同じ形です。$(x_k - m)^2$${}= x_k^2$${}- 2m x_k$${}+ m^2$ を公式3 の和に代入すると

$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= \sum x_k^2 p_k$$\displaystyle {}- 2m \sum x_k p_k$$\displaystyle {}+ m^2 \sum p_k$$\displaystyle {}= E(X^2)$$\displaystyle {}- 2m \cdot m$$\displaystyle {}+ m^2 \cdot 1$$\displaystyle {}= E(X^2)$$\displaystyle {}- m^2$

となります。期待値 $m$ が分数のときは、2 つ目の式のほうが計算が楽になることが多いです。

路線 A、B で計算すると

$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= (-2)^2 \times \frac{1}{8}$$\displaystyle {}+ 0^2 \times \frac{3}{4}$$\displaystyle {}+ 2^2 \times \frac{1}{8}$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle \sigma(X)$$\displaystyle {}= 1 \ \text{（分）}$ $\displaystyle V(Y)$$\displaystyle {}= (-6)^2 \times \frac{1}{8}$$\displaystyle {}+ 0^2 \times \frac{3}{4}$$\displaystyle {}+ 6^2 \times \frac{1}{8}$$\displaystyle {}= 9,$$\displaystyle \sigma(Y)$$\displaystyle {}= 3 \ \text{（分）}$

です。「平均 $20$ 分、ぶれの目安 $1$ 分」と「平均 $20$ 分、ぶれの目安 $3$ 分」と言えば、2つの路線の違いがはっきり伝わります。

分散 $V(X)$ は期待値からのずれの 2 乗の期待値、標準偏差 $\sigma(X)$ はその平方根で、どちらも「値が期待値のまわりにどれだけ散らばるか」を表すということです。

例題3：分散と標準偏差を求める

例題1 の確率変数 $X$（赤玉の個数）の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めなさい。

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【解答】

例題2 より $E(X)$${}= \dfrac{6}{5}$ です。

$\displaystyle E(X^2)$$\displaystyle {}= 0^2 \times \frac{1}{10}$$\displaystyle {}+ 1^2 \times \frac{6}{10}$$\displaystyle {}+ 2^2 \times \frac{3}{10}$$\displaystyle {}= \frac{18}{10}$$\displaystyle {}= \frac{9}{5}$

なので

$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= E(X^2)$$\displaystyle {}- \{E(X)\}^2$$\displaystyle {}= \frac{9}{5}$$\displaystyle {}- \frac{36}{25}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{25}},$$\displaystyle \sigma(X)$$\displaystyle {}= \sqrt{\frac{9}{25}}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{5}}$

確かめ：定義の式で計算すると

$\displaystyle \left(-\frac{6}{5}\right)^2 \times \frac{1}{10}$$\displaystyle {}+ \left(-\frac{1}{5}\right)^2 \times \frac{6}{10}$$\displaystyle {}+ \left(\frac{4}{5}\right)^2 \times \frac{3}{10}$$\displaystyle {}= \frac{36 + 6 + 48}{250}$$\displaystyle {}= \frac{90}{250}$$\displaystyle {}= \frac{9}{25}$

となり、一致します。

値を一斉に変えたときの期待値・分散

場合の数と確率の分野（第9章 公式4）で、$aX$${}+ b$ の期待値が $aE(X)$${}+ b$ になることを学びました。分散と標準偏差も同じように求められます。

公式4：$aX$${}+ b$ の期待値・分散・標準偏差

$X$ を確率変数、$a$，$b$ を定数とするとき

$\displaystyle E(aX + b)$$\displaystyle {}= aE(X)$$\displaystyle {}+ b$$\displaystyle V(aX + b)$$\displaystyle {}= a^2 V(X),$$\displaystyle \sigma(aX + b)$$\displaystyle {}= |a|\,\sigma(X)$

が成り立つ。

分散のほうは次のように確かめられます。$E(aX + b)$${}= am$${}+ b$ なので、各値のずれは

$\displaystyle (ax_k + b)$$\displaystyle {}- (am + b)$$\displaystyle {}= a(x_k - m)$

となり、$b$ は消えます。これを 2 乗すると $a^2 (x_k - m)^2$ なので、$V(aX + b)$${}= a^2 V(X)$ です。第3章の公式5（$s_y^2$${}= a^2 s_x^2$）と同じ結果です。

アルバイトの時給で考えてみます。ある店で、全員の時給を $1.2$ 倍にし、さらに全員に交通費として $100$ 円を足すことにしました。$1000$ 円の人と $1200$ 円の人の差 $200$ 円は、$1.2$ 倍されて $240$ 円に広がります。一方、全員に同じ $100$ 円を足しても、人と人との差は少しも変わりません。散らばりを変えるのは「かける数」だけで、「足す数」は全体の位置をずらすだけです。

$aX$${}+ b$ にすると、期待値は $aE(X)$${}+ b$、分散は $a^2$ 倍、標準偏差は $|a|$ 倍になり、足した $b$ は散らばりに影響しないということです。

例題4：賞金の期待値と標準偏差

例題1 の試行で、取り出した赤玉 $1$ 個につき $100$ 円をもらい、参加料として $50$ 円を払います。差し引きの受け取る金額を $Y$ 円とします。

(1) $Y$ の期待値、分散、標準偏差をそれぞれ求めなさい。

(2) $Z$${}= \dfrac{X - E(X)}{\sigma(X)}$ とおくとき、$E(Z)$ と $V(Z)$ をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

例題2・3 より $E(X)$${}= \dfrac{6}{5}$，$V(X)$${}= \dfrac{9}{25}$，$\sigma(X)$${}= \dfrac{3}{5}$ です。

(1) $Y$${}= 100X$${}- 50$ なので、公式4 より

$\displaystyle E(Y)$$\displaystyle {}= 100 \times \frac{6}{5}$$\displaystyle {}- 50$$\displaystyle {}= \underline{70 \text{ 円}}$$\displaystyle V(Y)$$\displaystyle {}= 100^2 \times \frac{9}{25}$$\displaystyle {}= \underline{3600},$$\displaystyle \sigma(Y)$$\displaystyle {}= 100 \times \frac{3}{5}$$\displaystyle {}= \underline{60 \text{ 円}}$

(2) $Z$${}= \dfrac{5}{3}X$${}- 2$ と書けるので、$a$${}= \dfrac{5}{3}$，$b$${}= -2$ として

$\displaystyle E(Z)$$\displaystyle {}= \frac{5}{3} \times \frac{6}{5}$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= \underline{0},$$\displaystyle V(Z)$$\displaystyle {}= \left(\frac{5}{3}\right)^2 \times \frac{9}{25}$$\displaystyle {}= \underline{1}$

期待値を引いて標準偏差で割ると、期待値 $0$、標準偏差 $1$ の確率変数になります。第3章の公式6 の「標準化」と同じ操作で、第8章の正規分布で大切な役割をします。

2つの確率変数の和の期待値

2 つの確率変数 $X$，$Y$ を同時に考えることがあります。例えば、$1$，$2$，$3$，$4$ の札が $1$ 枚ずつ入った箱から、札を $1$ 枚ずつ $2$ 回、もとに戻さずに引き、1 回目の数を $X$、2 回目の数を $Y$ とします。$X$${}= a$ かつ $Y$${}= b$ となる確率を $P(X = a,\ Y = b)$ と書き、すべての組について並べた表を、$X$ と $Y$ の同時分布といいます。

同じ札は 2 回引けないので、対角線の確率は $0$ です。表の右端の「計」の列が $X$ だけの分布、下端の「計」の行が $Y$ だけの分布になります。

公式5：確率変数の和の期待値

2 つの確率変数 $X$，$Y$ について

$\displaystyle E(X + Y)$$\displaystyle {}= E(X)$$\displaystyle {}+ E(Y)$

が成り立つ。さらに、定数 $a$，$b$ について $E(aX + bY)$${}= aE(X)$${}+ bE(Y)$ である。3 つ以上の確率変数についても同様で

$\displaystyle E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$$\displaystyle {}= E(X_1)$$\displaystyle {}+ E(X_2)$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ E(X_n)$

となる。この式は、$X$ と $Y$ が影響し合っていても成り立つ。

理由は、同時分布の表の各ます目で「$(a + b) \times$ 確率」を足すとき、$a$ の部分だけを集めると行ごとの合計から $E(X)$ が、$b$ の部分だけを集めると列ごとの合計から $E(Y)$ が出てくるからです（詳しくは厳密定義のページ）。

2 科目のテストの合計点を思い浮かべてください。数学の平均点が $60$ 点、英語の平均点が $70$ 点なら、合計点の平均は $130$ 点です。数学の得意な人が英語も得意だったとしても、この足し算は変わりません。合計の平均は、それぞれの平均を足すだけで求められます。

和の期待値は期待値の和で、$X$ と $Y$ が影響し合っていてもそのまま足してよいということです。

例題5：引いた札の数の和

上の箱（$1$，$2$，$3$，$4$ の札）から、札を $1$ 枚ずつもとに戻さずに引きます。

(1) 2 回引いたとき、引いた札の数の和 $X$${}+ Y$ の期待値を求めなさい。

(2) 3 回引いたとき、引いた札の数の和の期待値を求めなさい。

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【解答】

(1) 表の下端より、$Y$ の分布は $X$ と同じで、どの数も確率 $\dfrac{1}{4}$ です。

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= E(Y)$$\displaystyle {}= \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4}$$\displaystyle {}= \frac{5}{2}$

公式5 より

$\displaystyle E(X + Y)$$\displaystyle {}= \frac{5}{2}$$\displaystyle {}+ \frac{5}{2}$$\displaystyle {}= \underline{5}$

確かめ：和は $3$ から $7$ で、同時分布の表から数えると $3$，$4$，$5$，$6$，$7$ になる確率はそれぞれ $\dfrac{2}{12}$，$\dfrac{2}{12}$，$\dfrac{4}{12}$，$\dfrac{2}{12}$，$\dfrac{2}{12}$ です。和と確率の分子の積の合計は

$\displaystyle 3 \times 2$$\displaystyle {}+ 4 \times 2$$\displaystyle {}+ 5 \times 4$$\displaystyle {}+ 6 \times 2$$\displaystyle {}+ 7 \times 2$$\displaystyle {}= 60$

なので、期待値は

$\displaystyle \frac{60}{12}$$\displaystyle {}= 5$

(2) 3 回目の数を $W$ とすると、$W$ もどの数も確率 $\dfrac{1}{4}$ です（くじ引きの順番は確率に影響しません。場合の数と確率の分野 第8章）。

$\displaystyle E(X + Y + W)$$\displaystyle {}= \frac{5}{2} \times 3$$\displaystyle {}= \underline{\frac{15}{2}}$

残る $1$ 枚の数を $R$ とすれば、4 枚の合計はつねに $10$ なので $\dfrac{15}{2}$${}= 10$${}- E(R)$${}= 10$${}- \dfrac{5}{2}$ とも確かめられます。

独立な確率変数

さいころを 2 回投げるときの 1 回目の目と 2 回目の目のように、一方の値がもう一方の値の出方に影響しない 2 つの確率変数を考えます。

公式6：独立な確率変数の積の期待値と和の分散

2 つの確率変数 $X$，$Y$ について、$X$ のとる任意の値 $a$ と $Y$ のとる任意の値 $b$ に対して

$\displaystyle P(X = a,\ Y = b)$$\displaystyle {}= P(X = a)\,P(Y = b)$

が成り立つとき、$X$ と $Y$ は独立であるという。$X$ と $Y$ が独立ならば

$\displaystyle E(XY)$$\displaystyle {}= E(X)\,E(Y)$$\displaystyle V(X + Y)$$\displaystyle {}= V(X)$$\displaystyle {}+ V(Y)$

が成り立つ。3 つ以上の確率変数についても、どれも互いに独立ならば、分散は同様に足し合わせることができる。

独立な試行（場合の数と確率の分野 第7章）で、それぞれの試行の結果だけで決まる確率変数は独立です。

公式6 の 2 つ目の式には、2 つの注意があります。

• 独立でなければ成り立たないことがある。 例題5 の札の例では $V(X)$${}= V(Y)$${}= \dfrac{5}{4}$ ですが、和の分布から計算すると $V(X + Y)$${}= \dfrac{5}{3}$ で、$\dfrac{5}{4}$${}+ \dfrac{5}{4}$${}= \dfrac{5}{2}$ になりません（実践 問19 も参照）。
• 差でも分散は足す。 公式4 で $-Y$ の分散は $(-1)^2 V(Y)$${}= V(Y)$ なので、独立ならば $V(X - Y)$${}= V(X)$${}+ V(Y)$ です。差をとっても、ばらつきは打ち消し合いません。

また、標準偏差はそのまま足せません。$\sigma(X + Y)$${}= \sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$ です。東に $3$ m 歩いてから北に $4$ m 歩くと、進んだ道のりは $7$ m でも、出発点からの距離は三平方の定理で $5$ m です。独立な 2 つのばらつきは、この東と北のように「別々の向き」に広がるので、合わせたばらつきは足し算より小さくなります。例えば、上の路線 B のバス（標準偏差 $3$ 分）を降りて、所要時間の標準偏差が $4$ 分の電車に乗りかえると、2 つが独立なら合計の所要時間の標準偏差は $\sqrt{3^2 + 4^2}$${}= 5$ 分です。

独立な確率変数では、積の期待値は期待値の積になり、和や差の分散は分散の和になるということです（標準偏差は足さず、2 乗して足してから平方根をとります）。

例題6：2個のさいころ

大小 2 個のさいころを投げ、大きいさいころの目を $X$、小さいさいころの目を $Y$ とします。

(1) 積 $XY$ の期待値を求めなさい。

(2) 和 $X$${}+ Y$ と差 $X$${}- Y$ の分散をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

2 個のさいころの目の出方は互いに影響しないので、$X$ と $Y$ は独立です。

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= \frac{1 + 2 + \cdots + 6}{6}$$\displaystyle {}= \frac{7}{2},$$\displaystyle E(X^2)$$\displaystyle {}= \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6}$$\displaystyle {}= \frac{91}{6}$$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= \frac{91}{6}$$\displaystyle {}- \left(\frac{7}{2}\right)^2$$\displaystyle {}= \frac{182 - 147}{12}$$\displaystyle {}= \frac{35}{12}$

$Y$ も同じ分布なので、$E(Y)$${}= \dfrac{7}{2}$，$V(Y)$${}= \dfrac{35}{12}$ です。

(1) 公式6 より

$\displaystyle E(XY)$$\displaystyle {}= \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{49}{4}}$

(2) 公式6 と、上の注意（差でも分散は足す）より

$\displaystyle V(X + Y)$$\displaystyle {}= \frac{35}{12}$$\displaystyle {}+ \frac{35}{12}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{35}{6}},$$\displaystyle V(X - Y)$$\displaystyle {}= \frac{35}{12}$$\displaystyle {}+ \frac{35}{12}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{35}{6}}$

$X$${}+ Y$ は $2$ から $12$、$X$${}- Y$ は $-5$ から $5$ の値をとり、期待値は $7$ と $0$ で違いますが、分布の形はどちらも $36$ 通り中 $1,$$2,$$3,$$4,$$5,$$6,$$5,$$4,$$3,$$2,$$1$ 通りの山形で、散らばり方は同じです。