第5章　群数列と和の工夫

数列を区切ってみる

第4章の最後に、自然数をこう区切ってみました。

$\displaystyle 1 \;\big|\; 2,\ 3 \;\big|\; 4,$$\displaystyle \ 5,$$\displaystyle \ 6 \;\big|\; 7,\ 8,\ 9,\ 10 \;\big|\; \cdots$

このように、数列をある決まりでいくつかのまとまりに区切ったものを群数列といい、1 つ 1 つのまとまりを群と呼びます。左から順に第 1 群、第 2 群、第 3 群……です。上の例では、第 $n$ 群にちょうど $n$ 個の項が入っています。

群数列では、1 つの項に 2 通りの番号が付きます。たとえば $8$ は「初めから数えて第 8 項」であり、同時に「第 4 群の 2 番目」でもあります。群数列の問題のほとんどは、この 2 つの番号を読みかえる作業です。

公式1：群の最初の項と最後の項

第 $n$ 群の項数を $m_n$ とすると、第 $n$ 群の最後の項は、初めから数えて

$\displaystyle m_1$$\displaystyle {}+ m_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ m_n$$\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{n} m_k \text{ 番目}$

であり、第 $n$ 群の最初の項は、初めから数えて

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} m_k$$\displaystyle {}+ 1 \text{ 番目}$$\displaystyle (n \geqq 2)$

である。

最初の項の番号は「前の群までに並んだ個数 ＋ 1」です。Σ の上端が $n$${}- 1$ になるので、第4章と同じく $n$${}\geqq 2$ の断りが付きます。

少し変わったマンションを考えてみましょう。1 階に 1 部屋、2 階に 2 部屋、3 階に 3 部屋……と、上の階ほど部屋が増えていきます。1 階から順に、部屋に通し番号を付けていくと、4 階のいちばん手前の部屋は何番でしょうか。3 階までの部屋は $1$${}+ 2$${}+ 3$${}= 6$ 室なので、答えは $7$ 番です。階が群、階の中の部屋の並びが「群の中の何番目」、通し番号が「初めから何番目」にあたります。

群数列では「初めから何番目」と「第何群の何番目」を読みかえることが基本で、第 $n$ 群の最初の項は、第 $n$${}- 1$ 群までの項数に $1$ を足した番号になるということです。

例題1：群の最初の数と群の和

自然数の列を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように、次のように区切ります。

$\displaystyle 1 \;\big|\; 2,\ 3 \;\big|\; 4,$$\displaystyle \ 5,$$\displaystyle \ 6 \;\big|\; 7,\ 8,\ 9,\ 10 \;\big|\; \cdots$

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求めなさい。

(2) 第 $n$ 群に含まれる数の和を求めなさい。

---

【解答】

(1) $n$${}\geqq 2$ のとき、第 $n$${}- 1$ 群までに含まれる数の個数は

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ (n - 1)$$\displaystyle {}= \frac{(n - 1)n}{2}$

なので、第 $n$ 群の最初の数は、初めから数えて第 $\dfrac{(n - 1)n}{2}$${}+ 1$ 項です。この数列は自然数そのもので、第 $N$ 項は $N$ なので、最初の数は

$\displaystyle \frac{(n - 1)n}{2}$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n$${}= 1$ を代入すると $1$ で、第 1 群の最初の数と一致します。よって $\underline{\dfrac{n^2 - n + 2}{2}}$。

(2) 第 $n$ 群の最後の数は、第 $n$ 群までの個数 $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ そのものです。第 $n$ 群は、最初の数 $\dfrac{n^2 - n + 2}{2}$ から最後の数 $\dfrac{n^2 + n}{2}$ まで、公差 $1$ で $n$ 個並んだ等差数列なので、第1章の公式5（$\dfrac{\text{項数} \times (\text{初項} + \text{末項})}{2}$）より

$\displaystyle \frac{n}{2}\left(\frac{n^2 - n + 2}{2} + \frac{n^2 + n}{2}\right)$$\displaystyle {}= \frac{n}{2} \cdot \frac{2n^2 + 2}{2}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{n(n^2 + 1)}{2}}$

（$n$${}= 3$ で $\dfrac{3 \cdot 10}{2}$${}= 15$ となり、$4$${}+ 5$${}+ 6$${}= 15$ と合っています。）

(1) の答えは、第4章の例題2で求めた数列 $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 7,$$\ 11,$$\ \ldots$ の一般項と同じ式です。第4章では「差が $1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ \ldots$」という手がかりから求め、ここでは「前の群までの個数 ＋ 1」から求めました。同じ数列を、別の入り口から見たことになります。

第 N 項はどの群にあるか

今度は逆向きに、「初めから第 $N$ 項」が第何群の何番目にあたるかを求めます。第 $N$ 項が第 $n$ 群にあるのは、第 $n$${}- 1$ 群の最後の番号より後ろで、第 $n$ 群の最後の番号までのところにあるときです。

公式2：第 N 項が入っている群

第 $N$ 項が第 $n$ 群に入っているための条件は

$\displaystyle (\text{第 } n - 1 \text{ 群までの項数})$$\displaystyle {}< N$$\displaystyle {}\leqq (\text{第 } n \text{ 群までの項数})$

である。このとき第 $N$ 項は、第 $n$ 群の $N$${}- (\text{第 } n - 1 \text{ 群までの項数})$ 番目である。

章ごとにページ数が違う本で、「通しの 100 ページ目は第何章の何ページ目か」を調べる場面を思い浮かべてください。目次を見て、各章が何ページ目で終わるかを順に追い、100 ページ目を「前の章の終わり」と「その章の終わり」ではさめば、章が決まります。あとは、前の章の終わりのページ数を 100 から引けば、その章の中での何ページ目かが分かります。

実際に $n$ を探すときは、不等式をまともに解くより、見当をつけて代入するほうが早く済みます。第 $n$ 群に $n$ 個入る群数列なら、第 $n$ 群までの項数は $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ で、およそ $\dfrac{n^2}{2}$ です。$N$${}= 100$ なら $n^2$ が $200$ 前後、つまり $n$ は $14$ あたりだと見当がつきます。

第 $N$ 項の場所は、群の終わりの番号で $N$ を両側からはさんで群を決め、前の群までの項数を引いて群の中の番号を出すということです。

例題2：第 100 項とそこまでの和

次の群数列について、下の問いに答えなさい。

$\displaystyle 1 \;\big|\; 1,\ 2 \;\big|\; 1,$$\displaystyle \ 2,$$\displaystyle \ 3 \;\big|\; 1,\ 2,\ 3,\ 4 \;\big|\; \cdots$

(1) 初めから数えて第 $100$ 項を求めなさい。

(2) 初項から第 $100$ 項までの和を求めなさい。

---

【解答】

第 $n$ 群は $1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ n$ の $n$ 個なので、第 $n$ 群までの項数は $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ です。

(1) $\dfrac{13 \cdot 14}{2}$${}= 91$，$\dfrac{14 \cdot 15}{2}$${}= 105$ なので

$\displaystyle 91$$\displaystyle {}< 100$$\displaystyle {}\leqq 105$

よって第 $100$ 項は第 $14$ 群にあり、その $100$${}- 91$${}= 9$ 番目です。第 $14$ 群は $1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ 14$ なので、第 $100$ 項は $\underline{9}$。

(2) 第 $k$ 群の和は $1$${}+ 2$${}+ \cdots$${}+ k$${}= \dfrac{k(k + 1)}{2}$ です。第 $1$ 群から第 $13$ 群までの和は、第3章の公式3を使って

$\displaystyle \sum_{k=1}^{13} \frac{k(k + 1)}{2}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{13} k^2 + \sum_{k=1}^{13} k\right)$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(\frac{13 \cdot 14 \cdot 27}{6} + \frac{13 \cdot 14}{2}\right)$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}(819 + 91)$$\displaystyle {}= 455$

これに第 $14$ 群の $1$ から $9$ までの和 $45$ を足して、$455$${}+ 45$${}= \underline{500}$。

(2) は「完全に入っている群の和」と「最後の群の途中までの和」の 2 つに分けました。群数列の和では、この分け方がいつも使えます。

群の区切り方は、いつも数の大小で決まるとは限りません。次の例題では、区切りの決まりを見抜くことが決め手になります。

例題3：分数の群数列

分数を、約分しないで次のように並べます。

$\displaystyle \frac{1}{1} \;\bigg|\; \frac{1}{2},\ \frac{2}{1} \;\bigg|\; \frac{1}{3},$$\displaystyle \ \frac{2}{2},$$\displaystyle \ \frac{3}{1} \;\bigg|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1} \;\bigg|\; \cdots$

(1) $\dfrac{5}{8}$ は初めから数えて第何項かを求めなさい。

(2) 初めから数えて第 $50$ 項を求めなさい。

---

【解答】

各群を見ると、分子と分母の和が一定で、第 $n$ 群では和が $n$${}+ 1$ です。分子は $1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ n$ と $1$ ずつ増えるので、第 $n$ 群の $k$ 番目は $\dfrac{k}{n + 1 - k}$ で、第 $n$ 群には $n$ 個の分数が入ります。

(1) $\dfrac{5}{8}$ は分子と分母の和が $13$ なので第 $12$ 群にあり、分子が $5$ なのでその $5$ 番目です。第 $11$ 群までの項数は $\dfrac{11 \cdot 12}{2}$${}= 66$ なので、$66$${}+ 5$${}= 71$ より第 $\underline{71}$ 項。

(2) $\dfrac{9 \cdot 10}{2}$${}= 45$，$\dfrac{10 \cdot 11}{2}$${}= 55$ で $45$${}< 50$${}\leqq 55$ なので、第 $50$ 項は第 $10$ 群の $50$${}- 45$${}= 5$ 番目です。第 $10$ 群は分子と分母の和が $11$ なので、分子 $5$、分母 $11$${}- 5$${}= 6$ で $\underline{\dfrac{5}{6}}$。

この並べ方をどこまでも続けると、正の分数はすべて、どこかの群のどこかに必ず現れます。$\dfrac{5}{8}$ に「71 番」という番号が付いたように、どの分数にも番号が付くのです。この事実が数学の歴史で果たした役割は、小話で紹介します。

和の工夫(1)：表に並べて、縦と横を入れかえる

ここからは群数列を離れて、和の求め方の工夫を 2 つ学びます。1 つ目は、数を表（縦と横に並べたもの）に並べて足す方法です。

$i$ 行 $j$ 列に数が入った表のすべての数を足すとき、「行ごとに合計してから、行の合計を足す」ことも、「列ごとに合計してから、列の合計を足す」こともできます。行ごとに足すのを Σ で書くと、$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n} \cdots\right)$ のように Σ が 2 重になります。これを二重の Σ といい、かっこを省いて書くのがふつうです。計算は内側の Σ から行い、内側の Σ を計算しているあいだは、外側の文字 $i$ を定数として扱います（第3章 実践 j15 で、Σ の中の $n$ を定数として扱ったのと同じです）。

公式3：表の数の和

表の $i$ 行 $j$ 列の数が $x_i y_j$（行の数と列の数の積）であるとき

$\displaystyle \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} x_i y_j$$\displaystyle {}= \left(\sum_{i=1}^{m} x_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n} y_j\right)$

また、有限個の数の和なので、行と列の足す順番を入れかえても値は変わらない。

内側の Σ では $x_i$ は定数なので、Σ の外に出せます（第3章の公式2）。$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} x_i y_j$$\displaystyle {}= x_i \sum_{j=1}^{n} y_j$ で、残った $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} y_j$ は $i$ によらない定数なので、今度はそれを外側の Σ の外に出せば公式3になります。

クラスの定期テストの点数表を考えてみてください。縦に生徒、横に科目が並んでいます。クラス全員の全科目の総得点は、生徒 1 人 1 人の合計点を出してから足しても、科目ごとのクラス合計を出してから足しても、同じ値になります。どちらの順で足すかは、計算しやすいほうを選べばよいのです。

表に並べると、もう 1 つ見えることがあります。かけ算の表では $i$ 行 $j$ 列と $j$ 行 $i$ 列に同じ数が入るので、対角線をはさんで右上と左下が鏡に映したようにそろいます。右上だけの和がほしいときは、「全体 − 対角線」を $2$ で割ればよいのです。

2 つの番号をもつ数の和は表に並べて考え、行と列のどちらから足してもよいことと、対角線をはさんだ対称性とを使って、計算しやすい形にするということです。

例題4：かけ算の表の和

$n$ 行 $n$ 列の表の $i$ 行 $j$ 列に、積 $ij$ を書きます（$i,$$\ j$${}= 1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ n$）。

(1) 表に書いたすべての数の和を求めなさい。

(2) $i$${}< j$ を満たすマス（対角線より右上）に書いた数の和を求めなさい。

---

【解答】

(1) 公式3で $x_i$${}= i$，$y_j$${}= j$ とすると

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} ij$$\displaystyle {}= \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\left(\sum_{j=1}^{n} j\right)$$\displaystyle {}= \underline{\left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2}$

(2) 対角線のマスの数は $1^2,$$\ 2^2,$$\ \ldots,$$\ n^2$ なので、その和は $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ です。右上と左下は同じ数の組なので、右上の和は

$\displaystyle \frac{1}{2}\biggl\{\frac{n^2(n + 1)^2}{4} - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\biggr\}$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)}{24}\{3n(n + 1) - 2(2n + 1)\}$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)(3n^2 - n - 2)}{24}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{(n - 1)n(n + 1)(3n + 2)}{24}}$

（$n$${}= 3$ で $\dfrac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 11}{24}$${}= 11$ となり、$1 \cdot 2$${}+ 1 \cdot 3$${}+ 2 \cdot 3$${}= 11$ と合っています。）

(2) は、「$1$ から $n$ までの異なる 2 つの数の積をすべて足したもの」でもあります。$(a + b + c)^2$${}= a^2$${}+ b^2$${}+ c^2$${}+ 2(ab + bc + ca)$ と同じしくみで、$(1 + 2 + \cdots + n)^2$ を展開すると、2 乗の項が対角線に、異なる 2 数の積が右上と左下に 1 回ずつ現れるのです。

和の工夫(2)：符号が交互に変わる和

2 つ目の工夫は、$+$ と $-$ が交互に現れる和です。

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}- 4$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}- 6$$\displaystyle {}+ \cdots$

1 項ずつ追いかけると、$1,$${}\ -1,$$\ 2,$${}\ -2,$$\ 3,$$\ \ldots$ と行ったり来たりして規則がつかみにくくなります。そこで、$(1 - 2)$${}+ (3 - 4)$${}+ (5 - 6)$${}+ \cdots$ と 2 項ずつ組にします。どの組も $-1$ なので、$100$ 項までなら $50$ 組で $-50$ です。

ただし、項の個数が奇数だと、最後に組になれない項が 1 つ余ります。そのため、答えは項数の偶奇で場合分けすることになります。

「3 歩進んで 2 歩下がる」歩き方を思い浮かべてください。1 歩ずつ位置を数えると前後に揺れて分かりにくいのですが、「進む＋下がる」を 1 組にすれば、1 組で 1 歩ずつ前へ進む、とすっきり分かります。ただし、ちょうど「進んだ直後」に立ち止まったときは、最後の「進む」の分だけ別に足さなければなりません。

符号が交互に変わる和は 2 項ずつ組にして 1 つの数列の和に直し、項数が奇数のときは組にならない最後の項を別に足すということです。

例題5：2 乗の交互の和

$S_n$${}= 1^2$${}- 2^2$${}+ 3^2$${}- 4^2$${}+ \cdots$${}+ (-1)^{n+1} n^2$ を求めなさい。

---

【解答】

$(-1)^{n+1}$ は、$n$ が奇数なら $1$、偶数なら $-1$ になるので、奇数の 2 乗は足し、偶数の 2 乗は引く、という意味です。

$n$ が偶数のとき　$n$${}= 2m$（$m$ は自然数）とおくと、$(2k - 1)^2$${}- (2k)^2$${}= -4k$${}+ 1$ の組が $m$ 個なので

$\displaystyle S_{2m}$$\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{m} (-4k + 1)$$\displaystyle {}= -2m(m + 1)$$\displaystyle {}+ m$$\displaystyle {}= -m(2m + 1)$

$m$${}= \dfrac{n}{2}$ を代入して $S_n$${}= -\dfrac{n(n + 1)}{2}$。

$n$ が奇数のとき　$n$${}= 2m$${}- 1$（$m$ は自然数）とおくと、$S_{2m}$ から最後の $-(2m)^2$ を取り除いたものなので

$\displaystyle S_{2m-1}$$\displaystyle {}= S_{2m}$$\displaystyle {}+ (2m)^2$$\displaystyle {}= -m(2m + 1)$$\displaystyle {}+ 4m^2$$\displaystyle {}= m(2m - 1)$

$m$${}= \dfrac{n + 1}{2}$ を代入して $S_n$${}= \dfrac{n(n + 1)}{2}$。

以上をまとめて

$$\underline{S_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n(n + 1)}{2}}$$

（$n$${}= 3$ で $1$${}- 4$${}+ 9$${}= 6$、式でも $\dfrac{3 \cdot 4}{2}$${}= 6$。$n$${}= 4$ で $6$${}- 16$${}= -10$、式でも $-\dfrac{4 \cdot 5}{2}$${}= -10$。）

偶数の場合と奇数の場合で符号だけが違う、きれいな結果になりました。場合分けした 2 つの答えが 1 つの式にまとめられるときは、$(-1)^{n+1}$ や $(-1)^n$ を使って書くと見通しがよくなります。

この章のまとめと次の章

この章で何度も出てきた $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 7,$$\ 11,$$\ \ldots$ は、「前の項にその番号を足すと次の項になる」という決まり

$\displaystyle a_1$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle a_{n+1}$$\displaystyle {}= a_n$$\displaystyle {}+ n$

でも作れます。このように、前の項から次の項を決める式を漸化式といいます。第4章 実践 j18 の $a_n$${}= 2a_{n-1}$ も漸化式の一種です。次の第6章では、漸化式から一般項を求める方法を、等差・等比・階差数列に帰着させる形で学びます。