第2章　等比数列

等比数列と公比

第1章の最後に登場した数列 $3,$$\ 6,$$\ 12,$$\ 24,$$\ \ldots$ を見てみましょう。となりどうしの差は $3,$$\ 6,$$\ 12,$$\ \ldots$ とばらばらなので、等差数列ではありません。けれども、どの項も前の項の $2$ 倍になっています。

$$3 \xrightarrow{\times 2} 6 \xrightarrow{\times 2} 12 \xrightarrow{\times 2} 24 \xrightarrow{\times 2} 48 \xrightarrow{\times 2} \cdots$$

このように、各項に一定の数 $r$ を掛けると次の項が得られる数列を等比数列といい、$r$ を公比といいます。「となりどうしの比が等しい」から等比、「どこでも共通の比」だから公比です。第1章の「等差・公差」と、1 文字ずつ入れかわった名前になっています。

公式1：等比数列の定義

数列 $\{a_n\}$ が公比 $r$ の等比数列であるとは、すべての自然数 $n$ について

$\displaystyle a_{n+1}$$\displaystyle {}= ra_n$

が成り立つことである。どの項も $0$ でないときは、$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$${}= r$（となりどうしの比が一定）と言いかえられる。

公比は負の数でも分数でもかまいません。$5,$${}\ -10,$$\ 20,$${}\ -40,$$\ \ldots$ は公比 $-2$ で、符号が交互に入れかわります。$54,$$\ 18,$$\ 6,$$\ 2,$$\ \ldots$ は公比 $\dfrac{1}{3}$ で、だんだん小さくなります。

電卓で考えると、等差数列は「$+d$」のボタン、等比数列は「$\times r$」のボタンを押し続けてできる数列です。最初に初項を打ち込み、あとは同じボタンを押すたびに、画面に次の項が現れます。押すボタンが足し算か掛け算か——等差と等比の違いは、ここだけです。

等比数列かどうかを確かめるには、となりどうしの比 $\dfrac{a_2}{a_1},$$\ \dfrac{a_3}{a_2},$$\ \ldots$ を並べて、すべて同じかどうかを見ます。

等比数列とは、どの項も前の項に同じ数（公比）を掛けてできる数列だということです。

例題1：等比数列かどうか

(1) $5,$${}\ -10,$$\ 20,$${}\ -40$

(2) $1,$$\ 3,$$\ 6,$$\ 10$

(3) $27,$$\ 18,$$\ 12,$$\ 8$

上の各数列が等比数列かどうかを調べ、等比数列ならその公比を求めなさい。

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【解答】

となりどうしの比を並べます。

(1) $\dfrac{-10}{5}$${}= -2$，$\dfrac{20}{-10}$${}= -2$，$\dfrac{-40}{20}$${}= -2$。すべて等しいので、$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}\text{公比 }}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}{}-2 \text{ の等比数列}}$

(2) $\dfrac{3}{1}$${}= 3$，$\dfrac{6}{3}$${}= 2$。比が等しくないので、$\underline{\text{等比数列ではない}}$

(3) $\dfrac{18}{27}$${}= \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{12}{18}$${}= \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{8}{12}$${}= \dfrac{2}{3}$。すべて等しいので、$\underline{\text{公比 } \dfrac{2}{3} \text{ の等比数列}}$

(2) は差を並べると $2,$$\ 3,$$\ 4$ で、差も比も一定ではありません。等差数列でも等比数列でもない数列のほうが、世の中にはずっと多いのです。こうした数列の和は、第3章以降で扱います。

等比数列の一般項

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列で、第 $n$ 項はいくつになるでしょうか。

$\displaystyle a_1$$\displaystyle {}= a,$$\displaystyle a_2$$\displaystyle {}= ar,$$\displaystyle a_3$$\displaystyle {}= ar^2,$$\displaystyle a_4$$\displaystyle {}= ar^3,$$\displaystyle \ldots$

第 2 項は $r$ を 1 回、第 3 項は 2 回、第 4 項は 3 回掛けています。第 $n$ 項までに $r$ を掛ける回数は、等差数列のときと同じく $n$${}- 1$ 回です。

公式2：等比数列の一般項

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= ar^{n-1}$

電卓の例えでいえば、初項を打ち込んだあと「$\times r$」を押す回数は、第 2 項で 1 回、第 $n$ 項で $n$${}- 1$ 回。第1章の植木算と同じで、項が $n$ 個並ぶとき、そのあいだの矢印は $n$${}- 1$ 本です。指数が $n$ ではなく $n$${}- 1$ になるのは、このためです。

等差数列の一般項は $n$ の 1 次式で、点 $(n,\ a_n)$ は直線の上に並びました。等比数列の一般項 $ar^{n-1}$ は、$n$ が指数に入った式——指数・対数の分野で学んだ指数関数の形——です。公比が $1$ より大きいと、点は指数関数のグラフに沿って、急な坂を駆け上がるように並びます。

2 つの項が分かれば、公比は「項の比」から求まります。第 3 項と第 5 項なら、そのあいだに $r$ が $5$${}- 3$${}= 2$ 回掛かっているので、$\dfrac{a_5}{a_3}$${}= r^2$ です。ここで $r^2$ の値から $r$ を出すと、正と負の 2 通りが出てくることがあります。等差数列の「$d$ を $2$ 回足す」と違う、等比数列ならではの注意点です。

等比数列の第 $n$ 項は、初項に公比を $n$${}- 1$ 回掛けた $ar^{n-1}$ で、$n$ の指数関数の形になるということです。

例題2：2 つの項から一般項を求める

第 3 項が $18$、第 5 項が $162$ である等比数列 $\{a_n\}$ について、一般項を求めなさい。ただし、公比は実数とします。

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【解答】

初項を $a$、公比を $r$ とすると

$\displaystyle ar^2$$\displaystyle {}= 18,$$\displaystyle ar^4$$\displaystyle {}= 162$

$ar^2$${}= 18$${}\neq 0$ なので、下の式を上の式で割ることができて $r^2$${}= 9$、よって $r$${}= \pm 3$。どちらの場合も $a$${}= \dfrac{18}{r^2}$${}= 2$ です。

$\displaystyle r$$\displaystyle {}= 3 \text{ のとき } a_n$$\displaystyle {}= 2 \cdot 3^{n-1},$$\displaystyle r$$\displaystyle {}= -3 \text{ のとき } a_n$$\displaystyle {}= 2 \cdot (-3)^{n-1}$

よって $\underline{a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \text{ または } a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}}$

2 つの数列は $2,$$\ 6,$$\ 18,$$\ 54,$$\ 162$ と $2,$${}\ -6,$$\ 18,$${}\ -54,$$\ 162$ で、奇数番目の項はまったく同じです。第 3 項と第 5 項（どちらも奇数番目）だけでは、偶数番目の符号が決まらないのです。

等比中項と 3 つの数の置き方

3 つの数 $a,$$\ b,$$\ c$ がこの順に公比 $r$ の等比数列になっているとき、$b$${}= ar$，$c$${}= ar^2$ です。すると

$\displaystyle b^2$$\displaystyle {}= a^2r^2$$\displaystyle {}= a \cdot ar^2$$\displaystyle {}= ac$

が成り立ちます。この $b$ を等比中項といいます。

公式3：等比中項・3 つの数の置き方

$a$${}\neq 0$ のとき、3 つの数 $a,$$\ b,$$\ c$ がこの順に等比数列をなす $\iff b^2$${}= ac$

等比数列をなす 3 つの数は、真ん中の数を $a$、公比を $r$ として

$\displaystyle \frac{a}{r},$$\displaystyle a,$$\displaystyle ar$

とおくと、積が $a^3$ となって計算が楽になる（$r$${}\neq 0$）。

縦 $4$ cm、横 $9$ cm の長方形と同じ面積の正方形を作るとき、一辺は $\sqrt{4 \times 9}$${}= 6$ cm です。$4,$$\ 6,$$\ 9$ は公比 $\dfrac{3}{2}$ の等比数列で、$6$ は $4$ と $9$ の等比中項。長方形を、形だけ整えて同じ面積の正方形に作りかえたときの一辺——それが等比中項です。第1章の等差中項が「両端の平均（真ん中の支点）」だったのに対し、等比中項は「両端の積の平方根」になります。

$b^2$${}= ac$ から $b$ を求めると、$b$${}= \pm\sqrt{ac}$ の 2 通りがありえます。$4,$${}\ -6,$$\ 9$ も公比 $-\dfrac{3}{2}$ の等比数列です。

3 つの数を $\dfrac{a}{r},$$\ a,$$\ ar$ とおくと、積は $\dfrac{a}{r} \times a \times ar$${}= a^3$ となって $r$ が消えます。等差数列で「和が分かれば真ん中が決まる」だったのが、等比数列では「積が分かれば真ん中が決まる」に変わります。

$a$${}\neq 0$ のとき、3 つの数が等比数列になる条件は、真ん中の数の 2 乗が両端の積に等しいことで、3 つの数は $\dfrac{a}{r},$$\ a,$$\ ar$ とおくと積から真ん中が決まるということです。

例題3：等比数列をなす 3 つの数

等比数列をなす 3 つの実数があり、その和は $21$、積は $216$ です。この 3 つの数を求めなさい。

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【解答】

3 つの数を $\dfrac{a}{r},$$\ a,$$\ ar$ とおきます。積が $216$ なので $a^3$${}= 216$、$a$ は実数なので $a$${}= 6$。和が $21$ なので

$\displaystyle \frac{6}{r}$$\displaystyle {}+ 6$$\displaystyle {}+ 6r$$\displaystyle {}= 21$

両辺に $r$ を掛けて整理すると $6r^2$${}- 15r$${}+ 6$${}= 0$、すなわち $2r^2$${}- 5r$${}+ 2$${}= 0$。$(2r - 1)(r - 2)$${}= 0$ より $r$${}= 2,$$\ \dfrac{1}{2}$。

$r$${}= 2$ のとき $3,$$\ 6,$$\ 12$、$r$${}= \dfrac{1}{2}$ のとき $12,$$\ 6,$$\ 3$。どちらも同じ 3 つの数なので、求める数は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 6,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 12}$

等比数列の和

$1$${}+ 2$${}+ 4$${}+ 8$${}+ \cdots$${}+ 2^9$ を、1 つずつ足さずに求める方法を考えます。和を $S$ とおき、全体に公比 $2$ を掛けた $2S$ を、1 つ右にずらして書きます。

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ 2^9$$\displaystyle 2S$$\displaystyle {}= \phantom{1 + {}} 2$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ 2^9$$\displaystyle {}+ 2^{10}$

上下に同じ項がずらりとそろいました。$2S$ から $S$ を引くと、そろった項はすべて消えて、$2S$ のいちばん右の $2^{10}$ と、$S$ のいちばん左の $1$ だけが残ります。

$\displaystyle 2S$$\displaystyle {}- S$$\displaystyle {}= 2^{10}$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle \text{より}$$\displaystyle S$$\displaystyle {}= 1024$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 1023$

同じことが、どんな等比数列でもできます。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の和 $S_n$ から $rS_n$ を引くと

$$\begin{aligned} S_n &= a + ar + \cdots + ar^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a + {}} ar + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \\ \hline (1 - r)S_n &= a \phantom{{} + ar + \cdots + ar^{n-1}} - ar^n \end{aligned}$$

$r$${}\neq 1$ なら両辺を $1$${}- r$ で割って、$S_n$ が求まります。

公式4：等比数列の和

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$\displaystyle r$$\displaystyle {}\neq 1 \text{ のとき}$$\displaystyle S_n$$\displaystyle {}= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$\displaystyle {}= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$\displaystyle r$$\displaystyle {}= 1 \text{ のとき}$$\displaystyle S_n$$\displaystyle {}= na$

2 つの形は、分子と分母の両方に $-1$ を掛けたもので、中身は同じです。$r$${}> 1$ なら右の形、$r$${}< 1$ なら左の形を使うと、分母・分子が正になって計算ミスが減ります。$r$${}= 1$ のときは $1$${}- r$${}= 0$ で割れないので、別に扱います（すべての項が $a$ なので、和は $na$）。

行列に並んだ人の写真を 2 枚用意して、片方を 1 人分ずらして重ねるところを想像してください。重なった人はぴったり打ち消し合って消え、はみ出した両端の 1 人ずつだけが残ります。「公比を掛けてずらして引く」も同じで、途中の項はすべて消え、最初の $a$ と最後の $ar^n$ だけが残ります。第1章の和は「逆順に並べて足す」でペアを作りましたが、等比数列の和は「ずらして引く」で打ち消し合いを作るのです。

公比が $1$ より小さい正の数のときの和は、図にすると分かりやすくなります。面積 $1$ の正方形の半分を塗り、残りの半分を塗り、さらに残りの半分を塗り……とくり返すと、塗った面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{4}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{8}$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ \frac{1}{2^n}$$\displaystyle {}= \frac{\frac{1}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}}{1 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}- \frac{1}{2^n}$

です。塗り残しは、いつも最後に塗った部分と同じ大きさの $\dfrac{1}{2^n}$ になっています。

等比数列の和は、公比を掛けて 1 つずらした和を引くと途中の項がすべて消えるので、$r$${}\neq 1$ なら $\dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ で求まるということです。

例題4：等比数列の和

(1) 和 $3$${}+ 6$${}+ 12$${}+ \cdots$${}+ 384$ を求めなさい。

(2) 初項 $81$、公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列の、初項から第 5 項までの和を求めなさい。

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【解答】

(1) 初項 $3$、公比 $2$ の等比数列です。末項 $384$ が第何項かを調べると、$3 \cdot 2^{n-1}$${}= 384$ より $2^{n-1}$${}= 128$${}= 2^7$、$n$${}= 8$。公比が $1$ より大きいので右の形を使って

$\displaystyle S_8$$\displaystyle {}= \frac{3(2^8 - 1)}{2 - 1}$$\displaystyle {}= 3 \times 255$$\displaystyle {}= \underline{765}$

(2) 公比が $1$ より小さいので左の形を使います。$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5$${}= -\dfrac{1}{243}$ なので

$\displaystyle S_5$$\displaystyle {}= \frac{81\left\{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^5\right\}}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}$$\displaystyle {}= \frac{81 \times \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$$\displaystyle {}= \frac{244}{3} \times \frac{3}{4}$$\displaystyle {}= \underline{61}$

（項を書き出すと $81$${}- 27$${}+ 9$${}- 3$${}+ 1$${}= 61$ で、確かに合っています。）

(1) のように、末項が分かっているときは、まず「第何項か」を出して項数を決めます。第1章の等差数列の和と同じ段取りです。

和の条件から初項と公比を求める

「初項から第 3 項までの和」と「初項から第 6 項までの和」が分かっているとき、初項と公比を求めてみます。公式4に当てはめて連立方程式を作ることもできますが、次のしくみを使うと、ずっと見通しよく解けます。

$\displaystyle a_4$$\displaystyle {}+ a_5$$\displaystyle {}+ a_6$$\displaystyle {}= ar^3$$\displaystyle {}+ ar^4$$\displaystyle {}+ ar^5$$\displaystyle {}= r^3(a + ar + ar^2)$$\displaystyle {}= r^3(a_1 + a_2 + a_3)$

第 4 項から第 6 項までは、第 1 項から第 3 項までの各項に、それぞれ $r^3$ を掛けたものです。だから、ひとまとまりの和どうしも $r^3$ 倍になっています。

第1章の等差数列では「第 11 項から第 20 項までの和」を $S_{20}$${}- S_{10}$ として扱いました。等比数列では、それに加えて「前のまとまりの $r^{(\text{項数})}$ 倍」という見方ができます。

毎年、給料が同じ割合で上がっていく会社を考えてみてください。1 年あたりの上がり方が $r$ 倍なら、4 年目の給料は 1 年目の $r^3$ 倍、5 年目は 2 年目の $r^3$ 倍、6 年目は 3 年目の $r^3$ 倍です。だから「4〜6 年目の 3 年分の合計」も、「1〜3 年目の 3 年分の合計」の $r^3$ 倍になります。1 年ずつ比べても、3 年分をまとめて比べても、倍率は同じなのです。

等比数列では、連続する $k$ 個の項の和を $k$ 項ぶん後ろにずらすと、和がちょうど $r^k$ 倍になるということです。

例題5：和から初項と公比を求める

公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 3 項までの和が $7$、初項から第 6 項までの和が $63$ です。この数列の一般項を求めなさい。

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【解答】

初項を $a$、公比を $r$ とします。第 4 項から第 6 項までの和は $63$${}- 7$${}= 56$ で、これは初項から第 3 項までの和の $r^3$ 倍なので

$\displaystyle 7r^3$$\displaystyle {}= 56$$\displaystyle \text{より}$$\displaystyle r^3$$\displaystyle {}= 8$

$r$ は実数なので $r$${}= 2$。初項から第 3 項までの和から $a(1 + 2 + 4)$${}= 7$、$a$${}= 1$。

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= 1 \cdot 2^{n-1}$$\displaystyle {}= \underline{2^{n-1}}$

（$1$${}+ 2$${}+ 4$${}= 7$，$1$${}+ 2$${}+ 4$${}+ 8$${}+ 16$${}+ 32$${}= 63$ で確かめられます。）

公式4で式を立てると $\dfrac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$${}= 7$，$\dfrac{a(r^6 - 1)}{r - 1}$${}= 63$ となり、$r^6$${}- 1$${}= (r^3 - 1)(r^3 + 1)$ を使って割り算すれば同じ $r^3$${}+ 1$${}= 9$ にたどりつきます。ただしこの式は $r$${}\neq 1$ が前提なので、$r$${}= 1$ の場合（和は $3a$ と $6a$ で、2 倍にしかならない）を別に確かめる手間がかかります。上の「$r^3$ 倍」の見方なら、その場合分けが要りません。

複利と積み立て

銀行の預金には、1 年ごとに利子が付きます。付いた利子を元金に組み入れ、次の年は「元金 ＋ 利子」全体に利子が付くしくみを複利といいます。年利 $2\%$ なら、1 年ごとに預金全体が $1.02$ 倍になるので、預金額は公比 $1.02$ の等比数列になります。

毎年同じ額を積み立てる場合は、1 回ごとの積み立て分が、それぞれ別々に何倍にもなっていきます。最後にそれらを合計すると、等比数列の和になります。

公式5：複利と積み立て

年利 $r$（$2\%$ なら $r$${}= 0.02$）の 1 年ごとの複利で、

• 元金 $P$ を預けると、$n$ 年後の元利合計（元金と利子の合計）は $P(1 + r)^n$
• 毎年初めに $a$ ずつ積み立てると、$n$ 年目の年末の元利合計は

$\displaystyle a(1 + r)$$\displaystyle {}+ a(1 + r)^2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ a(1 + r)^n$$\displaystyle {}= \frac{a(1 + r)\{(1 + r)^n - 1\}}{r}$

積み立ての式は、最後に積み立てた分から並べると分かりやすくなります。$n$ 年目の初めに入れた分は 1 年しか預けないので $a(1 + r)$、1 年目の初めに入れた分は $n$ 年まるまる預けるので $a(1 + r)^n$。これらは初項 $a(1 + r)$、公比 $1$${}+ r$、項数 $n$ の等比数列で、公式4の右の形に当てはめると上の式になります。

複利は、坂道を転がる雪だるまに似ています。転がるたびに付く雪の量は、そのときの雪だるまの大きさに比例します。大きくなるほど、1 回転で付く雪も多くなる。利子にも利子が付く複利のふくらみ方は、この雪だるまと同じです。

複利で預けたお金は毎年同じ倍率で増えるので等比数列になり、毎年の積み立ての合計は、最後に入れた分から並べた等比数列の和で求まるということです。

例題6：積み立ての元利合計

毎年初めに $10$ 万円ずつ、年利 $2\%$ の 1 年ごとの複利で積み立てます。10 年目の年末の元利合計を求めなさい。ただし、$1.02^{10}$${}= 1.2190$ として計算しなさい。

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【解答】

10 年目の初めに入れた $10$ 万円は 1 年分の利子が付いて $10 \times 1.02$ 万円、……、1 年目の初めに入れた $10$ 万円は 10 年分の利子が付いて $10 \times 1.02^{10}$ 万円になります。合計は、初項 $10 \times 1.02$、公比 $1.02$、項数 $10$ の等比数列の和なので

$\displaystyle \frac{10 \times 1.02 \times (1.02^{10} - 1)}{1.02 - 1}$$\displaystyle {}= \frac{10 \times 1.02 \times 0.2190}{0.02}$$\displaystyle {}= 10 \times 1.02 \times 10.95$$\displaystyle {}= 111.69$

よって $\underline{111 \text{ 万 } 6900 \text{ 円}}$

積み立てた元金は $10 \times 10$${}= 100$ 万円なので、利子の合計は $11$ 万 $6900$ 円です。もし利子を元金に組み入れない単利なら、各回の $10$ 万円に付く利子は 1 年あたり $0.2$ 万円で、預けた年数は $1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ 10$ 年なので、利子の合計は $0.2 \times (1 + 2 + \cdots + 10)$${}= 11$ 万円（第1章の等差数列の和）。複利のほうが、「利子の利子」の分だけ約 $7000$ 円多くなっています。

この章のまとめと次の章

等比数列は「掛け算をくり返してできる数列」でした。一般項は $ar^{n-1}$ で指数関数の形、和は「公比を掛けてずらして引く」で求まります。

では、$1^2$${}+ 2^2$${}+ 3^2$${}+ \cdots$${}+ n^2$ のように、等差数列でも等比数列でもない数列の和はどう求めればよいでしょうか。次の第3章では、長い和を短く書く記号 Σ（シグマ）を導入し、こうした「いろいろな数列の和」を扱います。