第1章　等差数列

数列とその言葉

数を一列に並べたものを数列といいます。たとえば

$\displaystyle 2,$$\displaystyle \ 5,$$\displaystyle \ 8,$$\displaystyle \ 11,$$\displaystyle \ 14,$$\displaystyle \ \ldots$$\displaystyle 1,$$\displaystyle \ 4,$$\displaystyle \ 9,$$\displaystyle \ 16,$$\displaystyle \ 25,$$\displaystyle \ \ldots$

はどちらも数列です。並んでいる 1 つ 1 つの数を項といい、前から順に第 1 項（初項）、第 2 項、第 3 項、……と呼びます。左の数列なら初項は $2$、第 4 項は $11$ です。

数列を文字で書くときは、第 1 項を $a_1$、第 2 項を $a_2$、……、第 $n$ 項を $a_n$ のように、右下に番号（添え字）を付けます。数列全体をまとめて $\{a_n\}$ と書くこともあります。

項がどこまでも続く数列を無限数列、途中で終わる数列を有限数列といいます。有限数列では、項の個数を項数、最後の項を末項といいます。

右の数列 $1,$$\ 4,$$\ 9,$$\ 16,$$\ \ldots$ は、第 $n$ 項が $n^2$ になっています。このように第 $n$ 項を $n$ の式で表したものを一般項といいます。一般項が分かれば、$n$${}= 100$ を代入するだけで第 100 項が求まります。

公式1：数列の言葉

数列 $a_1,$$\ a_2,$$\ a_3,$$\ \ldots,$$\ a_n,$$\ \ldots$ を $\{a_n\}$ と書く。

• $a_1$ を初項、$a_n$ を第 $n$ 項という。
• 第 $n$ 項を $n$ の式で表したものを一般項という。
• 有限数列では、項の個数を項数、最後の項を末項という。

数列は、番号札の付いた箱がずらりと並んでいるようすに似ています。1 番の箱には $a_1$、2 番の箱には $a_2$ が入っています。一般項は「$n$ 番の箱に何が入っているか」を教えてくれるレシピです。レシピさえあれば、箱を 1 つずつ開けていかなくても、1000 番の箱の中身がすぐに分かります。

数列とは番号の付いた数の並びで、$n$ 番目の数を $n$ の式で表したものが一般項だということです。

例題1：数列の項と一般項

(1) 一般項が $a_n$${}= 3n$${}- 5$ である数列 $\{a_n\}$ の、初項から第 4 項までを求めなさい。

(2) 数列 $1,$$\ 4,$$\ 9,$$\ 16,$$\ \ldots$ の第 6 項を、一般項を推測して求めなさい。

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【解答】

(1) $n$${}= 1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4$ を順に代入します。

$\displaystyle a_1$$\displaystyle {}= 3$$\displaystyle {}- 5$$\displaystyle {}= -2,$$\displaystyle a_2$$\displaystyle {}= 6$$\displaystyle {}- 5$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle a_3$$\displaystyle {}= 9$$\displaystyle {}- 5$$\displaystyle {}= 4,$$\displaystyle a_4$$\displaystyle {}= 12$$\displaystyle {}- 5$$\displaystyle {}= 7$

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}-2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 4,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 7}$

(2) $1$${}= 1^2$，$4$${}= 2^2$，$9$${}= 3^2$，$16$${}= 4^2$ なので、一般項は $a_n$${}= n^2$ と推測できます。第 6 項は $a_6$${}= 6^2$${}= \underline{36}$

(2) の「推測」は、並びの規則を読み取っただけで、証明したわけではありません。最初の数項だけでは、規則が 1 通りに決まらないこともあります。この章から先では、「どんな規則でできた数列か」をはっきり決めてから考えます。

等差数列と公差

数列 $2,$$\ 5,$$\ 8,$$\ 11,$$\ 14,$$\ \ldots$ は、どの項も前の項に $3$ を足したものになっています。

$$2 \xrightarrow{+3} 5 \xrightarrow{+3} 8 \xrightarrow{+3} 11 \xrightarrow{+3} 14 \xrightarrow{+3} \cdots$$

このように、各項に一定の数 $d$ を足すと次の項が得られる数列を等差数列といい、$d$ を公差といいます。「となりどうしの差が等しい」から等差、「どこでも共通の差」だから公差です。$10,$$\ 7,$$\ 4,$$\ 1,$$\ \ldots$ のように減っていく数列も、公差 $-3$ の等差数列です。

公式2：等差数列の定義

数列 $\{a_n\}$ が公差 $d$ の等差数列であるとは、すべての自然数 $n$ について

$\displaystyle a_{n+1}$$\displaystyle {}= a_n$$\displaystyle {}+ d$$\displaystyle \text{すなわち}$$\displaystyle a_{n+1}$$\displaystyle {}- a_n$$\displaystyle {}= d$

が成り立つことである。

毎月、同じ額ずつ貯金箱に入れていくようすを思い浮かべてください。最初に $2$ 千円入っていて、毎月 $3$ 千円ずつ足すと、残高は $2,$$\ 5,$$\ 8,$$\ 11,$$\ \ldots$（千円）と並びます。公差は「毎月の入金額」です。入金額がマイナスなら、毎月同じ額を引き出していることになり、残高は減っていきます。

等差数列かどうかを確かめるには、となりどうしの差 $a_2$${}- a_1,$$\ a_3$${}- a_2,$$\ \ldots$ を並べて、すべて同じかどうかを見ます。

等差数列とは、どの項も前の項に同じ数（公差）を足してできる数列だということです。

例題2：等差数列かどうか

(1) $4,$$\ 1,$${}\ -2,$${}\ -5$

(2) $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 7$

(3) $\dfrac{1}{2},$$\ \dfrac{5}{6},$$\ \dfrac{7}{6},$$\ \dfrac{3}{2}$

上の各数列が等差数列かどうかを調べ、等差数列ならその公差を求めなさい。

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【解答】

となりどうしの差を並べます。

(1) $1$${}- 4$${}= -3$，$-2$${}- 1$${}= -3$，$-5$${}- (-2)$${}= -3$。すべて等しいので、$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}\text{公差 }}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}{}-3 \text{ の等差数列}}$

(2) $2$${}- 1$${}= 1$，$4$${}- 2$${}= 2$，$7$${}- 4$${}= 3$。差が等しくないので、$\underline{\text{等差数列ではない}}$

(3) 分母を $6$ にそろえると $\dfrac{3}{6},$$\ \dfrac{5}{6},$$\ \dfrac{7}{6},$$\ \dfrac{9}{6}$。差はすべて $\dfrac{2}{6}$${}= \dfrac{1}{3}$ なので、$\underline{\text{公差 } \dfrac{1}{3} \text{ の等差数列}}$

(2) の差 $1,$$\ 2,$$\ 3$ は、それ自体が等差数列になっています。「差を並べた数列」は階差数列と呼ばれ、第4章で主役になります。

等差数列の一般項

初項 $a$、公差 $d$ の等差数列で、第 $n$ 項はいくつになるでしょうか。

$\displaystyle a_1$$\displaystyle {}= a,$$\displaystyle a_2$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ d,$$\displaystyle a_3$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ 2d,$$\displaystyle a_4$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ 3d,$$\displaystyle \ldots$

第 2 項は $d$ を 1 回、第 3 項は 2 回、第 4 項は 3 回足しています。第 $n$ 項までに $d$ を足す回数は、$n$ ではなく $n$${}- 1$ 回です。

公式3：等差数列の一般項

初項 $a$、公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ (n - 1)d$

「$n$${}- 1$」になる理由は、道に木を植える植木算と同じです。まっすぐな道に木を $n$ 本、端から端まで植えると、木と木のあいだは $n$${}- 1$ か所。1 本目の木から $n$ 本目の木までに進む距離は「あいだの数 × 間隔」です。等差数列でも、初項から第 $n$ 項までに「$+d$」の矢印は $n$${}- 1$ 本しかありません。

一般項 $a_n$${}= a$${}+ (n - 1)d$ を展開すると $a_n$${}= dn$${}+ (a - d)$ で、$n$ の 1 次式（$d$${}= 0$ なら定数）です。点 $(n,\ a_n)$ を座標平面にとると、傾き $d$ の直線の上に等間隔に並びます。

2 つの項が分かれば、公差は「項の差 ÷ 番号の差」で求まります。第 3 項と第 10 項なら、そのあいだに $d$ が $10$${}- 3$${}= 7$ 回はさまっています。

等差数列の第 $n$ 項は、初項に公差を $n$${}- 1$ 回足した $a$${}+ (n - 1)d$ で、$n$ の 1 次式になるということです。

例題3：2 つの項から一般項を求める

第 3 項が $11$、第 10 項が $-10$ である等差数列 $\{a_n\}$ について、一般項を求めなさい。また、初めて負になるのは第何項かを求めなさい。

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【解答】

初項を $a$、公差を $d$ とすると

$\displaystyle a$$\displaystyle {}+ 2d$$\displaystyle {}= 11,$$\displaystyle a$$\displaystyle {}+ 9d$$\displaystyle {}= -10$

下の式から上の式を引いて $7d$${}= -21$、よって $d$${}= -3$。上の式から $a$${}= 11$${}- 2 \times (-3)$${}= 17$。

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= 17$$\displaystyle {}+ (n - 1) \times (-3)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}-3n}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}+ 20}$

$a_n$${}< 0$ となるのは $-3n$${}+ 20$${}< 0$、すなわち $n$${}> \dfrac{20}{3}$${}= 6.66\cdots$ のときです。これを満たす最小の自然数は $n$${}= 7$ なので、$\underline{\text{第 } 7 \text{ 項}}$（$a_7$${}= -1$）で初めて負になります。

等差中項と 3 つの数の置き方

3 つの数 $a,$$\ b,$$\ c$ がこの順に等差数列になっているとき、$b$${}- a$${}= c$${}- b$ です。これを変形すると

$\displaystyle 2b$$\displaystyle {}= a$$\displaystyle {}+ c$$\displaystyle \text{すなわち}$$\displaystyle b$$\displaystyle {}= \frac{a + c}{2}$

真ん中の $b$ は、両側の $a$ と $c$ の平均になっています。この $b$ を等差中項といいます。

公式4：等差中項・3 つの数の置き方

3 つの数 $a,$$\ b,$$\ c$ がこの順に等差数列をなす $\iff 2b$${}= a$${}+ c$

等差数列をなす 3 つの数は、真ん中の数を $a$、公差を $d$ として

$\displaystyle a$$\displaystyle {}- d,$$\displaystyle a,$$\displaystyle a$$\displaystyle {}+ d$

とおくと計算が楽になる。

シーソーの両端に同じ重さの子どもが乗って、ちょうど釣り合っているとき、支点は 2 人のちょうど真ん中にあります。等差中項は、数直線の上で $a$ と $c$ の真ん中にある支点です。

3 つの数を $a$${}- d,$$\ a,$$\ a$${}+ d$ とおくと、和は $3a$ となって $d$ が消えます。「和が分かっている」問題では、まず真ん中の数が決まるのです。

3 つの数が等差数列になる条件は、真ん中の数の 2 倍が両端の和に等しいことで、3 つの数は $a$${}- d,$$\ a,$$\ a$${}+ d$ とおくと扱いやすいということです。

例題4：等差数列をなす 3 つの数

等差数列をなす 3 つの数があり、その和は $12$、積は $28$ です。この 3 つの数を求めなさい。

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【解答】

3 つの数を $a$${}- d,$$\ a,$$\ a$${}+ d$ とおきます。和が $12$ なので $3a$${}= 12$、よって $a$${}= 4$。積が $28$ なので

$\displaystyle (4 - d) \times 4 \times (4 + d)$$\displaystyle {}= 28$$\displaystyle \text{より}$$\displaystyle 16$$\displaystyle {}- d^2$$\displaystyle {}= 7,$$\displaystyle d^2$$\displaystyle {}= 9,$$\displaystyle d$$\displaystyle {}= \pm 3$

$d$${}= 3$ のとき $1,$$\ 4,$$\ 7$、$d$${}= -3$ のとき $7,$$\ 4,$$\ 1$。どちらも同じ 3 つの数なので、求める数は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 4,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 7}$

等差数列の和

$1$${}+ 2$${}+ 3$${}+ \cdots$${}+ 100$ を、1 つずつ足さずに求める方法を考えます。和を $S$ とおき、同じ和を逆順にも書いて、上下を足してみます。

$$\begin{aligned} S &= \ \ \,1 + \ \ \,2 + \ \ \,3 + \cdots + \ \ 99 + 100 \\ S &= 100 + \ \ 99 + \ \ 98 + \cdots + \ \ \ \,2 + \ \ \ \,1 \\ \hline 2S &= 101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 \end{aligned}$$

上下のペアはどれも $101$ で、ペアは $100$ 組あります。よって $2S$${}= 101 \times 100$、$S$${}= 5050$ です。

同じことが、どんな等差数列でもできます。初項 $a$、末項 $l$、項数 $n$ の等差数列では、前から $k$ 番目と後ろから $k$ 番目の和が、いつも $a$${}+ l$ になるからです（前から進むと $d$ ずつ増え、後ろから進むと $d$ ずつ減るので、和は変わりません）。

公式5：等差数列の和

等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。初項 $a$、末項 $l$（$= a_n$）、公差 $d$ のとき

$\displaystyle S_n$$\displaystyle {}= \frac{n(a + l)}{2}$$\displaystyle {}= \frac{n\{2a + (n - 1)d\}}{2}$

特に

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ n$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)}{2},$$\displaystyle 1$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ (2n - 1)$$\displaystyle {}= n^2$

2 つ目の形は、1 つ目の $l$ に $a$${}+ (n - 1)d$ を代入したものです。末項が分かっていれば 1 つ目、公差が分かっていれば 2 つ目を使います。

積み木で作った階段を思い浮かべてください。1 段目に 1 個、2 段目に 2 個、……、5 段目に 5 個。これと同じ階段をもう 1 つ作り、逆さにして横にぴったりくっつけると、縦 5 段・横 6 列の長方形になります。長方形の積み木は $5 \times 6$${}= 30$ 個なので、階段 1 つ分はその半分の $15$ 個です。

$\dfrac{n(a + l)}{2}$ は「（最初 ＋ 最後）× 個数 ÷ 2」で、台形の面積の公式「（上底 ＋ 下底）× 高さ ÷ 2」と同じ形です。$\dfrac{a + l}{2}$ は項の平均なので、「平均 × 個数」と読むこともできます。

等差数列の和は、逆順に並べた和と足すと同じ数のペアがそろうので、「（初項 ＋ 末項）× 項数 ÷ 2」で求まるということです。

例題5：等差数列の和

(1) 初項 $7$、公差 $5$、項数 $12$ の等差数列の和を求めなさい。

(2) 和 $1$${}+ 3$${}+ 5$${}+ \cdots$${}+ (2n - 1)$ を $n$ の式で表した結果を求めなさい。

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【解答】

(1) 公差が分かっているので 2 つ目の形を使います。

$\displaystyle S_{12}$$\displaystyle {}= \frac{12\{2 \times 7 + (12 - 1) \times 5\}}{2}$$\displaystyle {}= 6 \times (14 + 55)$$\displaystyle {}= \underline{414}$

（末項 $7$${}+ 11 \times 5$${}= 62$ を先に出して $\dfrac{12 \times (7 + 62)}{2}$${}= 414$ としても同じです。）

(2) 初項 $1$、末項 $2n$${}- 1$、項数 $n$ の等差数列の和なので

$\displaystyle \frac{n\{1 + (2n - 1)\}}{2}$$\displaystyle {}= \frac{n \times 2n}{2}$$\displaystyle {}= \underline{n^2}$

(2) の結果から、奇数を小さい順に足した和は、$1,$$\ 4,$$\ 9,$$\ 16,$$\ \ldots$ と平方数になります。例題1(2) の数列が、ここで顔を出しました。

和の最大・最小

公差が負の等差数列では、項はだんだん小さくなり、いつか負になります。このとき、和 $S_n$ にはいちばん大きくなるところがあります。

公式6：和が最大になるところ

初項が正、公差が負の等差数列では、和 $S_n$ は

正の項（と $0$ の項）をすべて足したところで最大になる。

$a_n$${}\geqq 0$ を満たす最大の $n$ を求め、そこまでの和を計算すればよい。

$S_{n+1}$${}= S_n$${}+ a_{n+1}$ なので、次の項が正なら和は増え、負なら和は減ります。項が正のあいだは足すほど増え、負の項が出てきたら足すほど減る——だから、正の項を足しきったところが頂上です。

さきほどの貯金箱で、入れる額が毎月 $4$ 千円ずつ減っていく場合を考えます。最初は $25$ 千円、次は $21$ 千円、……と入れていくと、7 か月目には $1$ 千円、8 か月目には $-3$ 千円、つまり引き出しに変わります。貯金の合計がいちばん多いのは、入金が最後にプラスだった 7 か月目です。

別の見方もあります。$S_n$${}= \dfrac{n\{2a + (n - 1)d\}}{2}$ は $n$ の 2 次式なので、平方完成して頂点を調べる方法でも、最大・最小が分かります。

公差が負の等差数列の和は、正の項を足しきったところで最大になるので、「項が負になる境目」を見つければよいということです。

例題6：和の最大値

初項 $25$、公差 $-4$ の等差数列 $\{a_n\}$ について、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ の最大値と、そのときの $n$ の値を求めなさい。

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【解答】

一般項は $a_n$${}= 25$${}+ (n - 1) \times (-4)$${}= -4n$${}+ 29$。$a_n$${}> 0$ となるのは

$\displaystyle -4n$$\displaystyle {}+ 29$$\displaystyle {}> 0$$\displaystyle \text{より}$$\displaystyle n$$\displaystyle {}< \frac{29}{4}$$\displaystyle {}= 7.25$

なので、$a_7$${}= 1$${}> 0$，$a_8$${}= -3$${}< 0$ です。第 7 項までは正、第 8 項から負なので、$S_n$ は $n$${}= 7$ で最大になります。

$\displaystyle S_7$$\displaystyle {}= \frac{7 \times (25 + 1)}{2}$$\displaystyle {}= 91$

よって $\underline{n = 7 \text{ のとき最大値 } 91}$

条件を満たす整数の和

「$200$ 以下の $5$ の倍数」「$7$ で割ると $3$ 余る数」のような整数を小さい順に並べると、等差数列になります。$5$ の倍数なら $5,$$\ 10,$$\ 15,$$\ \ldots$（公差 $5$）、$7$ で割ると $3$ 余る数なら $3,$$\ 10,$$\ 17,$$\ \ldots$（公差 $7$）です。

こうした和を求める手順は、次の 3 段です。

1. 条件を満たす数を $pn$${}+ q$ の形で表し、初項と公差を読む。
2. 範囲の条件から、末項と項数を決める。
3. 公式5で和を求める。

カレンダーで、毎週水曜日の日付だけを拾っていくと、$3,$$\ 10,$$\ 17,$$\ 24,$$\ 31$ のように $7$ ずつ増えます。「割った余りが同じ数」は、カレンダーの同じ曜日の列に並ぶ数です。

「$3$ の倍数でも $4$ の倍数でもない数の和」のように「〜でない」数を足すときは、全体の和から、条件に当てはまる数の和を引きます。$3$ の倍数と $4$ の倍数の両方に数えた $12$ の倍数は、1 回分を戻すのを忘れないようにします（実践 j13）。

倍数や余りの条件を満たす整数は等差数列に並ぶので、初項・公差・項数を読み取れば公式5で和が求まるということです。

例題7：余りの条件を満たす数の和

$200$ 以下の自然数のうち、$5$ で割ると $2$ 余る数の和を求めなさい。

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【解答】

$5$ で割ると $2$ 余る自然数は、小さい順に $2,$$\ 7,$$\ 12,$$\ \ldots$ で、初項 $2$、公差 $5$ の等差数列です。一般項は $a_n$${}= 2$${}+ (n - 1) \times 5$${}= 5n$${}- 3$。

$5n$${}- 3$${}\leqq 200$ より $n$${}\leqq \dfrac{203}{5}$${}= 40.6$ なので、項数は $40$、末項は $a_{40}$${}= 197$ です。

$\displaystyle \frac{40 \times (2 + 197)}{2}$$\displaystyle {}= 20 \times 199$$\displaystyle {}= \underline{3980}$

この章のまとめと次の章

等差数列は「足し算をくり返してできる数列」でした。一般項は $n$ の 1 次式、和は $n$ の 2 次式になります。

では、同じ数を掛けていく数列、たとえば $3,$$\ 6,$$\ 12,$$\ 24,$$\ \ldots$ はどうでしょうか。次の第2章「等比数列」では、公差の代わりに公比を使って、この数列の一般項と和を求めます。和を求める工夫は「逆順に並べて足す」ではなく、「公比を掛けてずらして引く」に変わります。