確率変数 $X$ の期待値が $4$ 、標準偏差が $3$ であるとします。 $a$ ${}> 0$ として、 $Y$ ${}= aX$ ${}+ b$ の期待値が $50$ 、標準偏差が $10$ となるような定数 $a$ ， $b$ の値を求めなさい。

19:Tfe0,

$a$ ${}= \dfrac{10}{3}$ ， $b$ ${}= \dfrac{110}{3}$

1a:T487a,

$\sigma(aX + b)$ ${}= \lvert a \rvert\,\sigma(X)$ で、 $a$ ${}> 0$ なので

\displaystyle 3a

$E(aX + b)$ ${}= aE(X)$ ${}+ b$ より

\displaystyle \frac{10}{3} \times 4

4a:I[27201,["/_next/static/chunks/3ooc3n15h9e-l.js","/_next/static/chunks/2afcxd40dtjms.js"],"IconMark"] 1b:T153a,

$1$ 枚の硬貨を投げて、表が出れば $2$ 、裏が出れば $0$ とする確率変数を $X$ 、 $1$ 個のさいころを投げて出る目を $Y$ とします。硬貨とさいころは独立に投げるものとして、 $E(X + Y)$ ， $V(X - Y)$ ， $E(XY)$ の値を求めなさい。

1c:T1da8,

$E(X + Y)$ ${}= \dfrac{9}{2}$ ， $V(X - Y)$ ${}= \dfrac{47}{12}$ ， $E(XY)$ ${}= \dfrac{7}{2}$

1d:Taa5c,

$X$ について $E(X)$ ${}= 2 \times \dfrac{1}{2}$ ${}= 1$ ， $E(X^2)$ ${}= 4 \times \dfrac{1}{2}$ ${}= 2$ なので $V(X)$ ${}= 2$ ${}- 1^2$ ${}= 1$ です。

$Y$ について $E(Y)$ ${}= \dfrac{21}{6}$ ${}= \dfrac{7}{2}$ ， $E(Y^2)$ ${}= \dfrac{91}{6}$ なので $V(Y)$ ${}= \dfrac{91}{6}$ ${}- \dfrac{49}{4}$ ${}= \dfrac{35}{12}$ です。

\displaystyle E(X + Y)

$X$ と $Y$ は独立なので、差の分散も分散の和になります。

\displaystyle V(X - Y)

\displaystyle E(XY)

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