$x$ ${}= -3$ で極大値 $91$ ， $x$ ${}= 2$ で極小値 $-34$

1a:T7d3c,

$f'(x)$ ${}= 6x^2$ ${}+ 6x$ ${}- 36$ ${}= 6(x + 3)(x - 2)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= -3,$ $\ 2$ です。

\displaystyle f(-3)

$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大 $91$	$\searrow$	極小 $-34$	$\nearrow$

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = -3\ \text{で極大値}\ 91,}

1b:Te37,

関数 $f(x)$ ${}= -x^3$ ${}+ 6x^2$ ${}- 5$ の極値を求めなさい。

1c:Tc37,

$x$ ${}= 0$ で極小値 $-5$ ， $x$ ${}= 4$ で極大値 $27$

1d:T7168,

$f'(x)$ ${}= -3x^2$ ${}+ 12x$ ${}= -3x(x - 4)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= 0,$ $\ 4$ です。 $x^3$ の係数が負なので、 $f'(x)$ は $0$ ${}< x$ ${}< 4$ で正、それ以外で負になります。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	極小 $-5$	$\nearrow$	極大 $27$	$\searrow$

$f(4)$ ${}= -64$ ${}+ 96$ ${}- 5$ ${}= 27$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 0\ \text{で極小値}}

係数が負の3次関数は、「減少→増加→減少」の順になります。左にあるほうを極大と決めつけないようにしましょう。

学習完了テスト