第17章　2級 導関数と接線

$y'$${}= 6x^2$${}- 10x$${}+ 4$

1項ずつ $(x^n)'$${}= nx^{n-1}$ を使い、定数項は $0$ になります。

$y'$${}= 6x$${}- 5$

積の形は展開してから微分します。

$f'(2)$${}= -4$

導関数を求めてから $x$${}= 2$ を代入します。

$s'(t)$${}= -9.8t$${}+ 19.6$，$s'(2)$${}= 0$

$t$ の関数なので、$t$ で微分します。

$s'(t)$ は時刻 $t$ における速度です。$t$${}= 2$ で速度が $0$ になるので、2秒後がいちばん高い位置です。

$y$${}= x$${}- 3$

$y'$${}= 2x$${}- 3$ より、$x$${}= 2$ での傾きは $2 \cdot 2$${}- 3$${}= 1$ です。

$y$${}= 5x$${}- 2$

接点の $y$ 座標は $1$${}+ 2$${}= 3$ です。$y'$${}= 3x^2$${}+ 2$ より、傾きは $3$${}+ 2$${}= 5$ なので

$y$${}= -\dfrac{1}{3}x$${}+ \dfrac{7}{3}$

$y'$${}= 2x$${}+ 1$ より、接線の傾きは $3$ です。法線の傾きは、積が $-1$ になる $-\dfrac{1}{3}$ なので

$y$${}= 4x$${}- 8$

接点の $y$ 座標は $8$${}- 8$${}= 0$ です。$y'$${}= 3x^2$${}- 4x$ より、傾きは $12$${}- 8$${}= 4$ なので

$y'$${}= 24x^2$${}- 24x$${}+ 6$

$(a - b)^3$${}= a^3$${}- 3a^2b$${}+ 3ab^2$${}- b^3$ で展開してから微分します。

（$24x^2$${}- 24x$${}+ 6$${}= 6(2x - 1)^2$ と書いても同じです。）

$a$${}= -2$

$f'(x)$${}= 3x^2$${}+ 2ax$ なので

$f'(x)$${}= 3x^2$${}+ 2x$

導関数の定義 $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ に当てはめます。

なので、$h$ で割って約分すると

$h$${}\to 0$ とすると $3xh$，$h^2$，$h$ は $0$ に近づくので

2次では「定義より」と書いてから極限の式を立て、$h$ で約分してから $h$${}\to 0$ とする流れを見せます。公式 $(x^n)'$${}= nx^{n-1}$ で答えだけ書くと、「定義に従って」の指示に合わないので注意しましょう。

$y$${}= 9x$${}- 25,$$y$${}= 9x$${}+ 7$

接点の $x$ 座標を $t$ とおきます。$y'$${}= 3x^2$${}- 6x$ なので、傾きが $9$ となる条件は

よって $t$${}= 3,$${}\ -1$ です。

• $t$${}= 3$ のとき、接点は $(3,\ 2)$。接線は $y$${}- 2$${}= 9(x - 3)$，すなわち $y$${}= 9x$${}- 25$
• $t$${}= -1$ のとき、接点は $(-1,\ -2)$。接線は $y$${}+ 2$${}= 9(x + 1)$，すなわち $y$${}= 9x$${}+ 7$

$y$${}= 3x$${}- 4,$$y$${}= -5x$${}- 4$

点 $(0,\ -4)$ は放物線上にないので、接点を $(t,\ t^2 - t)$ とおきます。$y'$${}= 2x$${}- 1$ より、接線は

これが点 $(0,\ -4)$ を通るので

• $t$${}= 2$ のとき $y$${}= 3x$${}- 4$
• $t$${}= -2$ のとき $y$${}= -5x$${}- 4$

$a$${}= -1,$$b$${}= 3$

$f(x)$${}= x^3$${}+ ax^2$${}+ b$ とおきます。点 $(1,\ 3)$ で直線に接する条件は、「曲線が点 $(1,\ 3)$ を通る」と「$x$${}= 1$ での接線の傾きが直線の傾き $1$ に等しい」の2つです。

$f'(x)$${}= 3x^2$${}+ 2ax$ なので

2つめの式から $a$${}= -1$，これを1つめに代入して $b$${}= 3$。

（点 $(1,\ 3)$ が直線 $y$${}= x$${}+ 2$ 上にあることも確かめておきます：$1$${}+ 2$${}= 3$。）

$k$${}= -4$，接点 $(-2,\ 2)$

接点の $x$ 座標を $t$ とおきます。放物線の接線の傾きが直線の傾き $-3$ に等しいので、$y'$${}= 2x$${}+ 1$ より

接点は $(-2,\ 4 - 2)$${}= (-2,\ 2)$ です。この点を直線が通るので

（別解：連立して $x^2$${}+ 4x$${}- k$${}= 0$ が重解をもつ条件 $\dfrac{D}{4}$${}= 4$${}+ k$${}= 0$ からも $k$${}= -4$，重解 $x$${}= -2$ が得られます。）

法線 $y$${}= -\dfrac{1}{2}x$${}+ \dfrac{7}{2}$，共有点 $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{13}{4}\right)$

$y'$${}= 2x$${}- 4$ より、$x$${}= 3$ での接線の傾きは $2$、法線の傾きは $-\dfrac{1}{2}$ です。

曲線と連立します。

$x$${}= 3$ は点 $(3,\ 2)$ なので、もう1つは $x$${}= \dfrac{1}{2}$。このとき $y$${}= -\dfrac{1}{4}$${}+ \dfrac{7}{2}$${}= \dfrac{13}{4}$。

$x$${}= 3$ が解の1つになることは初めからわかっているので、$(x - 3)$ で因数分解できると見当をつけると速く解けます。

$y$${}= -4,$$y$${}= -\dfrac{9}{4}x$${}+ \dfrac{1}{2}$

点 $(2,\ -4)$ は曲線上の点ですが、「通る」接線なので接点は別の場所かもしれません。接点を $(t,\ t^3 - 3t^2)$ とおきます。$y'$${}= 3x^2$${}- 6x$ より、接線は

これが点 $(2,\ -4)$ を通るので

$(2,\ -4)$ が曲線上にあるので $t$${}= 2$ は解の1つです。$(t - 2)$ でくくると

よって $t$${}= 2,$$\ \dfrac{1}{2}$ です。

• $t$${}= 2$ のとき、傾き $12$${}- 12$${}= 0$ で $y$${}= -4$（点 $(2,\ -4)$ における接線）
• $t$${}= \dfrac{1}{2}$ のとき、傾き $\dfrac{3}{4}$${}- 3$${}= -\dfrac{9}{4}$，切片 $-\dfrac{1}{4}$${}+ \dfrac{3}{4}$${}= \dfrac{1}{2}$ で $y$${}= -\dfrac{9}{4}x$${}+ \dfrac{1}{2}$

「における接線」だけを答えると1本足りません。2本めは、点 $\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{5}{8}\right)$ で接し、点 $(2,\ -4)$ で曲線と交わる直線です。

$y$${}= 2x$${}- 1,$$y$${}= -2x$${}+ 3$

2つの放物線で接点は別々なので、別の文字でおきます。

放物線 $y$${}= x^2$${}- 2x$${}+ 3$ 上の点 $(s,\ s^2 - 2s + 3)$ における接線は、$y'$${}= 2x$${}- 2$ より $y$${}= (2s - 2)x$${}- s^2$${}+ 3$ …①

放物線 $y$${}= -x^2$${}+ 2x$${}- 1$ 上の点 $(u,\ -u^2 + 2u - 1)$ における接線は、$y'$${}= -2x$${}+ 2$ より $y$${}= (-2u + 2)x$${}+ u^2$${}- 1$ …②

①と②が同じ直線になる条件は、傾きと切片がそれぞれ等しいことです。